对数式及运算性质
对数
(1) y = log
0.3
( x − 2) − 3
(2,+∞)上递减
(2) y = log 3 ( x − 2 ) + 5
(3) y = log (4) y = log 0 .3 0 .3 2) (3 + 2 x − x
(2,+∞)上递增
(−1,1)上递减 (1,3)上递增
(3,+∞)上递减 1 (−∞,− )上递增 2
问题2：对数函数的图象有几种情况？ 问题2 对数函数的图象有几种情况？
5
(a＞ (a＞1)
y y=ax y=x 1 y=logax
(0＜a＜1)
y = ax y
y=x
·
O 1
·
1 x
·
O1
·
x y=logax
（二）对数函数的图象和性质：
6
a ＞1
y
0 ＜a ＜1
y=logax (a＞1 ) ＞ y
右侧总是底大图低. 当a>1 和0<a<1时，在x=1右侧总是底大图低. ， x=1右侧总是底大图低
动态演示 图象分析
18
谢谢指导！
1. log23
log23.5
同底对数式比较 大小的步骤 步骤： 大小的步骤： 1、判断底数a的范围 判断底数a
解：∵y= log2x 中底数 2>1
∴ y= log2x在(0,+∞)上 是增函数 ∵ 3<3.5 ∴ log23 < log23.5
log0.20.7
练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 （1）若log3m < log3n 则 m
对数及其运算性质
x
loga1=0 logaa=1 logaa =b a 3.对数的运算性质:
b
loga N
=N
log a(MN)=log a M+log a N
loga(M N )=loga M-loga N n loga(M )=nloga M(n ∈R)
-1
换底公式及推论:
1.换 公 : 底 式 2.推论:
log c b loga b= log c a
思考：
在复习提问3：log264=6,log24=2的基 础上增加log464=3，你还有何猜想？你 能证明它吗？由它还能得出什么结论？
2
2
对数与对数运算(三 对数与对数运算 三)
复习提问: 1.对数式与指数式的互化:
a = N ⇔ x = loga N(a > 0, a ≠ 1, N > 0) 2.对数的基本性质:
例6：科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生 ：科学研究表明， 放射性碳14。 的衰变极有规律， 放射性碳 。碳14的衰变极有规律，其精确性可以 的衰变极有规律 称为自然界的“标准时钟” 称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰 变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充， 变的碳 ，可以通过与大气的相互作用得到补充， 所以活着的动植物每无组织中的碳14含量不变 含量不变。 所以活着的动植物每无组织中的碳 含量不变。死 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用， 亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机 体中原有的碳１４按确定的规律衰减， １４按确定的规律衰减 体中原有的碳１４按确定的规律衰减，我们已经知 道其“半衰期” ５７３０年 道其“半衰期”为５７３０年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４ １４的残余 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳１４的残余 量约占原始含量的７６ ％，试推算马王堆古墓的 ７６.７ 量约占原始含量的７６ ７％，试推算马王堆古墓的 年代。 年代。
对数的运算与对数函数
1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和） 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。
⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的． 推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。
特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】 求下列各式中x 的取值范围。
（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。
（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606【例3】 计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】 （1）（2 。
对数与对数函数
2.已知 1<a<b<a2, 比较 logab, logba, loga a , logb a , 1 的大小. b b 2 a a 2 解: 由 1<a<b<a 可知: loga b <0, logb b <0, logab>1. ∴0<logba<1. ∵ 0>log a a>log a b, ∴logaa <logb a . b b b b 2> 1 log b= 1 , 又 logba= 1 log a 2 b 2 2 b 1 a ∴ logab>logba> 2 >logb b >loga a . b 3.已知 logm4>logn4, 比较 m, n 的大小. 解: 由已知 logm4>logn4, 可分情况讨论如下: ①当 m>1, 0<n<1 时, logm4>0, logn4<0, 原不等式成立. ∴m>1>n>0; ②当 m>1, n>1 时, 由 logm4>logn4>0 得: log4m<log4n. ∴n>m>1; ③当 0<m<1, 0<n<1 时, 由 0>logm4>logn4 得: log4m<log4n. ∴0<m<n<1. 综上所述: m, n 的大小是 m>1>n>0 或 n>m>1 或 0<m<n<1.
对数与对数函数
一、对数
如果 a(a>0, a1)的 b 次幂等于 N, 即 ab=N, 那么数 b 叫做 以 a 为底 N 的对数, 记作 logaN=b, 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数, 式子 logaN 叫做对数式. 常用对数: (lgN), 自然对数: (lnN).
