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1
近四年上海高考解析几何试题
一．填空题 :
1、双曲线9x2 16y 2 1的焦距
是.
2、直角坐标平面xoy 中，定点A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点P轨迹方程___。

3、若双曲线的渐近线方程为y 3x ，它的一个焦点是10 ,0 ，则双曲线的方程是__________。

4、将参数方程x 1 2 cos
（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。

y 2sin
5、已知圆C :( x 5) 2 y 2 r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x y 5 0 .若圆 C 与直线 l 没有公共
点，则 r 的取值范围是.
6、已知直线l过点P( 2, 1) ，且与 x 轴、y轴的正半轴分别交于A、 B 两点， O 为坐标原点，则三角形 OAB 面积的最小值为.
7、已知圆x2－ 4 x－ 4＋y2＝ 0 的圆心是点 P，则点 P 到直线x－y－ 1＝0 的距离是；
8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－ 2 3 ，0），且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方程是；
10
、曲线y |
x
| 1
与直线
y
＝
kx
＋
b
没有公共点，则
k
、
b
分别应满足的条是．
2 ＝＋
11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线 y 2 4x 上的点P到该抛物线的焦点的距离为6，
则点 P 的横坐标 x .
12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线 x 4 y2与直线 x m 有且只有一个公共点，则
实数 m .
13、若直线 l1： 2x my 1 0 与直线 l2： y 3x 1 平行，则 m ．
14
x2 y2
1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是．、以双曲线
4 5
16 、已知 P 是双曲线x2 y2
1 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x y 0 .设a
2 9
F1、 F2分别为双曲线的左、右焦点. 若 PF2 3 ，则 PF1
17 、已知A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l1： x 0, l 2 : y 0 和 l3 : x 3y 1 0 . 设 P i是l i ( i 1, 2, 3) 上与A、B 两点距离平方和最小的点，则△PP12 P3的面积是
二．选择题 :
2
18、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于
A 、
B 两点，它们的横坐标之和等于
5，
则这样的直线
（
）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C
．有无穷多条
D ．不存在
19、抛物线 y 2
4x 的焦点坐标为
( )
（A ） ( 0, 1) .
（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) .
（ D ） ( 2, 0 ) .
20、若 k R ，则“ k
3 ”是“方程
x 2
y 2
1 表示双曲线”的
(
)
k
3 k 3
（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .
（C ）充要条件 .
（D ）既不充分也不必要条件 .
21 、已知椭圆
x 2
y 2 1，长轴在 y 轴上 . 若焦距为 4 ，则 m 等于 （
）
10 m
m
2
（ A ） 4 .
（ B ） 5 .
（ C ） 7 .
（ D ） 8 .
三．解答题
22 ( 本题满分 18 分) （ 1）求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ，且经过点 (
2 , 2 ) 的椭圆的标准方程；
（ 2）已知椭圆 C 的方程是
x 2 y 2 1 ( a b 0 ) . 设斜率为 k
的直线 l ，交椭圆 C 于 A B
a 2
b 2
、 两点，
AB 的中点为 M . 证明：当直线 l 平行移动时，动点
M 在一条过原点的定直线上；
（ 3）利用（ 2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步
骤，并在图中标出椭圆的中心 .
23、（本题满分 x 2
y 2 14 分）如图， 点 A 、 B 分别是椭圆
1长
36
20
轴的左、 右端点， 点 F 是椭圆的右焦点， 点 P 在椭圆上， 且位于 x 轴
上方， PA PF ．
（ 1）求点 P 的坐标；
（ 2）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于
MB ，求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值．
3 2
4 ( 本题满分14 分 ) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器
运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
x 2 y 2
100 1 ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）
25
后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M 0, 64 为顶点的抛物线的实线
7
部分，降落点为D( 8, 0 ) .观测点 A( 4, 0 )、 B( 6, 0 ) 同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
25 、（本题满分
14
分）在平面直角坐标系x
O y
中，直线
l
与抛物线
y
2
＝
2
x 相交于、两点．
A B
（1）求证：“如果直线l过点 T（ 3， 0），那么OA OB＝ 3”是真命题；
（2）写出（ 1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
26、(14 分 ) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问
题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为 3，求该正四棱锥的体积” . 求出体
积 16
后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为
16 ，求侧棱长”；
3 3
也可以是“若正四棱锥的体积为16
，求所有侧面面积之和的最小值”. 3
试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点 P( 2, 1) 到直线 3x 4y0 的距离有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.
