第一章 三角形的证明检测题
2022春八年级数学下册第1章三角形的证明达标检测新版北师大版(含答案)
八年级数学下册新版北师大版：第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40° B．50° C．60° D．70°2．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )A．4，5，6 B．2，3，4 C．11，12，13 D．8，15，173．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等 D．若a＝b，则|a|＝|b|4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“H L”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )A．AC＝AD B．AC＝BC C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BD AD的值为( )A.12B.25C.13D.146．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A．2.5 B．1.5 C．2 D．17．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )A．△ABC三条角平分线的交点处 B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条高的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 ( )A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD 等于( )A．10 B．12 C．24 D．4810．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是( )A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空题(每题3分，共24分)11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中____________________．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是______________________．12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分∠BAC，点E是AC的中点，则DE的长为________．13．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC于F，则图中全等的直角三角形有________对．14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．16．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________．17. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．18. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为________．三、解答题(23题10分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)19．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；(2)求△ABE的周长．20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．21．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.22．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．24．如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.(1)求点B的坐标．(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．答案一、1.D 2.D3．C 点拨：A 项的逆命题：若a ＋b ＞0，则a ＞0，b ＞0，是假命题；B 项的逆命题：相等的角是直角，是假命题；C 项的逆命题：同位角相等，两直线平行，是真命题；D 项的逆命题：若|a |＝|b |，则a ＝b ，是假命题．故选C. 4．A 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A10．A 点拨：由题意得BD ＝CD ，DE ＝DF ，∠DFB ＝∠DEC ＝90°，∴Rt △CDE ≌Rt △BDF ，∴①正确；易知AE ＝AF ，BF ＝CE ，∴CA －AB ＝AE ＋CE －(BF －AF )＝AE ＋AF ＝2AE ，∴②正确；∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠DCB ，∠FAE ＝∠ABC ＋∠ACB ，∠FBD ＝∠ECD ，∴∠BDC ＋∠FAE ＝180°－∠DBC －∠DCB ＋(∠FBD ＋∠DBC )＋(∠DCB －∠ECD )＝180°，∴③正确；由已知条件无法得到∠DAF ＋∠CBD ＝90°，∴④错误．故正确的结论有①②③，故选A.二、11.有两个角是直角；内错角相等，两直线平行 12．2 13.214．45° 点拨：如图，∵CE ⊥AB 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠AEC ＝90°，∠5＝∠6＝90°.∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠4. 在△ABD 和△CHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠5＝∠6，∠1＝∠4，AB ＝CH ，∴△ABD ≌△CHD (AAS)．∴AD ＝CD .∴△ADC 为等腰直角三角形．∴∠ACB ＝45°.(第14题)15．1516．4 点拨：如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，且PB＋PE ＝EC.因为点E是AB的中点，所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB ＋PE的最小值为4.(第16题)17．100°18．32 点拨：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°.∴∠OA1B1＝120°.∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝180°－120°－30°＝30°.∴OA1＝A1B1＝A2B1＝1.又∵∠A1B1A2＝60°，∴∠A2B1B2＝180°－60°－30°＝90°.∵△A2B2A3是等边三角形，∴∠B2A2A3＝60°.∴∠B1A2B2＝60°.∴∠B1B2A2＝90°－∠B1A2B2＝30°.∴A2B2＝2B1A2＝2.同理得出B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4.以此类推，A6B6＝32B1A2＝32.三、19.解：(1)作图如图所示．(第19题)(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC. ∵AB＝5，BC＝7，∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12.20．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)．∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°.∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°. 21．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.在△BEF和△CFD中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA )． ∴BF ＝CD .22．(1)证明：∵OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB .∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC ＝∠BDC ＝90°.∴∠BCE ＋∠ABC ＝∠DBC ＋∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．(2)解：点O 在∠BAC 的平分线上． 理由：在△EOB 和△DOC 中，OB ＝OC ，∠BEO ＝∠CDO ，∠EOB ＝∠DOC ， ∴△EOB ≌△DOC ， ∴OE ＝OD .又∵∠AEO ＝∠ADO ＝90°， ∴OE ⊥AE ，OD ⊥AD .∴点O 在∠BAC 的平分线上．23．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C . ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°. ∵D 是BC 边的中点， ∴BD ＝CD .在△BED 与△CFD 中， ∵∠DEB ＝∠DFC ， ∠B ＝∠C ，BD ＝CD ，∴△BED ≌△CFD (AAS )． (2)解：∵AB ＝AC ，∠A ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． ∴AB ＝BC ＝CA ，∠B ＝60°. 又∵DE ⊥AB ， ∴∠EDB ＝30°.∴在Rt △BED 中，BD ＝2BE ＝2. ∴BC ＝2BD ＝4.∴△ABC 的周长为AB ＋BC ＋AC ＝3BC ＝12. 24．证明：连接PA ，PB ，PC ，如图．(第24题)∵AD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，PG ⊥BC 于点G ，∴S △ABC ＝12×BC ×AD ，S △PAB ＝12×AB ×PE ，S △PAC ＝12×AC ×PF ，S △PBC ＝12×BC ×PG .∵S △ABC ＝S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC ，∴12×BC ×AD ＝12(AB ×PE ＋AC ×PF ＋BC ×PG )． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ，∴BC ×AD ＝BC ×(PE ＋PF ＋PG )， ∴AD ＝PE ＋PF ＋PG .25．解：(1)如图①，过点B 作BC ⊥x 轴于点C . ∵△AOB 为等边三角形，且OA ＝2， ∴∠AOB ＝60°，BO ＝OA ＝2. ∴∠BOC ＝30°. 又∵∠OCB ＝90°，∴BC ＝12OB ＝1，∴OC ＝ 3.∴点B 的坐标为(3，1)．(第25题)(2)∠ABQ 的大小始终不变．∵△APQ ，△AOB 均为等边三角形，∴AP ＝AQ ，AO ＝AB ，∠PAQ ＝∠OAB ＝60°.∴∠PAO ＝∠QAB .在△APO 与△AQB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ，∠PAO ＝∠QAB ，AO ＝AB ，∴△APO ≌△AQB (SAS )．∴∠ABQ ＝∠AOP ＝90°.(3)如图②，当OQ ∥AB 时点P 在x 轴的负半轴上，点Q 在点B 的下方，∵AB ∥OQ ，∴∠BQO ＝180°－∠ABQ ＝90°，∠BOQ ＝∠ABO ＝60°.∴∠OBQ ＝30°.又OB ＝OA ＝2，∴OQ ＝12OB ＝1，∴BQ ＝ 3.由(2)可知，△APO ≌△AQB ， ∴OP ＝BQ ＝ 3.∴此时点P 的坐标为(－3，0)．。
第一章八年级下三角形的证明测试题(1)
第一章测试题(1)班别：姓名：成绩：1．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝44°，则∠B＝度．2．等腰三角形的一个角为50°，则顶角是度．3．如图，AB＝AD，只需添加一个条件，就可以判定△ABC≌△ADE.4．已知等腰三角形两条边的长分别是3和6，则它的周长等于．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上的一点，且DA＝DB，DC＝AC．则∠B＝度．( 6．如图,△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,∠A＝30°,BD＝1.5cm，则AB= cm．7．在△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，AB＝6cm，则BC＝cm．8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，延长BC到D，使CD＝AC，则∠CDA＝度.9．已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．10．已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．求证：AD＝BE．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．(1)求AB的长；(2)求△ABC的面积；(3)求CD的长．第一章测试题(2)班别：姓名：成绩：1．已知：如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝．2．在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为．3．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC＝.4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝.5．在△ABC中，AB=AC，∠A＝58°，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC = .6．已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为7．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB ＝90°，直线l经过点C(点A、B都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB.8．如图，CA=CB，DA＝DB，EA＝EB．(1)C、D、E 三点在一条直线上吗?为什么?(2)如果AB＝24，AD＝13，CA＝20，那么CD的长是多少?9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B 点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试题(原题版 )
