三角恒等变换公式化简
三角函数的恒等变换与化简
三角函数的恒等变换与化简三角函数在数学中扮演着重要的角色，其中包括一系列的恒等变换和化简公式。
这些变换与化简公式不仅在解决三角函数问题时起着重要的作用，而且在数学推导和证明中也发挥着重要的作用。
本文将介绍一些常见的三角函数恒等变换和化简公式，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 三角恒等变换（1）余弦定理在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC。
这个定理在解决三角形问题中经常使用。
（2）正弦定理在任意三角形ABC中，设边长分别为a、b、c，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C为所对应的角。
（3）倍角公式正弦函数的倍角公式可以表示为：sin2θ = 2sinθcosθ，余弦函数的倍角公式可以表示为：cos2θ = cos²θ - sin²θ。
这些公式在求解具有倍角的三角函数问题时非常有用。
2. 三角函数化简公式（1）和差化积两角和公式可以表示为：sin(α +β) = sinαcosβ + cosαsinβ，cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
这个公式可以将两个角的三角函数和转化为单个角的三角函数和。
类似地，两角差公式可以表示为：sin(α - β) =sinαcosβ - cosαsinβ，cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ。
（2）平方公式正弦函数的平方公式可以表示为：sin²θ = (1 - cos2θ)/2，余弦函数的平方公式可以表示为：cos²θ = (1 + cos2θ)/2。
这些公式在化简复杂的三角函数表达式时非常有用。
（3）倒数公式正切函数的倒数公式可以表示为：cotθ = 1/tanθ，割函数的倒数公式可以表示为：secθ = 1/cosθ，余割函数的倒数公式可以表示为：cscθ =1/sinθ。
三角恒等变换
2， π 2cos4＝－1， 2，最小值为－
3π f 4 ＝
3π π 2sin 2 －4＝－
所以函数 1.
π 3π f(x)在区间8， 4 上的最大值为
【考情分析】
两角和与差的三角函数公式及倍角公式一直是高考数学的 热点内容之一，可对其直接考查，主要是作为工具在有关三角 函数的解答题中进行考查，各种题型均可能出现，难度不大， 分值4～6分．
π α α 2 cos2 . α，再升幂或化为sin2± 1± cos2±
(4)asin α ＋ bcos α→ 辅 助 角 公 式 asin α ＋ bcos α ＝ b a ＋b · sin(α ＋ φ) ， 其 中 tan φ ＝ a 或 asin α ＋ b cos α ＝
2
升幂：1＋cos 2α＝2cos2 α， 1－cos 2α＝2sin2 α.
(4) 角的变换．角的变换沟通了已知角与未知角之间的联 系，使公式顺利运用，解题过程被简化．常见的变换有： α＝(α＋β)－β， 1 α＝β－(β－α)，α＝2[(α＋β)＋(α－β)] ， 1 α＝2[(α＋β)－(β－α)] ， α＋β＝(2α＋β)－α 等． (5)公式的逆用和变用．
sin 47° －sin 17° cos 30° 6．(2013· 重庆高考) ＝( cos 17° 3 A．－ 2 1 C.2 1 B．－2 3 D. 2
)
sin 47° －sin 17° cos 30° 解析： cos 17° sin17° ＋30° －sin 17° cos 30° ＝ cos 17° sin 17° cos 30° ＋cos 17°sin 30° －sin 17°cos 30° ＝ cos 17° 1 ＝sin 30° ＝2，选 C. 答案：C
三角恒等变换总结2
简单三角恒等变换考点梳理1．两角和与两角差的正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； 余弦公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；正切公式：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=．2．二倍角的正弦公式：sin 22sin cos ααα=；二倍角的余弦公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-； 二倍角的正切公式：22tan tan 21tan ααα=-．3．降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=．4．解题时既要会正用这些公式，也要会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．三、典型问题选讲（一）化简（求值）问题例1 求下列各式的值： ⑴︒︒︒80cos 40cos 20cos ； ⑵︒⋅︒-︒+︒70tan 50tan 350tan 70tan ；⑶︒+︒10tan 31(50sin ）.分析：本题考查三角公式的应用，会逆用及变形用，特别是二倍角公式，正用──化单角，逆用──降次．解析：⑴[法一]原式=8120sin 8160sin 80cos 40cos 20cos 20sin 220sin 2133=︒︒=︒︒︒⋅︒⋅︒．[法二]原式=8180sin 2160sin 40sin 280sin 20sin 240sin =︒︒⋅︒︒⋅︒︒．⑵原式=tan(7050)(1tan 70tan 50)50tan 70︒+︒-︒⋅︒-︒⋅︒70tan 50=︒︒-370tan 50tan 3-=︒︒．⑶原式=︒︒+︒︒=︒︒+︒10cos )10sin 310(cos 50sin )10cos 10sin 31(50sin2sin 50(cos 60cos10sin 60sin 10)2sin 50cos 50cos10cos10︒︒︒+︒︒︒⋅︒==︒︒sin 100cos101cos10cos10︒︒===︒︒．归纳小结：在已知角求值的式子变形中，常通过“造出特殊角”、“对偶式”来简化计算过程．一般情况下，当βα±是特殊角时，使用tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=± 化简式子．例2 化简下列各式：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-ππαα2232cos 21212121，； （2）⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-απαπαα4cos 4cot 2sin cos 222．分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2的二倍，是的二倍，是2αααα以及取值范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角244παπαπ=-++，若注意到这两大特征，，不难得到解题的切入点．解：（1）因为αααπαπcos cos 2cos 2121223==+<<，所以，又因2sin2sincos 2121243αααπαπ==-<<，所以，所以，原式=2sinα．（2）原式=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-απαπααπαπα4cos 4sin 22cos 4cos 4tan 22cos 2=12cos 2cos 22sin 2cos ==⎪⎭⎫⎝⎛-αααπα．归纳小结：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换．