评分说明：
(ⅰ ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列中，应只给 2 分，但第三阶段所列 4 分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. .”的一个
6 分
(ⅱ ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.
4
27 ( 14 分 ) 如图，在直角坐标系
xOy 中，设椭圆
y
x 2 y 2
C :
a 2
b 2
1 (a b 0) 的左右两个焦点
分别为 F 1、F 2 . 过右焦点 F 2 且与 x 轴垂直的直线
l 与椭
x
圆 C 相交，其中一个交点为
M 2, 1 .
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 设椭圆 C 的一个顶点为
B( 0, b ) ，直线 BF 2 交椭圆 C 于另一点 N ，求△ F 1 BN 的面积 .
我们把由半椭圆 x
2
y 2 1 ( x ≥ 0) 与半椭圆 y
2
x 2 1 ( x ≤ 0) 合成
28（本题满分 18 分） a 2 b 2 b 2
c 2
的曲线称作“果圆”，其中
a 2
b 2
c 2 ， a
0 ， b c 0．
如图，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相应椭圆的焦点， A 1 ， A 2 和 B 1 ， B 2 分别是“果圆”与 x ， y 轴的交点．
y
（1）若 △ F 0 F 1F 2 是边长为 1 的等边三角形，求
B 2
“果圆”的方程；
.F
2
b
（2）当 A 1 A 2B 1 B 2
的取值范围；
.
时，求 a
O
.
x
A 1
F 0
A 2
F 1
B 1
5 29 在平面直角坐标系xOy 中，A、B分别为直线x y 2 与x、 y 轴的交点，C为AB 的中点 . 若抛物线y2 2 px ( p 0) 过点C ，求焦点 F 到直线AB 的距离.
30 、已知z是实系数方程x22bx c0 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为P z ( Re z, Im z ) .
（ 1）若( b, c )在直线2x y 0 上，求证：P z在圆C1：(x 1)2 y2 1上；
（ 2）给定圆 C ：( x m) 2 y2 r 2（m、r R ， r 0 ），则存在唯一的线段s 满足：①若P z 在圆C 上，则( b, c )在线段s 上；②若( b, c )是线段s 上一点（非端点），则P z在圆C上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；
6
近四年上海高考解析几何试题
一．填空题 : 只要求直接填写结果，每题填对得
4 分，否则一律得零分 .
1、双曲线 9x 2 16y 2
1的焦距是
. 5
6
2、直角坐标平面
xoy 中，定点 A(1,2) 与动点 P(x, y) 满足 OP ? OA 4 ，则点 P 轨迹方程 ___。

解答：设点 P 的坐标是 (x,y)
，则由 OP ?OA
4 知 x 2 y 4 x 2y 4 0
3、若双曲线的渐近线方程为 y
3x ，它的一个焦点是 10 ,0 ，则双曲线的方程是 __________ 。

解答：由双曲线的渐近线方程为
y
3x ，知
b
3，它的一个焦点是
10 ,0 ，知 a 2 b 2 10 ，
a
因此 a 1, b
3 双曲线的方程是 x 2
y 2 1
9
4、将参数方程
x 1 2 cos （ 为参数）化为普通方程，所得方程是 __________。

y
2sin
解答： ( x 1) 2
y 2 4
5、已知圆 C :( x
5) 2
y 2
r 2 ( r 0) 和直线 l : 3x
y 5 0 . 若圆 C 与直线 l 没有公共
点，则 r 的取值范围是
. (0,
10)
6、已知直线 l 过点 P( 2, 1) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于
A 、
B 两点， O 为坐标原点，则
三角形 OAB 面积的最小值为 . 4. x －
7 、已知圆 x 2 － 4 x － 4 ＋ y 2 ＝ 0 的圆心是点 ，则点 P 到直线 y － ＝ 的距离是
；
P 1 0
解：由已知得圆心为： P(2,0) ，由点到直线距离公式得： d
|2 0 1| 2 ；
1 1 2
8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为
F （－ 2 3 ， 0），且长轴长是短轴长的
2 倍，则该椭圆的
标准方程是
；
a 2b,c 2 3
b 2 4
y
2
a
2
16 x 2
解： 已知
2 2 2
1 为所求；
a b c
F ( 2 3,0) 16
4
10 、 若 曲线 y 2 ＝ | x |＋ 1 与 直线 y ＝ kx ＋ b 没 有 公 共 点 ， 则 k 、 b 分 别应 满 足 的 条 件
是
．
7
解：作出函数 y
2
|x | 1
x 1,x 0
x 1, x 的图象，
如右图所示：所以，
k 0,b (
；
1,1)
11、在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y
2
4x 上的点 P 到该抛物线的焦点的距离为
6，
则点 P 的横坐标 x
. 5.