【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】第一章：三角形的证明一.选择题：（每小题3分共30分）1．等腰三角形两边长分别为4和9,则该三角形第三边的长为（ ）A ．4B ．9C ．4或9D ．大于5且小于132．如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,CD 是高,30A ∠=︒,若3BD a =,则AD 的长度为（ ）A ．6aB ．9aC ．12aD ．15a3．如图,在ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,若ABC 的周长为19cm ,ABD △的周长为13cm ,则AE 的长为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm4．如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,点D 是AB 的中点,ED AB ⊥于点D,交BC 于点E,连接AE ,若2DE =,则BC 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,AB 的垂直平分线交BC 于D,交AB 于E,若DB=10cm,则CD 的长为（ ）6．如图,点C 为∠AOB 的角平分线l 上一点,D,E 分别为OA,OB 边上的点,且CD ＝CE,作CF ⊥OA,垂足为F,若OF ＝5,则OD+OE 的长为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．157．如图,等腰三角形ABC 的底边BC 长为4,面积是18,腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC 、AB 边于点E 、F ．若点D 为BC 的中点,点M 为线段EF 上一动点,则CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．118．如图,ABC 中,AB BC =,点D 在AC 上,BD BC ⊥．设BDC α∠=,ABD β∠=,则下列关系式正确的是（ ）A ．3180αβ+=︒B ．2180αβ+=︒C ．3180αβ-=︒D ．290αβ-=︒9．如图,已知等边ABC 和等边ADE ,其中点A 、D 、B 在同一条直线上,连接BE 交AC 于点M ,连接DC 交AE 于点N ,BE 和DC 交于点P ,则下列结论中：（1）MN BD ∥；（2）60BPC ∠=︒；（3）DN DE =；（4）BAM CAN ≅△△．正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个侧作等边△ADE 和等边△ADF,分别和AB,AC 交于点G,H,连接GH ．若∠BOC=120°,AB=a,AC=b,AD=c ．则下列结论中正确的个数有（ ）①∠BAC=60°；②△AGH 是等边三角形；③AD 与GH 互相垂直平分；④()12ABC S a b c =+△． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二.填空题:（每小题3分共15分）11．在ABC 中,AB AC =,64BAC ∠=︒,BAC ∠的角平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,将C ∠沿EF 折叠,点C 与点O 恰好重合,则CFO ∠的度数为__________．12．如图,已知CD 是△ABC 的角平分线,DE ⊥BC,垂足为E,若AC ＝4,BC ＝10,△ABC 的面积是14,则DE ＝_____．13．如图,1230∠=∠=︒,A B ∠=∠,AE BE =,点D 在边AC 上,AE 与BD 相交于点O,则∠C 的度数为______．14．如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=16,AD 是BC 边上的中线且AD=6,F 是AD 上的动点,E 是AC 边上的动点,则CF+EF 的最小值等于______．15．如图,已知等腰△ABC,AB=AC,∠BAC=120°,AD ⊥BC 于点D,点P 是BA 延长线上一点,点O 是线段AD 上一点,OP=OC,下面结论：①∠ACO=15°；②∠APO+∠DCO=30°；③△OPC 是等边三角形；④AC=AO+AP ； 其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．三.解答题:(共55分)16．(5分)如图,在ABC 和ADE 中,AB AC =,AD AE =,90BAC DAE ∠=∠=︒．BD ,CE 相交于点F ．BD ,AC 相交于点M ．(1)求证：BD CE =；(2)求BFC ∠的度数．17．(8分)如图,在ABC 中,60ACB ∠=︒,点D 在AC 上,BC CD =,以AB 为边向左侧作等边三角形ABE ,连ED ．(1)求证：ABC EBD ≌△△； (2)过点B 作BF ED ⊥于点F ,2DF =,求BD 的长．18．(8分)点C 、D 都在线段AB 上,且AD ＝BC,AE ＝BF,∠A ＝∠B,CE 与DF 相交于点G ．(1)求证∠E ＝∠F ；(2)若CE ＝10,DG ＝4,求 EG 的长．19．(8分)在平面直角坐标系中,等腰直角△ABC 顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上,且∠ACB=90°,AC=BC ．(1)如图1,当A(0,−2),C(1,0),点B 在第四象限时,求点B 的坐标．(2)如图2,当点C 在x 轴正半轴上运动,点A(0,a)在y 轴正半轴上运动,点B(m,n)在第四象限时,作BD ⊥y 轴于点D,求a,m,n 之间的关系．20．(8分)如图,在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD 是BC 的中线,AE BF =．(1)求证：DE DF =(2)DEF 是什么形状的三角形？请说明理由．连接AD,作∠ADE ＝40°,DE 交线段AC 于E ．(1)当∠BDA ＝115°时,∠EDC ＝______,∠DEC ＝_____；(2)当DC 等于多少时,△ABD ≌△DCE,请说明理由；(3)在点D 的运动过程中,△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以,请直接写出∠BDA 的度数．若不可以,请说明理由．22．(9分)如图,在平面直角坐标系中,直线()140y x m m=-+>分别与x 轴,y 轴交于A,B 两点,把线段(1)当54m 时,求点C的坐标；(2)当m值发生变化时,△BOC的面积是否保持不变？若不变,计算其大小；若变化,请说明理由；(3)当S△AOB=2S△BOC时,在x轴上找一点P,使得△PAB是等腰三角形,求满足条件的所有P点的坐标．。
第一章三角形的证明随堂练习2022-2023学年八年级数学下册北师大版
第一章三角形的证明随堂练习一、单选题1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE ＝4，EC＝2，则BC的长是（）A．2B．4C．6D．82．△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5 3．如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE=1cm，BC=4cm，则△BEC 的面积是（）A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm24．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；①分别以B，C为圆心，以大于12①作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC=4，AB=10，则△ACD的周长为（）5．如图，DE，DF分别是线段AB，BC的垂直平分线，连接DA，DC，则（）A．①A＝①C B．①B＝①ADCC．DA＝DC D．DE＝DF6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，MN的长为半径画弧，两弧交于点P，AB于点M，N，再分别以点M，N，为圆心，大于12作射线AP交边BC于点D，点E在AB上．若AC=6，CD=2，AB=7，当DE最小时，△BDE 的面积是（）A．2B．1C．6D．77．如图，已知①ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF ＝DE，则①E＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°8．如图，已知∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP相交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．现有四个结论：①CP平分∠ACF；①∠BPC=12∠BAC；①∠APC=90°−12∠ABC；①S△APM+S△CPN>S△APC．其中结论正确的是（）．（填写结论的编号）A．①①①B．①①C．①①①D．①①①9．如图，在①ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是①BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．4.8B．9.6C．8D．610．如图，Rt①ACB中，①ACB=90°，①ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF①AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①①APB=135°；①AD=PF+PH；①DH平分①CDE；①S四边形ABDE=74S△ABP；①S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（）个A．2B．3C．4D．5二、填空题11．如图，在等边△ABC中，点E是边AC上一点，AD为BC边上的中线，AD、BE相交于点F，若△AEB＝100°，则△AFB的度数为_____．12．如图，平面内不共线三点A，B，C，操作如下：步骤1：连接BC，以点B为圆心，以CB的长为半径画弧；步骤2：连接AC，以点A为圆心，以AC的长为半径画弧，两弧相交于点D；步骤3：连接CD，且过A，B作直线则A，B一定在线段CD的垂直平分线上，依据是____________．13．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰①ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．14．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=_____．15．如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A′B′C′，当点A的对应点A′落在边AB上时，点C′在BA的延长线上，连接BB′，若AA′=1，则△BB′D的面积是____________．三、解答题16．如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线相交于点P．（1）求证PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．(1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点P，使PA=PB（保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)连接AP，若∠ABC=30°，BC=6，求AP的长度．18．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连结OA，OB，OC，若△ADE的周长为8cm，△OBC的周长为20cm．（1）求线段BC的长；19．如图，已知①ABC，①A＝100°，①C＝30°，请用尺规作图法在AC上求作一点D，使得①ABD＝25°．（保留作图痕迹，不写作法）20．在△ABC中，AB=AC，过点C作射线CB′，使∠ACB′=∠ACB（点B′与点B在直线AC的异侧），点D是射线CB′上一个动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如图1，当点E与点C重合时，AD与CB′的位置关系是______，若BC=a，则CD的长为______；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时．连接DE．①直接写出∠BAC与∠DAE之间的数量关系为__________；①用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．21．如图1，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD与CE相交于点O．(1)求证：OA=2DO；(2)如图2，若点G是线段AD上一点，CG平分∠BCE，∠BGF=60°，GF交CE所在直线于点F．求证：GB=GF．(3)如图3，若点G是线段OA上一点（不与点O重合），连接BG，在BG下方作∠BGF=60°，边GF交CE所在直线于点F．猜想：OG,OF,OA三条线段之间的数量关系，并证明．参考答案：1．C2．C3．B4．D5．C6．B7．A8．C9．B10．B11．130度12．线段的垂直平分线的性质定理的逆定理13．614．45°15．3√3416．（1）①点P是AB的垂直平分线上的点，①PA=PB．同理PB=PC．①PA=PB=PC．