《勤学早》九年级数学大培优全一册(教师用解析版)

九年级数学 大培优知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y =a 或x =a ;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ 反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y =k x(k 为常数,k ʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.2.解析式:y =k x(k ʂ0)或x y =k (k ʂ0)或y =k x -1(k ʂ0).▶题型一 根据定义判断反比例函数ʌ例1ɔ 下列函数:①y =x 2;②y =2x ;③y =-2x ;④y =12x ;⑤y =1x +2;⑥y =1x-2;⑦x y =2;⑧y =2x -1,⑨y =2x2.其中y 是x的反比例函数的有 (填序号).ʌ解析ɔ ②③④⑦⑧.▶题型二 根据定义确定k 值或解析式ʌ例2ɔ (1)反比例函数y =-32x ,化为y =k x的形式,相应的k =;(2)函数y =k x中,当x =2时,y =3,则函数的解析式为 .ʌ解析ɔ (1)-32;(2)y =6x.▶题型三 根据定义确定待定系数的值ʌ例3ɔ (1)如果函数y =x 2m +1是关于x 的反比例函数,则m 的值为;(2)若函数y =(m +2)x m2-5(m 为常数)是关于x 的反比例函数,求m 的值及函数的解析式.ʌ解析ɔ (1)-1;(2)m =2,y =4x -1.第19讲反比例函数第二十六章反比例函数(官方版教学资料精品）针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是(B)A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= -32.3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.解:3.ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k>0时,x,y同号(同号或异号),函数图象为第一㊁三象限的两支曲线;当k<0时,x,y异号(同号或异号),函数图象为第二㊁四象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点(b,a),(-b,-a),(-a,-b)也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线y=x,y=-x对称,关于点(0,0)成中心对称.3.增减性当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而增大.▶题型一反比例函数的增减性ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0<x2,y1>y2,则m的取值范围是()A.m>18B.m<18C.mȡ18D.mɤ18ʌ解析ɔA.根据条件x1<0<x2,y1<y2,可判断其图象位于二㊁四象限,ʑ1-8m<0,ʑm>18.ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.ʌ解析ɔ(1)图略;(2)1ɤy<3;(3)-2ɤx<0或0<xɤ2.九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数的图象的对称性ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称.ʌ解析ɔ 联立y =a x ,y =k x{,得a x 2-k =0,ʑx A +x B =0,过A ,B 两点分别作x 轴的垂线,由全等即可得O A =O B ,ʑA ,B 两点关于原点对称.▶题型三 反比例函数的图象与系数的关系ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是.ʌ解析ɔ k 3<k 4<k 1<k 2.|k |越大,其图象离坐标原点越远.▶题型四 反比例函数中k的几何意义如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y|=|k |,即在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12|k |.ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2x(k 1>k 2)在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.ʌ解析ɔ 延长A B 交y 轴于点C ,则S әO A B =S әO A C -S әO B C =12k 1-12k 2=2,ʑk 1-k 2=4.ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x(k <0)交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为-4.(1)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.ʌ解析ɔ (1)A (-4,2),k =-8;(2)易知四边形A P B Q 是平行四边形,ʑS әA P O =14S 四边形A P B Q =6,过点A 作A D ʅx 轴于点D ,过点P 作P E ʅx 轴于点E ,S 四边形A D O P =S әA D O +S әA P O =S 四边形A D E P +S әP E O ,ȵS әA D O =S әP E O ,ʑS әA P O =S 四边形A D E P ,设P (a ,-8a ),则12㊃(2-8a)㊃(a +4)=6,ʑa 1=8,a 2=-2,ȵ点P 在第二象限,ʑa <0,ʑa =-2,ʑP (-2,4).针对练习21.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是( D )A.图象经过点(1,-3)B .图象在第二㊁四象限C .y 随x 的增大而减小 D.x <0时,y 随x 增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y =k x +1和函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( B )3.反比例函数y =a 2-a +1x(a 为常数)的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y3的大小关系是 y 2<y 1<y 3 .4.