（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧．（3）公式变形，αααsin 22sin cos =22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=．例3 已知正实数a ，b 满足的值，求ab b a b a 158tan5sin5cos5cos 5sinπππππ=-+．分析：从方程的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a ，则已知等式可化为关于的方ab 程，从而可求出ab ，若注意到等式左边的分子、分母都具有θθcos sin b a +的结构，可考虑引入辅助角求解．解法一：由题设得8sincos sin 55158cossincos5515b a b a ππππππ+=-，则.33tan 5158cos 5158sin 5sin 158sin 5cos 158cos 5sin158cos 5cos 158sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅+⋅⋅-⋅=πππππππππππππa b解法二：sincos555a b πππϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭因为，cossintan 5558tan tan .51585153tan tan tan 33b a b a k k bk a πππϕϕππϕππϕππϕπππϕπ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭+=+=+⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，其中，由题设得所以，即，故解法三：tan 85tan 151tan5ba b a πππ+=-原式可变形为：，()()tantan 85tan tan tan 5151tantan 58,5153tan tan tan 3333b a k k Z k k Z b k a παπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故，即()()tan tan 85tan tan tan 5151tan tan58,5153tan tan tan 33b a k k Z k k Z b k aπαπααππαππαππαπππαπ+⎛⎫==+= ⎪⎝⎭-⋅+=+∈=+∈⎛⎫=+=== ⎪⎝⎭令，则有，由此可所以，故即归纳小结：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，且辅助角公式()ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a ，tan b a ϕ⎛⎫=⎪⎝⎭其中，或sin cos a b αα+()tan a b αϕϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，其中在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳．例4 已知2tan tan 560x x αβ-+=，是方程的两个实根，求 ()()()()222sin3sin cos cos αβαβαβαβ+-++++的值．分析：由韦达定理可得到tan tan tan tan αβαβ+⋅及的值，进而可以求出()tan αβ+的值，再将所求值的三角函数式用tan ()βα+表示便可知其值．解法一：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()()()()()()22222sin3sin cos cossincosαβαβαβαβαβαβ+-++++=+++原式()()()()222tan3tan 1213113tan111αβαβαβ+-++⨯-⨯-+===+++．解法二：由韦达定理得tan 6tan tan 5tan =⋅=+βαβα，， 所以tan ().1615tan tan 1tan tan -=-=⋅-+=+βαβαβα()34k k Z αβππ+=+∈于是有，223333312sin sin 2cos 13422422k k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭原式． ()()()()()()()()。
高中数学三角恒等变换
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知识梳理
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ，(C(α＋β))
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，(S(α－β))
7 － 5
.
答案
解析
2 2 cos α － sin α cos 2α ＝ ＝cos α－sin α， π 2 2 2sinα＋ 2 sin α＋ cos α 4 2 2 3 π ∵sin α＝ ，α∈( ，π)， 5 2 4 7 ∴cos α＝－ ，∴原式＝－ . 5 5
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(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值为 答案
2 A.－ 2 2 B. 2 1 C. 2 1 D.－ 2
解析
由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
tan A＋tan B 可得 ＝－1，即 tan(A＋B)＝－1， 1－tan Atan B 3π 又 A＋B∈(0，π)，所以 A＋B＝ ， 4 π 2 则 C＝ ，cos C＝ . 4 2
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引申探究
θ θ 1＋sin θ－cos θsin －cos 2 2 化简： (0<θ<π). 解答 2－2cos θ
θ π θ ∵0< < ，∴ 2－2cos θ＝2sin ， 2 2 2
例2 2 5 A. 25 5 3 (1)设 α、β 都是锐角，且 cos α＝ ，sin(α＋β)＝ ，则 cos β 等于 5 5
答案 解析
三角恒等变换
时要牢记30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,能合理选用公式.
例3 (2017山西临汾二模,11)已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x,当x=θ时,函 数y=f(x)取得最小值,则 A.-3 B.3
sin 2θ 2cos 2θ = ( sin 2θ 2cos 2θ 1 1 C.- D. 3 3
,故选C.
2
θ θ θ θ 2 θ 2sin cos 2cos sin cos 2 2 2 2 2 (2)原式= θ 4cos 2 2
θ 2 θ 2 θ cos cos θ θ sin cos =cos · 2 . 2 = 2 2 θ θ cos cos 2 2
sin 2α= 2
α α 1±sin α= sin cos ; 2 2 α sin α 1 cos α tan = = . 2 1 cos α sin α
2
2.辅助角公式
a 2 b 2 sin(α+φ), asin α+bcos α=
其中cos φ= 2
a
2
a b
,sin φ= 2
b
2
a b
.