对数的含义与运算
对数含义与运算一、 知识综述1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的 ，N 叫做 。
即ba N =， log a Nb =aNb指数式N a b = 底数 幂 指数 对数式b N a =log对数的底数真数对数例如：对数式与指数式的互换2416= 210100= 1242= 2100.01-=2．基本性质：若0a >且1a ≠，0N >，则（1）log 10a =，log 1a a =；（2）log a Na N =.3．介绍两种特殊的对数： ①常用对数：以10作底 10log N 写成lg N ②自然对数：以e 作底为无理数，e = 2.71828…… ， log e N 写成ln N ．4.对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log -log aa a M M N N=；（3）log log ()na a M n M n R =∈． 5.换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m= （a 、0b >且均不为1）． 二、例题讲解例一：（1）计算： 9log 27， 345log 625．（2）求 x 的值：①33log 4x =-； ②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =．例二： 例5．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯； （2）5lg 100 ．例三： 计算： （1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+．三、课堂练习 一、填空题1.计算：log2.56.25＋lg1001＋ln e ＋3log 122+= . 2．若10x=3,10y=4，则102x-y=__________；为表示、用7512log y x ．3．（log 43+log 83）（log 32+log 92）－log 421329log 255+=__________ ．4．若log (21)1x +=-, 则x = ． 5．已知()xf e x =，则f(5)等于 ． 6．如果732log [log (log )]0x =，那么12x -等于________________.7.25)a (log 5-（a ≠0）化简得结果是_____________________．8.已知 ab=M (a>0, b>0, M ≠1), 且logM b=x ，则logM a=________________．9.设(){}1,,lg A y xy =, {}0,,B x y =,且A =B ，则x = ；y =10. 计算：()()5log 22323-+二、选择题11．3log 9log 28的值是 （ ）A ．32 B ．1 C ．23 D ．212．若log 2)](log [log log )](log [log log )](log [log 55153313221z y x ===0，则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．z ＜x ＜yB ．x ＜y ＜zC ．y ＜z ＜xD ．z ＜y ＜x 13．已知x =2+1,则lo g 4(x 3－x －6)等于（ ）A.23 B.45 C.0D.21 14．已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于（ ）A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+1215．已知2 lg(x －2y )=lg x ＋lg y ，则yx 的值为（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．4 或-116．若log a b ·log 3a=5，则b 等于（ ）A ．a 3B ．a 5C ．35D ．5317． 已知ab>0，下面四个等式中，正确命题的个数为 （ ） ①lg （ab ）=lga+lgb ②lgb a =lga －lgb ③bab a lg )lg(212= ④lg （ab ）=10log 1abA ．0B ．1C ．2D ．318．若f （ln x ）=3x +4，则f （x ）的表达式为 （ ）A 3ln xB 3ln x +4C 3e x +4D 3e x三、解答题19. （1）已知32a=，用a 表示33log 4log 6-；（2）已知3log 2a =，35b=，用a 、b 表示 30log 3．20.已知：lg （x －1）+lg （x －2）=lg2，求x 的值21. 已知18log 9,185,ba ==用a,b 表示 36log 4522. 15．（14分）已知函数2()(lg 2)lg f x x a x b =+++满足(1)2f -=-，且对一切实数x ，都有f (x)≥2x 成立，求实数a 、b 的值.课后练习1．下列指数式与对数式互化中错误的一组是 A ． 01e =与ln10= B ．13182-=与811log 23=- C ． 3log 92=与1293= D ．7log 71=与177=2．若b ≠1，则 loga b 等于（ ）。
对数的性质与运算
对数的性质与运算对数是数学中常用的一种运算工具，它在科学、工程和计算机等领域被广泛应用。
对数有许多独特的性质和运算规则，下面将对这些内容进行介绍。
一、对数的定义对数可以理解为指数的逆运算。
