分歧理论及其应用

现代电路理论

-------分歧理论及其应用

分歧理论及其应用

引言：近二、三十年来，分歧现象（bifurcation phenomena）及理论（bifurcation theory）在数学及自然科学上受到格外的重视及研究。随着科学技术的迅速发展，非线性问题大量出现于自然科学、工程技术乃至社会科学的许多领域，成为当前科学研究的热点。分歧现象是普遍存在的，是非线性系统的重要特点之一，它普遍地存在于数学、物理学、化学、经济学、社会学、生态学等各个领域，像数学中的解不唯一、物理学中的相变、工程中的静力与动力失稳、经济学中的马太效应、电子学中的周期振荡等等，都可以从分歧的角度去研究[1]。

1.分歧理论概述

分歧理论是近半个世纪以来逐步形成的有重要应用价值的数学分支，它反映的是流的拓扑结构随参数的变化而引起的质的变异，不论在数学理论上还是在现实应用中都具有极为重要的意义。近半个世纪以来，分歧理论的研究一直受到人们的广泛关注，也得到了很大的发展。国际电力界从20世纪80年代开始研究和应用分歧理论，在电压稳定、轴系扭振以及低频振荡的研究中均取得了新的突破。在上个世纪七十年代初，Crandall和Rabinowitz的两个基本分歧定理是由隐函数定理证明的，至今在数学，生物，工程上广为应用[2]。

分歧的含义是：对于含参数的系统，当参数发生变动并经过某些临界值时，系统的定性性态（即其拓扑结构，例如平衡状态、解的数目、周期运动的数目以及稳定性等）发生突然变化的现象。从数学角度而言，分歧理论主要是研究非线性代数方程（微分方程、积分方程、差分方程等）中参数对解的定性性质的影响，其中参数与解的稳定性、周期性、平衡位置等基本性质的关系是研究重点。

2. 分歧的定义

首先我们来看看一个经常可见到的现象。拿一根细长的金属棒。在棒的两头向内稍稍用力，此时棒不会弯曲。当力量够大时，则棒会弯起来。再继续加大压力，棒可能会弯了两弯。其变化如下图：

在此实验中，我们可用两个量来描述。一为压力λ，另一为角度θ，此角度是量金属棒在左端与水平方向所张开的角度。若以λ为横轴θ为纵轴，画一幅分枝图(bifurcation diagram)，则上述现象可清楚在图1表现出：

图1 分歧图

上述现象我们初步理解了分歧的概念，下面我们来看分歧理论的具有普遍意义的定义[3]。

在数学上，用算子方程

F(x,λ)=0 (1)的解来描写系统的平衡态，其中λ是参数,而x则属于某向量空间。用Sλ表示固定λ时满足(1)的x的集合即解集，所谓λ0是一个分歧点，是指对于λ0的一个邻域V，存在x∈Sλ的一个邻域U，以及λ1、λ2∈V，使得Sλ1∩U与Sλ2∩U不是同胚的。分歧理论与分歧理论不是同胚的。然而,通常流行的说法则是下列比较直接

的描述:设x=θ总满足(1),即(θ，λ)=0。一点(θ，λ)称为分歧点，是指在它的任意邻域内都含有(1)的非θ解[4]。

3. 分歧的分类

在非线性电路中的分歧问题可以分为静态分歧、动态分歧，也可以按局部分歧和全局分歧分类。静态分歧时指系统的平衡点数目和稳定性的变化，动态分歧是指在相平面上的轨道定性性质的变化。局部分歧是讨论平衡点或轨道附近相图的拓扑结构的变化。而全局分歧是研究大范围内拓扑结构的变化[5]。

静态分歧有可以分为平衡点的鞍结分歧、跨临界分歧、叉式分歧等等。动态分歧可以分为霍普夫分歧、闭轨分歧、环面分歧、同宿或异宿分歧等等。

4. 分歧理论的应用

分歧理论是近半个世纪以来逐步形成的有重要应用价值的数学分支，它反映的是流的拓扑结构随参数的变化而引起的质的变异，不论在数学理论上还是在现实应用中都具有极为重要的意义[6]。

4.1分歧理论在电力系统中的应用

电力系统是典型的非线性动力系统，其电压失稳产生振荡甚至崩溃的过程也就是产生分歧与混沌等非线性现象的过程。当前对分歧理论在电力系统中应用的研究主要表现在以下几个方面：

（1）利用各种方法探索电力系统可能发生的分歧现象。

（2）研究分歧现象对电力系统稳定性的影响。

（3）电力系统中分歧现象的快速搜索与控制。

电力系统中关于分歧和混沌的研究虽然已有20 多年的历史，但目前对分歧点的确定、分歧解枝的延拓与跟踪等问题的研究一般还局限于低维、局部简单模型，对于高维、全局和动态分歧以及电压崩溃的分歧机理与条件、分歧理论对电压稳定控制的影响等问题的研究还很少[16-18]。关于高维巴拿赫空间中的分岔理论和全局分歧、动态分歧等方面的研究结果还不多，这对研究动力系统和数值计算的人员来说是一个数学难题。在分歧理论的数值计算方面，已经有了一批有效的算法和软件系统，如Auto、Matcont、Clmatcont等，但它们并不是对任何非线性问题都适用。对于如何最大限度地克服非线性的影响、减少计算量、自适应调整相应的算法和步长、跟踪延拓解支使得越过分歧点等还有待进一步研究。此外由于目前涉及大量的数学公式和繁杂的数学、物理分析，分歧理论要应用于实际工程还有很长的路要走[7]。

4.2 分歧理论在非线性数学中的应用

分歧理论可以用来研究了拟线性广义逆与非完全分歧理论及其在偏微分方程中的应用。首先，证明了在线性算子的所有拟线性广义逆集合中，其最佳广义逆不是别的，恰为Moore-Penrose度量广义逆．从而使2000年G.R.Goldstein和J.A.Goldstein得到的结果：“最佳广义逆矩阵就是Moore-Penrose广义逆”成为其实质特例。

其次，将算子广义逆理论与非线性方程的局部分歧理论相结合，解决了非单特征值的广义分歧定理，并应用于扰动方程，为分歧理论的研究提供了新的思路。

最后，研究了Banach空间的解析分歧理论。刚Morse引理代替隐函数定理，在没有给定解曲线的情况下，通过F本身在分歧点的条件得到了两支交叉的解曲线，从而使Crandall和Rabinowitz的经典解析分歧定理成为其特例。利用新得到的分歧定理研究了小扰动下的非完全分歧，并给出不同H的横截条件，对单特征根条件下的线性方程解的局部状态进行了近乎完全的分类．并将获得的结果应用