（2）①P A=PC，①点P在边AC的垂直平分线上（和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．①这个点与三顶点距离相等．点P也在边AC的垂直平分线上，由此可以得出，三角形三条边的垂直平分线相交于一点．17．（1）解：根据题意作图如下，①MN⊥AB，且AD=BD，①PA=PB，即点P为所求点的位置．（2）解：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，①∠BAC=60°，①PA=PB，①∠B=∠DAP=30°，①∠CAP=∠CAB−∠DAP=60°−30°=30°，已知BC=6，①设PA=PB=x，则CP=CB−PB=6−x，在Rt△ACP中，AP=2CP，即x=2(6−x)，解方程得，x=4，①AP=4．18．（1）BC=8cm；（2）OA=6cm19．解：①①A＝100°，①C＝30°，①①B＝50°，若使得①ABD＝25°，则作①B的角平分线即可．作图如下：a20．(1)互相垂直；12(2)①∠BAC=2∠DAE；②BE=CD+DE 21．（1）证明：①△ABC为等边三角形，①AB=BC=AC，∠BAC=∠ACB=60°，①AD⊥BC，CE⊥AB，①AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，①∠OAC=∠OAB=∠OCA=∠OCB=30°，①OA=OC，在Rt△OCD中，∠ODC=90°，∠OCD=30°，①OC=2OD，①OA=2OD；（2）证明：①AB=AC=BC，AD⊥BC，①BD=CD，①BG=CG，①CG平分∠BCE，①∠FCG=∠BCG=12∠BCF=15°，①∠BGC=180°−2×15°=150°，①∠BGF=60°，①∠FGC=360°−∠BGC−∠BGF=150°，①∠BGC=∠FGC，在△CGB和△CGF中，{∠GCB=∠GCFCG=CG∠BGC=∠FGC，①△CGB≌△CGF(ASA)，①GB=GF；（3）解：OF=OG+OA．理由如下：连接OB，在OF上截取OM=OG，连接GM，①CA=CB，CE⊥AB，①AE=BE，①OA=OB，①∠OAB=∠OBA=30°，①∠AOB=120°，∠AOM=∠BOM=60°，①OM=OG，①△OMG是等边三角形，①GM=GO=OM，∠MGO=∠OMG=60°，①∠GMF=120°，∠GMF=∠GOB，①∠BGF=60°，①∠BGF=∠MGO，在△GMF和△GOB中，{∠MGF=∠OGBGM=GO∠GMF=∠GOB，①△GMF≌△GOB(ASA)，①MF=OB，①MF=OA，①OF=OM+MF，①OF=OG+OA．。
第一章 三角形的证明检测
第一章 三角形的证明检测（时间100分钟，满分120分）一、填空题（每小题3分，本大题共30分）1、如图1，点D,E,C,F 在同一条直线上，AB ∥DE ，BE=CF ，请添加一个条件 就能利用”SAS ”证明△ABC ≌△DEF.2、如图2，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D,∠A=40°，则∠DBC 等于 度。
3、如图3，∠A+∠B=90°，且∠B=2∠A ，CA= 32，则AC= .4、如图4，AB ∥DC ，∠ADC 和∠BCD 的平分线交点E 在AB 上。
若AD=3，BC=2,则AB=5、要在如图5的三角形地块上要种植花草，每平方米费用为50元，种植图中三角形地块需费用 元6、“角平分线上的点到角的两边距离相等”的逆命题是，它是 命题（填“真”或“假”）。
7、如图7，在Rt △ABC 中，∠B=90°，沿AD 折叠点B 落在AC 上，AB=3，BC=4，则BD 等于 。
8、如图8，△ABC 中，∠B=90°，DE 垂直平分AC ，∠BAE=10°，则∠C= 度。
9、如图9，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于E ，BC=10cm ，则△DEC 的周长 等于 cm.10、如图10，在房间内有两个梯子MC 和NC 斜靠在墙上，MA=3米，NB=2米，∠MCA=75°，∠NCB=45°，则房间宽AB 等于 米。
二、选择题（每小题3分，本大题共30分）11、如图11，△ABC 中，AB=c ，∠A:∠B:∠C=1:2:3;CD ⊥AB 于点D ，则DB 等于（ ）4c 、A 3c 、B 2c 、C 43c D 、12、如图12，△ABC 中，∠A=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC ，则图中等腰三角形个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、313、在等腰△ABC 中，AB=AC,中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长等于（ ）A 、7B 、11C 、7或11D 、7或1014、等腰三角形一条边长为3，另一条边长为7，那么这个三角形的周长为（ ） A 、13 B 、17 C 、13或17 D 、1015、以下列选项中的三个数为边长可以构成直角三角形的是（ ） A 、3，5,6 B 、1,1,2 C 、1.5,2,2.5 D 、5,5,716、如图16，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论①AB=AD,②AB=BC ,③AC 平分∠BCD ,④△BEC ≌△DEA 成立的个数（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、417、已知等腰△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且BC=2AD ，则△ABC 的底角度数为（ ） A 、45 B 、75 C 、60 D 、45或7518、如图18，等边△ABC 边长为1，P 在AB 上，PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上点，PA=CQ ，PQ 交AC 于D ，则DE 长为（ ）31、A 21、B 32、C 、无法确定D19、如图19，△ABC 中，MN 垂直平分AC 垂足为M ，△ABN 周长为8，AM=2，则△ABC 周长等于（ ）A 、10B 、12C 、10或12D 、1620、如图20，正方形ABCD 边长为8，沿MN 折叠点D 恰好落在BC 边的中点E 处，A 落在F 处，则线段CN 长等于（ ） A 、3 B 、4 C 、5 D 、6三、计算题（6分） 21、如图21，P 是∠AOB 的平分线上的点，PC ∥OA ，交OB 于C ， ∠AOB=60°，OC=4，求点P 到OA 的距离PD 长。
北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明 综合测试卷(含答案)
第一章三角形的证明综合测试卷一、选择题。
01如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35º，则∠C的度数为 ( )A．35º B．45º C．55º D．60º02若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm03如图，在△ABC中，∠ACB=90º，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30º，AE=6 cm，那么CE等于 ( )A ．3 cmB ．2 cm C．3 cm D．4 cm04如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠A=50º，则∠ACB的度数为 ( )A．90º B．95º C 100º D．105º05如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=4，AC=6，则△ACD 的面积为 ( )A．8 B 10 C．12 D．2406如图，∠A=50º，P是等腰△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为 ( )A．100º B．140º C．130º D．115º07如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60º，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB，AC 于D，E两点，若BD=2，则AC的长是 ( )A．4 B．43 C．8 D．8308 将一个有45º角的直角三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30º角，如图，则三角尺的最长边的长为 ( )A．6 cm B．2 cm C．2 cm D．209如图，∠ACB=90º，AC=BC，AE⊥CE，垂足为点E，BD⊥CE，交CE的延长线于点D，AE=5 cm，BD=2 cm，则DE的长是( )A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm10如图，AD⊥BC于D，且DB=DC，有下列结论：①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C；③AD 是∠BAC的平分线；④△ABC为等边三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11如图，∠A=15º，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )A．90º B．75º C．70º D．60º12如图，在△ABC中，BC=10，DH，EF分别为AB、AC的垂直平分线，则△ADE的周长是 ( )A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题。
第一章 三角形的证明检测题3。7
第一章 三角形的证明检测题（3。
7）一、选择题（每小题3分，共30分）请将正确答案的番号填在括号内.1、在△ABC 和△DEF 中，已知AC=DF ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要的条件是（ ）A 、∠A=∠D B 、∠C=∠F C 、∠B=∠E D 、∠C=∠D2、△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm3、如图，已知AB=AC ，BE=CE ，D 是AE 上的一点，则下列结论不一定成立的是（ ）A 、∠1=∠2B 、AD=DEC 、BD=CD D 、∠BDE=∠CDE 4、如图，已知AC 和BD 相交于O 点，AD ∥BC ，AD=BC ，过O 任作一条直线分别交AD 、BC 于点E 、F ，则下列结论：①OA=OC ②OE=OF ③AE=CF ④OB=OD ，其中成立的个数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、若等腰三角形的周长是18，一条边的长是5，则其他两边的长是（ ）A 、5，8B 、6.5，6.5C 、5，8或6.5，6.5D 、8，6.5 6、等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ）7、如图，AC=AD BC=BD ，则下列结果正确的是（ ）A 、∠ABC=∠CAB B 、OA=OBC 、∠ACD=∠BDCD 、AB ⊥CD8、如图，△ABC 中，∠A=30°，∠C=90°AB 的垂直平分线交AC 于D 点，交AB 于E 点，则下列结论错误的是（ ） A 、AD=DB B 、DE=DC C 、BC=AE D 、AD=BC9、等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4 cm ，则AD 等于（ ）A.8 cm B.7 cm C.6 cm D.4 cm10、如上图，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8，BE =3，那么AC 长为（ ）A.8 B.5C.3D.34二、填空题，（每题3分，共21分）11、如图，AD=BC ，AC=BD AC 与BD 相交于O 点，则图中全等三角形共有 对. 12、如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，AC=DF ，若根据 “ASA ”说明△ABC ≌△DEF ，则应添加条件 = . 或 ∥ .13、一个等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm ，那么，该三角形的面积等于 .14、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°，则这个三角形的顶角等于 .15、命题“如果三角形的一个内角是钝角，则其余两个内角一定是锐角”的逆命题是 .16、在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=8cm ， BC 的垂直平分线DE 交AB 于D ，则CD= .17、如图的(1)中，ABCD 是一张正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在（2）中EF 上，折痕交AE 于点G ，那么∠ADG= .三、解答题（49分）18、如图,一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米,若将绳子拉直, 则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米.求旗杆的高度.（6分）19、已知：如图，AB ∥CD ，F 是AC 的中点，求证：F 是DE 中点.（6分）20．已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.（6分）21．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB . （6分）22．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C. （6分）23、已知：如图，AB=AD ， CB=CD ，E ，F 分别是AB ，AD 的中点.求证：CE=CF .（7分）24、如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.求证：（1）AD ⊥EF ；（6分）（2）当有一点G 从点D 向A 运动时，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，此时上面结论是否成立？（6分）。
新北师大版八下第一章三角形的证明同步测试题