设 a 和 x 是正数，且a ≠ 1，那么以a 为底的 x 的对数表示为logₐx，满足 a 的 x 次幂等于 x，即a^logₐx = x。
其中，a 称为底数，x 称为真数。
二、对数的性质1. logₐ1 = 0：任何数以自身为底数的对数均为 0。
2. logₐa = 1：任何数以自身为底数的对数均为 1。
3. logₐ(a × b) = logₐa + logₐb：两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
4. logₐ(a / b) = logₐa - logₐb：两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
5. logₐaⁿ = n × logₐa：一个数的 n 次幂的对数等于该数的对数乘以 n。
6. logₐa = 1 / logₐa：等式左右两边互为倒数。
三、对数的运算1. 对数的乘法：logₐ(a × b) = logₐa + logₐb。
对数的乘法规则表明，两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
例如：log₂2 + log₂3 = log₂(2 × 3) = log₂6。
2. 对数的除法：logₐ(a / b) = logₐa - logₐb。
对数的除法规则表明，两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
例如：log₃8 - log₃2 = log₃(8 / 2) = log₃4。
3. 对数的幂：logₐaⁿ = n × logₐa。
对数的幂规则表明，一个数的n 次幂的对数等于该数的对数乘以n。
例如：log₄(2³) = 3 × log₄2。
4. 对数的换底公式：logₐb = logₓb / logₓa。
换底公式是用于将对数的底数从一个给定的底数转换为另一个给定的底数。
对数函数及其性质
对数函数及其性质对数函数是初等函数中的一种，也是数学中非常重要的一种函数。
在我们学习对数函数之前，我们需要先了解指数函数。
指数函数，即 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 为常数，$a>0$，$a≠1$，$x$ 为自变量。
当 $a>1$ 时，指数函数呈现增长趋势；当$0<a<1$ 时，指数函数逐渐减小。
然而，当我们需要解决 $a^x=c$（其中 $c$ 为定值）时，往往难以直接求解。
这时，我们就可以用到对数函数。
对数函数的定义为：设 $a>0$ 且$a≠1$，$y=\log_{a}{x}$，当且仅当 $a^y=x$。
对数函数是指数函数的反函数。
对于对数函数，我们可以发现以下性质:1. 对数函数的底数 $a$ 必须为正实数且不能等于1。
2. 对数函数的定义域为正实数集哦 $(0,+\infty)$；3. 对数函数所得的值域为实数集$(−\infty,+\infty)$；4. 对数函数有一个特殊的点 $(1,0)$，即底数为 $1$ 时，对数函数为 $0$。
那么，我们何时需要使用对数函数呢？下面是一些例子：1. 求解以指数形式表示的方程式，例如 $2^x=16$。
转化成对数形式:$\log_{2}{16}=x$。
2. 用于度量某些指标的倍增，例如声高的分贝计算，经过计算后得到的值可以用对数函数来表示。
对于对数函数，我们还可以进一步了解到对数函数的两个重要性质：性质一：对数函数的对数运算法则设 $a>0$，且$a≠1$。
则有：$\log_{a}{MN}=\log_{a}{M}+\log_{a}{N}$$\log_{a}{\frac{M}{N}}=\log_{a}{M}-\log_{a}{N}$$\log_{a}{M^p}=p\log_{a}{M}$推导过程：$\log_{a}{MN} = y$，即 $a^y=MN$,则 $a^y=MN=a^{log_{a}{M}}\cdota^{log_{a}{N}}=a^{log_{a}{M}+log_{a}{N}}$,所以 $y=log_{a}{MN}=log_{a}{M}+log_{a}{N}$。
对数的运算性质及换底公式
8 2 ( ) 4 9 log3 ( ) 3
(3) lg 100 lg 10
100 lg ( ) 10
归纳猜想： M log a ( ) log a M log a N N （a 0且a 1, M , N 0）
3.计算观察： 3 (1) log 2 (2 )
1 1 （2） 3 36, 求 2 m n
m n
【变式训练】
1 (1) log 3 7 log 2 9 log 49 x log 1 , 求x 4 2
(2) log18 9 a,18 5, 用a, b表示log36 45.
b
总结：
• 1.对数的运算性质
• 2.换底公式
(2) log5 125
(4) log 1 27 log 1 9
3 3
(3) log 2 (2 4 )
3 5
【变式训练】求下列各式的值
(1)3 log 7 2 log 7 9 2 log 7 (
2 2
3 2 2
)
(2)(lg 2) (lg 5) 2 lg 5 lg 2
log 2 (4 8)
log3 (3 9)
(3) lg 10 lg 100
lg (10 100 )
归纳猜想： log a (M N) log a M log a N （a 0且a 1, M , N 0）
2.计算观察：
(1) log 2 8 log 2 4
M (2)log a ( ) log a M log a N N
（a 0且a 1, M , N 0）
(3)log a ( M ) n log a M
对数运算法则
故12y=1z-1x.