如图,点A 是反比例函数y =k x(x <0)的图象上一点,过点A 作A B ʅx 轴于点B ,点P 是y 轴负半轴上一点,әA B P 的面积为1,求k 的值.解:连接A O ,ȵA B ʊy 轴,ʑS әA B P =S әA B O =1,ʑ12|k |=1,ʑk =-2.5.点A (a ,y 1),B (2a ,y2)是反比例函数y =k x(k >0)的图象上的两点.(1)比较y 1与y 2的大小关系;(2)若A ,B 两点在一次函数y =-43x +b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A ,B 两点作x 轴的垂线,垂足分别为点C ,D ,连接O A ,O B ,且S әO A B =8,求a 的值;(3)在(2)的条件下,如果3m =-4x +24,3n =32x,求使得m >n 的x 的取值范围.解:(1)ȵA ,B 是反比例函数y =k x(k >0)图象上的两点,ʑa ʂ0,当a >0时,点A ,B 在第一象限,由a <2a 可知,y 1>y 2,同理,a <0时,y 1<y2;(2)ȵA (a ,y 1),B (2a ,y2)在反比例函数y =k x (k >0)的图象上,ʑA C =y 1=k a ,B D =y 2=k 2a,ʑy 1=2y 2.又ȵ点A (a ,y 1),B (2a ,y 2)在一次函数y =-43x +b 的图象上,ʑy 1=-43a +b ,y2=-83a +b ,ʑ-43a +b =2(-83a +b ),ʑb =4a ,ȵS әA O C +S 梯形A C D B =S әA O B +S әB O D ,又ȵS әA O C =S әB O D ,ʑS 梯形A C D B =S әA O B ,ʑ12[(-43a +b )+(-83a +b )]×a =8,ʑa 2=4,ȵa >0,ʑa =2;(3)由(2)得,一次函数的解析式为y =-43x +8,反比例函数的解析式为y =323x,A ,B 两点的横坐标分别为2,4,且m =-43x +8,n =323x,因此使得m >n 的x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方的点中横坐标的取值范围,从图象可以看出或x <0.九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 反比例函数与方程㊁不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一 反比例函数与方程ʌ例1ɔ 如图,直线y =-x +5与双曲线y =4x 交于A ,B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度,若平移后直线A B 与双曲线有唯一公共点,求n 的值.ʌ解析ɔ (1)A (1,4),B (4,1);(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度后其解析式为y =-(x +n )+5,联立y =4x,y =-(x +n )+5{,得x 2+(n -5)x +4=0,依题意,Δ=(n -5)2-4ˑ1ˑ4=0,解得n =1或9.ʌ例2ɔ 直线y =2x +4与反比例函数y =6x的图象交于A ,B 两点,直线y =m (m >0)与直线A B 相交于点M ,与反比例函数的图象相交于N ,若MN =4,求m 的值.ʌ解析ɔ ȵ点M 在直线A B 上,ʑM (m -42,m ),ȵ点N 在反比例函数y =6x的图象上,所以N (6m ,m ),MN =x N -x M =6m -m -42=4或MN =x M -x N =m -42-6m =4,ȵm>0,ʑm =2或m =6+43.▶题型二 反比例函数与不等式ʌ例3ɔ 如图,一次函数y =-x +4与反比例函数y =m x (m >0,x >0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴,y轴分别相交于C ,D 两点.如果点A 的横坐标为1,利用函数图象求关于x 的不等式4-x <m x的解集.ʌ解析ɔ 当x =1时,y =3,ʑA (1,3)代入y =m x ,得m =3,y =3x,联立y =4-xy =3{x,得B (3,1),ʑ原不等式的解集为0<x <1或x >3.▶题型三 反比例函数与数形结合比较大小ʌ例4ɔ 如图,直线y =2x +4与反比例函数y =k x 的图象相交于A (-3,a )和B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)直接写出不等式k xɤ2x +4的解集.ʌ解析ɔ (1)A (-3,-2),B (1,6);(2)-3ɤx <0或x ȡ1.ʌ例5ɔ 如图,双曲线y =k x (k >0)与直线y =-12x +4相交于A ,B 两点.(1)当k =6时,求点A ,B 的坐标;(2)在双曲线y =k x (k >0)的同一支上有三点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (x 1+x 22,y0),请你借助图象,直接写出y 0与y 1+y 22的大小关系;(3)点M (x 1,y 1),N (x 2,y2)是双曲线y =6x (x >0)上任意两点,s =y 1+y 22,t =12x 1+x 2,试比较s 与t 的大小.备用图ʌ解析ɔ (1)A (2,3),B (6,1);(2)当x 1>0时,y0<y 1+y 22;当x 1<0时,y0>y 1+y 22.(3)设线段MN 的中点为Q ,则点Q 的坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22),过点Q 作Q R ʊy 轴交双曲线于点R ,则点R 的坐标为(x 1+x 22,12x 1+x 2),观察图象可知y 1+y 22>12x 1+x 2,ʑs >t .ʌ例6ɔ 当1ɤx ɤ4时,直线y =-2x +b 与双曲线y =4x 只有一个公共点,则b 的取值范围是 b =42或6<b ɤ9 .ʌ解析ɔ ①当直线y =-2x +b 过点(1,4)时,-2+b =4,b =6;②当直线y =-2x +b 过点(4,1)时,-8+b =1,b =9;③当直线y =-2x +b 与y =4x 相切时,联立4x =-2x +b ,得2x 2-b x +4=0,Δ=b 2-4ˑ2ˑ4=0,ʑb 1=42,b 2=-42(舍),由图象可知,b =42或6<b ɤ9.九年级数学 大培优针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A (2,5),B 两点.(1)求点B 的坐标;(1)当y 1>y2时,x 的取值范围是;(2)当x <2时,y2的取值范围是.解:(1)B (-5,-2);(2)x >2或-5<x <0;(3)y2<0或y 2>5.2.