12、在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 x
4
y 2 与直线 x m 有且只有一个公共点，则
实数 m
. 2.
13、若直线 l 1： 2x
my 1 0 与直线 l 2： y 3x 1 平行，则 m
．
2
3
14 、以双曲线
x 2 y 2 1的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是
4
5
． y 2
12( x 3)
16 、已知
P 是双曲线
x 2
y 2 1 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为
3x y
0 . 设
a
2
9
F 1、 F 2 分别为双曲线的左、右焦点 . 若 PF 2 3 ，则 PF 1 5 .
17 (2008 春季 12) 已知 A(1, 2), B(3, 4) ，直线 l 1 ： x 0, l 2 : y 0 和 l 3 : x 3y 1
0 . 设
P i 是 l i ( i
1, 2, 3) 上与 A 、B 两点距离平方和最小的点，则△
PP 12 P 3 的面积是
3
2
二．选择题 :
18、过抛物线 y 2 4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于
A 、
B 两点，它们的横坐标之和等于
5， 则这样的直线
（ B
）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
解答： y 2 4x 的焦点是 (1 ，0) ，设直线方程为 y
k (x 1) k 0 (1) 将(1) 代入抛物线方
程可得
k 2
x 2
( 2 2
4) x k 2 0
， x 显然有两个实根，且都大于
0，它们的横坐标之和是
k
2k
2
4
5
3k
2
4
k
2 3
，选 B
k 2
3
19、抛物线 y 2
4x 的焦点坐标为
( B )
（A ） ( 0, 1) .
（ B ） ( 1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) . （ D ） ( 2, 0 ) .
20、若 k
R ，则“ k 3 ”是“方程
x 2 y 2 1 表示双曲线”的
( A
)
k
3 k
3
（ A ）充分不必要条件 . （ B ）必要不充分条件 .
（C ）充要条件 .
（D ）既不充分也不必要条件 .
8
x2 y2
1，在 y 上.若焦距 4 ， m 等于（D）
21 、已知
m 2
10 m
（ A）4 . （ B）5 . （ C）7 . （ D）8 .
三．解答
22 ( 本分 18 分) （ 1）求右焦点坐是( 2 , 0 ) ，且点 ( 2 ,2 ) 的的准方程；
（ 2）已知C的方程是x2
y 2 1 ( a b 0 ) .斜率 k 的直l，交C于A、B 两点，a2 b 2
AB的中点 M .明：当直l 平行移，点 M 在一条原点的定直上；
（3）利用（ 2）所揭示的几何性，用作方法找出下面定的中心，要写出作步，并在中出的中心 .
[ 解（）的准方程x
2 y 2
1
， a b 0 ，
] 1 a 2 b2
∴ a 2 b 2 4，即的方程
x2 y 2
1，
b2 4 b 2
∵ 点（2, 2 ）在上，∴
4 2
1，解得 b 2 4 或 b 2 2 （舍），
b2 4 b 2
由此得 a 2 8 ，即的准方程x 2 y 2 1 . ⋯⋯ 5 分
8 4
[明 ] （2）直l的方程y kx m ，⋯⋯ 6 分
y kx m
与 C 的交点 A ( x1 , y1)、B( x2 , y2)，有x2 y 2
1 ，
a2 b 2
解得( 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 0 ，
a k x a kmx a m a b
b
∵0 ，∴ m2 b 2 a 2 k 2，即 b 2 a 2 k 2 m b 2 a 2 k 2.