解法二3x=4y=6z=m，
则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，
③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.
∴1z-1x=12y.
9
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28
②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数
(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.
(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.
(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.
解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.
∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数
对数函数及其运算
对数函数及其运算2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算1) 对数的定义如果 $a=N(a>0$ 且 $a\neq 1)$，则 $x$ 叫做以 $a$ 为底$N$ 的对数，记作 $x=log_aN$，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。
负数和零没有对数。
对数式与指数式的互化：$x=log_aN \Leftrightarrowa=N(a>0,a\neq 1,N>0)$。
2) 几个重要的对数恒等式log_a1=0$，$log_aa=1$，$log_ab=b$。
3) 常用对数与自然对数常用对数：$lgN$，即 $log_{10}N$；自然对数：$lnN$，即 $log_eN$（其中$e=2.…$）。
4) 对数的运算性质如果 $a>0,a\neq 1,M>0,N>0$，那么：加法：$log_aM+log_aN=log_a(MN)$。
减法：$log_aM-log_aN=log_a(\frac{M}{N})$。
数乘：$nlog_aM=log_a(M^n)$，其中 $n\in R$。
log_aN=N^a$。
log_{ab}M=\frac{log_aM}{log_ab}$，其中 $b\neq 0,n\in R$。
5) 换底公式：$log_aN=\frac{log_bN}{log_ba}$。
2.2.2 对数函数及其性质1) 对数函数函数名称：对数函数。
定义：函数 $y=log_ax(a>1,a\neq 1)$ 叫做对数函数。
图象：图象过定点 $(1,0)$，即当 $x=1$ 时，$y=0$。
定义域：$(0,+\infty)$。
值域：$(-\infty,+\infty)$。
过定点：图象过定点 $(1,0)$。
奇偶性：非奇非偶。
单调性：在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，在 $(0,1)$ 上是减函数。
函数值的变化情况：当 $x>1$ 时，$y=log_ax>0$，$y$ 随 $x$ 增大而增大。
对数的运算
反思 解决对数应用题的一般步骤
感悟
跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质 量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝1＋Mm2 000(e为自然对数 的底数，ln 3≈1.099).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最 大速度(单位：m/s).
解
lg 原式＝
3＋45lg 3－190lg 4lg 3－3lg 3
3
＝1＋445－－319l0gl3g 3 ＝190.
二、对数换底公式的应用
5 例2 (1)计算：(log43＋log83)log32＝____6____.
解析 原式＝log134＋log138log32 ＝2lo1g32＋3lo1g32log32
第四章 4.3 对 数
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件. 2.掌握换底公式及其推论. 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 对数运算性质
计算速度.
(2)利用结论logab·logba＝1，logan
bm＝
m n
logab化简求值更方便.
3.常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆.
本课结束
反思
感悟 利用换底公式化简与求值的思路
跟踪训练 2 (1)lloogg8293的值是
√2 A.3
3 B.2
C.1
D.2
解析 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数，
对数的运算课件
[正解] 因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
所以 xy＝(x－2y)2x＝y 或 x＝4y，因为 x>0，y>0，x－2y>0，
所以 x＝y 应舍去，所以 x＝4y，即xy＝4，所以
＝4.
根据指数式与对数式的互化可知，真数实际上是指
数式中的指数幂，故为正数．所以在求解含有对数式的问题时，
一定要注意真数的取值范围，保证真数大于零．求解过程不等
价时，在求出答案后需进一步进行检验．
【题后反思】 解对数应用题的一般步骤为： (1)理解题意，弄清各字母的含义； (2)恰当地设未知数，建立数学模型，即已知 ax＝N(a，N 是常 数，且 a>0，a≠1)，求 x； (3)可以利用图象法，也可以利用换底公式借助计算器来解决数 学模型； (4)还原为实际问题，归纳结论．
误区警示 因忽略真数大于 0 而出错 【示例】 已知 lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，求 log 2xy的值． [错解] 因为 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)， 所以 xy＝(x－2y)2，即 x2－5xy＋4y2＝0， 所以 x＝y 或 x＝4y，即xy＝1 或xy＝4， 所以 log 2yx＝0，或 log 2xy＝4.
解 (1)原式＝
＋lg(25×4)＋2＋1
＝32＋lg 102＋3＝32＋2＋3＝123.
