GPS整周模糊度

GPS整周模糊度的计算与确定
引言
精密型GPS信号接收机一般都具有伪距和载波相位两种基本观测量。

相对于伪噪声码观测量而言,GPS载波相位观测量能提供非常精确的相对定位。

但由于GPS载波相位测量存在整周模糊数较难解算的问题,致使它在快速定位及导航中的应用受到了限制。

因此,快速而准确地求解GPS载波相位测量的整周模糊度就成了它在快速定位及导航中应用的关键问题。

整周模糊度求解的理论及其实用研究是近一、二十年的研究热点和难点。

许多学者提出了一些解算方法,其中双频P码伪距法、整周模糊度函数法、最小二乘搜索法和整周模糊度协方差法应用较广泛。

整周模糊度的确定是GPS载波相位测量中的关键问题，其原因如下：精确地、不足一周的相位与修复周跳后的正确整周记数只有在与正确的整周模糊度配合使用才有意义。

整周模糊度参数一旦出现问题，就将导致大量的卫地距出现系统性的粗差，从而严重影响定位的精度和可靠性，正确确定整周模糊度N是获得高精度定位结果的必要条件。

在大量对精确确定整周模糊度的计算研究中不断推出了新的计算算法。

几种整周模糊度的确定方法：
（一）快速求解整周模糊度
伪距双差方程经过线性化之后如下[2],
(1)
其中,ρ表示实际观测值与计算值之差,A表示系数阵,δx表示坐标增量,v表示模型误差和测量噪声,N(·)表示正态分布,QDΨ表示伪距测量的协方差阵。

由式(1),根据最小二乘原理可得
(2)
对于载波相位,其双差模型线性化之后可得[3]
(3)
其中,l表示实际观测值与计算值之差,λ表示L1载波波长,N表示载波相位双差模糊度,w 表示模型误差和测量噪声,QDφ表示载波相位测量的协方差阵。

由式(2)、(3),可得整周模糊度的浮点解N^。

(4)
由式(4)根据协因数传播定律,此时整周模糊度N^的协方差阵QN^为
(5)
其中表示坐标增量的协方差阵;
表示后验方差系数;
表示残差;
n表示卫星数;
u= rank(A)表示系数阵A的秩。

由式(4)和(5),应用LAMBDA方法可以估计出整周模糊度的整数解。

LAMBDA方法搜索过程如下[4]:①方差阵Z变换(降相关变换);②浮点解分解整数部分和小数部分;③浮点解小数部分进行Z变换;④设置搜索提供的候选解个数;⑤计算搜索范围的大小(CHI2)的值;⑥求解浮点解小数部分进行Z变换后对应的固定解;⑦求解浮点解的固定解。

由于伪距的精度不高,此时求解出来的整周模糊度仍可能不正确,包含有一个偏差量δN。

因为模糊度Ni已经过LAMBDA方法搜索,该偏差量δN一般小于4周,所以,还需要第二个搜索过程。

以下采用FARA方法。

(6)
其中,Ni表示LAMBDA方法求解的整周模糊度;δNi=βdiag(QN^)表示搜索空间;β表示置信度。

在第二个搜索过程中,根据FARA确定整周模糊度的准则知,因其组合数大大减少,所以能很快搜索出正确的整周模糊度。

（二）GPS短基线整周模糊度快速结算
在很多情况下,位移的绝对值往往大于0.2 m,甚至可达0.5 m以上,例如悬索桥的变形。

在这些情况下,则不能直接应用DC算法。

为了扩大DC算法的应用范围,通过对载波相位进行组合,提出了一种适合大位移值的GPS整周模糊度直接解算方法。

该方法在位移值达到0.7 m时,仍可以直接解算GPS整周模糊度,并获得高精度的变形值。

将该方法推广到一般的GPS 短基线(基线长度小于等于10 km)定位的应用中,得到了GPS短基线定位时整周模糊度的准确快速算法。

在GPS变形监测网中,由于变形监测的基线比较短(基线长度小于等于10 km),在采用双差观测值后,可以大大消除卫星钟差、对流层、电离层延迟这些误差。

在基线小于10 km时,可以忽略这些误差的影响。

因此,可以解出整周模糊度:
(1)
式中, 为两历元两测站得到的相位整周数差之差; 为两历元两测站得到
的相位差之差; 为两历元两测站得到的距离差之差[4]。

当监测点的位移小于0.164
8 m时,位移对整周模糊度的影响小于等于半周。

这种利用监测点的位移为约束条件直接解算单历元变形量的方法就称为DC算法[1]。

保证L1和L2载波的整周模糊度N1和N2为整数的条件
当位移值大到0.7 m时,如果还希望对整周模糊度的影响小于等于半周[5],并应用式(1)计算整周模糊度,载波相位的波长应为:
(2)
将位移值Δd=0.7 m代入式(2)。

当位移值Δd=0.7 m时,如果还希望对整周模糊度的影响小于等于半周[5],则载波相位的波长应为:
(3)
不同的载波相位组合观测值可以认为是不同波长和精度的载波相位观测值。

设φ1和φ2为一理想卫星发射的双频相位观测值,则可得到其组合观测值:
(4)
适当选取n和m,可以保证组合载波的波长大于等于0.808 3 m。

故按式(1)直接计算组合载波的整周模糊度,可使位移值对组合载波的整周模糊度的影响小于等于半周。

如
此解出的组合载波的整周模糊度虽然比较准确,但不是所需要的最终结果。

所需要的最终结果是L1和L2的整周模糊度N1和N2。

如果还有一个波长大于0.808 3 m以上的载波相位组合观测值φs,应用式(1)也可以解得此组合的整周模糊度Ns。

有了线性组合的两个观测值的整周模糊度Nw和Ns,就可以通过解二元一次方程组,解出L1和L2载波的整周模糊度N1和N2,即
(5)
因为
(6)
式中,Nw、Ns、n1、m1、n2、m2均为整数。

