线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)
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线性系统理论(郑大钟第二版)第4章
第三章 线性系统的稳定性及李雅普诺夫 分析方法
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
线性系统理论(绪论)
008
绪论
5、线性系统理论的研究对象
p研究对象为线性系统：
实际系统理想化模型， 可用线性微分方程或差分方程来描述。 p研究动态系统，动力学系统：
用一组微分方程或差分方程来描述，
对系统的运动和各种性质给出严格和定量的数学描述。 数学方程具有线性属性时，则为线性系统，满足叠加性。
009
绪论
例：某系统的数学描述为L，任意两个输入变量 u1和
u2以及任意两个有限常数 c1和 c2，必有： L ( c1u1 + c 2 u 2 ) = c1 L (u1 ) + c 2 L (u 2 )
数学处理上的简便性，可使用的数学工具： 数学变换（傅里叶变换，拉普拉斯变换）、线性代数 实际系统——非线性的，有条件地线性化。
线性定常系统——方程中每个系数均为常数。
故设计方法为试行错误法，无法得到“最好的设计”。
给定传递函数
闭环特性分析
与给定指标比较
004
绪论
1950年代 , 是控制理论的“混乱时期”。
1960年代 , 产生了“现代控制理论”（状态空间法）。 庞特里亚金极大值原理 贝尔曼 动态规划法 可控、可观性理论
卡尔曼
极点配置
观测器
内模原理 至1970年代前半期，为状态空间法的全盛时期。
1895年，赫尔维茨稳定性分析——代数判据。
1945年， 波特频率法。 1948年，伊万思根轨迹法。
至此，古典控制理论（传递函数法）体系确定。
003
补
补
补
绪论
2、古典控制理论的局限性
①局限于线性定常系统：难以解决非线性、时变系统等问题。 ②采用输入/输出描述（传函），忽视了系统结构的内在特性， 难以解决多输入多输出系统（耦合）。 ③处理方法上，只提供分析方法，而不是综合方法。
线性系统理论全讲课文档
若表征系统的数学描述为L
系统模型
L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统
x t A tx t B tu t
yt C txt D tu t
x Rn, u R p, y Rq
第十三页，共309页。
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间表达式（动态方程或运
动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和输出方程（描述输出和输入、
L(R1 R2)
(R1RR1RR122)CuiLc
(R1
1 RR2 2)Ce
L(R1 R2)
L(R1 R2) e(t )
R1
C
iC
L
iL U c R2 U R2
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc iL
R1R2R2
e
x1 x2
(R1
1
R2)C R1
L(R1 R2)
线性系统理论全PPT课件
第一页，共309页。
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论
第二部分
线性系统的复第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第二页，共309页。
第一章 绪论
(R1RR1RR122)Cxx12
线性系统理论-郑大钟(3-4章)
1
2 n
n 1 n
t e n
1
0 1
21
n 1 2
(n 1)1 (n 1)(n 2) n 3 1 2! n2 (n 1)1 n 1 1 1
矩阵指数函数的算法 1：定义法
e At I At
1 2 2 A t 2!
