5.4二维形式的柯西不等式1 课件(人教A版选修4-5)

ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a
2
x1 x2 b x1 x2

2
= a b x1 x2 x1 x2 .得证 作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题
37
课外思考: 1.已知 a 1 b b 1 a 1, 求证： a b 1 . 2.设 a,b,c 为正数且不相等，求证： 2 2 2 9 . ab bc ca abc 3. 设 x1 , x2 , , xn R , 求证：
2
2 a b c a b b c c a 这 样就 给我 们利 用柯 西不等式提供了条件。证明： 1 1 1 1 1 1 2a b c a b b c c a a b b c c a ab bc ca 1 2 1 2 1 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b b c c a
2 2
2 2
x x x x2 ≥ x1 x2 xn x2 x3 xn x1 （1984 年全国高中数学联赛题）
作业:课本 P 习题 3.1 第 1、3、7、8 题 37
2 1
2
2 n 1
2 n
已知 a 1 b2 b 1 a 2 1, 求证： a 2 b2 1 。 证明：由柯西不等式，得 2 2 a 2 1 a 2 b2 1 b 2 1 a 1 b b 1 a ≤
课堂练习
课堂练习 1: 已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,
求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论.若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了. 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不等式可知
y
P ( x1 , y1 ) 1
y
P ( x1 , y1 ) 1
| y1 - y2 |
x

P2 ( x2 , y2 )

O
这个图中有什么 不等关系?
P ( x2 , y2 ) 2
O
|Байду номын сангаасx1 - x2 |
x
柯西不等式的应用举例: 思考 2.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
变式 1.已知 4 x 2 9 y 2 36 ,求 x 2 y 的最大值.
变式 2.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 y 2 的最小值. 变式 3.已知 3 x 2 y 6 ,求 x 2 2 y 2 的最小值.
思考 3.求函数 y 5 x 1 10 2 x 的最大值.
二维形式的柯西不等式
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值， 人们称它们为经典不等式. 如均值不等式: a1 a2 an ≥ n a1a2 an (ai R , i 1, 2, , n) . n 本节,我们来学习数学上两个有名的经典不等式:柯 西不等式与排序不等式,知道它的意义、背景、证明方法 及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养.
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！解答漂亮！
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都 是实数,则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面两个不等式:
⑴ 若 a, b, c, d 都 是实数 ,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd . 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 当且仅当 ad bc 时,等号成立. 这两个结论也是非常有用的.
1 b2 当且仅当 时，上式取等号， a 1 a2 b
ab 1 a 2 1 b2 ,
a b 1 a
2 2 2
1 b ,
2
a 2 b2 1 。 于是 注： 这里是利用其取等号的充分必要条件来达到目的
分析：我们利用 9 与 2 这两个常数进行巧拆，9= 1 1 1 ，
2
3.证明：在不等式的左端嵌乘以因式 x2 x3 xn x1 ， 也即嵌以因式 x1 x2 xn ，由柯西不等式，得

2 2 2 xn1 xn x1 x22 x2 x3 xn x1
( x2 x3 xn x1 )
⑵若 a, b, c, d 都是实数,则 (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .
另外由这两个结论，你和以前学过的什么知识 会有联想.
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立. 注：若 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 y1 y2 cos , 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2
2 2 2 2 x x x1 x2 n 1 n x x x2 x3 n 1 x 2 x 2 x 2 x 2 2 3 n 1 x xn 1 xn x2 1 ≥ x2 x3 xn x1 x x3 xn x1 2
思考:阅读课本第 31 页探究内容.
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a b )(c d )
2 2 2 2
联
想
发现定理: 定理 1(二维形式的柯西不等式) 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是 实数,则 (a b )(c d ) ≥ (ac bd ) . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.


x1 x2 xn ,
2
2 2 2 xn1 xn x1 x22 于是 ≥ x1 x2 xn . x2 x3 xn x1
你能简明地写出这个定理的证明？
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b
思考解答
变形
运用这个定理,我们可以解决以前感觉棘手的问题. 1 1 思考 1:设 a, b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b 证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 又 a b 1, 1 1 ∴ ≥4 a b
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式) 设 x1 , y1 , x2 , y2 R, 那么
( x12 y12 ) ( x22 y22 ) ≥ ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 . 当 且 仅 当
当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
三角不等式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数,则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 .




1 1 1 2 ≥ a b bc ca 1 1 1 9 ab bc ca 2 2 2 9 ≥ ab bc ca abc a,b,c 各不相等， 等号不可能成立，从而原不等式成立。