第二节中心极限定理要点
第二节-中心极限定理要点
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
中心极限定理
第二节 中心极限定理在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成的，而每一个因素在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景.概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理（Central limit theorem)，现介绍几个常用的中心极限定理.定理5.5（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差E （X k ）=μ,D (X k )=σ2≠0(k =1,2,…).则随机变量σμn n XX D X E X Y nk knk k n k k nk k n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1111)(的分布函数F n （x ）对于任意x 满足⎰∑∞--=∞→∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n k k n n n t x n n X P x F .21lim )(lim 212d e πσμ （5.7）从定理5.5的结论可知，当n 充分大时，近似地有Y n =21σμn n Xnk k-∑=~N (0,1).或者说，当n 充分大时，近似地有().,~21σμn n N Xnk k∑= (5.8)如果用X 1，X 2，…，X n 表示相互独立的各随机因素.假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）.则（5.8）式说明，作为总和∑=nk kX1这个随机变量，当n 充分大时，便近似地服从正态分布.例5.3 一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.解 设一盒重量为X ，盒中第i 个螺丝钉的重量为X i (i =1,2,…,100).X 1，X 2，…，X 100相互独立，E （X i ）=1，)(i X D =0.1，则有 X =∑=1001i iX，且E （X ）=100·E （X i ）=100（两），)(i X D =1（两）.根据定理5.5，有P {X >102}=}2100{111001021100≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-X P X P≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.例5.4 对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69.求在100次轰炸中有180颗到220颗炸弹命中目标的概率. 解令第i 次轰炸命中目标的炸弹数为X i ，100次轰炸中命中目标炸弹数X =∑=1001i iX，应用定理5.5，X 渐近服从正态分布，期望值为200，方差为169，标准差为13.所以P {180≤X ≤220}=P {|X -200|≤20}=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-132013200X P ≈2Φ(1.54)-1=0.87644.定理5.6(李雅普诺夫（Liapunov ）定理) 设随机变量X 1，X 2，…相互独立，它们具有数学期望和方差：E （X k ）=μk , D (X k )=σk 2≠0 (k =1,2,…). 记∑==nk kn B 122σ，若存在正数δ，使得当n →∞时，{}∑=++→-nk kk nX E B 12201δδμ,则随机变量Z n =nn k knk knk k nk nk k kB X X D X E X∑∑∑∑∑=====-=-11111)()(μ的分布函数F n （x ）对于任意x ，满足⎰∑∑∞--==∞←∞→=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-=x t n nk k n k k n n n t x B X P x F d e π211221lim )(lim μ. (5.9)这个定理说明，随机变量Z n =nnk kn k kB X ∑∑==-11μ当n 很大时，近似地服从正态分布N （0，1）.因此，当n 很大时,∑∑==+=nk k n n nk kZ B X11μ近似地服从正态分布⎪⎭⎫⎝⎛∑=21,n n k k B N μ.这表明无论随机变量X k （k =1，2，…）具有怎样的分布，只要满足定理条件，则它们的和∑=nk kX1当n 很大时，就近似地服从正态分布.而在许多实际问题中，所考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因而它们常常近似服从正态分布.这就是为什么正态随机变量在概率论与数理统计中占有重要地位的主要原因.在数理统计中我们将看到，中心极限定理是大样本统计推断的理论基础. 下面介绍另一个中心极限定理.定理5.7 设随机变量X 服从参数为n ，p （0＜p ＜1）的二项分布，则 （1） （拉普拉斯(Laplace)定理） 局部极限定理：当n →∞时P {X =k }≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--npq np k npq npqnpqnp k ϕ1212)(2e π， (5.10) 其中p +q =1,k =0,1,2,…,n ，2221)(x x -=e πϕ.(2) （德莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 积分极限定理：对于任意的x ，恒有⎰∞--∞→=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--x tn t x p np np X P d e π2221)1(lim . （5.11）这个定理表明，二项分布以正态分布为极限.