x x
2 2a 2km , y
1
y
2
kx m kx
2
m 2b 2 m ，
1 b
2 a 2k 2 1 b2 a 2 k 2
∴ AB 中点M的坐
a 2 km
,
b2 m
. ⋯⋯ 11 分b2 a 2k 2 b2 a 2k 2
∴段 AB 的中点M在原点的直b2 x a 2 k y 0 上. ⋯⋯ 13 分[解 ] （ 3）
9
如，作两条平行直分交于 A 、B 和C、D，并分取AB 、CD的中点M、 N ，接直MN ；又作两条平行直（与前两条直不平行）分交于A1、 B1和 C1、 D1，并分取A1B1、 C1 D1的中点M 1、 N1，接直M 1N1，那么直MN 和 M 1 N1的交点O 即
中心 . ⋯⋯18 分
x2 y2
23、（本分14 分）如，点 A 、 B 分是 1
36 20
的左、右端点，点 F 是的右焦点，点 P 在上，且位于x上方， PA
PF ．
（1）求点 P 的坐；
（2） M 是 AB 上的一点， M 到直 AP 的距离等于
MB ，求上的点到点M的距离d的最小．
[ 解 ] （1）由已知可得点A（－ 6，0）， F（4， 0）
点 P 的坐是( x, y),则AP { x 6, y}, FP { x 4, y} ，由已知得
x2 y 2
1 2x
2 3
或 x
36 20 则9x 18 0, x 6. ( x 6)( x 4) y 2 0 2
由于 y 0,只能 x 3
,于是 y 5 3, 点 P的坐标是 (
3
,
5
3).
2 2 2 2
（2）直 AP 的方程是x 3y 6 0. 点M的坐是（m，0），M到直AP的距离是 | m 6 | ，
2
于是| m
2 6 | | m 6 |,又 6 m 6, 解得 m 2, 上的点( x, y)到点M的距离d有
5 x2
4
( x 9 )2
d 2 (x 2)2 y 2 x2 4x 4 20 15,
9 9 9 2
由于
6 x 6, 当
x 时
, 取得最小值15.
2 d
24 ( 本分14 分 ) 学校科技小在算机上模航天器返回. 方案如：航天器
运行（按方向）的迹方程x 2 y 2
1 ，（即航天器运行迹由抛物）100 25
10
后返回的 迹是以
y 称 、 M 0,
64
点的抛物 的 部分，降落点 D ( 8, 0) .
7
点 A( 4, 0 )、B( 6, 0 ) 同 跟踪航天器 .
（ 1）求航天器 后的运行 迹所在的曲 方程；
（ 2） ：当航天器在 x 上方 ， 点 A 、 B 得离航天器的距离分 多少 ， 向航天器 出 指令？
[ 解 ]（ 1） 曲 方程
y ax 2
64 ，
7
64 a 1 由 意可知， 0 a 64.
.⋯⋯ 4 分
7
7
曲 方程 y
1 x
2 64 . ⋯⋯ 6 分
7
7
（ 2） 点 C( x, y ) ，根据 意可知
x 2y 2
100
1,
(1)
25
y
1 x
2 64 ,
(2)
7
7
得 4 y 2 7 y 36 0 ， y
4或 y
9 （不合 意，舍去） .
4
y 4.
⋯⋯ 9 分
得 x 6 或 x 6 （不合 意，舍去）
.
C 点的坐 ( 6, 4 ) ， ⋯⋯ 11 分
| AC | 2 5, | BC | 4 .答：当 点
A 、
B 得 A
C 、 BC 距离分 2 5、 4 ， 向航天器
出 指令 .
⋯⋯ 14 分
25 、（本 分 14 分）在平面直角坐 系
x O y 中，直 l 与抛物 y 2
＝ 2 x 相交于 A 、B 两点．
（ 1）求 ：“如果直 l 点 T （ 3， 0），那么 OA OB ＝ 3”是真命 ；
（ 2）写出（ 1）中命 的逆命 ，判断它是真命 是假命 ，并 明理由．
[ 解 ]（ 1） 点
T(3,0) 的直
l
交抛物
y 2=2x 于点
A(x 1,y 1)、 B(x 2,y 2 ).