只能得到eAt的数值结果，难以获得eAt解析表达式，但用计算机计算，具 有编程简单和算法迭代的优点。 2：特征值法
A P 1 AP
A PA P 1
e At Pe A t P 1
P为变换A为约当规范型的变换矩阵 1）若A的特征值为两两互异
如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数，输 入u(t)的所有元为时间t的连续实函数，那么状态方程的解x(t)存在且唯一。 从数学观点，上述条件可减弱为： ①系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积，即：
t
t0
| aij (t ) | dt ,
－1
te1t 1t e e3t
0 2tet e 2t 1 3tet 2et 2e 2t 2 tet et e 2t
e At 0 I 1 A 2 A2 (2tet e 2t ) I (3tet 2et 2e 2t ) A (tet et e 2t ) A2 2et e 2t 0 e t e 2t 0 et 0 2et 2e 2t 0 et 2e 2t
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2)
线性系统理论-郑大钟(6-反馈系统的时间域综合精品PPT课件
P An1b,, Ab,b
1
n1
1 n1 1
Step8：停止计算
注释:
对于一个给定的系统，矩阵K不是唯一的，而是依赖于选择期望闭环 极点的位置（这决定了响应速度与阻尼），这一点很重要。
注意，所期望的闭环极点或所期望状态方程的选择是在误差向量的快 速性和干扰以及测量噪声的灵敏性之间的一种折衷。也就是说，如果加快 误差响应速度，则干扰和测量噪声的影响通常也随之增大。
Step3: 计算由期望闭环特征值 1* ,, *n 决定的期望特征多项式
n
*(s)
(s
i 1
*i )
sn
* n1
s
n1
1*s
* 0
Step4: 计算
k
* 0
0 ,1*
1
,,
* n1
n1
Step5：计算能控规范性变换矩阵 Step6：计算 Q = P -1
Step7：计算 k kQ
例1连续时间线性时不变状态方程为
0 0 0 1
x 1 6
0
x
0
u
0 1 12 0
期望闭环极点为 1* 2 2* 1 j 3* 1 j
计算状态反馈阵K
解：容易判断 系统能控
0 0 0
det(sI A) 1 s 6
0
s3
18s
2
72s
0 1 s 12
0= 0，1= 72，2=18
本章以状态空间方法为基础，针对常用典型形式性能 指标，讨论线性时不变系统的反馈控制综合问题。
6．1 引言
综合问题的提法 系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。
对象
0 : x Ax Bu y Cx
线性系统理论(郑大忠)第2章
基此，选取电容端电压uc和流经电感的电流iL作 为电路状态变量组。 显然，uc和iL必满足状态变量定义中所指出的线 性无关极大组属性。
2013/11/22
线性系统理论
23
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
R1 C + uC iL R2 iC + -
由此，得 和，
X QX
X PX PQX
X QX QPX
显然， PQ QP I
即矩阵P和Q互逆。
结论：系统的任意选取的两个状态X和 X 之间 为线性非奇异变换的关系。
2013/11/22
线性系统理论
18
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
2013/11/22
线性系统理论
2
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
一、状态和状态空间
1、系统动态过程的两类数学描述 2、状态和状态空间的定义
2013/11/22
线性系统理论
3
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、系统动态过程的两类数学描述
线性系统理论
21
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
电路系统如图所示，设各组元件的参数值为已 知，取电压源e(t)为输入变量，电阻R2端电压uR2为输 出变量。 C
R1 iC + e (t ) -
L
+ uC iL R2
2013/11/22
线性系统理论
23
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
R1 C + uC iL R2 iC + -
由此，得 和，
X QX
X PX PQX
X QX QPX
显然， PQ QP I
即矩阵P和Q互逆。
结论：系统的任意选取的两个状态X和 X 之间 为线性非奇异变换的关系。
2013/11/22
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18
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
2013/11/22
线性系统理论
2
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
一、状态和状态空间
1、系统动态过程的两类数学描述 2、状态和状态空间的定义
2013/11/22
线性系统理论
3
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、系统动态过程的两类数学描述
线性系统理论
21
第2章 线性系统的状态空间描述
广东工业大学 自动化学院 自动控制系 陈玮
1、电路系统状态空间描述的列写示例
电路系统如图所示，设各组元件的参数值为已 知，取电压源e(t)为输入变量，电阻R2端电压uR2为输 出变量。 C
R1 iC + e (t ) -
L
+ uC iL R2
线性系统理论(郑大钟第二版)第3章
x (t ) = e At x (0) = diag (e λ1t , eλ2t ,L , e λnt ) x (0)
x (t ) = Px = [ν 1 ν 2 L ν n ]diag (e λ1t , e λ2t ,L , eλnt ) x (0) = [ν 1eλ1t ν 2 eλ2t L ν n eλn t ] x (0)
3. Φ (t1 ± t2 ) = Φ (t1 ) ⋅Φ (±t2 ) = Φ (±t2 ) ⋅Φ (t1 )
(Φ (t )) k = Φ (kt )
1 2 2 Ak k 1 2 2 Ak k t1 + L)( I + At2 + A t2 + L + t2 + L) Φ (t1 ) ⋅Φ (t2 ) = ( I + At1 + A t1 + L + k! k! 2 2 2 3 t2 2 1 2 1 2 t2 3 2 t1 3 t1 = I + A(t1 + t2 ) + A ( + t1t2 + ) + A ( + t1 t2 + t1t2 + ) + L 2! 2! 3! 2! 2! 3! 1 1 = I + A(t1 + t2 ) + A2 (t1 + t2 ) 2 + A3 (t1 + t2 )3 + L = Φ (t1 + t2 ) 2! 3!