方法技巧
方法 1 三角函数式的化简方法
1.化简原则
(1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角合
理地拆分,从而正确运用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定要使用的公式; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常 见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等. 2.化简要求 (1)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少; (2)尽量使分母不含三角函数; (3)尽量使被开方数不含三角函数等.
三角恒等变换
三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:正:{ EMBED Equation.DSMT4 |()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 逆:,其中.正:; 逆:,其中.正:; 变:.正:; 变:正:;变:(降角升幂公式),逆:(降幂升角公式); (半角正切)典例:(1)下列各式中,值为的是（ ） A. B. C. D.(2)已知,那么的值为 (3)的值是 ;二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点通常是分式要因式分解、通分后约分、根号下配方后开方.基本的技巧有:★★★1.巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如:,, ,,等.典例:(1)已知,,那么的值是 ;(2)已知,且,,求的值 ;(3)若为锐角,,则与的函数关系为 .2.三角函数名互化(切化弦),典例:(1)求值= ; (2)已知,求的值3.公式变形使用（.典例:(1)已知A 、B 为锐角,且满足,则＝ ;(2)中,,,则此三角形是 三角形.4.三角函数次数的降升(降幂公式:,与升幂公式:,).典例:(1)若,化简为 ;(2)的单调递增区间为 .5.式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).典例:(1)= ;(2)求证:; (3)化简:= .6.常值变换主要指“1”的变换（等）典例:已知,求= .7.正余弦“三兄妹—”的内存联系—“知一求二”.典例:(1)若 ,则 ,特别提醒:这里;(2)若,求的值.;(3)已知,试用表示的值三、辅助角公式中辅助角的确定:(其中角所在的象限由a , b 的符号确定,角的值由确定)在求最值、化简时起作用.★★★典例:(1)若方程有实数解,则的取值范围是 .(2)当函数取得最大值时,的值是 ;(3)如果是奇函数,则= ;(4)求值: .[基础训练A 组]一、选择题1 已知，，则（ ）A B C D2 函数的最小正周期是（ ）A B C D3 在△ABC 中，，则△ABC 为（ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 无法判定4 设，，，则大小关系（ ）A B C D5 函数是（ ）A 周期为的奇函数B 周期为的偶函数C 周期为的奇函数D 周期为的偶函数6 已知，则的值为（ ）A B C D 二、填空题1 求值：_________2 若则3 函数的最小正周期是___________4 已知那么的值为 ,的值为5 的三个内角为、、，当为 时，取得最大值，且这个最大值为三、解答题1 已知求的值2 若求的取值范围3 求值：4 已知函数（1）求取最大值时相应的的集合；（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象。
三角恒等变换
三角恒等变换---完整版三角函数 —— 三角恒等变换公式:1 -cos1 cos ：sin - _, cos —=.2； 2 2，2tan [cos ：」一cos— sin：2 X cos 二sin 二 1 cos 一：＞升幂公式两角和与差的三角函数关系!i倍角公式 sin( x 二 I '1 )=sin 二 cos L ；二 cos 、；sin ”i sin2d =2sin d cos.zi 2 2cos2 用=cos 用-sin 二jcos(:; 二 L ： )=cos 二匸 cos" " sin J.sin 1'' :2 2=2cos a -1=1-2sin a性tana ±tan P tan=1 +ta n a ta n P丄小2ta na tan2 =21 - ta n a半角公式平方关系 2 a1+coS'f=2C0S —2 :1=sin 2 -：： + cos 2 -■ 降幂公式.2一 1 -cos2： sin21 .sin 二 cos _：i = —sin2工 2 2 a1-cos 、；=2sin — 2 a asin ： =2 sin — cos—2 2a a1 ± sin t =( sin —匸COS —)2 2 co 『—1 cos2sin 2 二 cos 2 二 =1考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。
等，余弦互为相反数。
互余两角的正余弦相等。
”（2） 二倍角公式的灵活应用，特别是降幕、 “互补两角正弦相 和升幕公式的 应用。
（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 一求二 （7）辅助角公式逆向应用 （4）角的整体代换 （5 ）弦切互化 （6 ）知 sin :-------- =ta n工 cos： 2 2sin a + cos a =1,商数关糸126、 A.（补全公式） 1 B. 1 488. A. 9、 C . 2（2013六校联考回归课本题） 11 C. — D.— 常见变式：计算1632cos20 （构造两角和差因子 +两式平方后相加）若sin )A<（诱导公式） -cos40 ° • cos60 ° • cos80° =( sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 a — sin 3=( cos(X — COS 的=13=-，贝U cos( a- B )的值为B<23C.^ D . 1【2015广东东莞高一期末】sin 163sin 223 + sin 253sin 313 等于 BB. D.（构造两角和差因子 10、（逆向套用公式） +两边平方）【2015高考四川，理12】 tan23 丰 tan 37 丰 J3tan 23 tan 37 的值是sin 15 sin 75 = （1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换各种题型归纳分析三角恒等变换基础知识及题型分类汇总一、知识点：一）公式回顾：cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $，简记为C（$\alpha\pm\beta$）sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $，简记为S（$\alpha\pm\beta$）sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，简记为S2cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$，简记为C2tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$，其中$\alpha\neq\frac{k\pi}{2}$，简记为T2二）公式的变式1\pm\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$，简记为1±C2frac{1\pm\cos\alpha}{2}=\sin^2\frac{\alpha}{2}$，简记为S2/2sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac {\alpha\mp\beta}{2}$，简记为S±Scos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\al pha-\beta}{2}$，简记为C+Ccos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$，简记为C-Ctan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$，简记为T1辅助角（合一）公式：begin{cases}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(-\alpha)=\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\frac {\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$二典例剖析：基础题型例1：已知$\sin2\alpha=\frac{5\pi}{13}$，$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，求$\sin4\alpha$，$\cos4\alpha$，$\tan4\alpha$。