如图,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x >0时,比较y 1和y 2的大小;(3)直接写出不等式4x -2ɤx +1的解集.解:(1)将A (m ,2)代入y 1=x +1得m =1,ʑA (1,2),将A (1,2)代入y 2=k x ,得k =2,ʑy 2=2x ;(2)当0<x <1时,y 1<y2;当x =1时,y 1=y 2;当x >1,y 1>y 2;(3)-2ɤx <2或x ȡ3.3.如图,一次函数y 1=x +5的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A ,B 两点.当x >1时,y 1>y2;当0<x <1时,y 1<y2.(1)直接写出反比例函数y 2的解析式;解:ȵ当x >1时,y 1>y 2;当0<x <1时,y 1<y2,ʑA 点的横坐标是1,纵坐标为y =1+5=6,ʑA (1,6),代入y 2=k x ,可得k =x y =6,ʑy 2=6x;(2)过点D (t ,0)(t >0)作x 轴的垂线,分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点.若P Q=备用图3P D 时,求t 的值.解:当P Q =3P D 时,直线P Q 在点A 的右侧,ȵ直线P Q 分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点,ʑP (t ,6t ),Q (t ,t +5),ȵP Q =3P D ,ʑt +5-6t =3ˑ6t ,解得t 1=3,t 2=-8(舍去),ʑt 的值为3.ʌ板块四ɔ 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k 的意义,结合全等㊁相似或参数思想㊁根系关系,可得出反比例函数一些重要几何性质,在解题中可运用这些重要性质,从而大大提高解题效率.性质一 如图,直线A B :y =m x +n 交x 轴于点A ,交y 于点B ,交双曲线k x于C ,D 两点.求证:A C =B D.图1图2证明:证法一:(利用根系关系得全等)过点C 作C E ʅx 轴于点E ,过点D 作D F ʅy 于点F ,联立y =m x +n ,y =k x{,得m x 2+n x -k =0,则有x C +x D =-n m .易知A (-n m,0),ʑx C +x D =O A ,可得D F =A E ,ʑәA C E ɸәD B F ,ʑA C =B D .证法二:(利用k 的意义得相似)过点C 作C E ʅx 轴于点E ,C M ʅy 轴于点M ,过点D 作D F ʅy 轴于点F ,D N ʅx 轴于点N ,ȵx D ㊃y D =x C ㊃yC =k ,ʑD F ㊃D N =C M ㊃CE ,ʑC M DF =D N C E ,ʑB C B D =A D A C ,等式两边同时减1,得C D B D =C D A C,ʑA C =B D .性质应用ʌ例1ɔ 如图,直线y =x +6交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交双曲线y =k x于点C ,D ,若C D =2(A C +B D ),则k 的值为.ʌ解析ɔ -5.过点C 作C E ʅx 轴于点E ,由性质可得A C =B D ,ȵC D =2(A C +B D ),ʑC D =4A C ,ʑA B =6A C ,ʑC E =16O B =16ˑ6=1,同理A E =1,ʑO E =5,ʑC (-5,1),ʑk =-5ˑ1=-5.性质二 如图1,A ,B 为双曲线y =k x上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,BD 交于点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.图1证明:证法一:(面积法)连接A D ,B C ,则S әA C D =S әB C D =12|k |,ʑ①A B ʊC D ;②A C A E =B DB E.证法二:(相似法)利用x A y A =x B y B =k ,可得A C ㊃D E =B D ㊃C E ,进而得A E C E =B E D E ,ʑәA B E ~әC D E ,ʑ①A B ʊC D ;②A C A E =B DB E.九年级数学 大培优变式1:如图2,A C ʅx 轴于点C ,B D ʅy 轴于点D ,A C ,B D 交于点E .求证:①A B ʊCD ; ②A C AE =B D B E.图2证明:证法同上.变式2:如图3,A ,B 为双曲线y =k x 上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,B D交于图3点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.证明:证法同上.ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =k x经过矩形O A B C 边A B 的中点F ,交B C于点E ,且四边形O E B F 的面积为2,则k =.ʌ解析ɔ 过点E 作E H ʅx 轴于点H ,ȵ点F 为A B 中点,则点E 为B C 边的中点,可得S 四边形O E B F =12S 矩形O A B C =S 矩形O C E H =k ,ʑk =2.ʌ例3ɔ 如图,点P 为双曲线y =8x(x >0)上一点,P A ʅx 轴于点A ,P Bʅy 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y =k x (x >0)于C ,D 两点,若S әP C D =1,则k =.ʌ解析ɔ 设点P (a ,8a ),则点C (a ,k a ),D (a k 8,8a ),ʑS әP C D =12ˑ8-k a ˑ(a -a k 8)=(8-k )216=1,ʑk 1=4,k 2=12(舍),ʑk =4.性质三 如图,直线A B 与双曲线y =k x只有唯一公共点A ,且A B 与y 轴不平行,A B 交x 轴于点B ,连接O A .求证:O A =A B.证明:(解析法)过点A 作AH ʅx 轴于点H ,设点A a ,k ()a ,L A B :y =m (x -a )+k a.联立y =k x y =m (x -a )+k ìîíïïïïa得m x 2+k a -()a m x -k =0,依题意Δ=k a -()a m2+4m k=ka+()a m2=0,ʑm =-k a 2,ʑy =-k a2x +2k a ,ʑB (2a ,0),ʑO H =B H =a ,ʑO A =A B .性质四 如图,直线y =m x 交双曲线y =k x于A ,B 两点,点P 为双曲线上一点,直线P A ,P B 分别交x轴于M ,N 两点.求证:P M =P N .