当n 充分大时，我们可以利用上两式来计算二项分布的概率.例5.5 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率.解 10部机器中同时停机的数目X 服从二项分布，n =10,p =0.2,np =2,npq ≈1.265. (1) 直接计算：P {X =3}=310C ×0.23×0.87≈0.2013; (2) 若用局部极限定理近似计算：P {X =3}=)79.0(265.11265.123265.111ϕϕϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np k npq =0.2308. (2)的计算结果与（1）相差较大，这是由于n 不够大.例5.6 应用定理5.7计算§5.1中例5.2的概率. 解 np =7000,npq ≈45.83.P {6800<X <7200}=P {|X -7000|<200}=1)36.4(236.483.457000-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-ΦX P=0.99999.例5.7 产品为废品的概率为p =0.005，求10000件产品中废品数不大于70的概率. 解 10000件产品中的废品数X 服从二项分布，n =10000,p =0.005,np =50,npq ≈7.053.P {X ≤70}=)84.2(053.75070ΦΦ=⎪⎭⎫⎝⎛- =0.9977.正态分布和泊松分布虽然都是二项分布的极限分布，但后者以n →∞，同时p →0，np→λ为条件，而前者则只要求n →∞这一条件.一般说来，对于n 很大，p (或q )很小的二项分布（n p ≤5）用正态分布来近似计算不如用泊松分布计算精确.例5.8 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率.解 500发炮弹中命中飞机的炮弹数目X 服从二项分布，n =500,p =0.01,np =5,npq ≈2.2.下面用三种方法计算并加以比较： （1） 用二项分布公式计算：P {X =5}=5500C ×0.015×0.99495=0.17635.(2) 用泊松公式计算，直接查表可得：np =λ=5,k =5,P 5(5)≈0.175467.(3) 用拉普拉斯局部极限定理计算：P {X =5}=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-npq np npq 51ϕ≈0.1793. 可见后者不如前者精确.。
4-2中心极限定理
的分布函数 Fn ( x ) 对于任意 x 满足
n
lim Fn ( x ) lim P {Yn x } lim P{ k 1
n x n
Xk n
n
n
x}
1 2π
t2 e 2 dt
( x ).
定理4.6表明:
当 n , 随机变量序列 Yn 的分布函数收敛于 标准正态分布的分布函 数.
x
x
1 e 2π
t2 2
dt ( x ).
注 1º 定理4.7表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大 时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
即 若n ~ B( n, p ) ( n 1,2,; 0 p 1)，则
n的标准化随机变量： n E (n ) n np Yn D(n ) np(1 p )
例4 对于一个学生而言, 来参加家长会的家长 人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、1名 家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、 0.8、0.15. 若学校共有400名学生, 设各学生参加 会议的家长数相互独立, 且服从同一分布. (1) 求 参加会议的家长数X超过450的概率; (2) 求有1名 家长来参加会议的学生数不多于340的概率. 解 (1) 以 X k ( k 1, 2,, 400) 记
且都在区间 ( 0,10) 上服从均匀分布 , 记 V Vk ,
k 1 20
求 P {V 105} 的近似值 .
解
100 E (Vk ) 5, D(Vk ) ( k 1,2,,20). 12 V E (V ) V 20 5 Z 100 D(V ) 20 12
中心极限定理
X
1 n
n k 1
Xk
近似服从正态分布 N (, (
)2) .
n
例1. 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
定理2(德莫佛－拉普拉斯积分极限定理)
设 nA 为 n 重伯努利试验中事件A出现的次数, 又 A 在每次试验中发生的概率为p (0 p 1), 则对
于任意x, 恒有
lim P nA np x x
1
t2
e 2 dt (x).
n np(1 p) 2π
定理2表明: 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大
时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.
注：
1） P(nA b) P(
nA np np(1 p)
b np ) (
np(1 p)
b np ) np(1 p)
2） P(a nA b) (
b np ) (
np(1 p)
a np ) . np(1 p)
例2 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每 人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家 属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在 一年内的这项保险中亏本的概率.
.