简单的三角恒等变换-人教版高中数学
知识图谱-三角恒等变换的应用三角恒等变换公式三角函数式的化简和求解第02讲_简单的三角恒等变换错题回顾三角恒等变换的应用知识精讲一．三角函数式的化简辅助角公式：，二．用三角函数解决问题设函数1.求最小正周期2.求单调性（方法：脱衣服）单调递增区间的求法，设，解得的范围即为的单调递增区间；单调递减区间的求法，设，解得的范围即为的单调递减区间．3. 求对称轴（方法：脱衣服）设，解得的的范围即为的对称轴.4. 求值域（方法：穿衣服）已知的取值范围，求得的范围，根据三角函数图像求出的范围，进而求得的范围，即为的值域.三点剖析一．注意事项：1. 运用辅助角公式求解的时候，一定要注意取值范围，2. 关于求值域和求单调性，一个是穿衣服，一个是脱衣服，不要记反了.二．必备公式题模精讲题模一三角恒等变换公式例1.1、函数f（x）=sin（x+φ）-2sinφcosx的最大值为____．例1.2、函数y=sin2x+2sin 2x 最小正周期T为____．例 1.3、函数f （x ）=sin （sin -cos ）的最小正周期为____．题模二 三角函数式的化简和求解例2.1、sin15°+cos15°的值为（ ）A 、B 、C 、D 、例2.2、若函数为偶函数，则（ ）A 、 f （x ）的最小正周期为π，且在上为增函数B 、 f （x ）的最小正周期为，且在上为增函数C 、 f （x ）的最小正周期为，且在上为减函数D 、 f （x ）的最小正周期为π，且在上为减函数例2.3、已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．随堂练习随练1.1、函数f（x）=sin（x+2φ）-2sinφcos（x+φ）的最大值为____．随练1.2、函数f（x）=sinax+cosax（a＞0）的最小正周期为π，最大值为b，则log a b=____．随练1.3、函数y=sin（x+15°）+cos（x+60°）的最大值____．随练1.4、设函数f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（-x）=f（x），则（）A、f（x）在（0，）单调递减B、f（x）在（）单调递减C、f（x）在（0，）单调递增D、f（x）在（）单调递增随练1.5、关于函数f（x）=2sin2x+2cos2x，下面结论正确的是（）A 、在区间单调递减B 、在区间单调递增C 、在区间单调递减D 、在区间单调递增随练1.6、已知函数f （x ）=4cosxsin （x+）-1．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在区间[-，]上的最大值和最小值．自我总结 课后作业作业1、化简：cos(+α)+sin(+α)=____．作业2、设函数f （x ）=sin （2x+φ）+cos （2x+φ）（|φ|＜），且其图像关于直线x=0对称，则（ ）A 、y=f （x ）的最小正周期为π，且在（0，）上为增函数B 、y=f （x ）的最小正周期为，且在（0，）上为增函数C 、y=f （x ）的最小正周期为π，且在（0，）上为减函数D 、y=f （x ）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数作业3、函数y=的单调递增区间是 ．作业4、若f （x ）=sin （ωx+φ）+cos （ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，f （0）=，则（ ）A 、f （x ）在单调递增B 、f （x ）在单调递减C 、f （x ）在单调递增D 、f （x ）在单调递减作业5、已知函数f(x)=cos 2-sin cos -．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期和值域；（Ⅱ）若f(α)=，求sin2α的值．作业6、已知函数f （x ）=-sin 2x+sinxcosx ．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）设α∈（0，π），f（）=-，求sinα的值．作业7、已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．作业8、设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+）=g（x），且当x∈[0，]时，g（x）=-f（x），求g（x）在区间[-π，0]上的解析式．作业9、已知=(5cosx，cosx)，=(sinx，2cosx)，设函数f(x)=•+||2+．（Ⅰ）当x∈[，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）当x∈[，]时，若f（x）=8，求函数f(x-)的值．。
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换各种题型归纳分析三角恒等变换一、知识点：一）公式回顾：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，简记为C(α±β)sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，简记为S(α±β)sin2α=2sinαcosα，XXX为S2αcos2α=cos²α-sin²α，XXX为C2αtan2α=(α≠kπ/2且α≠kπ)简记为T2α2、二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍，3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。
因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。
凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。
二）公式的变式1±sin²α=(sinα±cosα)²cos²α=1/(1+tan²α)1-cos²α=2sin²αtan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)公式前的±号，取决于2合1公式所在的象限，注意讨论。
absinx+cosx=a+ba+b其中tanθ=b/a二、经典例题剖析：基础题型例1:已知sin2α=5π/13，0<α<π/2，求sin4α，cos4α，tan4α.例2:在△ABC中，cosA=4/5，tanB=2，求tan(2A+2B).题型二：公式的逆向运用例3:求下列各式的值：2tan15°1.化简下列各式：1) sin²22.5°cos²22.5°;2) (1-2sin²75°)/(21-tan15°);3) sin(3π/4)/[1-(tanπ/5)²].2.化简下列各式：1) sin⁴θ-cos⁴θ;2) -αcosα-(3α²/4).3.求值：1) cos(π/12)cos(π/6);2) cos36°cos72°.题型三：升降幂功能与平方功能的应用例3.化简下列各式：1) 1+sin40°;2) 1-sinα;3) 1+cos20°;4) 1-cosα.1) (cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ-cos²θ)/(cos²θ+sin²θ-2sinθcosθ) = 2sinθ/(1-cos2θ);2) (cos²θ+sin²θ+2sinθcosθ+cos²θ)/(cos²θ+sin²θ-2sinθcosθ) = 2cosθ/(1+cos2θ).3.已知sinx+cosx=3/2.x∈(0,π)，求sin2x和cos2x.2sinxcosx = sin2x。
三角恒等变换求值与化简
y
(1
m m)x
1
x
令 (1m )x1(m 0 ,x ≥ 1 )
x
则 (1m )x 1 2(1 x m 2)x 20
在 [ 1 , ) 上 为 增 函 数
≥ 1 m 1 2 m 0
又m0,y≤m m2
即 x1时 ,y取 得 最 大 值 m. 2m
三、针对性训练
(一)《状元360》P384 1. 3.