(2)法一 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
对数的基本性质和运算公式
对数的运算性质
复习重要公式
⑴ 负数与零没有对数
⑵ loga 1 0 ， loga a 1
a loga N N ⑶对数恒等式
对数四则运算公式
loga (MN ) loga M loga N
对数实际上就是指数，把真数化 成指数幂的形式就明显啦！乘积 与加法运算联系起来了（降级）。 注意既能从左到右，又能从右到 左。 除法与减法联系起来了（降级）。
计算
(1)lg14-2lg
7 +lg7-lg18 3
32 ×2) lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(
lg 243 (2) lg 9
=lg2+lg7-2(lg7-lg3)+lg7-(2lg 3 +lg2)
=0 lg 27 lg 8 3 lg 10 (3) lg1.2
lg 243 lg 35 5 lg 3 5 2 lg 9 lg 3 2 lg 3 2
log2 8 3
1 log 3 9
-2
23 8
定义 一般地，如果a 的b次幂等于N, 就是: ab=N 那么数 b叫做 a为底 N的对数
记作： loga N b 对数符号 底数 以a为底N的对数 真数
对数的值 和底数，真数有关。
常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 记作 lgN 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数 记作 lnN
对数的基本性质和运算公式对数运算公式对数函数运算公式对数的运算公式对数的运算性质对数运算性质对数的性质与运算法则对数函数运算性质对数基本公式对数运算法则
对
数
对数定义公式
对数及运算性质
§4.1 对数与对数运算1.对数：（1）定义：如果a N a a b=>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b Na =l o g （a 是底数，N 是真数，lo g a N 是对数式。
） 由于N a b=>0故lo g a N 中N 必须大于0。
2.对数的运算性质及换底公式.（2）指数式与对数式的关系：a b =N ⇔log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log log n m a amb b n=④对数换底公式：log b N =b N a a log log lg lg N b =○5log a M a M= ○61log log a b b a=1、求下列各式中x 的值：log 83x =（1） lg100x =（2） 2ln x e =（3）- 642(4)log x 3=-2、求下列各式的值：51log 25（） 15log 15(2) 9log 81(3) 4lg1000（）(5)lg10000 0.4log 1(6) 217log 16（）lg 0.001（8）(9)lg0.01 (10) lg 5100 (11)3log 273 (12)5111255og3、化简求值（1）2log （74×52） （2）lg ５＋lg ２ （3）5log ３＋5log 31（4）2log ６－2log ３（5）3log ５－3log (6)3lglg 70lg 37+-（7）（8） （9）2194log 2log 3log -⋅ （10）（11）3log 12.05- （12）（13）21lg 4932-34lg 8+lg 245强化训练：对数与对数运算练习题一．选择题1．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3 B ．log 18(－3)＝2 C ．log 218＝－3 D ．log 2(－3)＝182．log 63＋log 62等于( )A ．6 B ．5 C ．1 D ．log 65 3．如果lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则x 等于( )A ．a ＋2b －3c B ．a ＋b 2－c 3 C.ab 2c 3D.2ab3c4．已知a ＝log 32，那么log 38－2log 36用a 表示为( ) A ．a －2 B ．5a －2C ．3a －(1＋a )2D ．3a －a 2－1 5．的值等于( )A ．2＋ 5 B ．2 5 C ．2＋52D ．1＋526．Log 22的值为( )A ．－ 2B. 2 C ．－12D.127．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a ＞5或a <2B ．2＜a ＜3或3＜a ＜5C ．2<a <5D ．3＜a ＜48．方程2log3x ＝14的解是( )A ．x ＝19 B ．x ＝x3C ．x ＝ 3D ．x ＝99．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 10．若102x ＝25，则x 等于( )A ．lg 15 B ．lg5 C ．2lg5D ．2lg 1511．计算log 89·log 932的结果为( )A ．4 B.53 C.14 D.3512．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( ) A.47 B.27 C.72 D.74 二．填空题：1．2log 510＋log 50.25＝__ __. 2．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝_______. 3．若lg(ln x )＝0，则x ＝_ ______. 4．方程9x －6·3x －7＝0的解是_______ 5．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.6．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝_______.(用m ，n 表示) 7．log 6[log 4(log 381)]＝_______.8．使对数式log (x －1)(3－x )有意义的x 的取值范围是_______ 三.计算题1．(1)2log 210＋log 20.04 (2) lg3＋2lg2－1lg1.2（3）log 6112－2log 63＋13log 627 (4)log 2(3＋2)＋log 2(2－3)；（5）lg5·lg8000＋06.0lg 61lg )2(lg 23++ （6）2)2(lg 50lg 2lg 25lg +⋅+（7）lg 25+lg2·lg50 （8）(log 43+log 83)(log 32+log 92)2.已知5lg 2lg 35lg 2lg 33⋅++=+b a ，求333ba ab ++3．已知log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m 的值．