新北师大版八下第一章三角形的证明同步测试题一、单选题1、如图所示，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°2、如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD=OP，则△AOD与△AOP全等的理由是（）A． SSS B． ASA C． SSA D． HL3、在如图中，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，则下列结论中不正确的是（）A．△ABE≌△ACF B．点D在∠BAC的平分线上 C．△BDF≌△CDE D．点D是BE的中点4、下列各语句中，不是真命题的是( ) A．直角都相等 B．等角的补角相等 C．点P在角的平分线上 D．对顶角相等5.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，BC交AD于O．给出下列结论：①BC平分∠ABD；②△ABO≌△CDO；③∠AOC=120°；④△BOD是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．①③ B．②④ C．①② D．③④6、等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（）A．70°，70°B．40°，100°C．70°，40°D．70°，70°或40°，100°7、下列说法中，错误的是（）A．三角形任意两个角的平分线的交点在三角形的内部B．任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等 C．三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等 D．三角形两个角的平分线的交点在第三个角的平分线上8、如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB��OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP9、如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：（1）作∠A的角平分线交BC于D点．（2）作AD的中垂线交AC于E点．（3）连接DE．根据他画的图形，判断下列关系何者正确？（）A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD=DE D．CD=BD10、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm .则腰长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．以上答案都不对11、等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（）A．40° B．100° C．70° D．40°或70°12、下列命题中真命题是（）A．如果两个直角三角形的两条边相等，那么这两个直角三角形全等 B．如果两个直角三角形的一条边和一个锐角对应相等，那么这两个直角三角形全等 C．如果两个直角三角形的两个角对应相等，那么这两个直角三角形全等D．如果两个直角三角形的一条直角边和斜边对应相等，那么这两个直角三角形全等二、填空题(注释)13、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD．如果AD=1，那么tan∠BCD= ．14、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB＝________．15、如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则△ABD≌△ACD的依据是________，AD与BC的位置关系是________．16、由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案________全等图形，而由同一张底片冲洗出来的五寸照片和七寸照片________全等图形（填“是”或“不是”）．17、如下图，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=______．18、如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，且BC=8cm，BD=5cm，则DE= ______cm．19、等腰三角形的两边长分别为3厘米和6厘米，这个三角形的周长为_________．20、已知Rt△ABC是轴对称图形，且∠C＝90°，那么∠B＝_____度，∠A＝______度；点A的对应点是______，点C的对应点是_______．三、解答题21、如图，△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，BD＝CF，BE＝CD，AB＝AC，DG⊥EF于点G．求证：EG＝FG．22、已知:如下图，AB=AC，BD⊥AC，请探索∠DBC与∠A的关系并说明理由．23、如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若∠D＝50°，求∠B的度数．24、如图，已知△ABC中，D在BC上，AB=AD=DC，∠C=20°，求∠BAD。
2022-2023学年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明测试卷含答案
北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》测试卷（含答案）一、选择题（共10小题，3*10=30）1．用反证法证明命题“在三角形中，至多有一个内角是直角”时，应先假设( ) A ．至少有一个内角是直角 B ．至少有两个内角是直角 C ．至多有一个内角是直角 D ．至多有两个内角是直角2．如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A ．25°B ．65°C ．70°D ．75°3．在△ABC 中，已知∠A ＝∠B ＝45°，BC ＝2，则AB 的长为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．44．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为( )A ．7B ．11C ．7或11D ．7或105．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝1，BC ＝2，则四边形ABCD 的面积是( )A.332B ．3C ．2 3D ．46. 如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE.若AC ＝5，BC ＝3，则BD 的长为( )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．17． 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB ，且AD 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，则下列说法错误的是( )A．∠CAD＝30° B．AD＝BDC．BE＝2CD D．CD＝ED8．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．如图，∠EOF的顶点O是边长为2的等边△ABC的重心，∠EOF的两边与△ABC的边交于E，F，∠EOF＝120°，则∠EOF与△ABC的边所围成阴影部分的面积是()A.32 B.25 3 C.33 D.34二．填空题（共8小题，3*8=24）11．命题“两条直线相交只有一个交点”的逆命题是____________________________________，它是________________命题．12. 如图，将长为8 cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到D点，则橡皮筋被拉长了________．13． 如图，AB ∥CD ，O 为∠BAC ，∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于点E ，且OE ＝1，则AB 与CD 之间的距离等于_______．14．如图，△ABC 的周长为32，且AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，△ACD 的周长为24，那么AD 的长为________．15． 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边上的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是__________.16．如图，在等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，且AD ＝4，E 是AB 边的中点，点P 在AD 上运动，则PB ＋PE 的最小值是________．17．等腰三角形ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为点D ，且BD ＝12AC ，则等腰三角形ABC 底角的度数为________．18． AB 与CD 相交于点O ，AB ＝CD ，∠AOC ＝60°，∠ACD ＋∠ABD ＝210°，则线段AB ，AC ，BD 之间的等量关系式为_________________.三．解答题（7小题，共66分）19．(8分) 如图，点D ，E 在△ABC 的BC 边上，AB ＝AC ，AD ＝AE.求证：BD ＝CE.20．(8分) 如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.21．(8分) 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A＝∠ABE.(1)求证：DF是线段AB的垂直平分线；(2)当AB＝AC，∠A＝46°时，求∠EBC及∠F的度数．22．(10分) 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的2倍，求三角形各边的长．(2)能围成有一边的长是4 cm的等腰三角形吗？若能，求出其他两边的长；若不能，请说明理由．23．(10分) 如图，在等边△ABC中，AO是∠BAC的平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)延长BE至点Q，P为BQ上一点，连接CP，CQ，使CP＝CQ＝5，若BC＝8，求PQ的长．24．(10分) 在△ABC中，∠B＝22.5°，边AB的垂直平分线DP交AB于点P，交BC于点D，且AE ⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，DF与AE交于点G，求证：EG＝EC.25．(12分) 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°.点D是CA延长线上一点，连接BD，点E是BD 上一点，连接CE交AB于点F，BD＝CF.(1)如图①，当点E是BD的中点时，若BC＝4，求AF的长；(2)在(1)的条件下，如图②，连接AE，求证：DE＋EF＝2AE.图①图②参考答案1-5BBCCA 6-10DCDBC11. 只有一个交点的两条直线一定相交；真 12. 2cm 13. 2 14. 8 15. 5 16．417．45°或15°或75° 18. AB 2＝AC 2＋BD 219. 证明：过点A 作AP ⊥BC 于P.∵AB ＝AC ，∴BP ＝PC ，∴AD ＝AE ，∴DP ＝PE ，∴BP －DP ＝PC －PE ，∴BD ＝CE20. 证明：∵∠BAE ＝∠DAC ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝∠DAC ＋∠CAE ，即∠CAB ＝∠EAD. 又∵AB ＝AD ，AC ＝AE ， ∴△ABC ≌△ADE(SAS)． ∴∠C ＝∠E.21. 解：(1)证明：∵∠A ＝∠ABE ，∴EA ＝EB.∵AD ＝DB ，∴DF 是线段AB 的垂直平分线． (2)∵∠A ＝46°，∴∠ABE ＝∠A ＝46°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝67°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝21°，∠F ＝90°－∠ABC ＝23°.22. 解：(1)设底边长为x cm ，则腰长为2x cm.依题意，得2x ＋2x ＋x ＝18，解得x ＝185，∴2x ＝365.∴三角形三边的长为185 cm ，365 cm ，365cm(2)若腰长为4 cm ，则底边长为18－4－4＝10 cm.而4＋4＜10，所以不能围成腰长为4 cm 的等腰三角形．若底边长为4 cm ，则腰长为12(18－4)＝7 cm.此时能围成等腰三角形，三边长分别为4 cm ，7 cm ，7 cm23. 解：(1)证明：∵△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，且∠ACB ＝∠DCE ＝60°，即∠ACD ＋∠DCB ＝∠DCB ＋∠BCE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE(SAS)．(2)作CH ⊥BQ 于点H ，图略．则PQ ＝2HQ.在Rt △BHC 中，由(1)得∠CBH ＝∠CAO ＝30°，∴CH ＝12BC＝4，在Rt △CHQ 中，HQ ＝CQ 2－CH 2＝52－42＝3，∴PQ ＝2HQ ＝6. 24. 解：如图所示：连接AD ，∵∠B ＝22.5°，且DP 为AB 的垂直平分线，∴DB ＝DA ，∴∠B ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝2∠B ＝45°，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝45°，∴∠DAE ＝45°，∴AE ＝DE ，∵AE ⊥DE ，∴∠1＋∠2＝90°，∵DF ⊥AC ，∴∠2＋∠C ＝90°，∴∠1＝∠C.在△DEG 和△AEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠C ，∠DEG ＝∠AEC ＝90°，DE ＝AE ，∴△DEG ≌△AEC(AAS)，∴EG ＝EC25. 解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BC ＝4，∴AB ＝AC ＝2 2. ∵BD ＝CF ，AB ＝AC ，∴Rt △BAD ≌Rt △CAF(HL)，∴∠DBA ＝∠ACF. ∵∠EFB ＝∠AFC ，∴∠BEF ＝∠FAC ＝90°，∴CE ⊥BD.∵BE ＝DE ，∴CB ＝CD ＝4， ∴AF ＝AD ＝CD －AC ＝4－2 2.(2)作AM ⊥BD 于点M ，AN ⊥EC 于点N.∵△BAD ≌△CAF ，∴AM ＝AN ，∴∠AEM ＝∠AEN ＝45°，∴AM ＝EM ＝EN ＝AN.∵AD ＝AF ，AM ＝AN ，∴Rt △AMD ≌Rt △ANF(HL)，∴DM ＝FN ，∴DE ＋EF ＝EM ＋DM ＋EN －FN ＝2EM ，∵AE ＝2EM.∴DE ＋EF ＝2AE.。