证明:(解析法)设点A a ,k ()a ,B -a ,-k ()a ,P b ,k ()b,由待定系数法可得l P A :y =-k a b x +(a +b )k a b ,l P B :y =k a b x +(a -b )k a b ,ʑx M =b +a ,x N =b -a ,ʑx M +x N =2x P ,可得P M =P N .ʌ例4ɔ (2018十堰中考)如图,直线y =-x 与反比例函数y =k x的图象交于A ,B 两点,过点B 作B Dʊx 轴,交y 轴于点D ,直线A D 交反比例函数y =k x 的图象于另一点C ,求C B C A的值.ʌ解析ɔ (解析法)过点A ,C分别作y 轴的垂线,垂足分别为点E ,F ,设点A (a ,-a ),则B (-a ,a ),D (0,a ),由待定系数法得l D A :y =-2x +a ,联立y =-2x +a y =k{x得2x 2-a x +k =0,ʑx A +x C =a 2,ȵx A =a ,ʑx C =-12a =x B +x D2,ʑ点C 在B D 的垂直平分线上,ʑC B =C D ,由面积法可得C D A D =C F A E =12aa =12,ʑC B =C D =13C A ,ʑC B C A =C D C A =13.针对练习41.如图,点A ,B 分别是双曲线y =4x 和y =2x第一象限分支上的点,且A B ʊy 轴,B C ʅy 轴于点C ,则A B ㊃B C = 2 .解:方法一:利用k的几何意义 面积法求.延长A B 交x 轴于点E ,过点A 作y 轴的垂线,垂足为F .A B ㊃B C =S 矩形A B C F =S 矩形A E O F -S 矩形B E O C =4-2=2.方法二:设点A 坐标,分别表示出点B ,C 坐标,运用参数进行计算.2.如图,直线y =-3x +b 与y 轴交于点A ,与双曲线y =k x在第一象限交于B ,C 两点,且A B ㊃A C =4,则k = 3 .解:方法提示:斜化直,线段转坐标.设直线A B 交x 轴于点D ,则由性质可得A B =C D ,ʑA C =B D ,由条件知øO A D =30ʎ,ʑA B =2x B ,A C =B D =233y B ,ʑA B ㊃A C =2x B ㊃233y B =433x B ㊃y B =4,ʑk =x B ㊃y B =3.九年级数学 大培优3.如图,әO A C 的顶点A 在双曲线y =9x上,点C 在x 轴上,O A 交双曲线y=1x 于点B ,直线A C 与双曲线y =9x只有唯一公共点,且A C 与y 轴不平行,则S әA B C =.解:设A (a ,9a ),O A 解析式为y =9a 2x ,可得B (a 3,3a ).易得直线A C 解析式为y =-9a2x +18a .可得A O =A C ,ȵS әO B CS әO A C =12O C ㊃y A12O C ㊃y B =3a 9a=13,ʑS әA B C =23S әA O C =23ˑ9=6.4.如图1,直线y =-2x +6交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,直线A B 与双曲线y =k x(k <0)交于C ,D 两点,C E ʅx 轴于点E ,D F ʅx 轴于点F .(1)若k =-8,求C D 的长;(2)求C E -D F 的值;(3)如图2,P 是双曲线y =k x (k <0)上第二象限上一动点,P G ʅx 轴于G ,交双曲线y =k 2x(k <0)于M ,PH ʅy 轴于H ,交y =k 2x(k <0)于N ,请直接写出MN 的最小值为(用含k 的式子表示).图1 图2解:(1)ʑC (-1,8),D (4,-2),C D =55;(2)联立y =-2x +6y =k{x得2x 2-6x +k =0,x C +x D =3,ʑy C +y D =-2x C +6-2x D +6=-2ˑ3+12=6,C E =y C ,D F =-y D ,ʑC E -D F =y C +yD =6;(3)-2k 2.(提示:MN =12G H ).ʌ板块五ɔ 反比例函数与直线x =a 或y =a方法技巧此类问题一般可用a 表示相关点的坐标,从而表示出相关线段长,将几何问题坐标化.解题时注意情况不明时需分类讨论.ʌ例1ɔ 如图,在平面直角坐标系x O y 中,直线y =2x +n 与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,与双曲线y =4x在第一象限内交于点C (1,m ),过x 轴正半轴上的点D (a ,0)作平行于y 轴的直线l ,分别与直线和双曲线y =4x 交于点P ,Q ,且点P 不与点Q 重合.(1)求m 和n 的值;(2)当a >1,P Q =2Q D 时,求әA P Q 的面积;(3)连接C Q ,当C P =C Q 时,求a 的值.ʌ解析ɔ (1)m =4,n =2;(2)在y =2x +2中,令y =0,则x =-1,ʑA (-1,0),ȵD (a ,0),l ʊy 轴,ʑP (a ,2a +2),Q a ,4()a .ȵP Q =2Q D ,ʑ2a +2-4a =2ˑ4a,解得:a =2,a =-3.ȵP ,Q 在第一象限,ʑa =2,ʑP Q =4,又ȵA D =3,ʑS әA P Q =12ˑ4ˑ3=6;(3)过点C 作C M ʅP Q 于点M ,ȵC P =C Q ,ʑP M =M Q ,设P (a ,2a +2),Q a ,4()a ,M (a ,4).则2a +2+4a=8解得a =2或a =1(舍),针对练习51.如图,直线l :y =32x +3与双曲线y =k x 在第一象限内交于点A (a ,6).(1)求双曲线的解析式;(2)直线x =t (t >0且t ʂ2)分别交直线l ,双曲线y =k x 于C ,D 两点,连接A D ,若A C =A D ,请直接写出t 的值.解:(1)ȵ点A (a ,6)在直线y =32x +3上,ʑ32a +3=6,ʑa =2,ʑA (2,6),又A 在双曲线y =k x 上,ʑk 2=6,ʑk =12,即双曲线的解析式为y =12x.(2)t =4.理由如下:设C t ,32t ()+3,D t ,12()t ,则A C 2=(t -2)2+32t ()+3-62=134(t -2)2,A D 2=(t -2)2+12t ()-62=1+36t()2(t -2)2,由A C =A D ,有A C 2=A D 2,ʑ134(t -2)2=1+36t ()2(t -2)2,ȵt ʂ2,ʑ134=1+36t2,ʑt =4或t =-4(舍),ʑt =4.ʌ板块六ɔ 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等㊁相似将线段关系转化为坐标关系,实现 几何问题坐标化 .▶题型一 反比例函数与全等ʌ例1ɔ 如图,点A 是双曲线y =8x在第一象限上的一动点,连接A O 并延长交另一分支于点B ,以A B为斜边作等腰R t әA B C ,随着点A 的运动,点C 的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 y =-8x(x <0).