B． 6 10cm2
C． 3 55cm2
D． 20cm2
注:此类问题与解三角形结合时,应尽可能计算余
弦值或正切值.
变 式 1.已 知 、 都 是 锐 角 ， 且 sin 5,sin10,
5
10
求 .
答 案 : . 4
注:此类问题与解三角形结合时,应尽可能计算余弦值 或正切值.
变 式 2.已 知 函 数 f(x)tan(2x),f()2cos2,
42
其 中 0,4,求 角 .
(3)化运算：利用二倍角的三角函数公式实现函 数式的升幂或降幂的转化，或利用代数恒等式进行 运算的转化.
二、例题分析
考点一:知值求角
[方法点拨] 求角问题在高考中已降低要求，故若
有求角问题出现，往往应是特殊角，解决方法是
先求该角的某种三角函数值，再利用角的范围确
定角.
例 1.设、(0， π),且tan4,tan1,则
三、针对性训练
(二)补充练习 4
1 .已 知 t a n x 4 2 ,则 t t a a n n 2 x x 的 值 为 _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ .1
2 . 已 知 s i n 2 s i n 2 1 , 则 c o s c o s 的 最 大 值 是 _ _ 2 _ .
《三角恒等变换》知识点及常见题型总结
简单的三角恒等变换一、考点、热点回顾模块一、两角和与差的三角函数要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-要点二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路①巧变角：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等②三角函数名互化：切割化弦③公式变形使用：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±， 1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinα·cosα=（sinα±cosα）2 ④三角函数次数的降升：降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=；升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-= ⑤常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+tan sin 42ππ===等模块二、简单的三角恒等变换 要点三、半角公式：sin α2＝cos 2α= tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 要点四、三角函数的积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是解决三角函数运算中的重要工具，它允许我们在不改变三角函数值的情况下，将一个三角函数表达式转化为与之等价的另一个表达式。
在解决三角函数相关问题时，灵活应用恒等变换可以简化计算过程，提高解题效率。
本文将介绍三角恒等变换的基本概念、常见公式及其应用。
一、基本概念三角恒等变换是指通过等式变换将一个三角函数表达式转化为与之等价的另一个表达式的过程。
在进行三角恒等变换时，我们必须保持变换后的表达式与原表达式的数值相等，即变换不改变函数值。
根据不同的需要，我们可以通过将一个三角函数表示为同种或者不同种类的三角函数，或是将三角函数表达式化简为代数表达式来实现恒等变换。
二、常见恒等变换公式1. 余弦函数和正弦函数的平方和差恒等式：cos^2(x) + sin^2(x) = 1cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)sin(2x) = 2sin(x)cos(x)2. 正切函数和余切函数的平方差恒等式：tan^2(x) + 1 = sec^2(x)cot^2(x) + 1 = csc^2(x)3. 倍角公式：cos(2x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)sin(2x) = 2sin(x)cos(x)4. 半角公式：cos(x/2) = ±sqrt((1 + cos(x)) / 2)sin(x/2) = ±sqrt((1 - cos(x)) / 2)tan(x/2) = ±sqrt((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))5. 和差化积公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)以上仅列举了部分常用的三角恒等变换公式，这些公式可以帮助我们转化和简化三角函数表达式。
第四节 三角恒等变换
第四节 三角恒等变换高考概览：能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．[知识梳理]1．公式的常用变式(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；(3)cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.2．降幂公式 (1)sin 2α＝1－cos2α2； (2)cos 2α＝1＋cos2α2； (3)sin αcos α＝12sin2α. 3．升幂公式 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； (2)1－cos α＝2sin 2α2；(3)1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22. 4．半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2；(2)cos α2＝± 1＋cos α2；(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．[辨识巧记]常用拆角、拼角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)； α－β＝(α－γ)＋(γ－β)； 15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等． [双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α都有1＋sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22.( )(2)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( ) (3)sin 4x ＋cos 4x ＝1－sin 22x .( ) (4)tan α2＝1＋cos αsin α.( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2018·河北保定一模)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α的值为( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．－ 3[解析] 由已知得12cos α－32sin α＝12sin α－32cos α，整理得，⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1.故选B.[答案] B3．(2019·浙江苍南县三校联考)若sin α＋sin β＝75，cos α＋cos β＝－75，则cos(α－β)＝( )A ．－2425 B.2425 C ．－150 D.150[解析] sin α＋sin β＝75，① cos α＋cos β＝－75，② ①2＋②2，得2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝49×225，∴cos(α－β)＝2425.故选B. [答案] B4．(2019·安徽十校联考)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 [解析] sin47°－sin17°cos30°cos17° ＝sin (30°＋17°)－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°cos17° ＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C. [答案] C5．(必修4P 46A 组T 4(2)改编)tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝________.[解析] ∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝3， ∴tan20°＋tan40°1－tan20°·tan40°＝ 3∴tan20°＋tan40°＝3－3tan20°·tan40°， ∴tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°＝ 3. [答案]3考点一 三角函数式的化简【例1】 化简下列各式：(1)sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos2α·cos2β； (2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.