当直
l
的 率不存在
, l
的方程
x=3,此 ,直
l
与抛物 相交于点
A(3,
6
)、 B(3, －
6
).
∴ OA OB
=3；
y 2 2 x 当直 l 的 率存在 , 直 l 的方程 y
k ( x 3) ，其中 k
0 ，由
y k ( x 3)
得 ky 2 2 y 6 k 0 y y
6
又 ∵ x
1 1 y
2 , x 2 1 y 2 ， 1 2
2 1
2 2
uuur uuur
1
2
∴
g
y 1 y 2 ( y 1 y 2 ) y 1 y 2
3 ，
OA OB x 1 x 2 4
上所述，命 “如果直
l 点 T(3,0) ，那么 OA OB =3”是真命 ；
11
(2)逆命 是： 直 l 交抛物 y 2=2x 于 A 、B 两点 ,如果 OA OB =3, 那么 直 点
T(3,0).
uuur uuur
命 是假命 . 例如：取抛物 上的点
A(2,2) ， B( 1
,1)，此 OAgOB =3,
2
直 AB 的方程 ：
y 2
( x 1) ，而 T(3,0) 不在直 AB 上；
3
明：由抛物 y 2=2x 上的点 A (x 1
,y 1)、 B (x 2,y 2) 足 OA OB =3，可得 y 1y 2=－ 6，或 y 1 y 2 =2，
如果 y 1 y 2=－ 6，可 得直 AB
点 (3,0)；
如果 y 1 y 2=2 ，可 得直 AB 点 (－ 1,0),而不 点 (3,0).
26 、(14 分 ) 求出一个数学 的正确 后，将其作 条件之一，提出与原来 有关的新 ，我 把它称 原来 的一个“逆向” .
例如，原来 是“若正四棱 底面 4， 棱 3，求 正四棱 的体 ” . 求出体
16
后，它的一个“逆向” 可以是“若正四棱 底面
4，体
16
，求 棱 ”；
3
3
也可以是“若正四棱 的体
16
，求所有 面面 之和的最小 ”.
3
出 “在平面直角坐 系
xOy 中，求点 P( 2,
1) 到直 3x 4y
0 的距离 .”的一个
有意 的“逆向” ，并解答你所 出的“逆向”
.
分 明：
(ⅰ ) 在本 的解答 程中，如果考生所 的意 不大，那么在 分 准的第二 段所列
6 分
中， 只
2 分，但第三 段所列 4 分由考生 自己所 的解答正确与否而定.
(ⅱ ) 当考生所 出的“逆向” 与所列解答不同，可参照所列 分 准的精神 行 分
.
[ 解 ] 点 ( 2, 1) 到直 3x
4 y 0 的距离
|3 2 4 1|
2 .
⋯⋯ 4 分
3 2 42
“逆向” 可以是：
(1) 求到直 3x 4 y 0 的距离
2 的点的 迹方程 .
⋯⋯ 10 分
[解]
所求 迹上任意一点
P( x, y ) ，
| 3x 4 y |
，
5 2
所求 迹 3x 4 y 10 0 或 3x 4y 10 0 .
⋯⋯ 14 分
(2) 若点 P( 2, 1) 到直 l : ax by 0 的距离
，求直 l 的方程
. ⋯⋯ 10 分 2
[ 解
]
| 2a b |
2
，化 得 4
ab 3 2
0 ，
b 0 或
4a 3b ，
a 2
b 2
b
所以，直 l 的方程 x
0 或 3x 4y
0 .
⋯⋯ 14 分
意 不大的“逆向” 可能是：
(3) 点 P( 2, 1) 是不是到直
3x 4 y 0 的距离
2 的一个点？
⋯⋯ 6 分
[ 解 ] | 3 2 4 1 |
因
2 ，
32
4 2
12
所以点 P( 2, 1 ) 是到直 3x 4 y 0 的距离 2 的一个点 . ⋯⋯ 10 分(4) 点 Q(1, 1) 是不是到直3x 4 y 0 的距离 2 的一个点？⋯⋯ 6 分
[解 ] 因|3 1 4 1| 7
，32 42
2
5
所以点 Q(1, 1) 不是到直 3x 4 y 0 的距离2的一个点. ⋯⋯ 10 分
(5) 点 P( 2, 1) 是不是到直5x 12y 0 的距离 2 的一个点？⋯⋯ 6 分
[解 ] 因 |5 2 12 1| 22 2 ，
5 2 12 2 13
所以点 P( 2, 1) 不是到直 5x 12 y 0 的距离2的一个点. ⋯⋯ 10 分
27 、( 14 分 ) 如，在直角坐系xOy 中，
y
C : x 2 y 2 1 (a b 0) 的左右两个焦点
a 2 b2
分 F1、F2 . 右焦点F2且与x 垂直的直l与
x
C 相交，其中一个交点M 2, 1 .