ʌ解析ɔ 连接O C ,过点A ,C 分别作x 轴的垂线构造三垂直全等.ʌ例2ɔ (2018原创题)如图,点A (2,4),B 均为双曲线y =k x在第一象限上的点,且øA O B =45ʎ,求点B 的坐标.ʌ解析ɔ 过点A 作A D ʅO A 交O B 延长线于点D ,作A E ʅy 轴于点E ,D F ʅA E 于点F ,则әA D F ɸәO A E ,ʑA F =O E =4,D F =A E =2,ʑD (6,2),ʑl O D ʒy =13x ,ȵA (2,4),ʑy =8x,联立y =8x ,y =13x ìîíïïïï,得B (26,263).九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数与勾股定理ʌ例3ɔ 如图,矩形A B C O 的顶点B (10,8),点A ,C 在坐标轴上,E 是B C 边上一点,将әA B E 沿A E 折叠,点B 刚好与O C 边上的点D 重合,过点E 的反比例函数y =k x (k >0)的图象与边A B 交于点F ,求点F 的坐标.ʌ解析ɔ 由题意知,A D =A B =10,A O =8,由勾股定理可求O D =6,则C D =4,设C E =x ,则D E =B E =8-x ,在R t әD C E 中,C D 2+C E 2=D E 2,即x 2+42=(8-x )2,解得x =3,ʑE (10,3),设F (a ,8),则10ˑ3=8a ,ʑa =154,ʑF (154,8).针对练习61.如图,A (2,3)是双曲线y =k x(x >0)上的一点,P 为x 轴正半轴上一点,将点A 绕点P 顺时针旋转90ʎ,恰好落在双曲线上的另一点B ,求点P的坐标.解:设P (t ,0),过点A 作AM ʅx 轴于点M ,过B 作B N ʅx 轴于点N ,则әA P M ɸәP B N ,ʑP N =AM =3,B N =P M =t -2,ʑB (t +3,t -2),又ȵ点A ,B 在y =k x上,ʑ(t +3)(t -2)=6,ʑt 1=-4,t 2=3,ȵt >0,ʑt =3,ʑP (3,0).2.如图,已知点A (2,2),P (0,a )是y 轴上一点,连接P A ,将线段P A 绕点P 逆时针旋转90ʎ得线段P A ᶄ,若线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x(x <0)的图象有公共点,求a 的取值范围.解:当点A ᶄ恰好落在反比例函数y =-3x (x <0)的图象上时,过点A ᶄ作A ᶄD ʅy 轴于点D ,过点A 作A B ʅy 轴于点B ,则әA ᶄP D ɸәP A B ,ʑA ᶄD =P B =2-a ,P D =A B =2,O D =2+a ,ʑA ᶄ(a -2,a +2),ʑ(a -2)(a +2)=-3,ʑa =ʃ1,ʑ点A ᶄ的横坐标为-1或-3,均符合题意,ȵ线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x (x <0)的图象有公共点,ʑ-1ɤa ɤ1.3.如图,直线y =3x -3交坐标轴于A ,B 两点,将әA O B 沿A B 翻折得到әA C B ,点D 在A C 的延长线上,且C D =4A C ,反比例函数y =k x的图象经过点D ,求k 的值.解:过点B 作B E ʊA C ,交x 轴于点E ,则øE B A =øB A C =øE A B ,ʑE A =E B ,易求O A =1,O B =3,设E A =E B =x ,则x 2=(x -1)2+32,解得x =5,由题意,A C =A O =1,ȵC D =4A C ,ʑA D =5A C =5,ʑA D =E B ,ʑ将线段E B 向右平移5个单位得线段A D ,ʑD (5,-3),ʑk =5ˑ(-3)=-15.ʌ板块七ɔ 反比例函数与图形变换方法技巧图形变换的本质是点的变换,解题的关键是根据变换规律,将变换后的关键点的坐标表示出来,再根据条件建立关系式.ʌ例1ɔ 平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (0,3),点P 为第二象限内一点.(1)如图,将线段A B 绕点P 旋转180ʎ得线段C D ,点A 与点C 对应,试画出图形;(2)若(1)中得到的点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x的图象上,求直线B C 的解析式;(3)若点Q (m ,n )为第四象限的一点,将线段A B 绕点Q 顺时针旋转90ʎ得到线段E F ,其中点A 与点E 对应,若点E ,F 恰好在同一个反比例函数的图象上,直接写出m ,n 之间的关系式为 m =-5n .备用图ʌ解析ɔ (1)略;(2)设P (m ,n ),则C (2+2m ,2n ),D (2m ,2n -3).ȵ点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x 的图象上,ʑ2n (2+2m )=2m (2n -3),得2n =-3m ,设直线B C 的解析式为y =t x +3,将C (2+2m ,-3m )代入y =t x +3中,得(2+2m )t +3=-3m ,解得t =-32,ʑy =-32x +3;(3)由三垂直得,E (m -n ,m +n +2),F (m +3-n ,n +m ),ʑ(m -n )(m +n +2)=(m +3-n )(n +m ),整理得m =-5n .九年级数学 大培优ʌ例2ɔ 已知点A (a ,m )在双曲线y =8x 上且m <0,过点A 作x 轴的垂线,垂足为点B .(1)如图1,当a =-2时,P (t ,0)是x 轴上的动点,将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C .①若t =1,直接写出点C 的坐标;②若双曲线y =8x经过点C ,求t 的值;(2)如图2,将图1中的双曲线y =8x(x >0)沿y 轴折叠得到双曲线y =-8x (x <0),将线段O A 绕点O 旋转,点A 刚好落在双曲线y =-8x(x <0)上的点D (d ,n )处,求m 和n 的数量关系.ʌ解析ɔ (1)将x A =-2代入y =8x 中得:y A =8-2=-4,ʑA (-2,-4),B (-2,0),①ȵt =1,ʑP (1,0),B P =1-(-2)=3,ȵ将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C ,ʑx C =x P =1,P C =B P =3,ʑC (1,3);②ȵB (-2,0),P (t ,0),当t >-2时,由题意知C 的坐标为(t ,t +2),ȵC 在y =8x 上,ʑt (t +2)=8,解得t =2或-4.