= ( I + At + L +
Ak −1 k −1 t + L) A = Φ (t ) ⋅ A (k − 1)!
k
2. Φ (0) = I
将 t = 0代入 Φ (t ) = I + At + 1 A2t 2 + L + A t k + L 即可证。
x (t ) = Px = [ν 1 ν 2 L ν n ]diag (e λ1t , e λ2t ,L , eλnt ) x (0) = [ν 1eλ1t ν 2 eλ2t L ν n eλn t ] x (0)
3. Φ (t1 ± t2 ) = Φ (t1 ) ⋅Φ (±t2 ) = Φ (±t2 ) ⋅Φ (t1 )
(Φ (t )) k = Φ (kt )
1 2 2 Ak k 1 2 2 Ak k t1 + L)( I + At2 + A t2 + L + t2 + L) Φ (t1 ) ⋅Φ (t2 ) = ( I + At1 + A t1 + L + k! k! 2 2 2 3 t2 2 1 2 1 2 t2 3 2 t1 3 t1 = I + A(t1 + t2 ) + A ( + t1t2 + ) + A ( + t1 t2 + t1t2 + ) + L 2! 2! 3! 2! 2! 3! 1 1 = I + A(t1 + t2 ) + A2 (t1 + t2 ) 2 + A3 (t1 + t2 )3 + L = Φ (t1 + t2 ) 2! 3!
= ( I + At + L +
Ak −1 k −1 t + L) A = Φ (t ) ⋅ A (k − 1)!
k
2. Φ (0) = I
将 t = 0代入 Φ (t ) = I + At + 1 A2t 2 + L + A t k + L 即可证。
线性系统理论全PPT课件
详细描述
稳定性是线性系统的一个重要性质，它决定了系统在受到外部干扰后能否恢复到原始状态。如果一个系统是稳定 的，那么当外部干扰消失后，系统将逐渐恢复到原始状态。而不稳定的系统则会持续偏离原始状态。
03
线性系统的数学描述
状态空间模型
01
定义
状态空间模型是一种描述线性动态系统的方法，它通过状态变量和输入
航空航天控制系统的线性化分析
线性化分析
在航空航天控制系统中，由于非线性特性较强，通常需要进行线性化分析以简化系统模 型。通过线性化分析，可以近似描述系统的动态行为，为控制系统设计提供基础。
线性化方法
常用的线性化方法包括泰勒级数展开、状态空间平均法和庞德里亚金方法等。这些方法 可以将非线性系统转化为线性系统，以便于应用线性系统理论进行控制设计。
线性系统理论全ppt课件
• 线性系统理论概述 • 线性系统的基本性质 • 线性系统的数学描述 • 线性系统的分析方法 • 线性系统的设计方法 • 线性系统的应用实例
01
线性系统理论概述
定义与特点
定义
线性系统理论是研究线性系统的 数学分支，主要研究线性系统的 动态行为和性能。
特点
线性系统具有叠加性、时不变性 和因果性等特性，这些特性使得 线性系统理论在控制工程、信号 处理等领域具有广泛的应用。
线性系统的动态性能分析
动态性能指标
描述线性系统动态特性的性能指 标，如超调量、调节时间、振荡
频率等。
状态空间分析法
通过建立和解决线性系统的状态方 程来分析系统的动态性能，可以得 到系统的状态轨迹和响应曲线。
频率域分析法
通过分析线性系统的频率特性来描 述系统的动态性能，可以得到系统 的频率响应曲线和稳定性边界。
稳定性是线性系统的一个重要性质，它决定了系统在受到外部干扰后能否恢复到原始状态。如果一个系统是稳定 的，那么当外部干扰消失后，系统将逐渐恢复到原始状态。而不稳定的系统则会持续偏离原始状态。
03
线性系统的数学描述
状态空间模型
01
定义
状态空间模型是一种描述线性动态系统的方法，它通过状态变量和输入
航空航天控制系统的线性化分析
线性化分析
在航空航天控制系统中，由于非线性特性较强，通常需要进行线性化分析以简化系统模 型。通过线性化分析，可以近似描述系统的动态行为，为控制系统设计提供基础。
线性化方法
常用的线性化方法包括泰勒级数展开、状态空间平均法和庞德里亚金方法等。这些方法 可以将非线性系统转化为线性系统，以便于应用线性系统理论进行控制设计。
线性系统理论全ppt课件