[思路引导] (1)用二倍角公式向α、β转化→进行式的变换、化简(2)利用二倍角公式进行降次→合理拆角→变换化简 [解] (1)原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12(cos 2α－sin 2α)·(cos 2β－sin 2β)＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos 2α·cos 2β－ 12sin 2α·sin 2β＋12cos 2α·sin 2β＋12sin 2α·cos 2β ＝12sin 2α·sin 2β＋12cos 2α·cos 2β＋12cos 2α·sin 2β＋12sin 2α·cos 2β ＝12sin 2α·(sin 2β＋cos 2β)＋12cos 2α·(sin 2β＋cos 2β) ＝12sin 2α＋12cos 2α＝12. (2)解法一：原式＝cos 2α－sin 2α2×1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos α＋cos π4sin α2＝(cos 2α－sin 2α)(1＋tan α)(1－tan α)(cos α＋sin α)2 ＝(cos 2α－sin 2α)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α⎝⎛⎭⎪⎫1－sin αcos α(cos α＋sin α)2＝1. 解法二：原式＝cos2α2tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2αcos2α＝1.化简三角函数式的策略[对点训练]1．化简：sin2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4. [解] 原式＝2sin αcos α－2cos 2α22(sin α－cos α)＝22cos α(sin α－cos α)sin α－cos α＝22cos α.2．已知α∈(0，π)，化简： (1＋sin α＋cos α)·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α.[解] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α.考点二 三角函数式的求值三角函数求值问题主要考查角的变换和公式的灵活运用，是高考命题的热点，难度适中．常见的命题的角度有： (1)给角求值； (2)变角求值； (3)给值求角． 角度1：给角求值【例2－1】 求值：(1)sin110°sin20°cos 2155°－sin 2155°；(2)3tan12°－3sin12°(4cos 212°－2). [思路引导] 角的变换→式的变换→约分求值 [解] (1)原式＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12. (2)原式＝3×sin12°cos12°－3sin12°(4cos 212°－2)＝3sin12°－3cos12°2sin12°cos12°(2cos 212°－1)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°sin24°cos24°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3. 角度2：变角求值【例2－2】 (1)(2018·贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13 D ．－79(2)已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________． [思路引导]观察所求角与已知角的联系→用已知角表示未知角的三角函数→结合已知值求值[解析] (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.故选D. (2)∵0<β<π2<α<π，∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. [答案] (1)D (2)－239729 角度3：给值求角【例2－3】 (2019·成都诊断考试)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值为________．[思路引导]所求角用已知角表示→表示出所求角的范围→求出α＋β的一个三角函数值→求角[解析] 因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin2α＝55，故2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴cos2α＝－255，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，故β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，于是cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.[答案] 7π4三角函数求值的方法策略类型 要点给角求值 关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数变角求值 给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系 给值求角 实质是转化为给值求值，关键是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围[对点训练]1．(2019·开封模拟)设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2tan13°1－tan 213°，c ＝1－cos50°2，则( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a[解析] ∵a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin24°，b ＝tan26°，c ＝sin25°，∴a <c <b ，故选C.[答案] C2．已知2tan αsin α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( )A ．0 B.22 C ．1 D.12[解析] 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝0.故选A.[答案] A3．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．[解析] tan α＝tan(α－β＋β)＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)·tan β＝12－171＋12×17＝13，所以tan(2α－β)＝tan(α＋α－β)＝tan α＋tan (α－β)1－tan α·tan (α－β)＝13＋121－13×12＝1.由tan α＝13，得tan α<1, 则0<α<π4，得0<2α<π2.由tan β＝－17，知β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，得－π <2α－β <0，所以2α－β＝－34π. [答案] －34π考点三 三角恒等变换【例3】 (2019·河北唐山二模)已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则( )A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)[解析]解法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，已知sin2α＝2sin2β，所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，利用和角、差角公式展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)·sin(α－β)]，整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.解法二：因为sin2α＝2sin2β，所以tan(α＋β)tan(α－β)＝sin(α＋β)cos(α－β)cos(α＋β)sin(α－β)＝12(sin2α＋sin2β)12(sin2α－sin2β)＝3sin2βsin2β＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.[答案] A三角恒等式变换的关注点(1)看角：分析角的差异，消除差异，向结果中的角转化．(2)看函数：统一函数，向结果中的函数转化．