解 (1) 以 Xk (k 1, 2,, 400) 记 第 k 个学生来参加会议的家 长数,
则 Xk 的分布律为
Xk pk
0 0.05
1 0.8
2 0.15
易知 E( Xk ) 1.1, D( Xk ) 0.19, (k 1,2,,400)
第二节 中心极限定理
1 2
e
x
t2 2
dt
q=1-p
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变 量的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
例2某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被 盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户 中因被盗向保险公司索赔的户数 （1） 写出X的概率分布
第五章
Hale Waihona Puke 大数定律和中心极限定理§5.2 中心极限定理
大数定律揭示了大量随机变量的算术平均值
在一定条件下具有某种稳定性这一重要规律。
而在概率论中还有一类重要的极限定理，它是 解决在什么条件下，大量独立的随机变量的和 的分布是以正态分布为极限分布。
列维一林德伯格（Levy－Lindberg）定理. 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 设X1, X2, …是独立同分布的随机变量序 列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ，i=1,2,…， 则 n X i n x 1 -t 2 2 i 1 e dt lim P{ x } n - 2 n
解: 设Xi (i=1,2…n)为第i箱重量,n为所求箱 数由条件知X1 , X2 … Xn是独立同分布的， 而n箱总重量X = X1 +X2 + … + Xn E(Xi )=50 DX 5
i
E(X ) = 50n
D(X) = 25n
由中心极限定理, X近似N(50n,25n)
P(X ≤5000)= P ( X 50n 5000 50n ) 5 n 5 n 1000 10n ( ) 0.977 ( 2) n 1000 10n 由此可见 2 n
第5章中心极限定理
第一节
一,随机变量的收敛性 1. 依概率收敛
大数定律
定义1 若对任意给定的ε 定义1 若对任意给定的ε>0, 有:
lim P{| X n X |< ε } = 1,
n→∞
( lim P{| X n X |≥ ε } = 0 )
n→∞
则称{X 依概率收敛于X, 记作: 则称{Xn}依概率收敛于X, 记作:
σ2 P{| X |< ε } ≥ 1 2 ε
σ2 8 P{| X |< 3σ } ≥ 1 2 = 9σ 9
8 ∴ P { 3σ < X < + 3σ } ≥ 9
将一枚硬币抛掷1000 1000次 [例2] 将一枚硬币抛掷1000次,试利用车贝晓夫不等 式估计: 1000次中,出现正面H的次数在400至600次 式估计:在1000次中,出现正面H的次数在400至600次 次中 400 之间的概率. 之间的概率. 解: 设1000次抛掷中出现正面的次数为 则 次抛掷中出现正面的次数为X, 次抛掷中出现正面的次数为
n
D (∑ X i )
i =1
D(∑ X i )
i =1
n
n a n 1 b n = P{ < ( ∑ X i n ) ≤ } n σ n σ i =1 n σ
b n a n ≈ Φ( ) Φ( ) n σ n σ
2. 德莫佛---拉普拉斯定理
定理2 设随机变量X n ~ B( n, p ), (n = 1, 2), 则对 任意x ∈ R, 有
第一节 大数定律 第二节 中心极限定理
基本要求: 基本要求 理解实际推断原理; 1. 理解实际推断原理; 掌握车贝晓夫不等式; 2. 掌握车贝晓夫不等式; 熟悉几个常用的大数定律; 3. 熟悉几个常用的大数定律; 4. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 熟练掌握并能运用几个常见的中心极限定理. 重点: 重点 1.车贝晓夫不等式的运用; 1.车贝晓夫不等式的运用; 车贝晓夫不等式的运用 2.中心极限定理的应用. 2.中心极限定理的应用. 中心极限定理的应用 学时数 3-4
概率与数理统计 第五章-2-中心极限定理
14 14
2
/ 10
1
P
X
n 14 0.2
0
1 (0) 0.5.
例2 计算机在进行数字计算时，遵从四 舍五入原则。为简单计，现在对小数点后面
第一位进行舍入运算，则舍入误差X可以认 为服从[－0.5 , 0.5]上的均匀分布。若独立进 行了100次数字计算，求平均误差落在区间
3 20
在这里，我们只介绍其中两个最基本 的结论。
1. 当n无限增大时，独立同分布随机变量“之 和”的极限分布是正态分布；
2. 当n 很大时，二项分布可用正态分布近似。
为方便，我们研究 n 个随机变量之和标 准化的随机变量
n
n
Xk E( Xk )
Yn k 1
k 1 n
D( Xk )
k 1
的极限分布。
(3) (3) 0.9973
2. 二项分布的极限分布
定理2.2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):
设随机变量X1, X2, …, Xn, … 相互独立，
并且都 服从参数为 p 的两点分布(0<p<1) ，则
对任意 x∈(-∞,+∞)，有 E(Xi ) p.
n
lim
P
i 1
Xi
np
x
n
i1
i1
lim
P
i
1
Xi
n
x
x
1
-t2
e 2 dt
(x) ，
n n
- 2
其中Φ(x)是标准正态分布N(0, 1)的分布函数。
n
lim
P
i 1
Xi
n
x
x
n n-1Fra bibliotek- t2
第二节 中心极限定理
1
t2
e 2 dt Φ( x) .
n np(1 p)
2
该定理表明,当 n 时,二项分布以正态分布
为极限分布.