• 线性系统理论概述 • 线性系统的基本性质 • 线性系统的数学描述 • 线性系统的分析方法 • 线性系统的设计方法 • 线性系统的应用实例
01
线性系统理论概述
定义与特点
定义
线性系统理论是研究线性系统的 数学分支，主要研究线性系统的 动态行为和性能。
特点
线性系统具有叠加性、时不变性 和因果性等特性，这些特性使得 线性系统理论在控制工程、信号 处理等领域具有广泛的应用。
线性系统的动态性能分析
动态性能指标
描述线性系统动态特性的性能指 标，如超调量、调节时间、振荡
频率等。
状态空间分析法
通过建立和解决线性系统的状态方 程来分析系统的动态性能，可以得 到系统的状态轨迹和响应曲线。
频率域分析法
通过分析线性系统的频率特性来描 述系统的动态性能，可以得到系统 的频率响应曲线和稳定性边界。
线性系统理论课件
mn ij
定义: 矩阵 A a R
ij
mn
的行秩或列秩称为矩阵A的秩
记为rank(A)。 显而易见，对于矩阵
A aij Rmn
而言，有
rank(A)≤min{m,n}
当rank(A)=m时,我们称A为行满秩矩阵; 当rank(A)=n时,我们称A为列满秩矩阵; 当rank(A)＜min{m,n}时，我们称A为降秩矩阵，
x1 x 2 x x3
xi R, i 1,2,, n
全体的集合。设 x, y R ,在Rn中规定加法和数乘为
n
x1 y1 x y 2 2 x y x y n n
ax1 ax 2 ax axn
与初等行变换矩阵相对应的初等列变换矩阵分别
记之为 Qi , j , Qi c 和 Qi, j
等价是多项式矩阵之间的一种关系，这种关系显 然具有下述三个性质：
反身性，即每一个多项式矩阵均与自身等价。
对称性，即A(s)与B(s)等价，可推出B(s)与A(s)等价。
传递性，即A(s)与B(s)等价，B(s)与C(s)等价，可推出
1
时,称T为由V1到V2的线性变换或线性算子。V1称为T 的定义域。若令 TV Tv v V V 则TV1也是一个线性 空间，它被称为T的值域空间，记为ImT=TV1。在 V1=V2时，称他为V1上的线性变换。
1 1 1 1 2
二、矩阵代数中的几个结果 定义： 矩阵 A a R 中列向量的最大无关组的个数 称为A的列秩; 其行向量的最大无关组的个数称为A的 行秩。
x y yx ( x y) z x ( y z ) 1x x k (lx) (kl) x
定义: 矩阵 A a R
ij
mn
的行秩或列秩称为矩阵A的秩
记为rank(A)。 显而易见，对于矩阵
A aij Rmn
而言，有
rank(A)≤min{m,n}
当rank(A)=m时,我们称A为行满秩矩阵; 当rank(A)=n时,我们称A为列满秩矩阵; 当rank(A)＜min{m,n}时，我们称A为降秩矩阵，
x1 x 2 x x3
xi R, i 1,2,, n
全体的集合。设 x, y R ,在Rn中规定加法和数乘为
n
x1 y1 x y 2 2 x y x y n n
ax1 ax 2 ax axn
与初等行变换矩阵相对应的初等列变换矩阵分别
记之为 Qi , j , Qi c 和 Qi, j
等价是多项式矩阵之间的一种关系，这种关系显 然具有下述三个性质：
反身性，即每一个多项式矩阵均与自身等价。
对称性，即A(s)与B(s)等价，可推出B(s)与A(s)等价。
传递性，即A(s)与B(s)等价，B(s)与C(s)等价，可推出
1
时,称T为由V1到V2的线性变换或线性算子。V1称为T 的定义域。若令 TV Tv v V V 则TV1也是一个线性 空间，它被称为T的值域空间，记为ImT=TV1。在 V1=V2时，称他为V1上的线性变换。
1 1 1 1 2
二、矩阵代数中的几个结果 定义： 矩阵 A a R 中列向量的最大无关组的个数 称为A的列秩; 其行向量的最大无关组的个数称为A的 行秩。
x y yx ( x y) z x ( y z ) 1x x k (lx) (kl) x
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第五章 线性系统理论
第一节 线性关系
数学模型是由描述系统的变量和常量 构成的数学表达式，建立数学模型后，首 先要区分系统是线性还是非线性的。
以前的科学研究主要对象是线性系统， 而今正转向非线性系统，并且未来科学的 本质上是非线性科学