§5 对数函数及其性质1、对数函数图像过点（4,2），则该对数函数的解析式是（ ）A 、x y 2log =B 、x y 4log =C 、x y 8log =D 、不确定2、函数x a y a log )1(2-=是对数函数，则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、2±D 、任意值3、函数x a a y a log )33(2+-=是对数函数，则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、1或2D 、任意值4、若)10(log )(≠>=a a x x f a 且，且0)2(<f ，则)(x f 的图像是 （ ）5、若函数)10()(≠>=-a a a x f x ，是定义在R 上的增函数，则函数)1(log )(+=x x g a 的图像大致是（ ）6、已知0lg lg =+ba ，则函数x a x f =)(与函数x x gb log )(-=的图像可能是（ ）7、函数)10(1log )(≠>-=a a x x f a 且的图像恒过点（ ）A 、（1,0）B 、（0,-1）C 、（1,1）D 、（1,-1）8、函数)10(12log )(≠>--=a a x x f a 且）（的图像恒过点（ ）A 、（1,0）B 、（0,-1）C 、（1,1）D 、（1,-1） 9、已知函数)10(98)3(log ≠>-+=a a x y a 且的图像恒过点A ，若点A 也在函数bx f x +=3)(的图像上，则b 的值为（ ）A 、0B 、0C 、0或1D 、-1 10、已知)1(log )2(log 45.045.0x x ->+，则实数x 的取值范围是11、已知)65(log )32(log 22->+x x ，则实数x 的取值范围是12、已知)2(log )43(log ->-x x a a ，则实数x 的取值范围是13、132log <a ，则a 的取值范围是 14、函数)1lg(-=x y 的图像大致是（ ）15、已知10≠>a a且，则函数x a y =与)(log x y a -=的图像可能是（ ）16、下列函数图像正确的是（ ）17、函数x y 2log =在[1,2]上的值域是 18、函数)1(log 22≥+=x x y 的值域是19、函数)73(1)1(log 2≤≤++=x x y 的值域是20、函数)73(1)1(log 21≤≤++=x x y 的值域是。
对数公式的运算
对数公式的运用1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知：①负数和零没有对数；②a>0且a≠1，N>0；③loga1=0，logaa=1，alogaN=N(对数恒等式)，logaab=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN．2．对数式与指数式的互化式子名称ab=N指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数) (真数) (对数)3．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)=logaM+logaN．(2)loga（M/N）=logaM-logaN．(3)logaMn=nlogaM (n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?②logaan=?(n∈R)③对数式与指数式的比较．(学生填表)式子ab=N，logaN=b 名称：a—幂的底数 b—N—a—对数的底数 b— N—运算性质：am·an=am+nam÷an= am-n(a>0且a≠1，n∈R) logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMn= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?理由如下：1 a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1． (1)将下列指数式写成对数式：①54=625；②26=64；③3x=27；④13m=5．73．(2)将下列对数式写成指数式：①log216=4；②log2128=7；③log327=x；④lg0．01=-2；⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．解析由对数定义：ab=N，logaN=b．解答(1)①log5625=4．②log264=6．③log327=x．④log135．73=m．解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N logaN=b(2)①24=16，②27=128，③3x=27，④10-2=0．01，⑤e2．303=10，⑥10k=π．2．根据下列条件分别求x的值：(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)logx27=3×；(4)logx(2+)= -1．解析(1)对数式化指数式，得：x==?(2)log5x=20=1． x=?(3)3×3log32=? ． 27=x?(4) 2+=x-1=1/x． x=?解答(1)x===2-2=1/4．(2)log5x=20=1，x=51=5．(3)logx27=3×=3×2=6，∴x6=27=33=()6，故x=．(4)+=x-1=1/x，∴x=1/(+)=．解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．②熟练应用公式：loga1=0，logaa=1，alogaM=M，logaan=n．3．已知logax=4，logay=5，求A=〔x5/12·y -1/3〕的值．解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答：解法一∵logax=4，logay=5，∴x=a4，y=a5，∴A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a -5/3=a0=1．解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得logaA=loga(x(5/12)y(-1/3))=(5/12)logax-(1/3)logay=(5/12)×4-(1/3)×5=0，∴A=1．解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．4 ．设x，y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0，y>0，x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．即lgy=-lgx/(1+lgx) (x≠1/10，lgx≠-1)．令lgx=t，则lgy=-t/(1+t) (t≠-1)．∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t≠-1)．(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题．)设S=t2/(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解．∴Δ=S2+4S≥0，得S≤-4或S≥0，故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)．5 ．求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；(4)求7lg20·(1/2)lg0.7的值．解析：(1)25=52，50=5×10。
对数公式的运算
对数公式的运用1．对数的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．由定义知：①负数和零没有对数；②a>0且a≠1，N>0；③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。
