高中奥林匹克数学竞赛 函数与方程
数学竞赛知识点总结高中
数学竞赛知识点总结高中一、函数的基本概念1.1 函数的定义函数是一种对应关系，将定义域中的元素映射到值域中的元素，通常用f(x)表示函数。
1.2 常见函数常见函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
1.3 函数的性质函数的奇偶性、周期性等性质对于解题非常重要。
1.4 函数的图像函数的图像对于理解函数的性质和解题都具有重要意义。
二、不等式2.1 不等式的表示不等式通常表示为a>b、a≥b、a<b、a≤b等形式。
2.2 不等式的解法解不等式通常通过分析不等式的性质、代数方法和图像法进行。
2.3 不等式的应用不等式在优化问题、绝对值不等式、三角不等式等问题中常常出现。
三、集合与映射3.1 集合的基本概念集合是由各种对象的总体，通常用大写字母表示集合。
3.2 集合的运算包括交集、并集、差集等。
3.3 映射的概念映射是一种元素之间的对应关系，通常用f:A→B表示从集合A到集合B的映射。
三、多项式和方程4.1 多项式的定义多项式是由多个项的代数式，通常表示为P(x)。
4.2 多项式的运算多项式包括加减乘除等基本运算。
4.3 多项式的因式分解因式分解是将多项式表示为若干个不可约的因式乘积。
4.4 方程与不等式方程和不等式是基于多项式的等式与不等式。
四、数列与数学归纳法5.1 等差数列与等比数列等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
5.2 数学归纳法的基本思想数学归纳法用于证明递推关系的性质。
五、排列与组合6.1 排列的基本概念排列是从n个元素中取出m个元素进行排列的方式。
6.2 组合的基本概念组合是从n个元素中取出m个元素进行组合的方式。
6.3 排列组合的性质排列组合问题通常包括排列数、组合数、二项式定理等内容。
六、数论7.1 整数的性质奇数、偶数、素数、合数等是数论中的基本概念。
7.2 最大公约数与最小公倍数最大公约数和最小公倍数是数论中的重要概念。
江苏省高中数学竞赛 第34讲 函数迭代与函数方程教案
第34讲 函数迭代与函数方程本节主要内容有函数迭代与函数方程问题．在研究函数的表达式或函数性质时，通常是没有给出函数的解析式，往往只给出函数的某些性质，而要求出函数的解析式，或证明该函数具有另外的一些性质，或证明满足所给性质的函数不存在或有多少个，或求出该函数的某些特殊函数值……。
A 类例题 例1 已知x x e f x sin )(3+=，则函数()f x = 。
解 令x e t =；则ln 0x t t =>，。
将此代入x x e f x sin )(3+=式可得()()t t t f ln sin ln )(3+= （0t >）。
即 ()()3()ln sin ln f x x x =+ （0x >） 代入(1)式，显然其满足方程x x e f x sin )(3+=。
说明 解函数方程(())()f x g x ϕ=（其中()x ϕ及()g x 是已知函数）时，可设()t x ϕ=，并在ϕ的反函数存在时，求出反函数1()x t ϕ-=；将它们代回原来的方程式以求出()f x 。
但若()x ϕ为未知函数时，这个方法就不能用了。
由于代换后的函数未必与原函数方程等价，所以最后一定要检验所得到的解是否满足原来的函数方程。
例2 已知)(x f 为多项式函数，解函数方程x x x f x f 42)1()1(2-=-++ （1） 分析 由于)(x f 为多项式函数，注意)1(+x f 与)1(-x f 和)(x f 的次数是相同的。
解 因为)(x f 为多项式函数，而)1(+x f 与)1(-x f 并不会改变)(x f 的次数，故由(1)可知)(x f 为二次函数。
不妨设c bx ax x f ++=2)(，则22(1)(1)(1)(2)()f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++， 22(1)(1)(1)(2)()f x a x b x c ax b a x a b c -=-+-+=+-+-+， 所以22(1)(1)222()24f x f x ax bx a c x x ++-=+++=-，所以22,24,0,a b a c =⎧⎪=-⎨⎪+=⎩ 解得1,2,1,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以12)(2--=x x x f 。
高中数学竞赛试卷及解答
高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分一、选择题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x),则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数,也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。
记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|,M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|,则(A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中,∠C ＝90°。
若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根,则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21-(C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤216.已知A （－7,0）、B （7,0）、C （2,－12）三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分）7. 满足条件{1,2,3}⊆ X ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。
高一数学竞赛：函数与方程
高一数学竞赛：函数与方程模块一：易错试题精选【例1】若,a b c <<则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间()A (),a b 和(),b c 内()B (),a -∞和(),a b 内()C (),b c 和(),c +∞内()D (),a -∞和(),c +∞内【例2】若函数()⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,1x x x x x f ，函数()1y f f x ⎡⎤=+⎣⎦的零点个数是___________.【例3】已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当()+∞∈,0x 时，()x x f x2017log 2017+=，则函数()x f 的零点个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【例4】奇函数f (x )、偶函数g (x )的图象分别如图1、2所示，方程f (g (x ))＝0、g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 、b ，则a ＋b 等于()A.14B.10C.7D.3【例5】设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩,则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7【例6】函数322,2()log (2),2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()2–41()g x a f x x =-++有6个不同的零点，则a 的取值范围为（）A.()0,2 B.(]0,2 C.(]0,1 D.()0,1【例7】设函数()4310{log 0x x f x x x +≤=>，，,若关于x 的方程()()()2230f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解,则实数a 的取值范围为（）A.()22-B.322⎛⎤- ⎥⎝⎦， C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.()2,-+∞【例8】已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x m =有四个不同的解a b c d ,,,,且a b c d <<<,则的()21a b c c d++取值范围为()A.(]1,1- B.[)1,1- C.(1,)-+∞ D.(,1)-∞【例9】已知定义在R 上的函数()f x 满足(4044)4()f x f x -=-，若函数220192022x y x +=-与()y f x =的图象有m 个交点(,)(1,2,3)i i x y i m =L ，则1()miii x y =+=∑()（注111221()()()()mim m i x y xy x y x y =+=++++++∑L ）A.2022mB.2019mC.2021mD.2024m模块二：培优试题精选【例1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，()2f x x =，函数()()log 1,12,1a x x x g x x ⎧->=⎨≤⎩，若函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-上恰有8个零点，则a 的取值范围为（）A ．（2，4）B ．（2，5）C ．（1，5）D ．（1，4）【例2】关于x 的方程()242200x m x m ++++=有两个正根()1212,x x x x <，下列结论错误的是（）A ．102x <<B ．226x <<C ．1212x x x x +的取值范围是{01}xx <<∣D ．2212x x +的取值范围是{440}xx <<∣【例3】设函数21,0()ln ,0ax ax x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()y f x a =+在R 上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．(),0∞-C ．[)1,0-D ．