线性与非线性原本就是一对数学关系，用以区 分不同变量之间的两种基本的相互关系。
a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3≤b2
…… 它表示变量x1，x2，x3只能在给定的若干个代数 关系内变化，并且每个变量的变化都影响另 外两个变量的变化。
以上所讲的变量之间的关系都是静态相互 关系，都是用函数和代数方程进行描述。
实际上的动态过程中的诸变量的相互依存关 系要丰富的多。其数学表达式中将出现微分、 差分、积分等描述动态特性的项，反映这些 动态量对各个变量的依存关系。
xn
对于变系统系统，系统的系数为t的函数aij(t),系数矩阵为 A(t)
因此，对于最简单的一维系统就有：
x=ax
对于二维系统，有：
x=a11 x+a12 y y=a21 x+a22 y
以此类推至多维线性系统。
矩阵式描述对象整体特性的数学工具之一，方程给定后，借助代数 方法，通过分析系数矩阵，可以全面的了解系统的动态行为。
∇= a11a22 − a12a21
"鞍点"在三维空间中定义（图中的坐标原点），经过"鞍 点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向，每个平 面与曲面相交得到对应的曲线，代表该方向的发展轨迹。 不同的方向有的上升，有的下降。影射汽车市场，诸如 二手车置换的兴旺、汽车金融的产生、弱者被淘汰出局、 汽车出口呈上升态势、自主品牌的崛起、技术创新成企 业竞争王牌……不同的方面将有不同的发展。
第一节 线性关系
数学模型是由描述系统的变量和常量 构成的数学表达式，建立数学模型后，首 先要区分系统是线性还是非线性的。
以前的科学研究主要对象是线性系统， 而今正转向非线性系统，并且未来科学的 本质上是非线性科学
线性与非线性原本就是一对数学关系，用以区 分不同变量之间的两种基本的相互关系。
a11x1+a12x2+a13x3≤b1 a21x1+a22x2+a23x3≤b2
…… 它表示变量x1，x2，x3只能在给定的若干个代数 关系内变化，并且每个变量的变化都影响另 外两个变量的变化。
以上所讲的变量之间的关系都是静态相互 关系，都是用函数和代数方程进行描述。
实际上的动态过程中的诸变量的相互依存关 系要丰富的多。其数学表达式中将出现微分、 差分、积分等描述动态特性的项，反映这些 动态量对各个变量的依存关系。
xn
对于变系统系统，系统的系数为t的函数aij(t),系数矩阵为 A(t)
因此，对于最简单的一维系统就有：
x=ax
对于二维系统，有：
x=a11 x+a12 y y=a21 x+a22 y
以此类推至多维线性系统。
矩阵式描述对象整体特性的数学工具之一，方程给定后，借助代数 方法，通过分析系数矩阵，可以全面的了解系统的动态行为。
∇= a11a22 − a12a21
"鞍点"在三维空间中定义（图中的坐标原点），经过"鞍 点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向，每个平 面与曲面相交得到对应的曲线，代表该方向的发展轨迹。 不同的方向有的上升，有的下降。影射汽车市场，诸如 二手车置换的兴旺、汽车金融的产生、弱者被淘汰出局、 汽车出口呈上升态势、自主品牌的崛起、技术创新成企 业竞争王牌……不同的方面将有不同的发展。
线性系统概论课件
{ 0 ,0 } { 0 [t0 , )0 ,[t0 , )}
• 由定义
resd pu o t{ x o e n (t0)su ,[t0 e , )} resd pu o t{ x o e n (t0)s 0 } , eresd pu o t{ 0 o e n ,u [t0 s , )} e
• 线性时不变系统的动力学方程
• Chi-Tsong Chen, Linear system theory and design
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12
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13
完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组.