(1)求 C 的方程；
(2)C 的一个点B( 0, b ) ，直 BF2交 C 于另一点 N ，求△ F1 BN 的面.
y
[ 解 ] (1) [ 解法一 ] l x ，F2的坐 2, 0 .⋯⋯2分
2 1
1, 得 a 2
4,
由意可知 a 2 b2 2 x
a 2
b 2 2, b 2.
所求方程x2 y 2
1 . ⋯⋯ 6 分4 2
[ 解法二 ] 由定可知
MF1 MF 2 2a . 由意MF 2 1 ，MF1 2a 1. ⋯⋯ 2 分
又由 Rt △ MF1 F2可知(2a 1) 2 2 2 2
0 ，
1， a
a 2 ，又 a 2 b2 2 ，得 b2 2 . C 的方程x2
y2 1 .⋯⋯6分4 2
(2)直BF2的方程y x 2 . ⋯⋯ 8 分
13
y x 2, 2
x 2
y 2
⋯⋯ 10 分
由
1, 得点 N 的 坐 .
4 2 3
又 F 1 F 2
1
2
2 2 2
8 ⋯⋯ 14 分
2 2 ，S F BN
.
1
2
3
3
我 把由半
x 2 y 2 1
y 2 x 2
1 ( x ≤ 0) 合成 28（本 分
a 2
b 2 ( x ≥ 0) 与半
2 c 2
18 分）
b
的曲 称作“果 ”，其中
a 2
b 2
c 2 ， a 0 ， b
c 0．
如 ，点 F 0 ， F 1 ， F 2 是相 的焦点，
A 1 ， A 2 和
B 1 ， B 2 分 是“果 ”与
x ， y 的交点．
（1）若 △ F 0 F 1F 2 是
y
1 的等 三角形，求
B 2
“果 ”的方程；
.F
2
b
的取 范 ；
（2）当 A 1 A 2 B 1 B 2
.
，求 a
O
.
x
（3） 接“果 ”上任意两点的 段称 “果 ”
A 1
F 0
A 2
F 1
k ，使斜率 k 的“果 ”
的弦． 研究：是否存在 数
B 1
平行弦的中点 迹 是落在某个 上？若存在，求出所有可能的 k ；若不存在， 明理由．
解：（ 1）
F 0 ( c ，0) ， F 1
0， b 2 c 2 ， F 2 0， b 2 c 2 ，
F 0 F 2
b 2
c 2 c 2 b 1， F 1 F 2
2 b 2
c 2
1 ，
于 是 c
3
， a
b
c
7 ， 所 求 “ 果” 方 程 4 x
y 1 ( x ≥ 0) ，
2
2
2
2
2
2
4
4
7
2
4 2
1 ( x ≤ 0) ．
y
3 x
（2）由 意，得
a c 2
b ，即 a 2
b 2 2b a ．
( 2b)
2
b
2
c
2
a 2
，
a 2
b
2
(2b a) 2
，得
b 4
．
a
5
又 b 2
c
2 a 2
b 2 ,
b 2 1 ．
b
2 4 ．
a 2
2
a
2 ，
5
2
2
2
2
x
y
y
x
（ 3） “果 ” C 的方程 a 2 b 2
1 ( x ≥ 0) ，
b 2
c 2
1 ( x ≤ 0) ．
平行弦的斜率 k ．
当 k
0 ，直 y
t ( b ≤ t ≤ b ) 与半
x 2
y 2 1 ( x ≥ 0) 的交点是
a 2
b 2
P
a 1
t 2
， ，与半 y
2
x 2
1 ( x ≤ 0) 的交点是 Q
c
1
t 2
， ．
b 2
t
2
2
2
t
b
c
b
x a c
t 2 ,
x 2
y 2
P ， Q 的中点 M ( x ，y ) 足 g 1 2 得
1
．
2 b
a c
2
b 2
y
，
t
2
2
a c 2
b a
c 2b
a 2
b ，
a c
b 2
0 ．
2
2 g 2