4,13⎛⎤-- ⎥⎝⎦【例4】已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==-⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（）A ．1m >B ．1mC ．1m <D ．1m【例5】已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个【例6】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()211,0212,22x x f x f x x ⎧--<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为（）A ．8B ．32C ．0D ．18【例7】已知函数23e ,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()()2g x f x kx x =--有两个零点，则k 的可能取值为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【例8】设函数()f x 定义域为R ，(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，当(1,1]x ∈-时，2()1f x x =-+，则下列结论正确的是（）A ．7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．(7)f x +为奇函数C ．()f x 在(6,8)上为减函数D ．方程()lg 0f x x +=仅有6个实数解【例9】已知函数()()211x xf x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（）A ．αββα=+B ．22log ααββ+=+C ．4αβ+>D ．1αβ->-【例10】设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.【例11】设a ∈R ，对任意实数x ，记(){}2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至少有3个零点，则实数a 的取值范围为______.【例12】已知偶函数()f x 满足()()33f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，()221f x x x =-++，若关于x 的方程()()230f x tf x --=在[150,150]-上有300个解，则实数t 的取值范围是_____.【例13】已知函数()f x 定义城为(]0,12，恒有(4)4()f x f x +=，(]0,4x ∈时2()22x f x -=-；若函数2()()()g x f x t f x =+⋅有4个零点，则t 的取值范围为________.【例14】已知函数212,2()2ln(1),2x x x f x x x ⎧-+<≤⎪=⎨⎪->⎩，当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，函数1()()4g x f f x m ⎛⎫=+- ⎝⎭有6个不同的零点，求m 的取值范围___________.【例15】已知函数2|2|,0,()|log |,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若关于x 的方程()0f x k -=有4个不相等的实数根a ，b ，c ，d ，则+++a b c d 的取值范围是___________，abcd 的取值范围是___________.【例16】已知函数()1ln ,1121,1x f x x x x ⎧⎛⎫-<-⎪ ⎪=+⎝⎭⎨⎪+-⎩，则函数()f x 的零点是__________；若函数()()()g x f f x a =-，且函数()g x 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________.【例17】已知函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则（1）实数m 的取值范围为_________；（2）+++a b c d 的取值范围是_________．【例18】已知函数()()2ln ,068,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则函数()f x 的各个零点之和为______；若方程1f x mx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭恰有四个实根，则实数m 的取值范围为______．模块三：全国高中数学联赛试题精选【例1】（全国竞赛题）已知定义在+R 上的函数)(x f 为⎩⎨⎧--=x x x f 41log )(39,90,>≤<x x ，设c b a ,,是三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。
高中数学奥林匹克竞赛讲座：27函数
竞赛讲座27－函数1.函数的基本概念一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.(1)求函数的定义域例1(1982年西安初中竞赛题)已知函数求自变量取值范围.解-2＜x＜-1，或-1＜x＜0，或0＜x＜2，或2＜x≤3.或者写成-2＜x≤3，且x≠0，2.例2(1982年大连海运学院研究生招考题)设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，试求f(x+a)+f(x-a)的定义域(a＞0).解由若0＜a＜时,x∈[a,1-a];若a＞时,函数关系不存在.(2)关于对应法则若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的一个重要方面.例3(美国34届中学生邀请赛题)设f是一个多项式，对所有实数x，f(x2+1)=x4+5x2+3.对所有实数x，求f(x2-1).分析若能找到函数的对应法则f，即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法.①配凑法：f(x2+1)=x4+5x2+3=(x2+1)2+3(x2+1)-1，∴f(x)=x2+3x-1，∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1=x4+x2-3.②换元法令 x2+1=t，则x2=t-1.由f(x2+1)=x4+5x2+3有f(t)=(t-1)2+5(t-1)+1=t2+3t-1∴f(x2-1)=(x2-1)2+3(x2-1)-1=x4+x2-3.例4 (1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f(x)=2x(ax2+bx+c)满足等式f(x+1)-f(x)=2x·x2，求a+b+c的值.解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c)，f(x+1)=2x+1［a(x+1)2+b(x+1)+c］=2·2x［(ax2+bx+c)+2ax+a+b］=2f(x)+2·2x(2ax+a+b)由f(x+1)-f(x)=2x·x2有2x(ax2+bx+c)+2·2x［2ax+a+b］=2x·x2，在上式中，令x=0得 2a+2b+c=0；①令x=1得 7a+3b+c=0；②令x=2得 14a+4b+c=0.③由①，②，③解出 a=1，b=-4，c=6，∴ a+b+c=3.(3)关于函数方程这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程.例5 对于一切实数x，y，函数满足f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(0)≠0.求f(1987)和f(1988).解∵f(x·y)=f(x)·f(y)，取y=0，得f(x·0)=f(x)f(0)f(0)=f(x)·f(0).又f(0)≠0，∴f(x)=1，∴f(1987)=f(1988)=1.例6 (第32届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2f=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数( ).(A)恰有一个 (B)恰有两个 (C)不存在 (D)有无穷多个，但并非一切非零实数 (E)是一非零实数解 f(x)+2f=3x.①以换x得 f+2f(x)= ②由①，②两式消去f得3f(x)=-3x，∴f(x)= -x.③又由f(x)=f(-x)，将③代入得-x=+x，即 -2x=0，2-x2=0，∴x=±.故应选(B).(4)求函数值例7(1986年北京高一竞赛题)f(x)=(2x5+2x4-53x3-57x+54)1986，求f［-1］.解设,则2t+1=,即2t2+2t=55.∴2t5+2t4-53t3-57t+54=t3(2t2+2t)-53t3-57t+54=2t3+2t2-2t2-57t+54=55t-2t2-57t+54=-2t2-2t+54=-1.∴f()=(-1)1986=1.2.正比便函数、反比便函数及一次函数例8 (1987年浙江省初中竞赛题)已知y=y1+，其中y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=2和x=3时，y的值都为19.求y与变量x的函数关系式.解设y1=k1x，y2=(k1，k2均不为零)，则 y=y1+=k1x+.将x=2，x=3代入y=y1+得∴ y=5x+例9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数y=ax+b(a≠0)有一组对应值x=,y=0.试证y=ax+b不能有二组以上的有理数的对应值.证明若y=ax+b存在两组不同的有理数对应值(x1，y1)，(x2，y2)，而函数式为y=a(x-)，故∵a≠0，消去a可得(y2-y1)=x1y2-x2y1.∵x1y2-x2y1是有理数.∴y2-y1=0，即y1=y2，∴x1y1-x2y1=0.即(x1-x2)y1=0.若y1=0，则x1=，但这与假设矛盾，故不可能.∴y1≠0，从而x1=x2也不可能.∴y=ax+b不能有两组以上的有理数的对应值.3.二次函数关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题.