实际应用中,若随机变量X ~ B(n, p) ,只要 n 充
分大,即有
~ X 近似地 N(np, npq)，或
即有近似计算公式
~ X np 近似地 N(0,1)， npq
观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随 机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中 所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从 正态分布.
4
中心极限定理，正是从理论上证明，对于大 量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总 和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量 的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是 未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函 数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量 很多都服从正态分布的原因，也正因如此，正态 分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。
[1 Φ(1.34)] 2 0.1802．
12
~ Sn
12 /
n
近
似
地
N
(0,
1)
,
(2) 数据个数n应满足条件：
P{| Sn | 10 } P
| Sn | n / 12
10
0.90
,
n / 12
即 2Φ( 10 ) 1 0.90 , Φ( 10 ) 0.95 ,
P{40 X 60} Φ( 60 50) Φ( 40 50)
47.5
47.5
2Φ(1.45) 1 0.853 .
注 由切比雪夫不等式,
chapt5-2-中心极限定理
此200题中旳80题，而答对25题至30题旳概率是多少
？解: 设答对旳题数为X，则
X~B(80,0.25),
E( X ) 80 0.25 20， D( X ) 80 0.25 0.75 15，
X 20近~似 N (0， 1)
15
P{25 X 30}
P{25 20 X 20 30 20}
100
100
即
X i 200近似
i 1
~ N (0，1）
15
(1)
100
P{
i 1
Xi
180}
P{ i1
X i 200 15
180 200} 15
100
X i 200
P{ i1
1.33} 1 Φ(1.33)
15
(1.33) 0.9082
100
(2) P{0 X i 200}
lim P{ X n np x} x
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2π
即
X n np 近~似N (0,1) np(1 p)
近似
X n ~ N (np, np(1 p))
对于二项分布，当n很大时计算较烦，若p很小，则可用 泊松分布近似; 若p不很小，则可用正态分布近似
定理表白：若 X服n 从二项分布，当n很大时， X n
15
15
15
P{1.29 X 20 2.58} Φ(2.58) Φ(1.29) 15
0.9951 0.9015 0.0936
练习：在次品率为
1 8
旳一大批产品中，任意抽取400件
产品，利用中心极限定理计算抽取旳产品中次品数
在40与60之间旳概率．
第二节--中心极限定理
四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x
近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理
第二节中心极限定理 PPT
x
1
t2
e 2 dt
2
注: ▲ 定理3表明,正态分布就是二项分布得极限分布, 当 n 充分大时可以用正态分布来计算二项分 布得概率。
▲ 在第二章中已介绍当 n 时，二项分布以
泊松分布为极限分布；而在本章中二项分布又 以正态分布为极限分布。这两者的区别是：
在泊松定理中要求 np (为常数)
中心极限定理得客观背景 在实际问题中,常常需要考虑许多随机因素所产生 得总影响:
例如:炮弹射击得落点与目标得偏差,就受着 许多随机因素得影响: 如,瞄准时得误差,空气阻力所产生得误 差,炮弹或炮身结构所引起得误差等等、
而所要研究得就是:这些随机因素得总影响。
一、 独立同分布中心极限定理 (林德贝尔格---勒维(Levy－Lindberg)定理)
同一(0—1)分布，则 X1 X2 Xn 服从参数为 n, p (0 p 1) 的二项分布
见教材P125 例6 得结论
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
由此n
是
n
个相互独立，服从同一 n
(0--1)
分布的
X1 , X 2 X n 之和。即： n X k k 1
即要: ( 10 0.1n ) 0.1 0.3 n
此时由于: ( 10 0.1n ) 0.5 0.3 n
必定有: 10 0.1n 0 0.3 n
P 439 附表2中 z 0 (z) 0.5
所以要: ( 10 0.1n ) 0.1
0.3 n
因为
只要: 1 ( 0.1n 10) 0.1 0.3 n
0.5 0.5
E(Xk )
2
0,
[0.5 (0.5)]2 1
中心极限定理
随机变量
Zn
1 n
n i 1
X
2
i
近似服从
正态分布并指出其分布参数.
