算法的概念 (10)

S6 用 50 g 砝码和 50 g 硫黄共同称出 100 g 硫黄．
S7 把 5 g、10 g、50 g、100 g 硫黄混合，构成 165 g 硫黄，也就是一份的质量．
S8 用这一份硫黄再称出 165 g.
此时全部硫黄被Baidu Nhomakorabea均分成三份，按照以上算法共需要称量 5 次．
要点阐释 1．算法概念的理解 (1)算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．这些步骤必须是 明确和有效的，而且能够在有限步之内完成． (2)算法与一般意义上具体问题的解法既有联系，又有区别．它们之间是一般和特 殊的关系，也是抽象与具体的关系． (3)算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、 概括性、精确性，所以算法在解决问题时更具有条理性、逻辑性等特点．
题型三 算法的应用 【例 3】 写出解方程 x2－2x－3＝0 的一个算法．
解：解法一：第一步，将方程左边因式分解， 得(x－3)(x＋1)＝0.① 第二步，由①得 x－3＝0，② 或 x＋1＝0.③ 第三步，解②得 x＝3，解③得 x＝－1.
变式训练 3．写出能找出 a，b，c 三个数中最小值的一个算法． 解：第一步，输入 a、b、c，并且假定 min＝a. 第二步，若 b<min 成立，则用 b 的值替换 min；否则直接执行下一步． 第三步，若 c<min 成立，则用 c 的值替换 min，否则直接执行下一步． 第四步，输出 min 的值，结束．
变式训练 2．求 1×3×5×7×9×11 的值，写出其算法． 解：算法如下： 第一步，先求 1×3，得到结果 3. 第二步，将第一步所得结果 3 再乘以 5，得到结果 15. 第三步，再将 15 乘以 7，得到结果 105. 第四步，再将 105 乘以 9，得到 945. 第五步，再将 945 乘以 11，得到 10 395. 第六步，输出运算结果．
方法二：用加减消元法 第一步，方程 2x＋y＝7 两边都乘以 5 得，10x＋5y＝35. 第二步，将第一步所得的方程与方程 4x＋5y＝11 作差，消去 y 得， 6x＝24，解得 x＝4. 第三步，将 x＝4 代入方程 2x＋y＝7，解得 y＝－1.
x＝4 第四步，输出方程组的解为y＝－1 .
1.1.1 算法的概念
自学导引 1．在数学中，“算法”通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有 限的__步__骤____． 2．计算机解决任何问题都要依赖于__算__法____，只有将解决问题的过程 分解为若干个明确的__步__骤____，即__算__法____，并用计算机能够接受的“语言” 准确地描述出来，计算机才能够解决问题．
变式训练 4．若本例中已知条件不变，试设计一个找出最低分的算法． 解：算法如下： 第一步，先假定其中一个为“最低分”． 第二步，将第二个分数与“最低分”比较，如果它比“最低分”还低，就
用该分数替代原假定的“最低分”而得出新的“最低分”；否则“最低分”不变． 第三步，如果还有其他分数，重复第二步． 第四步，一直到没有可比的分数为止，这时的“最低分”就是所有评委
3．设计算法的要求 (1)写出的算法必须能解决一类问题(如，判断一个整数 n(n>2)是否为质
数，求任意一个方程的近似解等)，并且能够重复使用． (2)要使算法尽量简单，步骤尽量少． (3)要保证算法正确，且计算机能够执行，如让计算机计算 1＋2＋3＋4
＋5 是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”、“替我理发”等则是做不 到的．
2．下面的结论正确的是( ) A．算法步骤是可逆的 B．一个算法可以无止境地运算下去 C．完成一件事情的算法有且只有一种 D．设计算法要本着简单方便的原则 【解析】A错，不一定可逆；B错，算法必须在有限步之内完成；C错， 可以有多种；D正确． 【答案】D
3．下列可以看成算法的是( ) A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再 做作业，之后做适当的练习题 B．今天餐厅的饭真好吃 C．这道数学题难做 D．方程2x2－x＋1＝0无实数根 【答案】 A
【答案】①A＋B＋C ②S3
6．给出求解方程组24xx＋ ＋y5＝y＝711 的一个算法． 解：方法一：用代入消元法 第一步，由 2x＋y＝7 得 y＝7－2x. 第二步，将 y＝7－2x 代入 4x＋5y＝11，得 4x＋5(7－2x)＝11，解得 x＝4. 第三步，将 x＝4 代入方程 y＝7－2x，解得 y＝－1. 第四步，输出方程组的解为xy＝ ＝4－1 .