特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN；以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN．2．对数式与指数式的互化式子名称a b=N指数式a b=N(底数)(指数)(幂值)对数式log a N=b(底数) (真数) (对数)3．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么(1)log a(MN)=log a M+log a N．(2)log a〔M/N〕=log a M-log a N．(3)log a M n=nlog a M(n∈R)．问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0?②log a a n=? (n∈R)③对数式与指数式的比较．(学生填表)式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N—a—对数的底数b—N—运算性质：a m·a n=a m+na m÷a n= a m-n(a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a Nlog a MN=log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0)难点疑点突破对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1?理由如下：①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=?②假设a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数?③假设a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数?为了防止上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?解题方法技巧1．(1)将以下指数式写成对数式：①54=625；②26=64；③3x=27；④13m=5．73．(2)将以下对数式写成指数式：①log216=4；②log2128=7；③log327=x；④lg0．01=-2；⑤ln10=2．303；⑥lgπ=k．解析由对数定义：a b=N，log a N=b．解答(1)①log5625=4．②log264=6．③log327=x．④log135．73=m．解题方法指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义：a b=N log a N=b(2)①24=16，②27=128，③3x=27，④10-2=0．01，⑤e2．303=10，⑥10k=π．2．根据以下条件分别求x的值：(1)log8x= -2/3；(2)log2(log5x)=0；(3)log x27=3×；(4)log x(2+)= -1．解析(1)对数式化指数式，得：x==?(2)log5x=20=1．x=?(3)3×3log32=? ．27=x?(4) 2+=x-1=1/x．x=?解答(1)x===2-2=1/4．(2)log5x=20=1，x=51=5．(3)log x27=3×=3×2=6，∴x6=27=33=()6，故x=．(4) +=x-1=1/x，∴x=1/(+)=．解题技巧①转化的思想是一个重要的数学思想，对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，经常进行着两种形式的相互转化．②熟练应用公式：log a1=0，log a a=1，alog a M=M，log a a n=n．3．已知log a x=4，log a y=5，求A=〔x5/12·y-1/3〕的值．解析：思路一，已知对数式的值，要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式的运算求值；思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值?解答：解法一∵log a x=4，log a y=5，∴x=a4，y=a5，∴A=x(5/12)y(-1/3)=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3·a-5/3=a0=1．解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得log a A=log a(x(5/12)y(-1/3))=(5/12)log a x-(1/3)log a y=(5/12)×4-(1/3)×5=0，∴A=1．解题技巧有时对数运算比指数运算来得方便，因此以指数形式出现的式子，可利用取对数的方法，把指数运算转化为对数运算．4 ．设x，y均为正数，且x·y1+lgx=1(x≠1/10)，求lg(xy)的取值范围．解析一个等式中含两个变量x、y，对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数．因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题，怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?解答∵x>0，y>0，x·y1+lgx=1，两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0．即lgy=-lgx/(1+lgx) (x≠1/10，lgx≠-1)．令lgx=t，则lgy=-t/(1+t) (t≠-1)．∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)= t2/(1+t) (t≠-1)．(解题规律：对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题．)设S=t2/(1+t)，得关于t的方程t2-St-S=0因为它一定有实数解．∴Δ=S2+4S≥0，得S≤-4或S≥0，故lg(xy)的取值范围是(-∞，-4〕∪〔0，+∞)．5 ．求值：(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；(2)2log32-log3(32/9)+log38-52log53；(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值；(4)求7lg20·(1/2)lg0.7的值．解析：(1)25=52，50=5×10。
对数函数及其性质
1 (2) y log 2 x
1 (3) y log 7 ( ) 1 3x
【探究】在同一直角坐标系中用描点法画出函 数
y log 1 x y log 1 x y log2 x y log3 x
2
3
的图象。
2.对数函数y=logax (a>0且a≠1) 的图象和性质:
[问题提出] 1.什么是对数函数？其大致图象如何？ 函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做对数函数，
定义域为(0,＋∞) 例1 求下列函数的定义域:
(1) y log a x
2
{x|x≠0}
( 2) y log a (4 x ) {x|x<4}
变式练习 求下列函数的定义域： (1) y log (1 x)
0<x<1
y>0
y<0
2.对数函数y=logax (a>0且a≠1) 的图象和性质:
图象特征: 性质:
(1)都在y轴右方;
（2）图像不关于原点 和y轴不对称 (3)向y轴正负方向无限 延伸 (4)都过点(1,0) (5)当a>1时,从左向右看逐 渐上升;当0<a<1时,从左向 右看逐渐下降
(1)定义域:(0,+∞)
2.2.2 对数函数及其性质
(1)
P70
1.对数的定义P62 ：
一般地，如果a(a＞0, a≠1)的b次幂等于N， 就是ax＝N ，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作：logaN＝x.
