线性误差

第六章线性空间

［教学目标］

1理解集合与映射的概念和运算，掌握单射、满射和可逆映射的条件与判别。

2深刻理解线性空间的定义，掌握线性空间的性质。

3理解线性组合、向量组的等价、线性相关、线性无关、基、维数和坐标的定义，掌握线性相（无）关和基的性质，会求向量关于给定基的坐标。

4理解过渡矩阵的概念和性质，掌握向量在不同基下的坐标公式。 5理解子空间、生成子空间和线性方程组的解空间的概念，掌握子空间和生成子空间的性质。

6理解和子空间的和概念，掌握维数定理。

7了解直和的概念和充要条件。

8理解同构和同构映射的概念，掌握同构的充要条件。

［教学重难点］

线性空间的定义，线性相（无）关和基的性质，过渡矩阵和向量关于给定基的坐标的求法，线性方程组的解空间，子空间的交、和与直和的概念。

［教学方法］讲授

［教学时间］22学时。

［教学内容］

集合与映射，线性空间的定义和简单性质，维数、基与坐标，基变换

与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构

［考核目标］

会判断一个集合是否为线性空间。会求向量关于给定基的坐标和两组基的过渡距阵。会判断和证明向量组线性相（无）关或是基。

教学过程：

§1 集合·映射

一集合的相关概念

1、集合：若干个固定事物的全体，简称集。一般用大写拉丁

字母

A,

,表示。把不包含任何元素的集合叫空集，记为

B

C

∅。

2、元素：集合中的每一个事物，简称元。一般用小写拉丁字

母

a,

,表示。

b

c

二者关系：元素属于或不属于某个集合。记为a∈A,a∉A.

3、子集、真子集及其表示方法。（集合与集合之间是包含或不

包含的关系）,.

⊂⊆

A B A B

4、集合相等：B

A=等价于A与B互相包含。

5、交集{}B

=

∈

A∈

x

x

B

Aorx

6、并集{}B

∈

=,

A∈

x

A

x

x

B

7、性质

A 的子集。

A 是A、B的子集，A与B是B

B

二映射

1、定义：B A ,是两个集合，σ是A 到B 的对应法则，如果A a ∈∀，按照这个对应法则，在B 中存在唯一的元素B b ∈与之对应，我们称σ是A 到B 的映射，记为:A B σ→， b 叫a 在σ下的象，a 叫b 在σ下的一个原象。b a =)(σ，

举例说明。

2、分类：映射⎪⎩

⎪⎨

⎧=∈∃∈∀-≠≠∀满射：（即一一映射）双射：既是单射，又是；（即映上的））（，使，都满射：的映射）（即有单射：b a A a B b a a a a σσσ11);

()(,2121

3、几个特殊映射：

（1）恒等映射：又称单位映射。对A a a A a 1,，记为）（都有=∈∀σ。 （2）零映射：对0)(,=∈∀a A a σ。 4、乘法："'':,:M M M M →→τσ

（1）))

(())((::"

a a M a M M σττστσ=∈∀→

（2）σσσ==M M 11'

（3）满足乘法结合律。

5、逆映射：（只有一一映射才有逆映射）

B A →:σ为一一映射，b a =）

(σ 令:

1-σa

b A

B →为σ的逆映射。 关系：B A 1,111==--σσσσ。

§2 线性空间的定义与简单性质

一、引入

复习n 维向量空间的概念和性质。

我们已经学过几种带有加法和数乘运算的集合，例如[],,n s n

P x P P ⨯等他们在这两种运算上有一些共性。 二、线性空间的定义

设V 是非空集，P 为一个数域，把V 叫P 上的线性空间，V 中的元素叫向量，记为,,,αβγ…，P 中的元素叫数量，记为 k,l,…，如果

1在V 中定义了加法：

,,V αβγγαβ∀∈+按照一个对应法则，有V 中唯一的元素与之对应，记=

2在P 和V 之间定义了数乘：

,,,k P V αγγα

∀∈∀∈按照一个对应法则，有V 中唯一的元素与之对应，记=k 3 若对P l k V ∈∀∈∀,,,,γβα，满足：

（1）αββα+=+，（交换律）

（2））（）（γβαγβα++=++，（结合律）

（3）V V ∈∀=+∈∃ααα，使0,0，（零元）

（4）0=-+∈-∃∈∀）（，使）（，ααααV V ，（负元）

（5）αα=⋅1

（6）αα）（）

（kl l k = （7）

αααl k l k +=+）（ （8）βαβαk k k +=+）

（ 三 举例

例1数域P 上的n m ⨯矩阵的全体关于矩阵的加法和数与矩阵的乘法能作成数域P 上的线性空间，记为s n P ⨯（验证过程略）

例2 数域P 上关于x 的一元多项式的全体关于加法和数与矩数

乘运算作成数域P 上的线性空间，记为P[x]（验证过程略）

例3 平面上的几何向量和空间的几何向量关于其加法和数乘都作成线性空间，记为V 2， V 3。

例4 C[a,b]为连续函数集合，D[a,b]为可导函数集合，它们按照函数的加法和数乘分别作成线性空间。

三 简单性质： （1） 零元素唯一。 （2） 负元唯一。

（3）

ααα-=-=⋅=⋅)1(,00,00k （注意：这些零那一个是数零，那一个是零元素）。 （4） 若00k ,0===αα或则k 。

练习：273P 3 （2），（4） 作业：273P 2，3（1），（3）

§3维数、基与坐标 一．线性表出与等价 定义1、

12121122,,,,,,,r r r r

V k k k P k k k ααααααα∈∈=++ 设…,如果

称向量α是12,,,r ααα 的线性组合，也称α可由12,,,r ααα 线性表出。 定义2 给定两个向量组Ⅰ和Ⅱ，如果Ⅰ中的每个向量可由Ⅱ线性表出，称Ⅰ可由Ⅱ线性表出，如果Ⅰ和Ⅱ可互相线性表出，称Ⅰ和Ⅱ等价，记为Ⅰ∽Ⅱ 例1 在221112************P E E E E ⨯⎡⎤

=+++⎢

⎥⎣⎦

中，。