ȵt>-2,ʑt =2;当t <-2时,c (t ,t +2),t (t +2)=8,t =-4或t =2(舍),ʑt =2或-4;(2)过点D 作DH ʅy 轴于点H ,ʑO A =O D ,a 2+m 2=d 2+n 2,a m =8,d n =-8,(a +m )2=(d -n )2,(a -m )2=(d +n )2,又a <0,m <0,d <0,n >0,ʑa +m =d -n ,a -m =d +n 或a -m =-d -n ,a -d =-m -n a -d =m +{n 或a -d =-n -m a +d =m -{nʑm +n =0,或a =-nd ={m又a m =8,ʑ-m n =8,m n =-8,故m +n =0或m n =-8.针对练习71.在平面直角坐标系中,点A (a ,0)为x 轴上一动点,点M 的坐标为(1,-1),点N 的坐标为(3,-4),连接AM ,MN ,点N 关于直线AM 的对称点为点N ᶄ.(1)若a =2,在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN ᶄ(保留作图痕迹),直接写出点N ᶄ的坐标为 (-2,1) ;(2)若a >0,连接A N ,A N ᶄ,当点A 运动到øN ᶄA N =90ʎ时,点N ᶄ恰好在双曲线y =k x上(如图2),求k 的值;(3)点A 在x 轴上运动,若øN ᶄMN =90ʎ,此时a 的值为 -4或65.解:(1)N ᶄ(-2,1).提示:取点B (3,1),则B N ʅx 轴,M ㊁A ,B 三点在同一条直线上;(2)由A N ,A N ᶄ垂直且相等,可构建三垂直全等得N ᶄ(a -4,a -3),ʑk =(a -4)(a -3)=a 2-7a +12.ȵMN =MN ᶄ,由勾股定理得(a -5)2+(a -2)2=13,ʑa 2-7a +8=0,ʑ12-k =8,ʑk =4;(3)-4或65.由øN ᶄMN =90ʎ,构建三垂直全等得N ᶄ(4,1)或N ᶄ(-2,-3),ȵ直线A M 过N N ᶄ的中点C ,且点C 的坐标为(7,-3)或(1,-7),ʑ直线A M 的解析式为y =-1x -4或y =5x -6,令y =0,分别求得A (-4,0)或A (6,0).ʌ板块八ɔ 反比例函数与定值㊁最值方法技巧通过采取解析法求定值,建立二次函数模型求最值.▶题型一 反比例函数与定值ʌ例1ɔ 如图,点C (6,1),D (1,6)在双曲线y =6x的图象上.点T 在双曲线第一象限上(不同于C ,D ),直线T C ,T D分别交y 轴于E ,F ,则O F -O E 的值是 5 .ʌ解析ɔ O F -O E =5.理由如下:设点T m ,6()m,由D (1,6)得直线T D 的解析式:y =-6m x +6m +6,ʑO F =6m +6.由C (6,1)得直线T C 的解析式:y =-1m x +6m +1.ʑO E =6m+1,ʑO F -O E =5.▶题型二 反比例函数与最值ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =2x的第一象限的分支上一动点P ,点A (-2,-2),B (2,2),则P A -P B 的值为4 .ʌ解析ɔ 方法1:设点P m ,2()m,则P A =(m +2)2+2m()+22=m +2m+2,同理P B =m +2m-2,ʑP A -P B =4.方法2:特殊位置法.ʌ例3ɔ 如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A ,B 两点,其中点A (2,5),A C ʅy 轴于点C .(1)求直线与双曲线的解析式;(2)直接写出x <2时,反比例函数值y 2的取值范围;(3)点E 为点B 下方直线A B 上一动点,直线E F ʅA B ,分别与直线A B ,双曲线C 及y 轴交于E ,F ,G 三点,求E F ㊃F G 的最大值.ʌ解析ɔ (1)y 1=x +3,y2=10x;(2)y2<0或y 2>5;(3)作E I ʅy 轴于点I ,F J ʅy 轴于点J ,F H ʅE I 于点H ,设E (t ,t +3),易得B (-5,-2),由t <-5,F (m ,10m ),E H =H F ,则t +3-10m =m -t ,得t =5m +m 2-32,E 5m +m 2-32,m 2+5m +3()2,E F ㊃F G =2H E ㊃2H I =2(x F-x E)(-x F)=2(-x 2F+x E ㊃x F)=-2m 2+2m m 2+5m -3()2=-m 2-3m +10=-m +3()22+494,当m =-32时,E F ㊃F G 最大=494,此时t =-6712<-5,(E F ㊃F G )最大=494.九年级数学 大培优针对练习81.如图,若直线y =-x +m 与反比例函数y =4x(x >0)的图象相交于两个不同点E ,F (点E 在点F 的左边),与y 轴相交于点M.(1)m 的取值范围为;(2)求M E ㊃M F 的值.解:(1)设y =-x +m 代入y =4x 中,-x +m =4x ,整理得x 2-m x +4=0,ʑm >0Δ=m 2-16>{,解得m >4;(2)过点E ,F 分别作y 轴的垂线,垂足分别为G ,H .由y =-x +m 可知øM E G =øM F H =45ʎ,ʑM E =2G E ,M F =2H F .由y =-x +m =4x,得x 2-m x +4=0,ʑx E ㊃x F =4,ʑM E ㊃M F =2x E ㊃2x F =2x E ㊃x F =8.2.如图,已知反比例函数y =k x 和一次函数y =32x +6的图象有一个交点为P (-2,m ).(1)求反比例函数解析式;(2)若过点P 的直线l 与反比例函数y =k x的图象只有一个交点,求直线l 的解析式;(3)点Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点Q 作直线,使其与双曲线y =k x只有一个公共点,且与x 轴,y 轴分别交于点C ,D ,直线y =32x +6与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,求四边形A BCD 面积的最小值.解:(1)将P (-2,m )代入y =32x +6得m =3,ʑP (-2,3),代入y =k x 得k =-2ˑ3=-6.ʑy =-6x.(2)①当l ʊx 轴时,直线l 为y =3;②当l ʊy 轴时,直线l 为x =-2;③当直线l 与坐标轴不平行时,ȵ过P (-2,3),ʑ可设解析式为y =a x +2a +3,由y =a x +2a +3y =-6{x得a x 2+(2a +3)x +6=0,依题意Δ=(2a +3)2-24a =(2a -3)2=0,ʑa =32,ʑy =32x +6.综上,直线l 为的解析式为y =3或x =-2或y =32x +6.(3)设Q t ,-6()t ,l C D :y =p x -t p -6t .