《第一章 三角形的证明》章末复习
《第一章 三角形的证明》章末复习一、选择题1.(2020·晋江模拟)若要运用反证法证明“若0a b >>,>,首先应该假设（ ）<= C.a b < ab2.(2020·西安雁塔区校级模拟)如图,AD 是等边ABC ∆底边BC 上的中线,AC 的垂直平分线交AC 于点E ,交AD 于点F ,若6AB =,则DF 的长为（ ）A.1D.23.(2020·西安碑林区校级二模)如图,在ABC ∆中,,70,AB AC C BD =∠=︒是AC 边上的高线,点E 在AB 上,且BE BD =,则ADE ∠的度数为（ ）A.20︒B.25︒C.30︒D.35︒4.如图,90,,,ACB AC BC AD CE BE CE ∠=︒=⊥⊥,垂足分别是,D E .若3,1AD BE ==,则DE 的长是（ ）A.32B.2C.5.(2020·广州花都区月考)如图,Rt ABC ∆中,90,30,ACB BAC ACB ∠=︒∠=︒∠的平分线与ABF ∠的平分线交于点E ,连接,AE AEB ∠的度数是（ ）A.30︒B.35︒C.45︒D.60︒ 二、填空题6.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是______________________.7.（2021·遂宁）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=7，直线DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AC 于点D ，则△ABD 的周长是_________.8.如图,等边ABC ∆的顶点A,B 分别在网格图的格点上,则α∠的度数为_______.9.如图,在梯形ABCD 中,//,90AB DC ADC BCD ∠+∠=︒,且2DC AB =,分别以,,DA AB BC 为边向梯形外作正方形,其面积分别为123,,S S S ,则123,,S S S 之间的关系是____________.10.如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M 转动，使上面一块三角尺的斜边刚好过下面一块三角尺的直角顶点C.已知AC=5，则这两块直角三角尺的顶点A ，'A 之间的距离等于_____.三、解答题11.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E.（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长.12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD，CD.（1）求证：△ADE≌△CDB；（2）若AC边上找一点H，使得BH十EH最小，并求出这个最小值.参考答案1.答案：D2.答案：C3.答案：B4.答案：B5.答案：C6.答案：对应角相等的三角形是全等三角形7.答案：128.答案：15°9.答案：213S S S =+ 10.答案：2.5 11.答案：见解析解析：（1）证明：∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°， ∴CD=DE ，∠DEA=∠C=90°.在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD ADCD DE =⎧⎨=⎩∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）. （2）解：∵CD=1，DE ⊥AB ， ∴DE=CD=1，∠DEB=90°. ∵∠B=30°，∴BD=2DE=2. 12.答案：见解析解析：（1）证明：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，E 为AB 边的中点， ∴BC=EA=EB=12AB ，∠ABC=60， ∵△DEB 是等边三角形，∴DB=DE ，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=∠DBC=120°，∴△ADE ≌△CDB.(2)解:如答图,作点B 关于AC 的对称点B ',连接EB '交AC 于点H ,则点H 即为所求,连接,BH BH EH +的最小值即为EB '的长.连接CE ,则CBE ∆是等边三角形, ∴,60CE CB CB BCE BEC =='∠=∠=︒ ∴30,90CEB B BEB '=∠'=︒∴∠'=︒在Rt BEB ∆'中,2BE BC BB BC =='==3.EB ∴'=== ∴BH EH +的最小值为3.。
新北师大版数学八下同步练习：第一章三角形证明单元检测
第一章三角形的证明满分:100分,限时:60分钟一、选择题(每小题3分,共30分)1.由线段a,b,c组成的三角形,不是直角三角形的是()A.a=3,b=4,c=5B.a=1,b=,c=C.a=9,b=12,c=15D.a=,b=2,c=2.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是()A.一锐角对应相等B.两锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条直角边对应相等3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的()A.三个内角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高的交点4.命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题是()A.如果两个锐角互余,那么这两个角是同一个直角三角形中的角B.如果两个三角形的锐角互余,则这两个三角形是直角三角形C.如果两个锐角是直角三角形中的角,那么这两个角互余D.如果一个三角形的两个锐角互余,那么这个三角形是直角三角形5.如图1-5-1所示的是一个三角形测平架,已知AB=AC,在BC的中点D挂一个重锤E,让其自然下垂,调整架身,使点A恰好在重锤线上,这时DE和BC的位置关系为()图1-5-1A.相互平行B.相互平分C.相互垂直D.无法确定6.已知在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论,可以假设()A.∠B=∠CB.AB=ACC.∠B≠∠CD.△ABC是等腰三角形7.如图1-5-2,点D是直角△ABC斜边BC上一点,AB=AD,若α=20°,则β=()图1-5-2A.45°B.50°C.55°D.60°8.如图1-5-3,已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P,且AP=2PC,现欲在线段AB上求作两点D,E,使其满足AD=DC=CE=EB,对于以下甲、乙两种作法:甲:作∠ACP、∠BCP的平分线,分别交AB于D,E,则D,E即为所求;乙:作AC、BC的垂直平分线,分别交AB于D、E,则D、E两点即为所求.下列说法正确的是()图1-5-3A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确9.如图1-5-4,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,BC=10,过A作DE∥BC交∠ABC的平分线BE于点E,交∠ACB的平分线CD于点D,则DE=()图1-5-4A.18B.16C.14D.810.如图1-5-5,点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为()图1-5-5A.(0,0)B.-,-C.,-D.-,-二、填空题(每小题4分,共32分)11.如图1-5-6,△ABC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“HL”判定,还需要添加条件:,若添加条件∠B=∠C,则可用判定.图1-5-612.等腰三角形的两边长分别是7和3,则它的周长是.13.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则△ABC是三角形.14.如图1-5-7,△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D.若BD∶DC=2∶1,BC=7.8 cm,则D到AB的距离为cm.图1-5-715.如图1-5-8,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值是.图1-5-816.如图1-5-9,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD=,则BC的长为.图1-5-917.如图1-5-10,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为.图1-5-1018.如图1-5-11,将一个等腰Rt△ABC对折,使∠A与∠B重合,展开后得折痕CD,再将∠A折叠,使点C落在AB上的点F处,展开后,折痕AE交CD于点P,连接PF、EF,有下列结论:①△AEC≌△AEF;②PC∥EF;③PC=EC;④PF平分∠DPE,其中正确结论的序号是.(把所有正确结论的序号都填在横线上)图1-5-11三、解答题(共38分)19.(8分)如图1-5-12,树AB垂直于地面,为测树高,小华在C处测得∠ACB=15°,然后他沿CB 方向走了30米,到达D处,测得∠ADB=30°,你能帮助小华计算出树的高度吗?图1-5-1220.(9分)如图1-5-13所示的网格中,每个小网格都是边长为1的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC的顶点都在格点上.在AC的延长线上取一点D,D也在格点上,并连接BD.(1)若AC=CD,则△ABD是三角形;(2)如果△ABD是以BD为底边的等腰三角形,求△ABD的周长.图1-5-1321.(10分)如图1-5-14,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2.(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗?并说明理由;(2)△CDE是不是直角三角形?并说明理由.图1-5-1422.(11分)定义:如图1-5-15,点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB三条线段,若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段AB的勾股分割点.(1)若AM=2,MN=4,BN=2,则点M、N是线段AB的勾股分割点吗?请说明理由;(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=12,AM=5,求BN的长.图1-5-151答案D D中,c>b>a,a2+b2=7,c2=5,a2+b2≠c2,故选D.2答案D当两直角边对应相等时,再由直角相等,根据SAS可以判定两直角三角形全等. 3答案B到三角形三个顶点距离相等的点在三角形三边的垂直平分线上.4答案D逆命题的条件是原命题的结论,逆命题的结论是原命题的条件.5答案C已知AB=AC,BD=CD,由“三线合一”得DA⊥BC.即DE⊥BC.6答案A反证法的第一步是提出与结论相反的假设.故选A.7答案C∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=β,又∵∠ADB=∠DAC+∠C,∴β=α+∠C=20°+∠C.又∵∠B+∠C=90°,∴β=20°+90°-β,∴β=55°.8答案D∵AP=2PC,即PC=AP,∴∠A≠∠ACP.即∠A≠∠ACD,∴AD≠CD.故甲作法不正确.∵点D在AC的垂直平分线上,点E在BC的垂直平分线上,∴AD=CD,CE=BE,又∵CP为AB的中垂线,∴AC=BC,∴∠A=∠B.从而可得△ACD≌△BCE.∴AD=CD=CE=BE,∴乙作法正确.故选D.9答案C在Rt△ABC中,AC=6,BC=10,由勾股定理得AB=8, ∵DE∥BC, ∴∠D=∠DCB, ∠E=∠EBC, ∵CD平分∠ACB, BE平分∠ABC, ∴∠ACD=∠DCB, ∠ABE=∠EBC, ∴∠D=∠ACD, ∠E=∠ABE, ∴AD=AC=6,AE=AB=8,∴DE=6+8=14,故选C.10答案B过点A作AB'⊥OB,垂足为B',则点B与点B'重合时AB最短.∵点B在直线y=x上运动,∴∠AOB'=45°.∵AB'⊥OB,∴△AOB'是等腰直角三角形.过点B'作B'C⊥x轴,垂足为C,∴△B'CO为等腰直角三角形.∵点A的坐标为(-1,0),∴OC=CB'=OA=×1=,∴B'的坐标为-,-,故AB最短时,点B的坐标为-,-.11答案AB=AC;AAS解析添加AB=AC.∵AD⊥BC,AB=AC,AD=AD,∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).已知AD⊥BC于D,AD=AD,若添加条件∠B=∠C,显然判定方法为AAS.12答案17解析当7为腰长时,三边长为7,7,3,能构成三角形,周长为7+7+3=17.当3为腰长时,∵3+3=6<7,∴不能构成三角形,故答案为17.13答案等边解析∵(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b,b=c,c=a,∴a=b=c.∴△ABC是等边三角形. 14答案 2.6解析∵AD平分∠BAC且∠C=90°,∴点D到AB的距离等于CD的长.∵BD∶DC=2∶1,BC=7.8 cm,∴CD=×7.8=2.6 cm.故答案为2.6.15答案解析过点A作AE⊥BC于点E,因为AB=AC=5,所以BE=CE=BC=3,所以AE=-=-=4,所以S△ABC=BC·AE=12.易知BP的最小值是△=.16答案+1解析∵∠ADC=2∠B,∠ADC=∠B+∠BAD,∴∠B=∠DAB,∴DB=DA=,在Rt△ADC中,DC=-=(-=1,∴BC=+1.17答案解析在等边三角形ABC中,∠ABC=60°,AB=BC.∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD=30°.∵在Rt△BFQ中,BF=2,∠FBQ=30°,∴QF=1.∴BQ=-=.又∵BQ=PQ,∴BP=2BQ=2.在Rt△BPE中,∠EBP=30°,∴EP=BP=.18答案①②③解析由折叠得①正确,∴∠AFE=∠ACB=90°.由折叠得∠ADC=90°,∴∠ADC=∠AFE=90°,∴PC∥EF.②正确.∵PC∥EF,∴∠CPE=∠AEF,又∵∠AEC=∠AEF,∴∠CPE=∠CEP,∴PC=EC.③正确.易得∠DPF=45°,∠FPE=67.5°,∠DPF≠∠FPE.故④错误.综上,①②③正确.19解析∵∠ADB=30°,∠ACB=15°,∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=15°,∴∠ACB=∠CAD,∴AD=CD=30.又∵∠ABD=90°,∴AB=AD=15,即树的高度为15米.20解析(1)等腰.(2)如图,∵AB==5,BD为等腰三角形ABD的底边, ∴AD=AB=5,∴CD=5-3=2,∴BD==2.∴△ABD的周长=BD+AD+AB=2+5+5=10+2.图1-5-1321解析(1)全等.理由:∵∠1=∠2,∴DE=CE.∵∠A=∠B=90°,AE=BC,∴Rt△ADE≌Rt△BEC.(2)是直角三角形.理由:如图,∵Rt△ADE≌Rt△BEC,∴∠3=∠4.∵∠3+∠5=90°,∴∠4+∠5=90°,∴∠DEC=90°,∴△CDE是直角三角形.图1-5-1422解析(1)是.理由:∵AM=2,MN=4,BN=2,∴AM2+BN2=MN2,故以AM、BN、MN为边的三角形是一个直角三角形,即点M、N是线段AB的勾股分割点.(2)设BN=x,则MN=12-AM-BN=7-x.①当MN为最长线段时,依题意,MN2=AM2+NB2,即(7-x)2=25+x2,解得x=.②当BN为最长线段时,依题意,BN2=AM2+MN2,即x2=25+(7-x)2,解得x=. 综上所述,BN的长为或.。
