八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题质量专项训练
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原式= .
将 代入原式得
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
24．计算：
【答案】
【解析】
【分析】
先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算
【详解】
解：
=
=
=
=
=
【点睛】
本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易。
25．已知x=2﹣ ，求代数式（7+4 ）x2+（2+ ）x+ 的值．
14．化简并计算： ________．（结果中分母不含根式）
15．已知整数 ， 满足 ，则 __________．
16．已知 ，化简： _____．
17．化简： ＝_____．
18．若 有意义，则x的取值范围是____．
19．要使 有意义，则x的取值范围是_____
20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ， ， ，记 ，那么三角形的面积 ．在 中， ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，若 ， ， ，则 面积是_______．
A． 是 的算术平方根B．
C． 不能化简D． 是无理数
10．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
11．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．7B．11C．2D．1
12．在式子 中，二次根式有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
13．已知 ，则 _________
（3）首先化简 ，然后把所求的式子化成 代入求解即可.
【详解】
(1)计算： ；
(2)原式 ；
(3) ，
则原式 ，
当 时，原式 .
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
23．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 .
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.
【详解】
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： =－.
(2)计算： ＋…＋ ；
(3)若a＝ ，求4a2－8a＋1的值．
【答案】(1) ，1；(2) 9；(3) 5
【分析】
（1） ；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
28．计算下列各式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
.
【点睛】
本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键. ， ， （a≥0，b>0）.
29．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ， ， ；以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：
【答案】2+
【解析】
试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x2=（2﹣ ）2=7﹣4 ，
则原式=（7+4 ）（7﹣4 ）+（2+ ）（2﹣ ）+
=49﹣48+1+
=2+ ．
26．计算：（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）-10
【分析】
（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；
八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题质量专项训练
一、选择题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
2．当 时，二次根式 的值是（）
A．4B．2C． D．0
3．下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．1﹣2aD．2a﹣1
5． 的倒数是（）
A． B． C． D．
6．二次根式 的值是（）
A．－3B．3或－3C．9D．3
7．估计 的值应在（）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
8．设S= ，则不大于S的最大整数[S]等于()
A．98B．99C．100D．101
9．关于 的下列说法中错误的是（ ）
三、解答题
21．阅读下面问题：
阅读理解：
﹣1；
；
．
应用计算：（1） 的值；
（2） （n为正整数）的值．
归纳拓展：（3） 的值．
【答案】应用计算：（1） ；（2） ；归纳拓展：（3）9．
【分析】
由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1）乘以 分母利用平方差公式计算即可，（2）乘以 分母利用平方差公式计算即可，（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可．
计算出x+y= ，xy= ，
（1）把x2-xy+y2变形为（x+y）2-3xy，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把原式变形为 ，然后利用整体代入的方法计算.
【详解】
∵ = ， =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴x+y= ，xy= ,
(1)
=（x+y）2-3xy,
=
= ;
(2) = .
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【详解】
（1） ．
（2） ．
（3） ，
，
= + + + ，
= ，
=10-1，
=9．
【点睛】
本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
22．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2－ ，
所以a－2＝－ .
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
（1）请用不同的方法化简 ；（2）化简： .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）分式的分子和分母都乘以 ，即可求出答案；把2看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可．
【详解】
解：（1）
=
=
= ；
（2）
=5+9-24
=14-24
=-10．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．
27．已知 求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1) ;(2)8.
【分析】
将 代入原式得
【点睛】
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
24．计算：
【答案】
【解析】
【分析】
先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算
【详解】
解：
=
=
=
=
=
【点睛】
本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易。
25．已知x=2﹣ ，求代数式（7+4 ）x2+（2+ ）x+ 的值．
14．化简并计算： ________．（结果中分母不含根式）
15．已知整数 ， 满足 ，则 __________．
16．已知 ，化简： _____．
17．化简： ＝_____．
18．若 有意义，则x的取值范围是____．
19．要使 有意义，则x的取值范围是_____
20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 ， ， ，记 ，那么三角形的面积 ．在 中， ， ， 所对的边分别记为 ， ， ，若 ， ， ，则 面积是_______．
A． 是 的算术平方根B．
C． 不能化简D． 是无理数
10．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
11．若 与最简二次根式 是同类二次根式，则m的值为（ ）
A．7B．11C．2D．1
12．在式子 中，二次根式有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
13．已知 ，则 _________
（3）首先化简 ，然后把所求的式子化成 代入求解即可.
【详解】
(1)计算： ；
(2)原式 ；
(3) ，
则原式 ，
当 时，原式 .
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
23．先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 .
【分析】
根据分式的运算法则进行化简，再代入求解.
【详解】
所以a2－4a＝－1.
所以2a2－8a＋1＝2(a2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)计算： =－.
(2)计算： ＋…＋ ；
(3)若a＝ ，求4a2－8a＋1的值．
【答案】(1) ，1；(2) 9；(3) 5
【分析】
（1） ；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解；
28．计算下列各式：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.
【详解】
（1）原式
；
（2）原式
.
【点睛】
本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键. ， ， （a≥0，b>0）.
29．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ， ， ；以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 还可以用以下方法化简：
【答案】2+
【解析】
试题分析：先求出x2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x2=（2﹣ ）2=7﹣4 ，
则原式=（7+4 ）（7﹣4 ）+（2+ ）（2﹣ ）+
=49﹣48+1+
=2+ ．
26．计算：（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）-10
【分析】
（1）原式二次根式的乘除法法则进行计算即可得到答案；
八年级初二数学下学期二次根式单元 易错题质量专项训练
一、选择题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）
A． B． C． D．
2．当 时，二次根式 的值是（）
A．4B．2C． D．0
3．下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）
A．1B．﹣1C．1﹣2aD．2a﹣1
5． 的倒数是（）
A． B． C． D．
6．二次根式 的值是（）
A．－3B．3或－3C．9D．3
7．估计 的值应在（）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
8．设S= ，则不大于S的最大整数[S]等于()
A．98B．99C．100D．101
9．关于 的下列说法中错误的是（ ）
三、解答题
21．阅读下面问题：
阅读理解：
﹣1；
；
．
应用计算：（1） 的值；
（2） （n为正整数）的值．
归纳拓展：（3） 的值．
【答案】应用计算：（1） ；（2） ；归纳拓展：（3）9．
【分析】
由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（1）乘以 分母利用平方差公式计算即可，（2）乘以 分母利用平方差公式计算即可，（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可．
计算出x+y= ，xy= ，
（1）把x2-xy+y2变形为（x+y）2-3xy，然后利用整体代入的方法计算；
（2）把原式变形为 ，然后利用整体代入的方法计算.
【详解】
∵ = ， =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴x+y= ，xy= ,
(1)
=（x+y）2-3xy,
=
= ;
(2) = .
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
【详解】
（1） ．
（2） ．
（3） ，
，
= + + + ，
= ，
=10-1，
=9．
【点睛】
本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．
22．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2－8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a＝ ＝ ＝2－ ，
所以a－2＝－ .
所以(a－2)2＝3，即a2－4a＋4＝3.
（1）请用不同的方法化简 ；（2）化简： .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）分式的分子和分母都乘以 ，即可求出答案；把2看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
（1）原式第一项运用二次根式的性质进行化简，第二项运用平方差公式进行化简即可．
【详解】
解：（1）
=
=
= ；
（2）
=5+9-24
=14-24
=-10．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．
27．已知 求下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1) ;(2)8.
【分析】