例10(1987年浙江初中数学竞赛题)设二次函数y=(a+b)x2+2cx-(a-b)，其中a，b，c是三角形的三边，且b≥a,b≥c.已知x=-这个二次函数有最小值为-，求△ABC三内角A、B、C的度数.解散由题设，二次函数图象的顶点坐标是（-，-），即（）.于是①②由①得a+b=2c，代入②得（b-c）+（b-a）=0.∵b≥a,b≥cb-c=0,b-a=0,即 a=b=c.△ABC为正三角形,A=B=C=60°.例11 (1989年全国初中数学竞赛题)如图31-1,△ABC中,D、E分别是边BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3,如果△ABC,△EBD,△ADC的周长依次为m,m1,m2,证明:证明由已知可得DE∥AC，进而△EBD∽△ABC∽△DAC. ①∴②③∴于是有在这里,我们是将看成关于的二次函数,利用配方法来处理的.4.其它下面我们再利用配方法来解一个多元函数的最值问题.例12 (1978年日本半桥技术科学大学入学题)在边长为a的正三角形中,设点P、Q、R 在边BC,CA,AB上运动,并保持的关系,设，△PQR的面积为S.(1)用x、y、z表示S；（2）求S的最大值；（3）求S取最大值时，、、的值.解（1）S=S△ABC-(S△AQR+S△BRP+S△CPQ).∵S△ABC=a2，S△AQR=z（a-y）sin60°同样S△BRP=x·(a-z),S△CPQ=y(a-x).∴S=a2-[z(a-y)+x(a-z)+y(a-x)]=a2-a(x+y+z)+(yz+yx+xy)=a2-a2+(yz+yx+xy)=(yz+yx+xy). ①（2）将z=a-x-y代入①消去z得S=[(a-x-y)(x+y)+xy]=-[x2+(y-a)y+y2-ay],∴S=-)≤当x+时，上式取等号，即x=y=z=时，Smax=a2，（3）根据（2），当S取最大值时，x=y=z=.在△CPQ内，CQ=，CP=.由余弦定理得最后，我们把视线转向分段函数的极值问题.例13（1968～1969年波兰竞赛题）已知两两互异的实数a1，a2，…，an.求由式子（x 为实数）y=|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|所定义的函数的最小值.解我们首先研究一个简单的事实：设a＜b，则u=|x-a|+|x-b|=u在a≤x≤b上每一点达到最小值:-a+b. ①下面我们来研究原命题:对a1,a2,…，an重新按从小到大排序为a1′,a2′,…an′.于是，当n为偶数，即n=2m时，将原函数重新记为y=（|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|+…+|x-am′|+|x-a′m+1）.令y=|x-a′i|+|x-a′n+1-i|,由①,它在ai≤x≤an+i上取最小值-ai+an+1-i.又∵每一个区间都包含着下一个区间，即[a1,an][a2,an-1+…*am，am-1]（“”读作包含，如AB，读作A包含B），因此它们的公共区间为[am，am+1].由于在区间[am，am+1]每点上所有yi都取常数最小值，为了方便令x=am 或x=am+1于是y最小值=-a1+an-a2+an-1+…-am+am+1=-a1-a2-…-am+am+1+am+2+…+an.当n为奇数时，将原函数记为y=（|x-a1′|+|x-an′|+|x-a2′|+|x-a′n-1|）+…+（|x-am′|+|x-a′m+2|）+|x-a′m+1|.类似上面的讨论，当x=am+1时，y最小值=-a1-a2-…-am+am+2+am+3+…+an.练习三十一（1）（1989年全国初中数学竞赛题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式ab，ac，a+b+c，a-b+c，2a+b，2a-b中，其值为正的式子的个数为（）. （A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上（2）曲线|y|=x2-1的图象（实线部分）大致形状是（）.（3）（1984年全国竞赛题）若则下列等式正确的是（）.（A）F（-2-x）=-1-F（x）（B）（C）F（x-1）=F（x）（D）F（F（x））=-x2.填空题（1）x，y为实数，.则x+xy+x2y的值是_________.（2）（据1990年全国初中竞赛题改）方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0(k是实数)有两个实根α、β,且0＜α＜1,1＜β＜2,那么k的取值范围是______.3.已知f(a+b)=f(a)+f(b),且f(1)=1.求的值.4.已知函数y=|x-1|+|x-3|+.试求使y值恒等于常数的x值范围.5.(1983年全国竞赛题)已知f(x)=ax2-c满足-4≤f(x)≤-1,-1≤f(2)≤5.求f(3)的范围.6.已知0≤x≤1,0≤y≤1,y-x≥,且x+y+z=1,求函数W=2x+5y+4z的最大、最小值.7.（1987年浙江初中竞赛题）二次函数f(x)=ax2+bx+c其中a≠0,且a、b、c为实数.对某一常数t，如有af（t）＜0,试证:f(x)有不同的两个实数根，其中一个实根比t小，另一实根比t大.8.（浙江初中竞赛题）函数f(x)对一切实数x满足f(4+x)=f(4-x).若方程f(x)=0恰有三个不同的实根，求这些实根的和是多少？9.（1985年江苏东台初中数学竞赛题）若z2-2mz+m+6=0的二实数根为a、b，试求(a-1)2+(b-1)2的最小值.10.（1983年重庆初中数学竞赛题）等边△ABC的边长为a有三个动点P、Q、R分别同时从A、B、C出发沿AB、BC、CA按逆时针方向以各自的速度作匀速直线运动.已知P点由A到B需1秒，Q点从B到C需2秒，R点由C到A需3秒，在一秒钟内，问开始运动多少时间△PQR的面积最小？最小面积是多少？）11.(1985年苏州初中数学竞赛题)如图,凸四边形ABCD边长依次为2、2、3、1.问在四边形ABCD变形为各种凸四边形的过程中,BD的长的变化范围是什么?B到DC距离的变化范围又是什么?练习三十一１．Ａ．Ｄ．Ａ．２．３．４．当５．①②（１）＋（２）得③（２）＋（３）得－１６．由z=1-x-y,∴W=4-2x+y．要求Ｗ的最大、最小值，只需求y-2x的最大、最小值．设Ｐ（x,y）是坐标适合条件的点，则Ｐ在以为顶点的内（包括边界）．设t=y-2x,则y=2x+t.由t的几何意义Ｗ最大值＝５Ｗ最小值＝４．、∈∈８．四个根之和为１６．９．先由１０．∈１１．如图（a）ＢＤ最大时，Ｂ、Ａ、Ｄ在一直线上，ＢＤ＝３.。
高中数学奥赛辅导系列 简单的函数方程(1)教案
简单的函数方程（一）函数方程的概念：1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程．如f （x ＋1）=x 、f （－x ）=f （x ）、f （－x ）= －f （x ）、f （x ＋2）=f （x ）等．其中f （x ）是未知函数2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解．如f （x ）=x －1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理（柯西函数方程的解）若f （x ）是单调（或连续）函数且满足f （x ＋y ）=f （x ）＋f （y ） （x ，y ∈R ）、则 f （x ）=xf （1） 证明：由题设不难得f （x 1＋x 2＋…＋x n ）=f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ） 取x 1=x 2=…=x n =x ，得f （nx ）=nf （x ） （n ∈N +） 令x =0，则f （0）=nf （0），解得f （0）=0 --------- （1） x =1，则f （n ）=nf （1）x =n m ，则f （m ）=nf （n m ） ，解得f （n m ）=n 1f （m ）= n mf （1） ------- （2） x =－nm，且令y =－x ＞0，则f （x ）＋f （y ）=f （x ＋y ）=f （0）=0∴f （x ）=－f （y ）=－yf （1）=xf （1） （m ，n ∈N+，且（m ，n ）=1）---（3） 由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x 均有f （x ）=xf （1）另一方面，对于任意的无理数x ，因f （x ）连续，取以x 为极限的有理数序列{x n }，则有 ：f （x ）=lim n →∞f （x n ）=lim n →∞x n f （1）=xf （1）综上所述，对于任意实数x ，有 f （x ）=xf （1）函数方程的解法： 1.代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 （1）已知f （2x －1）=x 2＋x ，那么f （x ）=______________．略解：设t =2x －1，则x =21 （t ＋1），那么f （t ）= 41 （t ＋1）2＋21 （t ＋1）=41t 2＋t ＋43， 故f （x ）= 41x 2＋x ＋43．（2） 已知f （x ＋1）=x ＋2x ，那么f （x ）=____________．略解：f （x ＋1）=（x ＋1）2－1，故f （x ）=x 2－1 （x ≥1）（3） 已知f （x ＋x 1）=x 2＋21x，那么f （x ）=_______________．略解：f （x ＋x 1）=（x ＋x1）2－2，故f （x ）=x 2－2 （|x |≥2） 例2 设ab ≠0，a 2≠b 2，求af （x ）＋bf （x1）=cx 的解解：分别用x =t1，x =t 代入已知方程，得 af （t1）＋bf （t ）=t c------（1） af （t ）＋bf （t1）=ct ------（2）由（1），（2）组成方程组解得 f （t ）= t b a b at c )()(222-- 即： f （x ）= xb a b axc )()(222-- 2.待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得例3 已知f （x ）是一次函数，且f {f [f ---f （x ）]}=1024x ＋1023．