北师大版八年级下学期数学第一章三角形的证明同步练习题
新北师大版八年级下学期《第一章三角形的证明》同步测试题一、选择题1、用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设【】A、a不垂直于cB、a，b都不垂直于cC、a⊥bD、a与b相交2、有下列四个命题：①等腰三角形两腰上的中线相等，②等腰三角形两腰上的高相等，③等腰三角形两底角的平分线相等，④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 正确的命题的个数有【】 A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，△A BC中，∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，BD=5，DC=m，则AC是【】A、4B、m-5C、5D、m+54、下列图形中，两个三角形一定全等的是【】A、含80°角的两个锐角三角形 B、边长为20cm的两个等边三角形 C、腰长对应相等的两个等腰三角形 D、有一个钝角对应相等的两个等腰三角形5、在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时，第一步应假设【】A、三角形中至少有一个直角或钝角B、三角形中至少有两个直角或钝角C、三角形中没有直角或钝角D、三角形中三个角都是直角或钝角6、下列命题中正确的个数是【】①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高重合；④只有两条边相等的等腰三角形是轴对称图形，对称轴有1条.A、1个B、2个 C、3个 D、4个7、等腰三角形的一个外角是120°，一边长为acm，那么它的周长是【】A、3acmB、2acmC、acmD、无法确定8、如图，在∠AOB的两边上截取AO=BO,CO=DO，连接AD,BC交于点P，则下列结论正确的是：(1)△AOD≌△BOC；(2)△APC≌△BPD；(3)点P在∠AOB的平分线上【】A、只有(1) B、只有(2)C、只有(1)(2)D、(1)(2)(3)9、如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，作法如下：(1)作OB的垂线NH，使NH=a，H为垂足.(2)过N作NM∥OB.(3)作∠AOB的平分线OP，与NM交于P.(4)点P即为所求.其中(3)的依据是【】A、平行线之间的距离处处相等 B、到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C、角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D、到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上10、△ABC中，若，则此三角形为【】三角形. A、等腰B、直角C、等腰直角 D、等边11、如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等边三角形的高为1，则OE+OF的值为【】 A、B、1 C、2 D、不确定12、已知等边三角形的面积是，则它的高是【】A、cmB、cmC、cmD、cm13、Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①BE+CF=BC；②；③=AD·EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是【】A、1个B、2个C、3个D、4个14、如图所示，AD平分∠BAC，AD=BD，AC=AB，则【】A、AC⊥CDB、AC=2CDC、AC=BDD、BD=2CD15、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止.设点M运动的路程为x，，则y关于x的函数图象大致为【】A、B、C、D、二、填空题16、等边三角形的每个内角都等于______________________.17、如图，已知∠A=∠D=90°，若要依据“HL”证明△ABC≌△DCB，应添加条件_________ ___________ _____；若要依据“AAS”证明△ABC≌△DCB，应添加的条件是_________________________________.18、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是__________________.19、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，则∠A=____________.20、如图，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别为边BC、AB、AC上的点，且BE=CD，CF=BD.若∠A=40°，则∠EDF=______°.21、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_______________度．22、△ABC中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FA，则∠A=______°．23、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且2AE=AB+AD，∠ADC=146°，则∠BCE=___________°.三、解答题24、(1)小丽同学说“每一个定理不一定都有逆定理，因为逆命题不一定正确.”你认为她的说法正确吗？如果不正确，应如何改正？25、写出命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题，并判定这对互逆命题的真假.26、如下图所示，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平分∠ACB，AE∥DC，交BC的延长线于点E，试说明△ACE是等边三角形.27、如图，△ABC中，∠A=60°，高BD、CE交于M，MD=5，ME=7. 求BD、CE的长.28、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：AD+BD=BC.四、证明题29、求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．30、如图所示，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E.求证：BE=EC.31、写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：“等角对等边”)．已知：如图，____________________________________．求证：______________________________________________________．证明：32、如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：∠B=∠C.33、如图，△ABC中，从点C向∠BAC的平分线引垂线，垂足为点E，设AE交BC于点D，且AB=AD.求证：.五、应用题34、如图是某市部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、E、F、G、H为“公共汽车”停靠点，“公共汽车甲”从A站出发，按照A、H、G、D、E、C、F的顺序到达F站，“公共汽车乙”从B站出发，沿F、H、E、D、C、G的顺序到达G站.如果甲、乙分别从A、B 站同时出发，在各站耽误的时间忽略不计，两车的速度一样，试问哪一辆汽车先到达指定站？为什么？35、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 D D C B B D A D B C B C C A B题号16 17 18 19 20 21 22 23答案60AB=DC或AC=DB；∠ABC=∠DCB或∠ACB=∠DBC顶角平分线所在直线100°7070或2020 5624)、解：她的说法正确，理由如下：命题有真假命题之分，而定理是经过证明后得出的正确的命题，命题正确时逆命题不一定正确，即定理的逆命题不一定是真命题，所以虽然每个命题都有逆命题，但每个定理不一定存在逆定理，只有当原定理的逆命题是真命题时，原定理的逆命题才能称为逆定理.25)、【解答】1、逆命题：“如果两条直线互相平行，那么这两条直线都与第三条直线平行”，该命题是假命题；而原命题是真命题.26)、【解答】1、因为CD平分∠ACB，∠ACB=120°，所以∠ACE=180°-∠ACB=60°，且.因为AE∥DC，所以∠ACD=∠CAE，∠BCD=∠E.所以∠CAE=∠E=∠ACE=60°.所以△ACE是等边三角形.27)、【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°.又∵∠A=60°，∴∠ABD=90°-60°=30°，同理可得∠ACE=30°，在Rt△BEM中，∠EBM=30°，∠BEM=90°，∴BM=2ME.∵ME=7，∴BM=14.同理由MD=5，得CM=2MD=10，∴BD=BM+MD=19，CE=CM+EM=10+7=17. CE取点F，使DE=DF.∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠C==40°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE=20°.∵在△ABD和△EBD中，AB=EB，∠ABD=∠DBE，BD=BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=100°，∴∠DEF=180°-100°=80°.∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF=80°，∴∠BDF=180°-80°-20°=80°，∴BD=BF，∠DFC=180°-80°=100°，∴∠FDC=180°-100°-40°=40°，∴DF=FC，∴DF=FC=DE=AD，∴BC=BF+FC=BD+AD.29)、【解答】1、证明：假设在一个三角形中，这两个不等的角所对的边相等，根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．30)、【解答】1、证明：因为AB=AC，BD=DC，AD=AD，所以∠BAE=∠CAE.又因为AB=AC，所以BE=EC.31)、【解答】解：在△ABC中，∠B=∠C，求证：AB=AC.证明：过点A作AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB=AC．32)、【解答】1、∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF.又∵BD=CD，∠DEB=∠DFC=90°，∴(Rt)△DEB≌(Rt)△DFC(HL).∴∠B=∠C.33)、【解答】1、分别延长AB，CE交于点F.∵AE平分∠FAC，∴∠FAE=∠CAE.∵∠FAE=∠CAE，∠AEF=∠AEC=90°，AE=AE，∴△AEF≌△AEC(AS A)，∴AF=AC，EF=EC.又过点E作EG∥AF，交BC于点G，∴，∠ABD=∠DGE.∵AB=AD，∠ABD=∠ADB=∠GDE=∠DGE，∴DE=EG，∴AE=AD+DE=AB+EG====. 所以△ABC与△ECD均为等边三角形，且∠ACE=60°.在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，CD=CE，所以△ACD≌△BCE(SAS).所以AD=BE，∠1=∠2.在△BCF和△ACG中，∠1=∠2，BC=AC，∠BCF=∠ACG=60°，所以△BCF≌△ACG(ASA).所以CF=CG.又因为DE+EC=ED+CD，所以AD+DE+EC+CF=BE+ED+CD+CG.即甲、乙两车同时到达指定站.35)、【解答】1、解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理有AB=10.扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰△ABD，应分以下三种情况：①如图1，当AB=AD=10时，可求CD=CB =6.得△ABD的周长为32m.②如图2，当AB=BD=10时，可求CD=4.由勾股定理，得.得△ABD的周长为m.如图③，当AB为底时，设AD=BD=x，则CD=x-6，由勾股定理，得.得△ABD 的周长为m.====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====。
