1.1 向量函数

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引
言
曲线与曲面的微分几何包括两个方面，其中一方面是随 微积分的出现而开始的，这部分可以称为经典的微分几何 经典的微分几何， 经典的微分几何 粗略地说,经典微分几何是研究曲线与曲面的局部性质的，即 仅取决于曲线与曲面在一点邻近的行为的哪些性质。 另一方面是整体微分几何，这部分研究局部性质对整个 曲线和曲面的行为的影响。 经典微分几何最有趣和最有代表性的部分是曲面的研究， 然而在研究曲面时，自然会出现曲线的某些局部性质，因此 我们将在第一章先介绍曲线以及曲线的性质，再在第二章研 究曲面。 研究方法：向量分析，张量分析，活动标架法。
r λ a = {λ x1 , λ y1 , λ z1}
r r r = ( x1 + x2 )i + ( y1 + y2 ) j + ( z1 + z2 )k ;
r r r = ( x1 − x2 )i + ( y1 − y2 ) j + ( z1 − z2 )k ;
r r r = (λ x1 )i + (λ y1 ) j + (λ z1 )k .
i r r a × b = x1 x2
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j y1 y2
k z1 z2
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五、向量的混合积与二重向量积
r r r 1、混合积：( a × b ) ⋅ c = x2 x3
x1
y1 y2 y3
z1 z2 z3
r rr r r r r rr r r r 记号： 记号： (abc ) = (a × b ) ⋅ c 或 [abc ] = (a × b ) ⋅ c
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二、向量的线性运算
向量的加减法、 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
r a = {x1 , y1 , z1},
r r a + b = {x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 }
r b = {x2 , y2 , z2 },
r r a − b = {x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 }
b
θ
︳ a
b︳
a
r r r r 反交换律） （1） a × b = −b × a （反交换律）; r r r r r r r （2） a × (b + c ) = a × b + a × c （分配律） 分配律） 。
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2． 向量积的坐标表达式 ．
r r r r 设 a = {x1 , y1 , z1}, b = {x2 , y2 , z2 }, 则 a, b
的向量积的坐标表达式
r r a × b = {x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1}
r r 表示成一个三阶行列式, a × b , 表示成一个三阶行列式
为了便于记忆,可将 为了便于记忆,
计算时,只需将其按第一行展开即可， 计算时 只需将其按第一行展开即可，即 只需将其按第一行展开即可
关于数量积的说明： 关于数量积的说明：
r r r 2 (1) a ⋅ a =| a | . r r r r ( 2) a ⋅ b = 0 ⇐⇒ a⊥b .
r r r r (a ≠ 0, b ≠ 0)
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数量积符合下列运算规律： 数量积符合下列运算规律：
r r r r 交换律： （1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a; r r r r r r r 分配律： （2）分配律： a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c ; (
的数量积的坐标表达式
r r a ⋅ b = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
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四、向量的向量积
1． 向量积的定义
r r 定义2 两个向量 a 和 b 的叉积 也称为向量积） 定义2 （也称为向量积） r r 是一个向量, 并由下述规则确定： 是一个向量,记作 a × b ,并由下述规则确定： r r r r r r （1） a × b = a b sin(a, b ) r r 的方向规定为: （2） a × b 的方向规定为: r r r 注： a × b 既垂直于 a 又垂 r r r r r 直于 b ,并且按顺序 a, b , a × b 符
1 1 1 2 2 2
x1 充要条件是 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 = 0 z3
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三、向量的数量积
r r r r 定义 向量a 与b 的数量积记为a ⋅ b 数量积记 r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ r b r θ r r (其中θ 为 a 与 b 的夹角 其中 a
第一章 曲线论
内 容 提 要
1、向量函数 、 向量函数的极限、连续、微商、 向量函数的极限、连续、微商、积分 2、曲线的概念 、
曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。 曲线、光滑曲线、曲线的切线和法面、自然参数。
3、空间曲线 、
3、1 空间曲线的密切平面 、 3、2 空间曲线的基本三棱形 、 3、3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式 、 空间曲线的曲率、 3、4 空间曲线在一点邻近的结构 、 3、5 空间曲线的基本定理 、 3、6 一般螺线 、
t → t0
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r r λ 如果 r (t ) 和 s (t ) 是两个一元函数， (t ) 是一个实函数，并且 r r r r 当 t → t0 时，有 r (t ) → a , s (t ) → b , λ (t ) → m 则有
（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。
r r 1、定义 设 r (t )是所给的一元函数，a 是常向量，如果对任给 、 的 ε > 0 ，都存在数 δ > 0 ，使得当 0 < t − t0 < δ 时,有 r r r r (t ) − a < ε 成立，则说当 t → t0 时，向量函数 r (t ) 趋向于极 r r r 限 a ，记作 lim r ( t ) = a
M2 ⋅
r a
⋅M
1
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r或 M 1 M 2 以 M 1 为起点， M 2 为终点的有向线段 为起点， 为终点的有向线段. a r 向量的模： 向量的大小. 向量的模： 向量的大小.| a | 或 | M 1 M 2 |
r r r或 e 单位向量： 单位向量： 模为1的向量. 模为1的向量. ea M
r r r r r r r r r 2、二重向量积： ( a × b ) × c = (a ⋅ c ) ⋅ b − (b ⋅ c ) ⋅ a r r r r a ⋅c a ⋅d r r r r 3、Lagrange恒等式：a × b ) ⋅ ( c × d ) = r r r r ( b ⋅c b ⋅d
r 零向量： 零向量： 模为0的向量. 模为0的向量. 0
1M 2
定义. 如果两个向量的模相等且方向相， 定义. 如果两个向量的模相等且方向相，那么 r r 叫做相等向量.记为 a = b 叫做相等向量. 相等向量
r a
＝
r b
所有的零向量都相等. 所有的零向量都相等. 定义. 两个模相等， 定义. 两个模相等，方向相反的向量叫做互为 反向量. 反向量.