故要保证由式(6)解得的N1、N2为整数,只需要保证:
(7)
即要求
(8)
式(8)就是通过解二元一次方程组,保证解算出的L1和L2载波的整周模糊度N1和N2为整数的条件式。

当使用宽巷与超宽巷组合的组合观测值来求解时,即
,它们满足条件式(8),即
.并且在满足式(8)中的所有线性组合观测值中,宽巷与超宽巷组合的噪声相对来说比较小。

而宽巷的波长λw=86.19 cm,超宽巷的波长λs=162.81 cm,它们都满足式(8)的条件。

所以
采用宽巷与超宽巷组合作为求解L1和L2的整周模糊度的线性组合,既保证了整周模糊度的
整数性质,在计算中又容易固定整周模糊度。

点位精度高于0.7m的初始坐标的获得因为一般的工程测量控制网,其基线长度都小于等于10 km,所以短基线模糊度的解算是GPS应用中最普遍的问题之一。

将DC算法用于短基线模糊度的解算,关键的问题是要得到点位精度高于0.7 m时各点的初始坐标。

由于GPS卫星轨道精度的不断提高(目前,精密星历为5 cm,普通星历为5 m),加之SA计划的取消,使得伪距单点定位的精度可达到5 m,伪距差分的精度已突破m级[9]。

为此,本文提出了利用伪距双差来获取初始坐标。

为了保证在快速静态定位中伪距差分的精度能满足0.7 m的要求,研制了专门的解算程序[10],并用武汉和深圳两地的实测数据进行了验算。

通过武汉和深圳的双GPS 数据(基线长度小于10 km),利用20min的伪距观测数据,用自编伪距双差程序与TGO解算的基线进行了比较分析,计算结果列于表1(前面10条基线为武汉地区采集的GPS数据计算的基线长度分量,后面6条为深圳地区采集的GPS数据计算的基线长度分量)。

由表1可以看出,利用20 min的伪距数据进行伪距双差,就可以保证基线长度的精度高于0.7 m。

（三）基于多历元递推最小二乘卡尔曼滤波方法的模糊度解算
在GPS动态定位中,载波相位模糊度的解算多采用伪距信息和载波相位信息统一解算,其中伪距可以是一个历元的伪距观测信息,也可以是多个历元的伪距平滑信息,但是由于动态定位中目标点空间坐标在变化之中,载波相位信息目前常采用单个历元观测量,而放弃前续历元的载波相位观测信息。

如能有效地利用此多个历元的载波相位信息,将有助于模糊度的解算。

针对这个问题提出了同时使用多个历元的伪距信息和载波相位信息来解算载波相位模糊度。

与此同时,卡尔曼滤波技术在GPS导航定位中有着广泛应用,但是由于受到系统状态方程模型精度的限制,在cm级的差分GPS定位中,卡尔曼滤波使用的并不多。

但如果系统状态方程的模型精度很高,即仅对模糊度参数建模,滤波效果则大为改善。

GPS动态差分定位中的迭代最小二乘方法：
由GPS双差线性观测方程:
(1)
式中,L为双差码伪距和载波相位观测矢量;B为差分GPS定位系数矩阵;dx为坐标未知数改正数向量;N为载波相位双差模糊度,具有整数特性;A为模糊度系数矩阵;D为观测矢量方差阵。

引入迭代最小二乘方法,可得到不含坐标未知数改正数向量dx的定位方程:
(2)
式中, ,I为单位阵, , ,其对应的法方程为:
(3)
由方程(3)可解得模糊度浮点解:
方程(2)中不再具有坐标未知数改正数向量,只具有模糊度参数。

根据无周跳时前后历元模糊度不变的特性,可对多个历元的法方程(3)进行叠加,或者使用卡尔曼滤波方法,解得模糊度浮点解。

在模糊度浮点解的基础上,可使用动态模糊度搜索方法进行整数模糊度搜索。

对此相关文献研究较多[1],此处不再赘述。

基于递推最小二乘的卡尔曼滤波在正确探测并修复周跳的前提下,对于方程(2)模糊度浮
点解的解算,既可以使用多历元法方程叠加方法,也可以使用卡尔曼滤波方法。

由于卡尔曼滤波方程便于编程实现,特别是在后文重新出现卫星的处理中非常方便,故本文使用后者。

由于方程(2)中只具有模糊度参数,所以滤波器状态方程的精度很高。

对于式(2),建立只含有模糊度参数的卡尔曼滤波器:
(4)
(5)
式中,式(4)为状态方程,Nk为k时刻的模糊度向量;Nk+1为k+1时刻的模糊度向量;Qk为系统噪声阵,由于前后历元所对应的模糊度保持不变,故系统噪声阵可设为零。

式(5)为量测方程,是式(2)在k+1时刻的描述。

滤波器的广义滤波方程为:
(6)
(7)
(8)
(9)
式中,P为系统方差阵;K为增益矩阵;I为单位阵; 为滤波器
输出,即模糊度的每历元的修正值,其他符号与前文相同。

在滤波器中,方程(8)可以同时含有码伪距和载波相位观测信息。

参考文献：
（1）邱蕾、花向红等，GPS短基线整周模糊度的直接解法，武汉大学学报-信息科学版，2009年1月第34卷第1期
（2）刘立龙、唐诗华、文鸿雁，一种快速求解整周模糊度的方法，遥测遥控，2007年9月第28卷第5期
（3）孙红星、付建红等，基于多历元递推最小二乘卡尔曼滤波方法的整周模糊度解算，武汉大学学报-信息科学版，2008年7月第33卷第7期。