八年级数学 第一章三角形的证明检测题附答案解析
第一章三角形的证明复习题一、选择题1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（）A.157B.125C.207D.2153. 如图，在△ABC中，，点D在AC边上，且，则∠A的度数为（）A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°4.（2015•湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A.8或10 B.8 C.10 D.6或125.如图，已知，，，下列结论：①；②③；④△≌△．其中正确的（）A.1个B.2个C.3个D.4个6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边cm，则最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm7.如图，已知，，下列条件能使△≌△的是（）A. B. C. D.三个答案都是8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A.2个B.3个C.4个D.5个9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（）A.5B.2C.45 D.110.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，如果cm ，那么△的周长是（ ）A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm二、填空题11.如图所示，在等腰△ABC 中，AB =AC , ∠BAC =50°, ∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，点 C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠OEC 的度数是 .12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___ ___三角形.13.（2015•四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝________°. 14.如图，在△ABC 中，，AM 平分∠，cm ，则点M 到AB 的距离是_________.15.如图，在等边△ABC 中，F 是AB 的中点， FE ⊥AC 于E ，若△ABC 的边长为10，则 _________，_________.16.(2015•江苏连云港中考)在△ABC 中，AB ＝4,AC ＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是 . 17.如图，已知的垂直平分线交于点，则.18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.三、解答题19.如图，在△ABC中，，是上任意一点（M与A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分线于点D，求证：.20.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数.探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探PA 的长.21.如图所示，在四边形中，平分∠.求证：.22.如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若2，求BE的长.23.如图所示，在Rt△ABC中，，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．第24题图24.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC的延长线于点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE.25.已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：△是等腰三角形．。
第一章《三角形的证明》单元练习(含答案)
第一章三角形的证明单元练习一、单选题1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( )A. 8B. 9C. 10D. 113.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 34.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN上，则点O是△ABC 的（）A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心5.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°6.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC 的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm8.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（）．A. B. C. D.9.如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC 的周长为（）A. 9B. 10C. 11D. 1210.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（）A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB=DC11.如图，在△BAC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=5，CE=4，则线段DE的长为（）A. 9B. 6C. 5D. 412.在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的( )A. 三边中线的交点B. 三边中垂线的交点C. 三边上高的交点D. 三条角平分线的交点13.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°二、填空题14.如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为________ .15.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠CBD=∠ABD，DE⊥BC，BC=10，则△DEC的周长=________ ．16.如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是 ________17.一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是________．18.下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 ________个．三、解答题19.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，求∠C的度数？20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．四、综合题21.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，________求证：________．请你补全已知和求证（2）并写出证明过程．22.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点．（1）若，，求的周长；（2）若，求的度数．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故答案为：D．【分析】点P到角的两边的距离相等知点P在∠AOB平分线上，由点P在CD上，故点P在CD与∠AOB 的平分线的交点。
(最新)数学八年级下册《 三角形的证明》单元综合检测试题(含答案)
第一章三角形的证明第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长为()A．12 B．17或19C．17 D．192．用反证法证明命题：“如图1，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF.”证明的第一个步骤是()图1A．假定CD∥EF B．假定CD不平行于EFC．已知AB∥EF D．假定AB不平行于EF3．已知下列命题：①若|x|＝3，则x＝3；②全等三角形的三组对应角相等；③直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；④有理数与数轴上的点一一对应．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．44．如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交斜边AB于点D，交BC于点E，AB＝7.8，AC＝3.9，则图中等于60°的角有()图2A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，设△ABD，△BCD的面积分别为S1，S2，则S1∶S2等于()图3A ．2∶1 B.2∶1 C ．3∶2 D ．2∶ 36．如图4，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，ED 是AB 边的垂直平分线．若BD ＝BC ，则∠1的度数是( )图4A ．44°B ．46°C ．54°D ．56°7．如图5，△ABC 是等边三角形，AD ，CE 分别是BC ，AB 边上的高，且AD ，CE 相交于点O .若CE ＝1，则OD 的长是( )图5A.13B.12C. 2D. 3 8．如图6，在△ABC 中，AB ＝20 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发以每秒3 cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2 cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ 是以∠A 为顶角的等腰三角形时，运动的时间是( )图6A ．2.5秒B ．3秒C ．3.5秒D ．4秒9．如图7，P 是等边三角形ABC 内的一点，且P A ＝3，PB ＝4，PC ＝5，以BC 为边在△ABC 外作△BQC ≌△BP A ，连接PQ ，则以下结论错误的是( )图7A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°10．如图8，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.则下列四个结论：图8①AD上任意一点到点C，B的距离相等；②AD上任意一点到直线AB，AC的距离相等；③BD＝CD，AD⊥BC；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________命题．(填“真”或“假”)12．如图9，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC的度数为________°.图913．如图10，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________．图1014．如图11，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D是BC上任意一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.如果BC＝20 cm，那么DE＋DF＝________ cm.图1115．如图12，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD.上述三个条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的两个条件是________(用序号写出一种情形即可)．图1216．已知：如图13，O为平面直角坐标系中的坐标原点，四边形OABC为长方形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动．若△ODP是腰长为5的等腰三角形，则点P的坐标为________________．图13三、解答题(共52分)17．(5分)如图14所示，在△ABC中，∠C＝90°.(1)用圆规和直尺在AC上求作点P，使点P到点A，B的距离相等(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)当满足(1)的点P到AB，BC的距离相等时，求∠A的度数．图1418.(5分)如图15，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，且∠A＝30°，DE＝1 cm.求△ABC的面积．(结果保留根号)图1519．(6分)如图16，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，你能求出△BDE的周长吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．图1620．(6分)如图17，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，BE与CD相交于点O.现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC；③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD.(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个条件作为结论，写出一个正确．．的命题：命题的条件是______和______，命题的结论是______和______(均填序号)；(2)证明你写出的命题．已知：求证：证明：图1721．