证记
Yi
X
2 i
,
(i 1,2, ,n)
E(Yi
)
E(
X
2 i
)
D(
X
i
)
D(Yi
)
E(Yi2 )
[E(Yi
)]2
E
(
X
4 i
)
[E(Yi
)]2
因为
E
(
X
4 i
)
1 1
xi4
1 2
dxi
1 5
,
所以
D(Yi
)
1 5
1 2 3
30500 np(1
np
p)
30500 np
np(1 p) 29500 np
1
t2
e 2 dt
2π
np(1 p)
30500 np 29500 np np(1 p) np(1 p)
n 90000, p 1 , 3
P{29500 X 30500} 5 2 5 2 2 2
(1) 求参加会议的家长数 X 超过 450 的概率; (2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于
340的概率.
解 (1) 以 Xk k=1, 2,…, 400 记 第k个学生来参加会议的家长数.
则Xk的分布律为 Xk 0 1 2
pk 0.05 0.8 0.15
易知 E( Xk ) 1.1, D( Xk ) 0.19, k 1,2, ,400
4, 45
因为X1, X2,…, Xn相互独立, 所以Y1, Y2,…,Yn
中心极限定理
f
g
h
20个0-1分布的和的分布
x
01 2 3 几个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x)
例1: 一 加 法 器 同 时 收 到 20个 噪 声 电 压 V k(k1,2,Ln),
概率论
设 它 们 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ,且 都 在 区 间 (0,10)上 服 从 均 匀 分 布 .
其 中 Xk(k1,2,L,n)的 分 布 律 为 :
PXk ipi(1p)1i,i0,1,
由 于 : E ( X k ) p ,D ( X k ) p ( 1 p ) ( k 1 , 2 , L , n ) , 得 :
limP n
fn np np(1 p)
x
lim
n
P
n
k
1
Xk
n
记 :V V k， 求 PV105的 近 似 值 . k1
解: 易 知 :E(V k)5,D (V k)10012(k1,2,L20).
~ 由 定 理 知 :Vk2 01V k近 似 地 N205,1 1 0 2 020,于 是 ：
P V 1 0 p 5 V 1 2 1 0 5 0 2 0 2 0 1 1 0 1 0 2 5 2 0 2 5 0 0
p V 102100 25200.38 7
1p V 102 10 0 2520 0.38 71 (0 .3)8 0 7 .34
即 有 ： P V 1 0 5 0 .3 4 8 .
例2:某车间有200台车床, 在生产期间由于需要检修, 调换刀具, 变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的， 且在开工时需电力1千瓦.
第二节 中心极限定理
第二节中心极限定理独立同分布序列的中心极限定理定理1设X1,X2,…Xn,…是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2（i=1,2,…）。
记随机变量的分布函数为F n（x），则对于任意实数x，有（不证）其中φ（x）为标准正态分布函数。
由这一定理知道下列结论：（1）当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N（nμ，nσ2）。
我们知道，n个独立同分布的正态随机变量之和服从正态分布。
中心极限定理进一步告诉我们。
不论X1,X2,…X n,…独立同服从什么分布，当n充分大时，其和Z n近似服从正态分布。
（2）考虑X1,X2,…X n,…的平均值，有它的标准化随机变量为，即为上述Y n。
因此的分布函数即是上述的F n（x），因而有由此可见，当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布[例5-3]对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
解设X i为第i次射击时命中目标的炮弹数（i=1,2,…,100），则为100次射击中命中目标的炮弹总数，而且X1，X2，…X100同分布且相互独立。
由定理1可知，随机变量近似服从标准正态分布，故有[例]某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。
现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1 920小时的概率。
解设第i只电器元件的寿命为X i=（i=1,2,…16）,E（X i）=100，D（X i）=1002=10 000，则是这16只元件的寿命的总和。
E（Y）=100×16=1 600，D（Y）= 160 000，则所求概率为：棣莫弗（De Moivre）-拉普拉斯（Laplace）中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理1的特殊情况。
chap5-2 中心极限定理
Q 比如, 盈利的概率要到95%, 即 1 n 0.95, 500
查表得 Q 1 n 1.645, 500 500 1.645 Q 500 n
例2
某市保险公司开办一年人身保险业务. 被保险人每年需交付保险费160元. 若一年内 发生重大人身事故,其本人或家属可获2万元赔 金. 己知该市人员一年内发生重大人身事故的 概率为0.005.现有5000人参加此项保险. 求:保险公司一年内从此项业务所得到的 总收益在20万元到40万元之间的概率.
