《勤学早》九年级数学大培优全一册(教师用解析版)

九年级数学 大培优

知识导航

1.

反比例函数的定义和解析式;2.

反比例函数的图象和性质;3.

反比例函数与方程及不等式;4.

反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y =a 或x =a ;

6.

反比例函数与全等相似;7.

反比例函数与图形变换;8.

反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ 反比例函数的定义和解析式

方法技巧

根据定义解题

1.定义:一般地,形如y =k x

(k 为常数,k ʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数.

自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.

2.解析式:y =k x

(k ʂ0)或x y =k (k ʂ0)或y =k x -1(k ʂ0).▶题型一 根据定义判断反比例函数

ʌ例1ɔ 下列函数:①y =x 2;②y =2x ;③y =-2x ;④y =12x ;⑤y =1x +2;⑥y =1x

-2;⑦x y =2;⑧y =2x -1,⑨y =2x

2.其中y 是x

的反比例函数的有 (填序号).ʌ解析ɔ ②③④⑦⑧.

▶题型二 根据定义确定k 值或解析式

ʌ例2ɔ (1

)反比例函数y =-32x ,化为y =k x

的形式,相应的k =;

(2)函数y =k x

中,当x =2时,y =3,则函数的解析式为 .ʌ解析ɔ (1)-32;(2)y =6x

.

▶题型三 根据定义确定待定系数的值

ʌ例3ɔ (1

)如果函数y =x 2m +1

是关于x 的反比例函数,则m 的值为;

(2)若函数y =(m +2)x m

2

-5

(m 为常数)

是关于x 的反比例函数,求m 的值及函数的解析式.ʌ解析ɔ (1)-1;

(2)m =2,y =4

x -1.第19讲反比例函数

第二十六章反比例函数(官方版教学资料精品）

针对练习1

1.下列函数中,为反比例函数的是(B)

A.y=x3

B.y=13x

C.y=1x-3

D.y=1x2

2.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= -32.

3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.

解:3.

ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质

方法技巧

抓住反比例函数的性质并结合图象解题

一般地,对于反比例函数y=k

x

(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:

1.图象分布

当k>0时,x,y同号(同号或异号),函数图象为第一㊁三象限的两支曲线;

当k<0时,x,y异号(同号或异号),函数图象为第二㊁四象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.

2.对称性

若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点(b,a),(-b,-a),(-a,-b)也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线y=x,y=-x对称,关于点(0,0)成中心对称.

3.增减性

当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小;

当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大.

▶题型一反比例函数的增减性

ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0y2,则m的取值范围是()

A.m>18

B.m<18

C.mȡ18

D.mɤ18

ʌ解析ɔA.根据条件x1<018.

ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.

(1)画出这个反比例的图象;

(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;

(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.

ʌ解析ɔ(1)图略;(2)1ɤy<3;(3)-2ɤx<0或0

九年级数学 大培优

▶题型二 反比例函数的图象的对称性

ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x

(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称

.

ʌ解析ɔ 联立y =

a x ,y =

k x

{

,

得a x 2

-k =0,ʑx A +x B =0,过A ,B 两点分别作x 轴的垂线,由全等即可得O A =O B ,ʑA ,B 两点关于原点对称.

▶题型三 反比例函数的图象与系数的关系

ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,

②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x

的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是

.ʌ解析ɔ k 3

|k |越大,其图象离坐标原点越远.▶题型四 反比例函数中k

的几何意义

如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y

|=|k |,即在反比例函数y =k x

(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12

|k |

.

ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2

x

(k 1>k 2)

在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.

ʌ解析ɔ 延长A B 交y 轴于点C ,则S әO A B =S әO A C -S әO B C =12k 1-12

k 2=2,ʑk 1-k 2=

4.ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x

(k <0)交于A ,B 两点,

且点A 的横坐标为-4.(1

)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x

(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的

四边形面积为24,

求点P 的坐标

.ʌ解析ɔ (1)A (-4,2),k =-8;

(2)易知四边形A P B Q 是平行四边形,ʑS әA P O =14S 四边形A P B Q =6,

过点A 作A D ʅx 轴于点D ,过点P 作P E ʅx 轴于点E ,S 四边形A D O P =S әA D O +S әA P O =S 四边形A D E P +S әP E O ,ȵS әA D O =S әP E O ,ʑS әA P O =S 四边形A D E P ,设P (a ,-8a ),则12㊃(2-8a

)㊃(a +4)=6,ʑa 1

=8,a 2=-2,ȵ点P 在第二象限,ʑa <0,ʑa =-2,ʑP (-2,4).