注意:状态的选择不是唯一的,状态是辅助量,可以有 明确的 物理意义,也可以没有.
• 状态空间:
状态向量取值的空间是有限维的实向量空间(Rn,R),称 为状态空间.
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5
• 动态方程:
----描述输入输出和状态之间唯一关系的方程组. ----动态方程都是因果的.
• 左MFD
给 定q*p的 传 递 函 数 矩 阵G（ s） ， 一 定 存 在q*q和q*p的 多 项 式 矩 阵 A(s)和 B(s) ,满 足
G(s)A1(s)B(s)， 称 A1(s)B(s)为 G(s)的 一 个 左 M FD。
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8
• MFD的次数:定义为其分母矩阵的行列式的次数(同SISO)
• MFD不唯一,次数也不唯一
• 最小阶MFD:在G(s)的所在MFD中,次数最小的称为 最 小阶MFD.也不唯一.
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9
四. 系统矩阵描述
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10
• 由定义
resd pu o t{ x o e n (t0)su ,[t0 e , )} resd pu o t{ x o e n (t0)s 0 } , eresd pu o t{ 0 o e n ,u [t0 s , )} e
• 线性时不变系统的动力学方程
• Chi-Tsong Chen, Linear system theory and design
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完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组.
注意:状态的选择不是唯一的,状态是辅助量,可以有 明确的 物理意义,也可以没有.
• 状态空间:
状态向量取值的空间是有限维的实向量空间(Rn,R),称 为状态空间.
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• 动态方程:
----描述输入输出和状态之间唯一关系的方程组. ----动态方程都是因果的.
• 左MFD
给 定q*p的 传 递 函 数 矩 阵G（ s） ， 一 定 存 在q*q和q*p的 多 项 式 矩 阵 A(s)和 B(s) ,满 足
G(s)A1(s)B(s)， 称 A1(s)B(s)为 G(s)的 一 个 左 M FD。
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• MFD的次数:定义为其分母矩阵的行列式的次数(同SISO)
• MFD不唯一,次数也不唯一
• 最小阶MFD:在G(s)的所在MFD中,次数最小的称为 最 小阶MFD.也不唯一.
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四. 系统矩阵描述
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系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t ) x
D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u
H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)
G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)
f
2
(
x,u,
e
2.2 线性系统的状态空间描述
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
)C
e
L(R1 R2 )
)C
uc
iL
(
R1
1
R2 R2
)C
e
L(R1 R2 )
L(R1 R2 )
选择状态变量
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc
iL
R2 R1 R2
确定性系统和不确定性系统
称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的 输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.