求f （x ） 10次解：设f （x ）=ax ＋b （a ≠0），记f {f [f …f （x ）]}=f n （x ），则 n 次f 2（x ）=f [f （x ）]=a （ax ＋b ）＋b =a 2x ＋b （a ＋1）f 3（x ）=f {f [f （x ）]}=a [a 2x ＋b （a ＋1）]＋b =a 3x ＋b （a 2＋a ＋1）依次类推有：f 10（x ）=a 10x ＋b （a 9＋a 8＋…＋a ＋1）=a 10x ＋aa b --1)1(10由题设知：a 10=1024 且aa b --1)1(10=1023∴a =2，b =1 或 a =－2，b =－3∴f （x ）=2x ＋1 或 f （x ）=－2x －33.迭代法（见竞赛辅导第三讲函数迭代知识）由函数方程找出函数值之间的关系，通过n 次迭代得到函数方程的解法例4 设f （x ）定义在正整数集上，且f （1）=1，f （x ＋y ）=f （x ）＋f （y ）＋xy ．求f （x ）解：令y =1，得f （x ＋1）=f （x ）＋x ＋1再依次令x =1，2，…，n －1，有 f （2）=f （1）＋2 f （3）=f （2）＋3……f （n －1）=f （n －2）＋（n －1） f （n ）=f （n －1）＋n 依次代入，得f （n ）=f （1）＋2＋3＋…＋（n －1）＋n =2)1(+n n∴f （x ）=2)1(+x x（x ∈N +）例5 已知f （1）=51且当n ＞1时有)(211)1(2)()1(n f n nf n f n f -+-=-．求f （n ） （n ∈N +） 解：把已知等式（递推公式）进行整理，得f （n －1）－f （n ）=2（n ＋1）f （n ）f （n －1）∴)(1n f )1(1-n f =2（n ＋1）把n 依次用2，3，…，n 代换，得)2(1f －)1(1f =2×3)3(1f －)2(1f =2×4……)(1n f )1(1-n f =2（n ＋1）上述（n －1）个等式相加，得)(1n f )1(1f =2[3＋4＋…＋（n ＋1）]=（n －1）（n ＋4） ∴)(1n f = )1(1f ＋（n －1）（n ＋4）=n 2＋3n ＋1∴f （n ）=1312++n n 4.柯西法在f （x ）单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解例6 设f （x ）连续且恒不为0，求函数方程f （x ＋y ）=f （x ）f （y ）的解解：∵f （x ）=f （2x ＋2x ）=f （2x ）f （2x）≥0 若存在x 0∈R ，使f （x 0）=0．则对一切实数x ，有f （x ）=f （x －x 0＋x 0）=f （x －x 0）f （x 0）=0 这与f （x ）不恒为0矛盾，故f （x ）＞0对题设f （x ＋y ）=f （x ）f （y ）两边取自然对数，得 ln f （x ＋y ）=ln f （x ）f （y ）∴ln f （x ＋y ）=ln f （x ）＋ln f （y ） 令g （x ）=ln f （x ）∵f （x ）＞0且连续， ∴g （x ）连续且满足g （x ＋y ）=g （x ）＋g （y ）. 由定理知：g （x ）=g （1）x 故 ln f （x ）=x ln f （1）∴f （x ）=e x ln f （1）=f （1）x令f （1）=a ，则f （x ）=a x（a ＞0）类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：（1） 若f （xy ）=f （x ）＋f （y ） （x ＞0，y ＞0），则f （x ）=㏒a x（2） 若f （xy ）=f （x ）f （y ） （x ＞0，y ＞0），则f （x ）=x 2（3） 若f （x ＋y ）=f （x ）＋f （y ）＋kxy ，则f （x ）=ax 2＋bx （4） 若f （x ＋y ）＋f （x －y ）=2f （x ），则f （x ）=ax ＋b 课后练习：1、 下面四个数中，满足⎪⎭⎫⎝⎛+2y x f =21[f （x ）＋f （y ）]的函数是 （ ） A ．ln x B ．x1 C ．3x D ．3x 2、 如果对x ∈R ，有2f （1－x ）＋1=xf （x ），那么f （x ）=__________．3、 对任意实数x ，y ，函数f （x ）有f （x ＋y ）=f （x 2）＋f （2y ），则f （1985）=（ ）A ．1985B ．1985C ．3990D ．以上答案都不对 4、 已知f （1）=1，f （n ）－f （n －1）=a n，n ∈N +．求f （n ） 5、 解方程 xf （x ）＋2f （11+-x x ）=1． 6、 已知f （x ）连续且定义在非零实数集上，满足()()()()()y f x f y f x f y x f +=+，求f （x ）．。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
最新的高中数学竞赛函数练习题
最新的高中数学竞赛函数练习题高中数学竞赛函数练题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则答案：C解析：将XXX(10x+1)拆分为XXX(10x)和XXX(1+1/10x)，前者是x的一次函数，后者是x的负一次函数，即为奇函数和偶函数之和。
所以，g(x)=x。
h(x)=lg(10x+1)－x。
2.若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则答案：C解析：将不等式化简，得到x/y≥(log23-log5)/(log25)，即x/y≥2/(log25)。
因为x>y>0，所以x/y>1，即2/(log25)>1，所以(log23)-y<(log53)-y，即y<(log53)/(log25)-(log23)/(log25)，即y<(log25)/(log5)-(log23)/(log5)，即y<(log23)/(log5)-1.3.已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是答案：B解析：由题意，得到以下不等式组：a-c≥-4，a-c≤-1，4a-c≤5，a-c≤1.将这些不等式组合起来，可得-4≤a-c≤1，即-3≤a≤2.因为f(x)是一个开口向上的抛物线，所以f(3)一定在f(1)和f(2)之间，即-1≤f(3)≤5.因此，B选项正确。
4.已知f(n)=logn(n+1) (n N*且n≥2)，设∑p n=2logf(n)=100 (p,q N*且(p,q)=1)，则p+q=答案：D解析：根据对数的性质，有logn(n+1)=logn+log(n+1)，所以f(n)=logn+log(n+1)。
因此，∑p n=2 logf(n)=∑p n=2logn+log(n+1)=∑p n=2 (logn+log(n+1))=plog2+∑p n=2 log(n+1)。
奥林匹克数学题型函数复变函数
奥林匹克数学题型函数复变函数奥林匹克数学题型：函数与复变函数函数与复变函数是奥林匹克数学竞赛中常见的题型，它们要求考生掌握基本的函数知识和复变函数的性质。
本文将从函数的定义、性质以及相关的解题技巧等方面展开论述。
一、函数的定义与性质1. 函数的定义：函数是一种特殊的对应关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值上。
数学中常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是对应的因变量的值。
2. 函数的性质：函数可以有定义域和值域，它们分别是自变量和因变量可能取值的范围。
函数还有奇偶性、周期性等特点，可以通过导数、积分和极值等方式进行研究。
二、复变函数的定义与性质1. 复变函数的定义：复变函数是将复数映射到复数的函数。
它可以分为实部函数和虚部函数，在复平面上表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中z = x + yi，u(x, y)和v(x, y)分别是实部和虚部函数。
2. 复变函数的性质：复变函数满足解析性，即在定义域内连续且可导。
复变函数有导数、积分和级数展开等运算法则，可以用于解决复数方程、调和函数等问题。
三、函数与复变函数的解题技巧1. 函数解题技巧：函数题常涉及函数的性质和图像的分析。
可以通过求导、求极值、解方程等方法解决。
巧用函数性质和数学方法，可以简化解题过程，提高解题效率。
2. 复变函数解题技巧：复变函数题目通常要求求解解析函数满足的条件，或者计算复函数的导数、积分等。
可以利用柯西-黎曼方程、柯西定理、留数定理等技巧，简化复变函数的计算过程。
四、例题解析1. 函数题例题：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求函数f(x)的最小值。
解析：为求函数的最小值，可以先求出函数的导数，然后令导数为0，求得极值点，最后代入函数求出最小值。
2. 复变函数题例题：已知复变函数f(z) = e^z + z^2，求函数f(z)在z = i处的导数。
解析：可以根据复变函数的性质，计算复变函数的导数。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题(含答案)
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。
3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。
6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。
7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。
8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。
9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。
10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。
直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。
则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。
《数学奥林匹克小丛书》(第三版)高中卷A辑勘误图示(2020.9.22更新) (1)
《数学奥林匹克小丛书》（第三版）高中卷A辑勘误图示高中卷A辑 2 函数与函数方程
1.75页例10勘误如图
2.159页第9题解析勘误如图
高中卷A辑 3 三角函数1.6页例4解析勘误如图
2.29页例2解法一勘误如图
3.74页例14解析勘误如图
5.128页例1解析勘误如图
6.137页例12勘误如图
8.156页第1题勘误如图