变式训练 1．下列对算法的理解不正确的是( )
A．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的 B．算法中的每一步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的、模棱两可的 C．算法中的每一步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果 D．一个问题只能设计出一种算法
【答案】D
题型二 计算问题的算法设计 【例 2】 给出求 1＋2＋3＋4＋5 的一个算法．
自主探究 1．解决某一类问题的算法是否唯一？ 【答案】不唯一．如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元 法两种，但不同的算法有优劣之分． 2．在解放战争中，有一名战士接到命令，要求在最短的时间内配制三 副炸药，但是由于条件艰苦，称量物品的天平只剩下 50 g 和 5 g 两个砝码． 现有 495 g 硫黄，如何设计算法使称量的次数最少？需称量多少次？
题型四 非数值性问题的算法设计 【例 4】 各种比赛在计算选手最后得分时，要去掉所有评委对该选手所
打分数中的最高分和最低分，试设计一个找出最高分的算法．
解：算法如下： 第一步，先假定其中一个为“最高分”． 第二步，将第二个分数与“最高分”比较，如果它比“最高分”还高，就用 该分数替代原假定的“最高分”而得出新的“最高分”；否则“最高分”不变． 第三步，如果还有其他分数，重复第二步． 第四步，一直到没有可比的分数为止，这时的“最高分”就是所有评委打 分中的最高分．
解：解法一：第一步，计算 1＋2，得 3. 第二步，将第一步中运算结果 3 与 3 相加，得 6. 第三步，将第二步中运算结果 6 与 4 相加，得 10. 第四步，将第三步的运算结果 10 与 5 相加，得 15. 第五步，输出运算结果． 解法二：第一步，取 n＝5.第二步，计算n（n2＋1）. 第三步，输出运算结果．
典例剖析 题型一 对算法概念的理解 【例 1】 下列关于算法的说法，正确的个数有( ) ①求解某一类问题的算法是唯一的； ②算法必须在有限步操作之后停止； ③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊； ④算法执行后一定产生确定的结果． A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由于算法具有有穷性、确定性、输出性等特点，因而②③④正确， 而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错． 【答案】C
【答案】S1 先计算出 495 g 硫黄如果平均分成三份每一份应该是 165 g.
S2 165 g 中有 3 个 5 g 和 3 个 50 g.
S3 用 5 g 砝码称出 5 g 硫黄．
S4 用 5 g 砝码和 5 g 硫黄共同称出 10 g 硫黄．
S5 再用 50 g 砝码称出 50 g 硫黄．
2．算法的特征 (1)概括性：写出的算法必须能够解决某一类问题，并且能够重复使用． (2)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步 的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的， 从而组成具有很强逻辑性的步骤序列． (3)有穷性：一个算法必须保证在执行了有限步之后结束． (4)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同 的算法，这些算法有繁简、优劣之分． (5)普遍性：很多具体问题，都可以设计合理的算法去解决．
4．判断5是否为质数的算法步骤如下： 第一步：用2除5，得余数为1.因为余数不为0，所以2不能整除5； 第二步：________； 第三步：用4除5，得余数为1.因为余数不为0，所以4不能整除5.因此，5 是质数． 【答案】用3除5，得余数为2.因为余数不为0，所以3不能整除5.
5．已知一个学生的语文成绩为89，数学成绩为96，外语成绩为99.求他 的总分和平均分的一个算法为： 第一步，令A＝89，B＝96，C＝99. 第二步，计算总分S＝____________①. 第三步，计算平均分M＝____________②. 第四步，输出S和M.
打分中的最低分．
课堂总结 1．正确理解算法的概念，一个程序的算法要本着方便简捷的原则，还要讲 求科学性，算法的步骤是按照一定顺序进行的，不具有可逆性． 2．在设计算法的过程当中要牢固把握住它的五个特性：概括性、逻辑性、 有穷性、不唯一性、普遍性.
当堂检测 1．下面关于算法的描述，不正确的是( ) A．早期，算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程 B．从数学发展的历史看，算法只是一个“新生儿”，最近几年才有的 C．解决任何问题都有算法 D．算法是计算科学的基础，算法通常可以编成计算机程序，让计算机 执行并解决 【答案】B