上所述，当 k
0 ，“果 ”平行弦的中点 迹 是落在某个 上．
当 k
0 ， 以 k 斜 率B 1
的 直 l 与 半
x
2 y 2
2
2 1 ( x ≥ 0) 的 交 点 是
a
b
2ka 2b
k 2a 2
b b 3
2 a 2
b 2 ， 2
a 2
2
．
k
k b
由此，在直 l 右 ，以 k 斜率的平行弦的中点 迹在直
y
b 2 x 上，即不在某一
ka 2
上．
当 k
0 ，可 似 得到平行弦中点 迹不都在某一 上．
29 在平面直角坐 系 xOy 中，A 、B 分 直 x y
2 与 x 、 y 的交点， C AB 的中点 . 若
抛物 y 2
2 px ( p 0) 点 C ，求焦点 F 到直 AB 的距离 .
[ 解 ] 由已知可得
A( 2, 0), B(0, 2), C (1, 1) ，
⋯⋯ 3 分
解得抛物 方程
y
2
x . ⋯ 6 分 于是焦点
F
1
, 0 .
⋯⋯ 9 分
4
1 0 2
4 2
点 F 到直 AB 的距离
7
⋯⋯ 12 分
2
.
8
30 、( 本 分 18 分 )
已知 z 是 系数方程
x 2 2bx c 0 的虚根， 它在直角坐 平面上
的 点 P z ( Re z, Im z ) .
（ 1）若 ( b, c ) 在直 2x
y 0 上，求 ： P z 在 C 1 ： (x 1)2 y 2 1上；
（ 2） 定 C ： ( x
m) 2
y 2 r 2 （ m 、r
R ， r 0 ）， 存在唯一的 段 s 足：①若 P z
在 C 上，( b, c )在段s上；② 若( b, c )是段s上一点（非端点），P z在C上. 写出段 s 的表达式，并明理由；
（ 3）由（ 2）知段s与C之确定了一种关系，通种关系的研究，填写表一（表中 s1是（1）中 C1的段）.
[ 明 ]（ 1）由意可得2b c 0 ，解方程x2 2bx 2b 0 ，得z b 2b b2 i ，2 分点 P z b, 2b b2 或 P z b, 2b b2 ，
将点 P z代入 C1的方程，等号成立，P z在 C1： (x 1)2 y2 1 上.⋯⋯ 4 分（ 2） [ 解法一 ] 当0 ，即b2 c ，解得z b c b2 i ，
点 P z b, c b2 或 P z b, c b2 ，
由意可得 ( b m) 2 c b2 r 2 ，整理后得 c 2mb r 2 m2，⋯⋯ 6 分Q 4 b2 c 0 ， (b m)2 c b2 r 2， b ( m r , m r ) .
段 s ： c 2mb r 2 m2， b [ m r, m r ] .
若 ( b, c ) 是段 s 上一点（非端点），系数方程
x2 2bx 2mb r 2 m2 0, b ( m r , m r ) .
此
0 ，且点P z b, r 2 (b m)2 、 P z b, r 2 (b m)2 在 C 上.⋯⋯10 分[ 解法二 ]z x yi 是原方程的虚根，( x yi) 2 2b( x yi) c 0 ，
解得x b,
①
由意可得， ( x m)2 y2 r 2 . ③2bx c, ②
y2 x2
解①、②、③ 得 c 2mb r 2 m2 . ⋯⋯ 6 分以下同解法一 .
[ 解 ]（ 3）表一
段 s 与段 s1的关系m、 r 的取或表达式得分s
所在直平行于s1所在直m 1 ， r 1 12 分
16 s
所在直线平分线段 s1 r 2 ( m 1)2 1 ， m 1 15 分
线段 s 与线段 s1长度相等 1 4m2 r 2 5 18 分。