由y =p x -t p -6t y =-6ìîíïïïïx得p x 2-t p +6()t x +6=0,ʑΔ=t p +6()t 2-24p =t p -6()t2=0,ʑp =6t 2,ʑl C D :y =6t2x -12t ,ʑD 0,-12()t ,C (2t ,0),ʑA C =2t +4,B D =6+12t .ʑS 四边形A B C D =12A C ㊃B C =12(2t +4)6+12()t =6t +4()t +24=6t -2æèçöø÷t 2+48,当t =2时,S m i n =48.第20讲实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.ʌ板块一ɔ根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.▶题型一坐标与距离ʌ例1ɔ某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6Rʌ解析ɔ C.ʌ例2ɔ某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x m,长为y m.那么这些同学所制作的矩形长y(m)与宽x(m)之间的函数关系的图象大致是()ʌ解析ɔ A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为(C)A.y=S xB.y=S2xC.y=2S xD.y=x2S2.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:l x)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示:光照度E/l x0.511.522.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为R=30E.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意,建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.ʌ例1ɔ 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y =-200x 2+400x 刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y 与x 可近似地用反比例函数y =k x(k >0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x =5时,y =45,求k 的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于酒后驾驶 ,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.ʌ解析ɔ (1)①y =-200x 2+400x =-200(x -1)2+200,ʑ喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200(毫克/百毫升);②ȵ当x =5时,y =45,y =k x,ʑk =x y =45ˑ5=225;(2)不能驾车上班.理由:ȵ晚上20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,ʑ将x =11代入y =225x ,则y =22511>20.ʑ第二天早上7:00不能驾车去上班.ʌ例2ɔ 某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙,用篱笆围一个面积为12m 2的矩形园子.(1)如图,设矩形园子的相邻两边长分别为x (m ),y (m ).①求y 关于x 的函数表达式;②当y ȡ4m 时,求x 的取值范围;(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m ,洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗?为什么?ʌ解析ɔ (1)①由题意x y =12,ʑy =12x x ȡ6()5;②y ȡ4时,65ɤx ɤ3;(2)当2x +12x =9.5时,整理得:4x 2-19x +24=0,ә<0,方程无实数解.当2x +12x =10.5时,整理得:4x 2-21x +24=0,ә=57>0,符合题意;ʑ小凯的说法错误,洋洋的说法正确.针对练习21.当温度不变时,某气球内的气压p (k P a )与气体体积V (m 3)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压p >120k P a 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积V 应( C )A.不大于45m 3B .大于45m 3C .不小于45m 3 D.小于45m 32.为预防流感盛行,对教室进行 薰药消毒 .已知药物在燃烧及释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段O A 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?解:(1)y =23x (0ɤx ɤ15),150x(x >15ìîíïïïï);(2)将y =2代入y =23x 得x =3;将y =2代入y =150x 得x =75;75-3=72.答:从消毒开始,师生至少在72分钟内不能进入教室.3.(2018㊃乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (ħ)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段A B ,B C 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分C D 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (0ɤx ɤ24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10ħ时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?解:(1)y =2x +10(0ɤx <5),20(5ɤx <10),200x(10ɤx ɤ24ìîíïïïï);(2)由(1)得恒温系统设定恒温为20ħ;(3)把y =10代入y =200x 中,解得x =20,ʑ20-10=10.答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.九年级数学 大培优第二十七章 相似第21讲 相似三角形的判定知识导航1.相似多边形.2.平行线分线段成比例定理.3.