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相关定理
r 定理1. 定理 已知两个非零向量 a = {x1 , y1 , z1}, r r r x y z = = b = {x2 , y2 , z2 }, 则 a, b 共线的充要条件是 x y z r 定理2. 定理 已知三个非零向量 a = {x1 , y1 , z1}, r r r r r b = {x2 , y2 , z2 }, c = {x3 , y3 , z3 } ，则 a, b, c 共面的
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向量代数复习
一、向量的概念
定义. 既有大小又有方向的量叫做向量 向量， 定义 既有大小又有方向的量叫做向量，或称 矢量. 矢量 两类量: 数量(标量 可用一个数值来描述的量; 标量):可用一个数值来描述的量 两类量 数量 标量 可用一个数值来描述的量 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 向量(矢量)既有大小又有方向的量. 有向线段 向量的几何表示： 向量的几何表示： 有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的长度表示向量的大小 向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向. 有向线段的方向表示向量的方向 向量的方向
合右手螺旋法则. 合右手螺旋法则.
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r r 的起点放在一起, 若把 a , b 的起点放在一起 , r r 为邻边作平行四边形, 并以 a , b 为邻边作平行四边形 , r r 则向量 a 与 b 叉积的模 r r r r a × b = a b sin θ
即为该平行四边形的面积. 即为该平行四边形的面积. 向量积的运算规律 积的运算规律： 向量积的运算规律：
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关于混合积的说明： 关于混合积的说明： （1）向量混合积的几何意义： ）向量混合积的几何意义：
r r r 向量的混合积 (a × b ) ⋅ c
是这样的一个数， 是这样的一个数，它的 r 绝对值表示以向量 a 、 r r b 、 c 为棱的平行六面体 的体积. 的体积
为数： （3）若 λ 为数：
r r r r r r ( λa ) ⋅ b = a ⋅ ( λb ) = λ ( a ⋅ b ), r r r r 为数： 若 λ 、µ为数： ( λa ) ⋅ ( µb ) = λµ ( a ⋅ b ).
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r r r r 设 a = {x1 , y1 , z1}, b = {x2 , y2 , z2 }, 则 a, b
cyclical factor
r rr r r r （3）三向量 a 、 b 、 c 共面 ⇐⇒ (abc ) = 0. ）
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六、运算规律、几个充要条件 运算规律、
r r a = {x1 , y1 , z1}, b = {x2 , y2 , z2 }
r r r r 1、 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0
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r r a的反矢量记为 − a
AB与BA互为反矢量 . 互为反矢量
r −a
r a
定义. 平行于同一直线的一组向量叫做共线向 定义. 平行于同一直线的一组向量叫做共线向 量. 零向量与任何共线的向量组共线. 零向量与任何共线的向量组共线. 定义.平行于同一平面的一组向量叫做共面向 定义.平行于同一平面的一组向量叫做共面向 量. 零向量与任何共面的向量组共面. 零向量与任何共面的向量组共面.
r r r a ×b c
r a
r b
利用向量混合积的几何意义， （2）利用向量混合积的几何意义，我们可以 得到一个十分有用的结论： 得到一个十分有用的结论： r r r r r r r r r ( a × b ) ⋅ c = (b × c ) ⋅ a = ( c × a ) ⋅ b .
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x1 y1 z1 r r r r r = = 2、 a // b ⇔ a × b = 0 ⇔ x2 y2 z2
r r r r rr r r r 3、 a , b , c 共面 ⇔ (abc ) = (a × b ) ⋅ c = 0
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第一节 向量函数
向量函数的概念：给出一点集G ，如果对于G 中的每一个 r 点 x ，有一 个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向 r r 量函数，记作 r = r ( x), x ∈ G, 例如 r r 设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r = r (t ). 是实数轴上一区间 r r 是一平面域， 设G是一平面域， (u , v) ∈ G，则得二元向量函数 r = r (u , v). 是一平面域 r r 是空间一区域， 设G是空间一区域， x, y, z ) ∈ G ，得三元向量函数 r = r ( x, y , z ) 是空间一区域 ( 1、1 向量函数的极限 、