9.174页第16题勘误如图
高中卷A辑 4 平均值不等式与柯西不等式1.4页证法三说明勘误如图
高中卷A辑 6 复数与向量1.11页勘误如图
2.23页例3解析勘误如图
高中卷A辑7 解析几何1.33页第7题勘误如图
2.86页例14图4.16勘误如图
3.88页例17图
4.20勘误如图
4.96页例5解析勘误如图
5.141页例3解析勘误如图
6.176页第一段勘误如图
高中卷A辑8 高中数学竞赛中的解题方法与策略1.168页例9解析。
高中奥林匹克数学竞赛 二 次 函 数
第四讲 二 次 函 数二次函数在中学数学中起着十分重要的作用，也是初等数学中遇到比较多的函数之一，形如)0()(2≠++=a c bx ax x f 的函数，它的图象简单，性质易于掌握，又与二次方程、二次不等式有联系，与之相关的理论如判别式，韦达定理，求根公式等又是中学教材的重点内容，因此有必要进一步认识二次函数的性质，研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧．二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的主要性质：定义域为R ；图象是对称轴平行于y 轴（或与y 轴重合）的抛物线；当a ＞0时，抛物线开口向上方，函数的值域是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,442a b ac ，当∈x （－∞,a b 2-）时,)(x f 是减函数,当∈x [－a b2,＋∞]时，)(x f 是增函数；当a ＜0时，抛物线开口向下方，函数的值域是⎥⎦⎤⎝⎛-∞-a b ac 44,2，当∈x （－∞,ab 2-）时,)(x f 是增函数,当∈x [－,＋∞）时，)(x f 是减函数．当ac b 42-＞0时，函数的图象与x 轴有两个不同的交点，它们分别是（0,242a ac b b ---），（0,242aacb b -+-）；ac b 42-=0时，函数的图象与x 轴有两个重合的交点（－ab2,0）,这时也称抛物线与x 轴相切, ac b 42-＜0时,函数的图象与x 轴没有交点．函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的图象是连续的．一个有用的结论是，在区间[q p ,]端点处的函数值异号，即)()(q f p f ⋅＜0时,方程)(x f =0在（q p ,）内恰有一个实根．抛物线的凸性也有一定用途，a ＞0时，函数的图象是下凸形曲线，即对于任意R x x ∈21,，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f +；a ＜0时, 函数的图象是上凸形曲线，即对于任意R x x ∈21,，有)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +利用二次函数图象的凸性和单调性，在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式． 一．含有参变数的二次函数对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当a 、b 、c 固定时，此二次函数唯一确定，它的图象是一条抛物线；若b 、c 固定时，a 可以在某个范围内变动，则它的图象可能是“一族”抛物线，对于a 、b 、c 的不同范围和条件，得到的抛物线族具有不同的特征，如何确定这些特征，就因题而异了．例题分析：1． 集合A ={42|2++=x x y y }，B ={a x ax y y 42|2+-=}，A ⊆B ，求实数a 的取值集合．解：A 、B 分别表示函数422++=x x y 与函数a x ax y 422+-=的值域．由3)1(4222++=++x x x ≥3知A =[3，＋∞）．而B 受参数a 的影响，要进行讨论．a =0时，x y 2-=，值域是R 符合条件A ⊆B ．a ≠0时，)(x f =a x ax 422+-是二次函数，如果a ＜0，该函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a a 14,，这时A B 不成立．如果a ＞0时，由[3，＋∞]⊆[a a 14-，＋∞],得⎪⎩⎪⎨⎧≤->314 0a a a ∴ 0＜a ≤1综上所述, a 的可取值集合为{a |0≤a ≤1}。
高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案
高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
高中数学竞赛中的函数方程问题研究
高中数学竞赛中的函数方程问题研究一、本文概述《高中数学竞赛中的函数方程问题研究》是一篇深入探讨高中数学竞赛中函数方程问题的重要文章。
本文将全面概述函数方程问题的基本概念、类型、解题策略以及在实际竞赛中的应用。
通过对函数方程问题的深入研究，旨在帮助读者更好地理解并掌握解决这类问题的关键技巧，提高数学竞赛的应对能力。
在本文中，我们将首先介绍函数方程问题的基本概念和分类，以便读者对这类问题有一个清晰的认识。
接着，我们将重点分析函数方程问题的解题策略和方法，通过实例讲解让读者更加直观地理解并掌握这些技巧。
本文还将对函数方程问题在数学竞赛中的应用进行探讨，帮助读者了解如何将这些策略应用到实际竞赛中。
我们将对全文进行总结，强调函数方程问题在高中数学竞赛中的重要性，并鼓励读者通过不断练习和实践，提高自己的数学竞赛水平。
通过本文的阅读和学习，相信读者将能够更好地应对高中数学竞赛中的函数方程问题，取得优异的成绩。
二、函数方程的基本概念与性质函数方程是数学竞赛中经常遇到的一类问题，它涉及函数与方程两个核心数学概念的结合。
在深入研究函数方程问题之前，我们首先需要明确函数方程的基本概念与性质。
函数方程是指既含有未知数，又含有未知函数的方程。
其中，未知函数是方程中待确定的函数关系，而未知数则是方程中待确定的常数或变量。
例如，方程f(x) + x = 0就是一个简单的函数方程，其中f(x)是未知函数，x是未知数。
函数值的存在性：对于函数方程，其解必须满足函数的定义域要求，即解集内的每一点都必须是函数的定义域内的点。
函数的唯一性：在函数方程的解集中，每一个自变量只对应一个函数值。
这意味着在求解函数方程时，我们必须确保得到的解满足函数的这一基本性质。
方程的等价性：如果两个函数方程在相同的定义域内，对于所有的自变量都有相同的函数值，则这两个方程是等价的。
这一性质在函数方程的化简和求解过程中尤为重要。
解的多样性：函数方程的解可能不唯一，即可能存在多个满足方程的函数。
高中数学 第二节 方程奥林匹克竞赛题解
第二章代数第二节方程B2-001 如果方程x2+ax+b=0与x2+px+q=0有一个公根，求以它们的相异根为根的二次方程．【题说】1957年上海市赛高二复赛题 2．【解】设公根为α，则α2+aα+b=0α2+pα+q＝0相减，得(a-p)α＝q-b所以由韦达定理，另外两个相异的根为故所求方程为【注】利用两根之和等于一次项系数的相反数求出的方程为此方程与上面求出的方程仅是外形不同，事实上，a，b，p，q有关系．(b-q)2＝(aq-bp)(p-a)B2-002 方程x n=1(x≥2)的n个根是1，x1，x2，…，x n-1．证明：【题说】1957年武汉市赛决赛题 2．将原方程变形为(x-1)(x n-1+x n-2+…+x+1)=0．【证】x n-1=(x-1)(x-x1)…(x-x n-1)．因此，(x-x1)(x-x2)…(x-x n-1)＝x n-1+x n-2+…+x+1令x=±1得(1-x1)(1-x2)…(1-x n-1)=n所以B2-003 证明：如果整系数二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数．【题说】1958年～1959年波兰数学奥林匹克三试题2．从而ap2+bpq+cq2=0若p、q均为奇数，则因此a、b、c中至少有一个偶数．若p、q中有一个偶数，则另一个为奇数．不妨设p为奇数，q为偶数，则即a为偶数．B2-004 证明：方程x5+x=10有一正根为无理数．【题说】1963年合肥市赛高三二试题 4．【证】当x=0时，x5+x＜10．当x=10时，x5+x＞10，因此x5+x=10必有正根(在(0，10)内)．并且p、q互质)满足条件p｜a0，q｜a n．因此x5+x-10=0的有理根只可能是±10，±5，±2，±1．不难验证它们都不是方程的根．所以方程的正根都是无理数．B2-005 设P(x)=a0x n+a1x n-1+…+a n-1x+a n是整系数多项式，如果P(0)与P(1)都是奇数，证明P(x)没有整数根．【题说】第三届(1971年)加拿大数学奥林匹克题5．第七届(1941年)莫斯科数学奥林匹克九、十年级题8．【证】对于整数m，若它是偶数，则P(m)与P(0)奇偶性相同；若它是奇数，P(m)与P(1)奇偶性相同，故P(m)总是奇数，不为0．因此，P(x)没有整数根．B2-006 二次三项式f(x)=ax2+bx+c，如果方程f(x)=x无实根．证明：方程f(f(x))=x 亦无实根．【题说】第七届(1973年)全苏数学奥林匹克十年级题1．【证】如果方程f(x)=x无实根，则对所有x的值，有f(x)＞x(若a＞0)或f(x)＜x(或a＜0)从而f(f(x))＞f(x)＞x或f(f(x))＜f(x)＜x所以f(f(x))=x，无实根．【注】结论对所有连续函数f(x)均成立．B2-007 设a和b为实数，且使方程x4+ax3+bx2+ax+1=0至少有一个实根，对所有这种数对(a，b)，求出a2+b2的最小可能值．【题说】第十五届(1973年)国际数学奥林匹克题3．本题由瑞典提供．【解】设实数x使x4+ax3+bx2+ax+1=0则从而方程y2+ay+(b-2)=0此式即平方整理得2｜a｜≥2+b从而程x4+ax3+bx2+ax+1的实根)．B2-008 若P1(x)=x2-2，P i(x)=P1[P i-1(x)]，i=2，3，4，…．证明：对任何自然数n，方程P n(x)=x的根都是不同的实根．【题说】第十八届(1976年)国际数学奥林匹克题2．本题由芬兰提供．【证】当｜x｜≥2时，P1(x)≥2，从而P n(x)≥2，故P n(x)的所有实根都在(-2，2)中．设x=2cost，则P1x(t)=4cos2t-2=2cos2t从而P n x(t)=2cos2n t即当2n t=±t+2kπ，k=0，1，…时，得P n(x)=x的2n个不同的实根，因为P n(x)次数是2n，所以它的所有根都是实根．B2-009 已知方程2x2-9x+8=0，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方．