称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确 定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量
2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述
由输入输出描述导出状态空间描述
对于线性系统
x A(t)x B(t)u
y
C (t )
x
D(t
)u
时变系统和时不变系统
若向量f,g不显含时间变量t,即
f
g
f (x, u) g(x, u)
该系统称为时不变系统
若向量f,g显含时间变量t,即
f
g
f (x, u, t) g(x, u, t)
能控或不能观测的部分。
内部描述则是系统的一种完全的描述，能够完全反映系统的所有动力学特性。
状态和状态空间的定义
u1
yq
状态变量组: 一个动力学系统的状态变量组定义为 u2 能完全表征其时间域行为的一个最小
x1, x2, , xn
y2
内部变量组
up
yq
状态： 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 x1(t), x2 t, , xn (t)
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
)C
x1 x2
(
R1
1
R2 R2
)C
u
L(R1 R2 )
L(R1 R2 )
以上方程可表为形如
x Ax Bu y Cx Du
状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n
2.2 线性系统的状态空间描述
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述
（动态方程或运动方程），包括状态方程（描述输入和状态变量之间的关系）和 输出方程（描述输出和输入、状态变量之间的关系）。
电路系统状态空间描述的列写示例
离散时间线性时变系统 x(k 1) G(k) x(k) H (k)u(k) y(k) C(k) x(k) D(k)u(k)
状态空间描述的特点 一是:状态方程形式上的差分型属性 二是:描述方程的线性属性 三是:变量取值时间的离散属性
离散时间线性系统的方块图
D(k)
x(k 1)
x(k)
所组成的一个列向量
x1 (t)
x(t)
x2
(t)
xn
(t
)
状态空间： 状态空间定义为状态向量的一个集合，状态空间的维数等同于状态 的维数
几点解释 （1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 x1(t0 ), x2 t0 , , xn (t0 )
主要内容: 数学模型 → 分析理论 → 综合理论 发展过程: 经典线性系统理论→现代线性系统理论 主要学派: 状态空间法
几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题, 并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合
代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的 映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的 形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
uc R1i
R 2C
duc dt
L di L dt
L
R1C
duc dt
L
di L dt
0 e
R1
C
iC
e(t)
L
iL U c R2 U R2
uc
iL
(R1
1
R2 R1
)C
L(R1 R2 )
(
R1
R1 R2 R1R2
动态系统： 所谓动态系统，就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化 的一类系统——动力学系统。
动态系统是系统控制理论所研究的主体，其行为有各类变量间的关系来表征。
1.输入变量组
u
系统变量可区分为三类形式 2.内部状态变量组
3.输出变量组
y x
系统动态过程的数学描述 1.白箱描述:内部描述(状态方程和输出方程) 2.黑箱描述: 外部描述(输入, 输出变量组的关系)
线性系统
线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。
若表征系统的数学描述为L 系统模型
L (c1u1 c2u 2 ) c1L (u1) c2L (u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 ④建立数学模型的途径：解析、辨识 ⑤系统建模的准则：折衷
y
C (t )
x
D(t)u
D(t)
x
x
u
B(t)
C (t )
y
A(t)
离散时间线性系统的状态空间描述
状态空间描述形式
离散时间线性时不变系统 x(k 1) Gx (k ) Hu(k ) y(k) Cx(k) Du(k)
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
线性系统理论
郑Байду номын сангаас钟 清华大学出版社
第一章 绪 论
第一部分 线性系统的时间域理论
第二部分 线性系统的复频率域理论
第二章 线性系统的状态空间描述 第三章 线性系统的运动分析 第四章 线性系统的能控性和能观测性 第五章 系统运动的稳定性 第六章 线性反馈系统的时间域综合
第一章 绪论
控制理论发展概况： 第一阶段 20世纪40—60年代 经典控制理论 第二阶段 20世纪60—70年代 现代控制理论 第三阶段 20世纪70—
y2
up
yq
(1) 系统的外部描述
u1
y1
外部描述常被称作为输出—输入描述
u2
x1, x2 , , xn
y2
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述: u p
yq
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
大系统理论 （广度） 智能控制理论 （深度）
线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以 线性代数和微分方程为主要数学工具，以状态空间法为基础分析和设计控制 系统。
第一章 绪论
1.1系统控制理论的研究对象
系统是系统控制理论的研究对象 系统：是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体