相似三角形的判定方法.ʌ板块一ɔ 平行线分线段成比例定理方法技巧1.在利用平行线分线段成比例定理时,注意对应线段的位置.2.由平行线+中点得线段中点,利用中位线解题.▶题型一 运用平行线分线段成比例定理探究线段关系ʌ例1ɔ 如图,已知直线A B ʊC D ʊE F ,A F 与B E 交于点G ,且A G =2,G D =1,D F =5,求B C C E的值.ʌ解析ɔ 由A B ʊC D ʊE F ,得B C C E =A D D F .又A D =A G +G D =2+1=3,D F =5,ʑB C C E =35.ʌ例2ɔ 如图,P 是▱A B C D 的边B C 的延长线上任意一点,A P 分别交B D 和C D 于点M 和N .求证:AM 2=MN ㊃MP .ʌ解析ɔ ȵA B ʊD N ,ʑәAM B ʐәNMD ,ʑAM MN =B M DM,又ȵA D ʊB P ,ʑәB M P ʐәDM A ,ʑM P AM =B M DM ,ʑAM MN =M P AM,ʑAM 2=MN ㊃M P .▶题型二 平行线等分线段定理证线段中点ʌ例3ɔ 如图,在正方形A B C D 中,点E 在对角线B D 上,连接A E ,D F ʅB D ,且D F =B E ,F B 与A C交于点M .求证:D E =2C M .ʌ解析ɔ 延长D F ,B C 交于点H ,易证øC D F =45ʎ=øD C A ,ʑDH ʊA C ,又A D ʊC H ,ʑ四边形A C HD 为平行四边形.ʑA D =C H =D C =B C ,DH =A C =B D .ȵAC //DH ,B C =AD =C H ,ʑB M =M F ,又B C =C H .ʑF H =2C M .又DH =B D ,BE =BF ,ʑDH -D F =B D -B E ,即D E =F H .ʑD E =2C M .针对练习11.如图,直线l1,l2,l3分别交直线l4于A,B,C三点,交直线l5于点D,E,F,且l1ʊl2ʊl3,已知D EʒD F =3ʒ8,A C=24.(1)求B C的长;(2)当A D=4,C F=20时,求B E的长.解:(1)B C=15;(2)连接C D交E B于点H,易得E H=38F C=152;H B=58A D=52;ʑB E=E H+H B=10.2.如图,A B是☉O的直径,C D是弦,A EʅC D,B FʅC D,垂足分别为点E,F.(1)求证:D E=C F;(2)若B F=1,A E=2,E F=4,求A B的长.解:(1)过点O作O NʅC D,垂足为点N,易证A EʊO NʊB F,ʑE N N F=A O O B=1.ʑE N=N F.ȵO NʅC D,ʑD N=N C.ʑD N-E N=N C-N F,ʑD E=C F;(2)延长A E交☉O于点M,连接B M.易证四边形E M B F为矩形.ʑE M=B F=1,B M=E F=4,ʑA B=AM2+B M2=5.3.如图,在正方形A B C D中,点E在D A的延长线上,A E=A B,点F在C D上,M为A F的中点,过点M作MNʅM C交B E于点N.求证:MN=M C.解:过点M作M PʅB C,垂足为点P,易证A BʊM PʊD C,ʑB P P C=AM M F=1.ʑB P=P C.ȵM PʅB C,ʑM B=M C.设øNM B=2x,易证øB M P=øP M C=45ʎ-x,øM B P=45ʎ+x,øA B M=45ʎ-x,øM B E=90ʎ-x,ʑøMN B=180ʎ-øNM B-øM B E=90ʎ-x.ʑøM B E=øMN B.ʑMN=M B=M C.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 作平行线构造X 型相似方法技巧1.作平行线是构造三角形相似的基本方法,利用平行线对比例式进行转化.2.通常引入参数求比值或计算线段的长.▶题型一 延长平行线段构X 型相似ʌ例1ɔ 如图,▱A B C D 中,A B =2,A D =3,øA B C =60ʎ,A E ʅB C ,垂足为点E .F 为C D 的中点,D E与B F 相交于点P .(1)求E P D P 的值;(2)求B P 的长.ʌ解析ɔ (1)延长B F ,A D 交于点M ,易得B E =12A B =1,B C =A D =3,E C =2,由A D ʊB C 得DM B C =D F F C =1,E P P D =B E DM .ʑDM =B C =3,E P P D =B E DM =13;(2)过点M 作MN ʅB C 交B C 的延长线于点N .易证四边形A E NM 为矩形,ʑMN =A E =3,E N =AM =6,B M =B N 2+MN 2=213.ȵA D ʊB C ,ʑB P P M =E P P D =13.ʑB P B M =14,B P =14B M =132.▶题型二 作平行线构X 型相似,证线段关系ʌ例2ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C ,D 为B C 上一点,点E ,F 在A D 上,A E =E F =12B E ,øB E D =øB A C .(1)求证:A E =F C ;(2)求证:B D =2C D .ʌ解析ɔ (1)ȵA E =E F =12B E ,ʑB E =A F ,ȵøB E D =øB AC ,ʑøA B E =øC A F ,ʑәA B E ɸәC A F (S A S ),ʑA E =F C ;(2)过点C 作C M ʊB E 交A D 的延长线于点M .ȵәA B E ɸәC A F ,ʑøB E A =øA F C ,ȵøB E A +øB E D =180ʎ,øA F C +øD F C =180ʎ,ʑøB E D =øD F C .ȵB E ʊC M ,ʑøM =øB E D =øD F C .ʑF C =C M .ȵA E =F C ,A E =12B E ,ʑB E =2C M .ȵB E ʊC M ,ʑәB ED ʐәC MD .ʑB D D C =B EC M=2.ʑB D =2D C .▶题型三 作平行线构X 型相似,求比值ʌ例3ɔ 如图,øC A B =90ʎ,A C =A B ,D 是A C 的中点,A F ʅB C 分别交B D ,B C 于点E ,F .A G ʅD B交B C 于点G .求D E A G的值.ʌ解析ɔ 过点B 作B H ʊA C 交A F 的延长线于点H .易证әA C G ɸәB A E ,ʑA G =B E .易证C F =B F ,ȵB H ʊA C ,ʑB H A C =B F C F=1,ʑB H =A C ,又D 为A C 的中点,ʑB H =A C =2A D .ȵB H ʊA C ,ʑE B D E =B H A D =2.ʑE B =2D E .又A G =B E ,ʑA G =2D E ,ʑD E A G =12.ʌ另解ɔ 导角可知,әA D E ʐәB A G ,ʑD E A G =A D A B =1.。