【题说】1978年全国联赛一试题 4．【解】设已知方程的两个根为x1、x2，所求方程为x2+px+q=0，它故所求方程为36x2-161x+34=0．B2-010 设a、b、c、d是互不相同的四个整数，r是方程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9=0【题说】1979年河南省赛一试题7．【证】由题意(r-a)，(r-b)，(r-c)，(r-d)是互不相同的四个整数，且(r-a)(r-b)(r-c)(r-d)=9由整数的唯一分解定理知r-a，r-b，r-c，r-d只能分别是-1，1，-3，3．所以(r-a)+(r-b)+(r-c)+(r-d)=0即B2-011 设a、b、c是方程x3-x2-x-1=0的根．1．证明：a、b、c彼此不等；2．证明：下式表示一个整数【题说】第十四届(1982年)加拿大数学奥林匹克题2．第2小题中，1982换成任意自然数n均成立．【证】1．由韦达定理，有a+b+c=1，bc+ca+ab=-1，abc=1如果a、b、c中有两数相等，不妨设b=c．则有a+2b＝1，b2+2ab＝-1，ab2＝1由前二式解得a=-1，b=1，a=5/3，b=-1/3．但它们不满足第三式．因此，a、b、c彼此不等．(a+b+c)=2都是整数，设在n≤k时A n均为整数(k≥2)，则由于b k+1=b k+b k-1+b k-2等，所以b k+1-c k+1=(b k-c k)+(b k-1-c k-1)+(b k-2-c k-2)．从而A k+1=A k+A k-1+A k-2也是整数，因此一切A n为整数．特别地，A1982为整数．B2-012 已知x1、x2是方程x2+(k-2)x+(k2+3k+5)=0 (k为实数)【题说】1982年全国联赛题1(6)．原题为选择题．【解】由于x1、x2是实数根，所以△=(k-2)2-4(k2+3k+5)≥0B2-013 已知方程(x-19)(x-83)=p，有实根r1和r2(其中p为实数)，求方程(x-r1)(x-r2)=-p的最小实根．【题说】1984年北京市赛高一题1(4)．原题为选择题．【解】由题意得：(x-19)(x-83)-p=(x-r1)(x-r2)可见19与83是方程(x-r1)(x-r2)=-p仅有的两个实根，最小实根为19．B2-014 四次方程x4-18x3+kx2+200x-1984=0的四个根中的两个根的乘积为-32，试决定k的值．【题说】第十三届(1984年)美国数学奥林匹克题1．【解】设方程四根为x1、x2、x3、x4，且x1x2=-32．由根与系数关系，有x1+x2+x3+x4=18(1)x1x2+x3x4+(x1+x2)(x3+x4)=k(2)x1x2(x3+x4)+x3x4(x1+x2)=-200(3)x1x2x3x4=-1984(4)由(4)得x3x4=-1984/(-32)=62代入(3)得31(x1+x2)-16(x3+x4)=-100(5)由(1)、(5)解得x1+x2=4，x3+x4=14代入(2)得k=-32+62+4×14=86B2-015 方程x2+ax+b+1=0的根是正整数．证明：a2+b2是合数．【题说】第二十届(1986年)全苏数学奥林匹克八年级题1．【证】设x1、x2是原方程的两根，则(1)由(1)式得因为x1、x2都是正整数，所以a2+b2是合数．B2-016 a1，a2，…，a2n是2n个互不相等的整数．如果方程(x-a1)(x-a2)…(x-a2n)+(-1)n-1(n！)2＝0有一个整数解r，求证【题说】第二届(1987)东北三省数学邀请赛题6．【解】由题设可知(r-a1)(r-a2)…(r-a2n)=(-1)n(n！)22n个整数r-a1，r-a2，…，r-a2n两两不等．2n个不同的整数r-a1，r-a2，…，r-a2n的积为(-1)n(n！)2，所以它们必为-n，-(n-1)，…，-1，1，2，…，n的一个排列，从而(r-a1)+(r-a2)+…+(r-a2n)=-n-(n-1)-…-1+1+2+…+n=0B2-017 证明：对每一整数n＞1，方程无有理根．【题说】第三十届(1989年)IMO预选题4．本题由保加利亚提供．【证】首先证明对每一个整数k＞0及每个素数p，p k｜k！，事实上，设s≥0为整数，满足P s≤k≤P s+1，则满足p r｜k！的最大整数为所以p k｜k！若方程有有理根为α，则B2-018 求方程x199+10x-5=0所有199个解的199次方的和．【题说】1991年日本数学奥林匹克预选赛题2．【解】设方程的解为a1，a2，…，a199，则由韦达定理知a1+a2+…+a199=0，所以B2-019 求使方程x2-pqx+p+q=0有整数根的所有自然数p和q．【题说】第十七届(1991年)全俄数学奥林匹克十年级题1，【解】设自然数p、q，使得原方程有两根x1、x2∈Z，则x1x2=p+q＞0，x1+x2=pq＞O因此，这两根均为正数，且(x1-1)(x2-1)+(p-1)(q-1)=22表为两个非负整数之和，只有三种情况：(1) 0+2；(2) 1+1；(3) 2+0．由(1)得p=3，q=2或p=2，q=3；由(2)得p=q=2；由(3)得p=1，q=5，或p=5，q=1．B2-020 对多少个实数a，x的二次方程x2+ax+ba=0只有整数根？【题说】第九届(1991年)美国数学邀请赛题8．【解】设m、n是方程二整数根(m≤n)．则应有a=-(m+n)，6a＝mn因此，a也是整数，且-6(m+n)=mn即(m+6)(n+6)=36由于36=22·32所以(m，n)有10组解：(-42，-7)，(-24，-8)，(-18，-9)，(-15，-10)，(-12，-12)，(-5，30)，(-4，12)，(-3，6)，(-2，3)，(0，0)对应的a=-(m+n)也有10个值：49，32，27，25，24，-25，-8，-3，-1，0B2-021 p为整数，试证x2-2x-(10p2+10p+2)=0无整数解．【题说】第三届(1993年)澳门数学奥林匹克第二轮题1．【证】将原方程变形为x(x-2)=2[5p(p+1)+1](1)因为p(p+1)是偶数，所以(1)式右边如果x是整数，那么x必为偶数，(1)式左边矛盾．所以原方程无整数解．B2-022 设f(x)=x n+5x n-1+3，其中n是一个大于1的整数．求证：f(x)不能表示为两个多项式的乘积，其中每一个多项式都具有整数系数而且它们的次数都不低于一次．【题说】第三十四届(1993年)国际数学奥林匹克题1．【解】f(x)的有理根只可能是±1，±3．不难验证f(1)=8，f(-1)=4(-1)n-1+3，f(3)=3n+5·3n-1+3，f(-3)=2(-3)n-1+3均不为0，所以f(x)没有一次因式．若f(x)=g(x)h(x)(*)其中g(x)=x p+a p-1x p-1+…+a1x+a0h(x)=x q+b q-1x q-1+…+b1x+b0p，q，a0，a1，…，a p-1，b0，b1，…，b q-1都是整数并且p+q=n，p≥2，q≥2，则比较(*)式两边常数项得a0b0=3．不妨设a0=±3，b0=±1．设a1，…，a p中第一个不被3整除的为a k，则k≤p=n-q＜n-1．比较(*)两边x k的系数得0=a k b0+a k-1b1+…+a0b k左边被3整除，右边仅a k b0不被3整除，从而右边不被3整除，矛盾．所以f(x)不能分解为两个整系数多项式的乘积．B2-023 x的二次方程x2+z1x+z2+m=0(1)中，z1、z2、m均是复数，且(2)【题说】1994年全国联赛二试题1．【解】由韦达定理有因为(α-β)2=(α+β)2-4αβ所以m-(4+5i)｜=7这表明复数m在以A(4，5)为圆心、以7为半径的圆周上．故原点在⊙A内．延长OA，交圆周于B、C两点，则B2-024 已知方程ax5+bx4+c=0有3个不同的实数根．证明：方程cx5+bx+a=0也有3个不同的实数根．【题说】第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克九年级题5．【证】显然x=0不是方程ax5+bx4+c=0的根，否则c=0，方程只有两个不同的实数根，这与题设矛盾．B2-025 方程x2+ax+b=0有两个不同的实数根．证明：方程x4+ax3+(b-2)x2-ax+1=0有4个不同的实数根．【题说】第二十届(1994年)全俄数学奥林匹克十年级题2．【证】x4+ax3+(b-2)x2-ax+1＝(x2-x1x-1)(x2-x2x-1)其中x1、x2分别是方程x2+ax+b=0的两个不同的实数根．现在只须证明：方程x2-x1x-1=0(1)及x2-x2x-1=0(2)的实数根各不相同．由判别式知它们分别有两个不同的实数根．x1≠x2矛盾．所以方程(1)、(2)没有公共根．从而本题结论成立．B2-026 求一切实数p，使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p(1)的三个根均为正整数．【题说】1995年全国联赛二试题2．【解】由观察知，x=1是(1)的一个正整数根．所以5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1-66p=(x-1)Q(x)，其中Q(x)=5x2-5px+66p-1．设正整数u、v是Q(x)=0的两个根，则所以p是正整数，将(2)代入(3)，得5uv=66(u+v)-1(4)从而因左边是5的倍数，19、229又都是素数，故5v-66=19或229由此求得v=17或59，u=59或17，p=u+v=76，即当且仅当p=76时，方程(1)三根均是正整数：1，17，59．B2-026 求一切实数p，使得三次方程5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1=66p(1)的三个根均为正整数．【题说】1995年全国联赛二试题2．【解】由观察知，x=1是(1)的一个正整数根．所以5x3-5(p+1)x2+(71p-1)x+1-66p=(x-1)Q(x)，其中Q(x)=5x2-5px+66p-1．设正整数u、v是Q(x)=0的两个根，则所以p是正整数，将(2)代入(3)，得5uv=66(u+v)-1(4)从而因左边是5的倍数，19、229又都是素数，故5v-66=19或229由此求得v=17或59，u=59或17，p=u+v=76，即当且仅当p=76时，方程(1)三根均是正整数：1，17，59．B2-027 已知f(x)、g(x)和h(x)都是二次三项式，方程f(g(h(x)))=0有根为1，2，3，4，5，6，7和8，这可能吗？【题说】第二十一届(1995年)全俄数学奥林匹克九年级题3．【解】设1，2，3，4，5，6，7和8是方程f(g(h(x)))=0的根．