[对点训练]已知sin θ＋cos θ＝2sin α，sin2θ＝2sin 2β，则( ) A ．cos β＝2cos α B ．cos 2β＝2cos 2α C ．cos2β＝2cos2αD ．cos2β＝－2cos2α[解析] 由同角三角函数的基本关系可得sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin2θ.由已知可得(2sin α)2＝1＋2sin 2β，即4sin 2α＝1＋2sin 2β.由二倍角公式可得4×1－cos2α2＝1＋2×1－cos2β2，整理得cos2β＝2cos2α.故选C. [答案] C审题系列④——角的范围对三角函数求值的影响素养解读：在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．绝大部分题目都会设置一定的障碍，特别是角的范围，往往所给的范围较大，需要根据条件缩小范围．缩小角的范围，经常采用以下策略：①由三角函数值的符号缩小角的范围；②借助缩小三角函数值的范围缩小角的范围；③由特殊角或特殊值缩小角的范围．【典例1】 已知α、β∈(0，π)，tan α＝2，cos β＝－7210，求2α－β的值．[切入点] 利用α，β的三角函数值求2α－β的三角函数值． [关键点] 缩小角的范围，保证各角三角函数值的唯一性． [规范答题] 解法一：因为tan α＝2>0，α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.因为cos β＝－7210，β∈(0，π)，所以β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且tan β＝－17.所以α－β∈(－π，0)，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3>0，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，所以2α－β∈(－π，0)．因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－1，所以2α－β＝－π4.解法二：因为tan α＝2>1，α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.因为cos β＝－7210，β∈(0，π)，所以β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－1， 所以2α－β＝－π4.三角函数值的符号与角的范围有直接关系，借助三角函数值的符号可有效缩小角的范围．本题缩小角的范围分为两层：先由条件中tan α、cos β的符号缩小α、β的范围，得到α－β的范围，再由α－β的范围，结合tan(α－β)的符号进而缩小α－β的范围，得到2α－β的范围．难点是想到缩小α－β的范围．另外，本题还可以采用缩小三角函数值的范围来缩小角的范围． 解法二较解法一在求角的范围上运算量小了许多，这也显示出运用三角函数值的范围缩小角的范围的优势．【典例2】 设α、β∈(0，π)，sin(α＋β)＝513，tan α2＝12，则cos β＝________.[切入点] 求出α和α＋β的三角函数值．[关键点] 保证cos β＝cos[(α＋β)－α]的唯一性． [规范答题]因为tan α2＝12，所以sin α＝2tan α21＋tan 2α2＝45，cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22.又α∈(0，π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，又β∈(0，π)，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，4π3.又sin(α＋β)＝513∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，所以cos(α＋β)＝－1213，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1665.[答案] －1665本题缩小角的范围分为两层：(1)由cos α＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，结合α∈(0，π)，缩小角α的范围，得到α＋β的范围；(2)由sin(α＋β)＝513∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，结合α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，4π3，缩小α＋β的范围．其中难点是后者，这是因为y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，4π3上不单调，解决办法是画图．[感悟体验]1．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( )A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4[解析] 由sin α＝55，cos β＝－31010，且α，β为钝角，可知cos α＝－255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22，又π<α＋β<2π，故α＋β＝7π4.故选C.[答案] C2．已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β的值为________．[解析] 因为0<α<π，cos α＝17， 所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32， 所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π， 由π3<α<π2知2π3<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12. [答案] 12课后跟踪训练(二十三)基础巩固练一、选择题1．已知sin2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B.12 C.23 D.16 [解析] cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23.故选C. [答案] C2．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A.2941 B.129 C.141 D ．1[解析] tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝37＋251－37×25＝1，故选D. [答案] D3．(2019·广东七校联考)锐角α，β满足cos α＝1213， cos(2α＋β)＝35，那么sin(α＋β)＝( ) A.6365 B.5365 C.4365 D.3365[解析] 由于α，β均为锐角，cos(2α＋β)＝35，cos α＝1213，所以sin α＝513，sin(2α＋β)＝45，所以sin(α＋β)＝sin[(2α＋β)－α]＝sin(2α＋β)cos α－cos(2α＋β)sin α＝45×1213－35×513＝3365，故选D.[答案] D4．(2019·湖南邵阳二模)若tan π12cos 5π12＝sin 5π12－m sin π12，则实数m 的值为( )A ．2 3 B. 3 C ．2 D ．3[解析] 由tan π12cos 5π12＝sin 5π12－m sin π12， 可得sin π12cos 5π12＝cos π12sin 5π12－m sin π12cos π12，即sin π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12＝cos π12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π12－m sin π12cos π12， 即sin 2π12＝cos 2π12－m 2sin π6， 亦即m 2sin π6＝cos π6，∴m 2·12＝32， ∴m ＝23，故选A. [答案] A5．(2019·河北名师俱乐部3月模拟)已知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝( )A.23B.43C.34D.32[解析] 解法一：由sin θ－cos θ＝－144得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝74，∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0<π4－θ<π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝34.故2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.