第七章 微分方程总结

第七章 微分方程 总结

一、基本概念

1．微分方程的定义： ．

2．微分方程的阶的定义： ．

3．微分方程的解的定义： ．

4．微分方程的通解的定义： ．

5．微分方程的初始条件： ． 一阶微分方程的初始条件形式为 ； 二阶微分方程的初始条件形式为 ．

6．微分方程的特解： ．

7．积分曲线： ．

8．积分曲线族： ．

9．两个函数)(1x y 与)(2x y 线性相关的定义： ． 两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的定义： ．

二、性质与结论

1．二阶齐次线性微分方程的通解结构： ．

2．二阶非齐次线性微分方程的通解结构： ．

3．二阶非齐次线性微分方程特解的叠加性： ．

三、类型与解法

1．一阶微分方程的计算

（1）可分离变量的微分方程的形式： ，

求解方法： ．

（2）齐次型微分方程的形式： ， 求解方法： ．

（3）一阶线性微分方程的形式： ， 当 时，上式称为一阶线性齐次微分方程，否则称为一阶线性非齐次微分方程， 求解方法：（1）先求一阶线性齐次微分方程的通解为 ；

（2）再使用常数变易法求就可求得一阶线性非齐次微分方程通解，

其通解公式为： ．

2．可降阶的高阶微分方程的计算

（1）()()n y f x =型微分方程的解法是 ．

（2）(,)y f x y '''=型微分方程的解法是 ．

（3）),(y y f y '=''型微分方程的解法 ．

3．二阶线性微分方程的计算

（1）二阶常系数齐次线性微分方程的形式： ． 其通解： （1） ；

（2） ；

（3） ．

（2）二阶常系数非齐次线性微分方程的形式： ． 当()e ()x m f x P x λ=时，其特解可设*y = ．

①若λ不是02=++q pr r 的根，则k = ； ②若λ是02=++q pr r 的一个单根，则k = ； ③若λ是r pr q 20++=的二重根，则k = ． 当()e x f x λ=[)()1(x P l x ωcos +]sin )()2(x x P n ω时，其特解可设*y = ．

①当ωλi +不是特征根时，k = ； ②当ωλi +是特征根时，k = ． 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为： ．