如果直线x=a是抛物线y=h(x)的对称轴，那么当且仅当x1+x2=2a时，h(x1)=h(x2)．多项式f(g(x))的根不多于4个，而h(1)，h(2)，…，h(8)都是它的根，因此只能是a=4.5，且h(4)=h(5)，h(3)=h(6)，h(2)=h(7)，h(1)=h(8)．此外，由图像可知h(1)，h(2)，h(3)，h(4)是单调数列．同样地，考察二次三项式f(x)及它的根g(h(1))，g(h(2))，g(h(3))，g(h(4))．我们得到h(1)+h(4)=2b，h(2)+h(3)=2b，其中直线x=b是方程y=g(x)的抛物线的对称轴．对于二次三项式h(x)=Ax2+Bx+c，由h(1)+h(4)=h(2)+h(3)，得4A=0，即A=0，这与h(x)是二次三项式相矛盾，所以方程f(g(h(x)))=0不可能有根1，2，3，4，5，6，7，8．B2-028 若α、β、γ是x3-x-1=0的根，计算的值．【题说】第二十八届(1996年)加拿大数学奥林匹克题1．【解】设f(x)=x3-x-1＝(x-α)(x-β)(x-γ)由多项式根与系数关系，有α+β+γ＝0αβ+βγ+γα=-1αβγ=1从而其中分子 A=(1+α)(1-β)(1-γ)+(1+β)(1-α)(1-γ)+(1+γ)(1-α)(1-β)=3-(α+β+γ)-(αβ+βγ+γα)+3αβγ=7分母B=(1-α)(1-β)(1-γ)=f(1)=-1因此所求值为S=-7．B2-028 若α、β、γ是x3-x-1=0的根，计算的值．【题说】第二十八届(1996年)加拿大数学奥林匹克题1．【解】设f(x)=x3-x-1＝(x-α)(x-β)(x-γ)由多项式根与系数关系，有α+β+γ＝0αβ+βγ+γα=-1αβγ=1从而其中分子 A=(1+α)(1-β)(1-γ)+(1+β)(1-α)(1-γ)+(1+γ)(1-α)(1-β) =3-(α+β+γ)-(αβ+βγ+γα)+3αβγ=7分母B=(1-α)(1-β)(1-γ)=f(1)=-1因此所求值为S=-7．B2-030 设a是x3-x-1=0的解，求以a2为其解的整系数三次方程．【题说】1996年日本数学奥林匹克预选赛题4．【解】a3-a=1，两边平方得a2(a2-1)2＝1所以a2是x(x-1)2=1的根，展开得x3-2x2+x-1=0这就是所求的方程．B2-031 假设x3+3x2+4x-11=0的根是a，b，c，x3+rx2+sx+t=0的根是a+b，b+c，c+a，求t．【题说】第十四届（1996年）美国数学邀请赛题5．【解】由韦达定理，r =－（a+b）（b+c）（c+a）=－（－3－c）（－3－a）（－3－b）=－（（－3）3+3（－3）2+4（－3）－11）=23B2－032 设P是方程z6+z4+z3+z2+1=0的有正虚部的那些根的乘积，并设P=r（cosθ°+isinθ°），这里0＜r，0≤6＜360．求θ．【题说】第十四届（1996年）美国数学邀请赛题11．【解】原方程即u3－2u+1=0即（u－1）（u2+u－1）=0从而z=cos60°±isin60°，cos72°±isin72°，cos144°±isin144°θ=60+72+144=276B2－033解方程组其中a和b是已知实数，当a和b满足什么条件时，方程组的解x、y、z是互不相同的正数？【题说】第三届（1961年）国际数学奥林匹克题1．本题由匈牙利提供．【解】a2－b2=（x+y+z）2－（x2+y2+z2）=2（xy+yz+zx）=2（z2+yz+zx）=2az若a=0，则b≠0时方程组无解；b=0时，由x2+y2+z2=0得x=y=z=0．u2+（z－a）u+z2=0y＞0．B2－034一时钟在某时间T1，短针指在2与3之间，长针指在4与5之间，过了某段时间之后，到时间T2，长针指在原来短针所指的位置，而短针指在原来长针所指的位置，求原来时间T1和现在时间T2各为几点钟．【题说】1963年上海市赛高三决赛题2．【解】设在时间T1，短针的度数为x，长针的度数为y．因短针走B2－035求所有能使等式x5+x2=yx1（1）x1+x2=yx2（2）x2+x4=yx3（3）x3+x5=yx4（4）x4+x1=yx5（5）成立的值x1，x2，x3，x4，x5，这里的y是一个参数．【题说】第五届（1963年）国际数学奥林匹克题4．本题由原苏联提供．【解】将五个方程相加得（x1+x2+x3+x4+x5）（y－2）=0所以x1+x2+x3+x4+x5=0或y=2．如果y=2，那么原方程组可写成x5－x1=x1－x2=x2－x3=x3－x4=x4－x5即x1=x2=x3=x4=x5=任意数是原方程组的解．如果y≠2，那么x1+x2+x3+x4+x5=0（6）由（3）、（2）、（4）得y2x3=y（x2+x4）=（x1+x3）+（x3+x5）由上式及（3）、（6）得(y2+y－1)x3=x1+x3+x5+x2+x4=0因此，在y2+y－1=0时，x3=0．同理x1=x2=x3=x4=x5=0它显然是原方程组的解．不难验证任意x2、x1及由以上三式得出的x3、x4、x5是原方程组的解．B2－036已知方程组其系数满足下列条件：（1）a11、a22、a33都是正的；（2）所有其余系数都是负的；（3）每一方程中系数之和是正的．证明：x1=x2=x3=0是已知方程组的唯一解．【题说】第七届（1965年）国际数学奥林匹克题2．本题由波兰提供．【证】设x1、x2、x3为一组解，不妨设|x1|≥|x2|≥|x3|，则|a11x1+a12x2+a13x3|≥|a11x1|－|a12x2|－|a13x3|≥a11|x1|+a12|x1|+a13|x1|=（a11+a12+a13）|x1|≥0，等号仅在x1=x2=x3=0时成立．B2－037解方程组其中a1、a2、a3、a4是已知的两两不等的实数．【题说】第八届（1966年）国际数学奥林匹克题5．本题由捷克斯洛伐克提供．【解】在方程组中，如果将足码i换j，j换成i，原方程组不变．不失一般性，可以假定a1＞a2＞a3＞a4，这时原方程组成为（a1－a2）x2+（a1－a3）x3+（a1－a4）x4=1（1）（a1－a2）x1+（a2－a3）x3+（a2－a4）x4=1（2）（a1－a3）x1+（a2－a3）x2+（a3－a4）x4=1（3）（a1－a4）x1+（a2－a4）x2+（a3－a4）x3=1（4）（1）－（2）、（2）－（3）、（3）－（4），分别得（a1－a2）（x2+x3+x4－x1）=0（a2－a3）（－x1－x2+x3+x4）=0（a3－a4）（－x1－x2－x3+x4）=0即有x2+x3+x4=x1（5）x1+x2=x3+x4（6）x1+x2+x3=x4（7）由（5）、（6）、（7）得x2=x3=0，x1=x4代入（1）、（4）得经检验可知，当a1＞a2＞a3＞a4时，是原方程组的解．一般地，当a i＞a j＞a k＞a l时，方程组的解为：B2－038给出关于x1，x2，…，x n的方程组其中a、b、c为实数，a≠0，且Δ=（b－1）2－4ac．证明：在实数范围内该方程组（i）当Δ＜0时无解；（ii）当Δ=0时恰有一个解；（iii）当Δ＞0时有多于一个解．【题说】第十届（1968年）国际数学奥林匹克题3．本题由保加利亚提供．【证】将n个方程相加得即所以Δ＜0时，无实数解．Δ=0时，只有一个解Δ＞0时，显然有两组不同的解B2－039已知p个方程q=2p个未知数x1，x2，…，x q的方程组：a11x1+a12x2+…+a1q x q=0a21x1+a22x2+…+a2q x q=0……a p1x1+a p2x2+…+a pq x q=0其中每一个系数a ij是集｛－1，0，1｝中一元素，i=1，2，…，p；j=1，2，…q ．证明：方程组有一个解（x1，x2，…，x q）使得（i）所有x j（j=1，2，…，q）是整数；（ii）至少有一个j值使x j≠0（1≤j≤q）；（iii）|x j|≤q（j=1，2，…，q）．【题说】第十八届（1976年）国际数学奥林匹克题5．本题由荷兰提供．【证】考虑适合条件|y j|≤p（j=1，2，…，q）的所有整数组（y1，y2，…，y q），共有（2p+1）q个．令A i=a i1y1+…+a iq y q，i=1，2，…，p．由于a ij是－1，0，1中的一个，每个A i都是整数，并且|A i|≤|y1|+…+|y q|≤pq因此，数组（A1，A2，…，A p）至多有（2pq+1）p=（4p+1）p个．因为（2p+1）q=（2p+1）2p=（4p2+4p+1）p＞（4p+1）p，由抽屉原理，一定有两个不同的数组（y1，…，y q），（y′1，…，y′q）产生同一个数组（A1，A2，…，A p），所以a i1（y1－y′1）+…+a iq（y q－y′q）= 0（i=1，2，…，p）令x j=y j－y′j，j=1，2，…，q．则x1，…，x q不全为零，满足方程组且有|x j|=|y j－y′j|≤|y j|+|y′j|≤2p=q这说明（x1，…，x q）即是所要找的一个解．B2－040正数x、y、z满足方程组试求xy+2yz+3xz的值．【题说】第十八届（1984年）全苏数学奥林匹克十年级题4．【解】考虑右图，其中∠ROP、∠POQ、∠QOR分别为150°，由已知方程组及余弦定理，RP、PQ、QR分别为25、9、16．在△PQR中，PR2=PQ2+QR2．于是∠PQR=90°．又 S PQR=S POR+S POQ+S QORB2－041若确定x2+y2+z2+w2的值．【题说】第二届（1984年）美国数学邀请赛题15．考虑t的方程【解】（1）两边乘（t－1）（t－9）（t－25）（t－49），得x2（t-9）（t-25）（t-49）+y2（t-1）（t-25）（t-49）+z2（t-1）（t-9）（t-49）+w2（t-1）（t-9）（t-25）-（t-1）（t-9）（t-25）（t-49）=0（2）它是t的四次方程，并有四个根t=4，16，36，64．故（2）即方程（t－4）（t－16）（t－36）（t－64）=0 （3）比较（2）与（3）的系数得：x2+y2+z2+w2+（1+9+25+49）=4+16+36+64从而 x2 +y2+z2+w2=36B2－042求方程组的所有实数解：x1·x2·x3=x1+x2+x3（1）x2·x3·x4=x2+x3+x4（2）x3·x4·x5=x3+x4+x5……x1985·x1986·x1987=x1985+x1986+x1987x1986·x1987·x1988=x1986+x1987+x1988x1987·x1988·x1989=x1987+x1+x2【题说】第十三届（1987年第三阶段）全俄数学奥林匹克九年级题2．【解】（1）－（2）得x2·x3（x1－x4）=x1－x4于是x2·x3=1或x1=x4当x2·x3=1时，（1）式成为x2+x3=0，易知方程组x2·x3=1，x2+x3=0无实数解．所以x1=x4．同理，x2=x5；x3=x6；x1985=x1；x1986=x2；x1987=x3．