解法二：由sin θ－cos θ＝－144，sin 2θ＋cos 2θ＝1，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，解得sin θ＝32－148，cos θ＝14＋328， ∴2cos 2θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝2(sin θ＋cos θ)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－148＋14＋328＝32.故选D. [答案] D 二、填空题6．(2019·湖南长沙一模)化简：2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝________. [解析] 2sin (π－α)＋sin2αcos 2α2＝2sin α＋2sin α·cos α12(1＋cos α)＝2sin α(1＋cos α)12(1＋cos α)＝4sin α. [答案] 4sin α7．(2018·河南统考)已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.[解析] 由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.[答案] 18．对于锐角α，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. [解析] 由α为锐角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35，可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12sin π4＝45×22－35×22＝210，于是cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2102－1＝－2425.[答案] －2425 三、解答题9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×⎝⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3.10．(2018·江苏如东高中上学期期中)已知α，β都是锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．[解] (1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13，所以－π2<α－β<0. 由sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1和sin (α－β)cos (α－β)＝－13，解得sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1－110＝31010.因为α为锐角，sin α＝35， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. 能力提升练11．(2019·湖北八校第一次联考)已知3π<θ<4π，且1＋cos θ2＋1－cos θ2＝62，则θ＝( ) A.10π3或11π3B.37π12或47π12C.13π4或15π4D.19π6或23π6[解析] ∵3π<θ<4π，∴3π2<θ2<2π， ∴cos θ2>0，sin θ2<0， ∴ 1＋cos θ2＋1－cos θ2＝cos 2θ2＋sin 2θ2＝cos θ2－sin θ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝62，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4＝32， ∴θ2＋π4＝π6＋2k π，k ∈Z 或θ2＋π4＝－π6＋2k π，k ∈Z ， 即θ＝－π6＋4k π，k ∈Z 或θ＝－5π6＋4k π，k ∈Z ， 又∵3π<θ<4π， ∴θ＝19π6或23π6.故选D. [答案] D12．(2019·安徽二模)sin40°(tan10°－3)＝( ) A ．－12 B ．－1 C.32 D ．－33[解析] sin40°(tan10°－3)＝sin40°(sin10°－3cos10°)cos10°＝sin40°·2sin (10°－60°)cos10°＝－2sin40°cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－cos10°cos10°＝－1.故选B.[答案] B13．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝________.[解析] cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20° ＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18. [答案] －1814．(2019·北京西城区模拟)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值． [解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π＋π4，k ∈Z . 所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }． (2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4；由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，得β＋π4＝π3，即β＝π12. 所以β＝π12，或β＝3π4.拓展延伸练15．(2018·安徽淮南一模)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且tan α＝1＋sin2βcos2β，则下列结论中正确的是( )A ．α－β＝π4 B ．α＋β＝π4 C ．2α－β＝π4D ．2α＋β＝π4[解析] tan α＝1＋sin2βcos2β＝(sin β＋cos β)2cos 2β－sin 2β＝sin β＋cos βcos β－sin β＝1＋tan β1－tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＝β＋π4，即α－β＝π4.故选A.[答案] A16．(2019·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( ) A ．－1010 B.1010 C ．－31010 D.31010 [解析] tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tan π121－tan αtan π12＝－2⇒tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2<0， ∵α为第二象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010.故选C.[答案] C。
三角恒等变换积化和差公式
三角恒等变换积化和差公式三角恒等变换中的积化和差公式，那可是数学里的一个相当有趣的部分！咱先来说说这积化和差公式到底是啥。
就比如，sinαcosβ = 1/2[sin(α + β) + sin(α - β)]，cosαsinβ = 1/2[sin(α + β) - sin(α - β)]，cosαcosβ =1/2[cos(α + β) + cos(α - β)]，sinαsinβ = -1/2[cos(α + β) - cos(α - β)]。
看起来是不是有点复杂？别担心，咱们慢慢捋。
记得有一次，我给学生们讲这部分内容。
我在黑板上写下这些公式，然后问他们：“同学们，你们觉得这些公式像不像一群调皮的小精灵，藏着神秘的密码等着咱们去破解？”结果有个学生就喊：“老师，这哪是小精灵啊，简直是小恶魔！”全班哄堂大笑。
咱接着说这公式的应用。
比如，在求解三角函数的化简、求值问题时，积化和差公式就大显身手啦。
比如给你一个式子：sin2xcos3x，这时候就可以用积化和差公式把它变成 1/2[sin(2x + 3x) + sin(2x - 3x)] ，是不是一下子就清晰了许多？再比如说，在物理中研究振动和波动的时候，也会用到这些公式。
就像研究一个简谐运动的合成，通过积化和差公式，能更清楚地分析出不同频率的振动叠加后的效果。
还有啊，在解决一些几何问题的时候，也可能会用到积化和差公式。
比如计算三角形的面积，有时候通过三角函数的关系，再运用积化和差公式，就能找到巧妙的解法。
学习积化和差公式可不能死记硬背，得理解它的推导过程，多做几道练习题，找找感觉。
就像学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃，但多练几次，就能掌握平衡，轻松上路啦。
回到最开始提到的那个课堂小插曲，后来啊，经过大家一起努力，那些原本觉得是“小恶魔”的公式，都被同学们征服啦，变成了帮助大家解题的“小精灵”。
总之，三角恒等变换中的积化和差公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去学，多练习，就能把它变成我们解题的有力武器，让数学学习变得更加有趣和轻松！。