i
5000 i 1
20 np np (1 p )
X
i
np
np (1 p )
5000
30 np } np (1 p )
5 5 i 1 P{ } 25 0.995 25 0.995 25 0.995
X
25
(1) (1) 2(1) 1 0.6826
定理1（独立同分布下的中心极限定理）
且E(Xi)= ，Var(Xi)=
Yn
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列，
X
i 1
n
， i=1,2,…，则
2
i
n
的分布函数 Fn ( x) 收敛到标准正态分布函数即
n
lim Fn ( x) lim P{Yn x} -
第五章 第二节 中心极限定理
中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差，
空气阻力所产生的误差，
炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
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f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
x
01 2 3 几个(0,1)上均匀分布的和的分布
X1 ~f(x) X1 +X2~g(x)
X1 +X2+X3~ h(x)
下面我们举例说明中心极限定理的应用
Hale Waihona Puke 例1 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变 量，相互独立，且具有同一分布。其数学期望是2mm， 均方差是0.05mm，规定总长度为20±0.1mm时产品合 格，试求产品合格的概率。
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞， 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它 的标准化的随机变量
n
n
Xk E( Xk )
Z n k1
k 1 n
D( Xk )
k 1
的分布函数的极限.
考虑
n
n
Xk E( Xk )
Z n k1
k 1 n
D( Xk )
k 1
观察表明：客观实际中，许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来， 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布。
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是 什么呢？
2 60 1 0.9624
50060
比较几个近似计算的结果
用二项分布(精确结果)
P X 10.010.959 60060
用Poisson 分布
P X 10.010.937 60060
用Chebyshev 不等式 P6X001 600.010.768
用中心极限定理
P6X001 600.010.962
的分布函数的极限.
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
X i n
Yn i1 n
的分布函数 F n ( x ) 满足如下极限式
n
X k nYnn近似服从 N(n,n2)
k 1
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n ，不管
Xi(i1,2,L,n)服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n,n2 i1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
n n(1 pp) 2
即对任意的 a < b,
liP m aY nnp b 1
bt2
e2dt
n n(1 p p ) 2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则
X ~ B(6000,1/6) E(X)10,0D(0X)5000
6
X近~似N100,506000
P6X000160.01 P X 10 6 0 0 0 10 61000 0941 0000
506 00 506 00
60 60
500 60 500 60
E ( X k ) 2 ,D ( X k ) 1 .5 2 ,k 1 ,2 , , 10
X1,X2,,X100相互独立，
设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则
100
X X k,E (X )20 ,D 0 (X )2,25
k 1
近似
X~N(20,2 02)5
例3 对敌人的防御工事用炮火进行 100 次轰击, 设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其 数学期望为 2, 均方差为 1.5 . 如果各次轰击 命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数
5.2 中心极限定理
1.中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常需要考虑许多随机
因素所产生总影响.
例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素的影响.
如瞄准时的误差， 空气阻力所产生的误差， 炮弹或炮身结构所引起的误差等等.
对我们来说重要的是这些随机因素的总影响.
自从高斯指出测量误差服从正 态分布之后，人们发现，正态分布 在自然界中极为常见.
200.1.0225019.09.02250
2
0.1 0.025
1
0.4714
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
liP m Y nnpx 1
x t2
e2dt
0.07
0.06
0.05
0.04
P
0.03
0.02
0.01
0 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48
例2 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的6000粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过1%的概率.
解 设部件的总长度为X，每部分的长度为 Xi（i=1,2,…,10)，则
10
E(Xi ) 2 (Xi)0.05 X X i i1
由定理可知：X近似地服从正态分布
N102,100.052 即 N20,0.025
续解 则产品合格的概率为
P X 2 0 0 .1 P 1 9 .9 X 2 0 .1
B(20,0.5)时, x的概率分布图
P
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 5 10 15 20
Poisson分布相当于二项分布中p很小n很大的 分布, 因此, 参数l=np当很大时也相当于n特别大, 这个时候Poisson分布也近似服从正态分布, 下面 是l=30时的Poisson概率分布图.
0.08
n
lni m Fn(x)lni m Pi1
Xninx
x
1
t2
e 2dt
2
注： 记
n
X k n
Yn k1 n
n
则Y n为 X k 的标准化随机变量.
k 1
ln iP m Y n x (x )
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态 随机变量的分布函数
Yn近~ 似N(0,1)