于是x3=x6=…=x1986=x2=x5=…=x1985=x1=x4=…=x1984=x1987=x代入方程（1）得x3=3xB2－043解方程组xy+xz=8－x2xy+yz=12－y2yx+zx=－4－z2【题说】1990年匈牙利数学奥林匹克第二轮基本水平题1．【解】原方程组可以改写成x（x+y+z）=8y（x+y+z）=12z（x+y+z）=－4将这三个方程相加，可以得到（x+y+z）2=16，从而x+y+z=±4．由此可得到原方程组的解为（2，3，－1）与（2，－3，1）．B2－044若实数a、b、x、y满足ax+by=3，ax2+by2=7，ax3+by3=16，ax4+by4=42，求ax5+by5的值．【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛题15．【解】由ax3+by3=（ax2+by2）（x+y）－（ax+by）xy得16=7（x+y）－3xy（1）由 ax4+by4=（ax3+by3）（x+y）－（ax2+by2）xy得42=16（x+y）－7xy （2）由（1）、（2）解得x+y=－14，xy=－38．因此，ax5+by5=（ax4+by4）（x+y）－（ax3+by3）xy=42×（－14）－16×（－38）=20B2－046求满足下列条件的关于x、y的次数最低（但不低于1次）的多项式f（x，y）：【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题11．【解】将f（x，y）表为i次齐次多项式之和：f（x，y）=件，则每一f i（x，y）也满足同样的条件．所以，所要求的f（x，y）是一个次数最低的齐次式．由（1）知f（y，y）=0，所以f（x，y）=（x－y）h（x，y）其中h（x，y）是关于x、y的齐次式，且h（x，y）=h（y，x），即h 为对称式．由（2）得－yh（x，x+y）－xh（y，x+y）=0以y－x代y得－（y－x）h（x，y）－xh（y－x，y）=0所以，h（x，y）被x整除，由对称性知，h（x，y）也被y整除．由此得f（x，y）=（x－y）xyg（x，y）其中g（x，y）是齐次对称式，将上式代入（2）并整理，得g（x，x+y）+g（y，x+y）=0（3）令y=－x，得g（x，0）+g（－x，0）=0（4）设g（x，y）为l次齐次式，即由（4）得c l+（－1）l c l=0故l为奇数或c l=0．若c l=0，则g（x，y）被y整除，由对称性知，它也被x整除，所以l ≥2．若l=2，则g（x，y）=cxy（c≠0），不满足（3），故l≥3．若c l≠0，则l为奇数．若l=1，则g（x，y）=c（x+y）（c≠0），不满足（3），故l≥3．综上所述，g（x，y）是至少3次的齐次对称式．设g（x，y）=a（x3+y3）+bxy（x+y）代入（3）并整理，得a（（x3+y3）+2（x+y）3）+b（x+y）（2x2+xy）+（xy+2y2））=0两边同除以x+y并整理，得（3a+2b）（x2+xy+y2）=0取a=2，b=－3，则得所求的一个f（x，y）为f（x，y）=（x－y）xyg（x，y）=（x－y）xy（x+y）（2x－y）（x－2y）不难验证这个多项式符合要求。
数学高中奥赛试题及答案
数学高中奥赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的最小值是（）。
A. 0B. 1C. 4D. -1答案：B解析：函数f(x) = x^2 - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)^2，这是一个开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处，即x = 2时，此时f(2) = (2 - 2)^2 = 0。
2. 已知数列{an}满足a1 = 1，an+1 = 2an + 1，求a3的值是（）。
A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C解析：根据递推关系，a2 = 2a1 + 1 = 2 * 1 + 1 = 3，a3 = 2a2 + 1 = 2 * 3 + 1 = 7。
因此，a3的值为7，选项B正确。
3. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部是（）。
A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i答案：A解析：设z = x + yi，其中x为实部，y为虚部。
已知|z| = 1，即√(x^2 + y^2) = 1，又已知x = 1/2，代入得√((1/2)^2 + y^2) = 1，解得y = ±√3/2。
由于题目没有给出z的虚部是正还是负，所以答案为A或B。
4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值是（）。
A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 1D. 3x^2 - 6x - 2答案：A解析：对f(x)求导得到f'(x) = 3x^2 - 6x。
因此，f'(x)的值为3x^2 - 6x，选项A正确。
二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列{an}的前三项和为6，且a2 = 2，求a1和a3的值。
答案：a1 = 0，a3 = 4解析：设等差数列的公差为d，则a1 + a2 + a3 = 6，a2 = a1 + d = 2。
高中数学奥林匹克竞赛--方程的根
y y
f f
(x) (x)
h h
上加下减
ห้องสมุดไป่ตู้
知识总结：函数对称
（1）函数y f (x)的图像与函数y f (x)的图像关于x轴对称. （2）函数y f (-x)的图像与函数y f (x)的图像关于y轴对称. （3）函数y f (-x)的图像与函数y f (x)的图像关于原点成中心对称. （4）函数y f 1(x)的图像与函数 y f (x)的图像关于直线 y x对称. （5）函数y f (x)的图像是函数y f (x)的图像保留x轴上方的 部分不变，将x轴下方的部分沿x轴对称翻折上来得到的. （6）函数y f ( x )(偶函数)的图像是函数y f (x)的图像保留y轴右 方的部分不变，将y轴右方的部分沿y轴对称翻折上来得到的.
（北京市海淀区第16届数学竞赛）k为什么实数时，方程 x 2 2 x 3 k有4个互不相等的实数根？
感·谢·聆·听
高中数学奥林匹克竞赛 用函数图像来研究方程的根
知识总结：函数图像
y y
f (x) f (x)
k0图像沿x轴方向向左平移k个单位得到 y k0图像沿x轴方向向右平移k个单位得到 y
f (x f (x
-
k)
k)
左加右减
y y
f f
(x) (x)
h0图像沿y轴方向向上平移h个单位得到 h0图像沿y轴方向向下平移h个单位得到
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函数与方程
例1：填空
（1） 若二次函数)(x f y =满足()()x f x f -=+33且()0=x f 有实根21,x x ，则
________21=+x x 。
（2） 设函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，若当x ≤1时，12+=x y ，则
当1>x 时，y= 。
（3） 若函数432+-=x x y 与函数22a x y -=的图象有公共点，则a 的取值范围
是 。
（4） 已知函数a ax x y 62--=的图象与x 轴交于A 、B 两点，若线段AB 的长
不超过5，则a 的取值范围是 。
例2：方程()()0522=-+--a x a x 的两根都大于2，求实数a 的取值范围。
例3：已知关于x 的方程022
12=-++k kx kx 两个实根分别在（0，1）与（-1，0）之间，试求实数k 的取值范围。
例4：已知方程()0116322=++--m x m x 的两个实根绝对值之和为2，求实数m
的值。
例5：m 取何值时，关于x 的方程0cos sin 2=++m x x 有实数解？
例6：已知关于x 的方程()()()2lg 2lg 1lg 2+=--+a x x 有两个不相等的实根，求
a 的取值范围，并求出两根。
例7：已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点（-1，10），并且方程02=++c bx ax 的
两实根的平方和等于12，求a 、b 、c 的值。
例8：已知函数a ax x y 322++=的定义域为R ，求关于x 的方程
()0652|2|4=++--a a x 的解的范围。
例9：当0≤m ≤2时，求方程()0122=--+m mx x 的实根的取值范围。
例10：设}0
5202|{},31|{22⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤+-=<<=bx x a x x x B x x A ，（a ，b ∈R ），如果B A ⊆，确定a 、b 的取值范围。
例11：设函数()()()()x x g x x f a a +=-=1log ,1log ，()10≠>a a 且若关于x 的方程
()()x a a k f x x g -=+-12只有一解，求k 的取值范围。
例12：就实数t 的变化，讨论关于x 的方程()10log 1lg lg 10
4log 1x x
t x -=-+的实根的个数。
练习： 1、 若二次方程02322=-+-k kx x 的两根都大于1，求k 的取值范围。
2、若关于x 的方程01222=+++a a x x 有实根，求实数a 的取值范围。
3、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点（-2，5），一元二次方程02=++c bx ax 的
两根之差是3，求抛物线c bx ax y ++=2。
4、若不等式()()02123222>+
+---x a x a a 对于任何实数x 都成立，求a 的取值范围。
5、已知βα,是方程()024122=-+-+m x m x 的两个实根，且βα<<2，求m 的
取值范围。
6、若方程0sin 2cos =-+a x x 有解，求a 的取值范围。
7、解关于x 的方程：()()x a x x 2lg 4lg lg +=-+，并讨论解的个数。
8、已知方程：()()x x x
b a 2122-+-=，()010>≠>b a a 且且有正实根，求b 的取值范围。