(7分)如图18，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DE.求证：AF＝ED.图1822．(7分)如图19，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，E是AB的中点，连接DE.(1)求∠BAD的度数；(2)求∠B的度数；(3)求线段DE的长．图1923．(8分)已知∠MAN，AC平分∠MAN，试解决下列问题：(1)在图20①中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°.求证：AB＋AD＝AC.(2)在图②中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．图2024．(8分)如图21，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长．(2)运动过程中线段DE的长是否发生变化？如果不变，请求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．图211．B 2.B 3.A 4.D 5.A 6.C 7.A 8.D 9.D 10.D 11.假 12.3013.154 cm [解析] 设CD ＝x cm ，则易证得BD ＝AD ＝(10－x )cm.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得(10－x )2＝x 2＋52，解得x ＝154.14．10 [解析] 利用含30°角的直角三角形的性质得，DE ＋DF ＝12(BD ＋CD )＝12BC .15．答案不唯一，如①③16．(2，4)或(3，4)或(8，4) [解析] 当OD ＝PD (点P 在点D 的右边)时，根据题意画出图形， 如图①所示：过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q .在Rt △DPQ 中，PQ ＝4，PD ＝OD ＝12OA ＝5，根据勾股定理，得DQ ＝3，故OQ ＝OD ＋DQ ＝5＋3＝8，则P 1(8，4)；当PD ＝OD (点P 在点D 的左边)时，根据题意画出图形，如图②所示：过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q .在Rt △DPQ 中，PQ ＝4，PD ＝OD ＝5， 根据勾股定理，得QD ＝3，故OQ ＝OD －QD ＝5－3＝2，则P 2(2，4)； 当PO ＝OD 时，根据题意画出图形，如图③所示：过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q .在Rt △OPQ 中，OP ＝OD ＝5，PQ ＝4，根据勾股定理，得OQ ＝3，则P 3(3，4)．综上，满足题意的点P 的坐标为(2，4)或(3，4)或(8，4)．17．解：(1)图略．提示：作线段AB 的垂直平分线交AC 于点P .(2)连接BP .∵点P 到AB ，BC 的距离相等，∴BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC .又∵点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴P A ＝PB ，∴∠A ＝∠ABP ，∴∠A ＝∠ABP ＝∠PBC ＝13×90°＝30°.18．解：∵DE 垂直平分AB ，∠A ＝30°，DE ＝1 cm ，∴AE ＝2 cm ，∴AD ＝22－12＝3(cm)，∴AB ＝2AD ＝2 3 cm.在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝ 3 cm ，∴AC ＝（2 3）2－（3）2＝3(cm)， ∴S △ABC ＝12×3×3＝32 3(cm 2)．19．解：能．∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，AD 平分∠CAB ，∴DE ＝DC .在Rt △ADC 和Rt △ADE 中，∵DC ＝DE ，AD ＝AD ，∴Rt △ADC ≌Rt △ADE (HL)，∴AC ＝AE .又∵AC ＝BC ，∴AE ＝BC ，∴△BDE 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝BC ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB .∵AB ＝6 cm ，∴△BDE 的周长为6 cm.20．解：答案不唯一，如：(1)① ③ ② ④(2)已知：D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，BE 与CD 相交于点O ，且AB ＝AC ，∠ABE ＝∠ACD .求证：OB ＝OC ，BE ＝CD .证明：在△ABE 和△ACD 中，∵∠ABE ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，∴△ABE ≌△ACD (ASA)，∴BE ＝CD .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠BCD ＝∠ACB －∠ACD ＝∠ABC －∠ABE ＝∠CBE ，∴OB ＝OC .21．证明：∵EF 是AD 的垂直平分线，∴AE ＝ED .∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAO ＝∠F AO .∵∠AOE ＝∠AOF ＝90°，AO ＝AO ，∠EAO ＝∠F AO ，∴△AEO ≌△AFO ，∴AE ＝AF ，∴AF ＝ED .22．解：(1)∵∠BAC ＝100°，且AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD ＝50°.(2)在等腰三角形ABC 中，∠B ＝180°－100°2＝40°. (3)∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AD 是等腰三角形ABC 底边BC 上的中线，∴D 是BC 的中点．又∵E 是AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AC ＝4. 23．解：(1)证明：∵∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ，∴∠CAD ＝∠CAB ＝60°.又∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB ＝30°，∴AD ＝12AC ，AB ＝12AC ，∴AB ＋AD ＝12AC ＋12AC ＝AC .(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如图，过点C 分别作CE ⊥AM 于点E ，CF ⊥AN 于点F ，则∠CED ＝∠CFB ＝90°.∵AC 平分∠MAN ，∴CE ＝CF .∵∠CBF ＋∠ADC ＝180°，∠ADC ＋∠CDE ＝180°，∴∠CDE ＝∠CBF . 在△CDE 和△CBF 中，∵∠CDE ＝∠CBF ，∠CED ＝∠CFB ，CE ＝CF ，∴△CDE ≌△CBF ，∴DE ＝BF .∵∠MAN ＝120°，AC 平分∠MAN ，∴∠MAC ＝∠NAC ＝60°，∴∠ECA ＝∠FCA ＝30°.在Rt △ACE 和Rt △ACF 中，AE ＝12AC ，AF ＝12AC ，∴AD ＋AB ＝AD ＋AF ＋BF ＝AD ＋AF ＋DE ＝AE ＋AF ＝12AC ＋12AC ＝AC ，即AB ＋AD ＝AC .24．解：(1)∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∴∠ACB ＝60°.∵∠BQD ＝30°，∴∠QPC ＝90°.设AP ＝x ，则PC ＝6－x ，QB ＝x ，∴QC ＝QB ＋BC ＝x ＋6.∵在Rt △QCP 中，∠BQD ＝30°，∴PC ＝12QC ，即6－x ＝12(x ＋6)，解得x ＝2，∴当∠BQD ＝30°时，AP ＝2.(2)线段DE 的长不会发生变化．如图，过点Q 作QF ⊥AB ，交直线AB 于点F ，连接QE ，PF . 又∵PE ⊥AB 于点E ，∴∠DFQ ＝∠AEP ＝90°.∵点P ，Q 的运动速度相同，∴AP ＝BQ .∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝∠FBQ ＝60°.在△APE 和△BQF 中，∵∠AEP ＝∠BFQ ，∠A ＝∠FBQ ，AP ＝BQ ，∴△APE ≌△BQF (AAS)，∴AE ＝BF ，PE ＝QF ，易证△QFD ≌△PED ，∴DE ＝DF ，∴DE ＝12EF .∵EF ＝BE ＋BF ＝BE ＋AE ＝AB ，∴DE ＝12AB . 又∵等边三角形ABC 的边长为6，∴DE ＝3.。
(完整版)三角形证明单元测试
第一章《三角形的证明》单元检测一、选择题1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝ B．9㎝ C．12㎝或者9㎝ D．12㎝2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是( ）A．40° B．50° C．60° D．70°3．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ )A。
24cm2 B。
30cm2 C。
40cm2 D.48cm24. 如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（）A。
∠A=∠D B.∠ACB=∠F C.∠B=∠DEF D.∠ACB=∠D5．如图，△ABC中，AB=AC,点D在AC边上,且BD=BC=AD，则∠A的度数为( ）A.30° B。
36° C.45° D.70°6．如图,△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E,则对于结论①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是( ）A.1个B.2个C.3个D.4个（4题图）（5题图) （6题图)7. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点.A. 三个内角平分线 B。
三边垂直平分线 C。
三条中线 D。
三条高8. 面积相等的两个三角形( ）A。
必定全等 B.必定不全等 C。
不一定全等 D。
以上答案都不对9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F,DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）11B．5。
5C．7D．3.5．10．如图,在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4，则CH的长是( ）1B．2C．3D．4．11．如图，已知:∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为( ）A．6B．12C．32D．64第9题第10题第11题12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°,D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（)A．25°B．30°C．35°D．40°三。
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第一章三角形的证明检测题
班级：姓名：
一、选择题（每小题4分，共20分）
1.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）
A.8或10
B.8
C.10
D.6或12
2. 到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点.
A. 三个内角平分线
B. 三边垂直平分线
C. 三条中线
D. 三条高
3．以下各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是 ( ) A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，2，3 D．2，2，4
4．如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）
A．2 B．23 C .1+
3
3
D.1+3
5.如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
二、填空题（每小题4分，共16分）
6、如果等腰三角形的一个角是80°，那么顶角是度.
7、如图，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，BC=EF，若要使△ABC≌△DEF，则还须补充一个条件 .
(第7题图) (第8题图)
8、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，
则∠BCD的度数为 .
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝.
三、解答题（共64分）
10、(10分)如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且△DEB的周长为8cm，求AB的长。
11.(12分)已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC. AB于点M.N(保留作图痕迹，不写作法).
(2)猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想.
12(10分).如图所示，在△ABC中，∠PAQ＝30°，PM，QN分别垂直平分AB，AC，
求∠BAC的度数
13(10分).已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.
求证：D在∠BAC的平分线上.
14．（12分）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）求证：BF=2AE；
（2）若CD=，求AD的长．
15（本题10分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
求证：AB=CD
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
（学优生全证）。