2.几个常用的结论（P63） ：
（1）负数与零没有对数 （2） loga 1 0 （3） loga a 1 loga N （4）对数恒等式：a
用描点法画函数
对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log81这两个式子表达3是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a M N＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)．②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝log a M log a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c N log c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b＝log c N.所以x＝log c Nlog c b，即log bN＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N＝1log N b或log bN·log N b＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；(2)log bn N m＝mn log b N(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R) .题型一正确理解对数运算性质对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是( )①若M＝N，则log a M＝log a N；②若log a M＝log a N，则M＝N；③若log a M2＝log a N2，则M＝N；④若M＝N，则log a M2＝log a N2.A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④解析在①中，当M＝N≤0时，log a M与log a N均无意义，因此log a M＝log a N不成立．在②中，当log a M＝log a N时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立．在③中，当log a M2＝log a N2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有log a M2＝log a N2，但M≠N.在④中，若M＝N＝0，则log a M2与log a N2均无意义，因此log a M2＝log a N2不成立．所以，只有②成立．答案 C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2； (3)log 52·log 79log 513·log 734. 分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. (3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32. 点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13. 方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13lg53lg2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3lg2lg5＝13. 点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3.解得x ＝1或x ＝－3.错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解 由对数的性质知⎩⎨⎧ x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0∴(3x －7)(3x ＋1)＝0∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去)∴x ＝log 37.答案 log 372．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝____. 解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝ln 12<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)答案 C解析 由题意得⎩⎨⎧ a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2 答案 C解析 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5. 4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1 D ．(1，＋∞)答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1. 5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5 B．lg35 C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 35∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝________. 答案2解析 令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________.答案 －1 解析 log2－1(2＋1)＝log2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________.答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，又∵⎩⎨⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x＝b y＝c z，1x ＋1y＋1z＝0，求abc的值．解令a x＝b y＝c z＝t (t>0且t≠1)，则有1x＝log t a，1y＝log t b，1z＝log t c，又1x＋1y＋1z＝0，∴log t abc＝0，∴abc＝1.12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x ＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．解∵关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有等根，∴Δ＝0，即4－4[lg(c2－b2)－2lg a＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1 对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可．解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2.(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4 答案 C解析由题意得⎩⎨⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3.分析 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－3＝8. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2.(4)∵l og 101 000＝3，∴103＝1 000.点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2. (4)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解(1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解 原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化．3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( )A.5－2B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3. 5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值 (1)若log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值． 解(1)∵log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝± 210．求x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；(4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解(1)由已知得：⎝⎛⎭⎪⎪⎫22x＝4， ∴2－12x ＝22，－x 2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x＝3，即32x＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12.(5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝116.2.2.1对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.分析 利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1. (3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁移2 求下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x＝4y＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， 由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y＝log 364，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. (2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值． 解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9. (2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a 3－a.∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3.2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.aa ＋bD.ba ＋b答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b .3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13. 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005| ＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________. 答案a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵lo g a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6 ∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎪⎪⎫52×4＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1. 10．若26a＝33b＝62c，求证：1a ＋2b ＝3c.证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么⎩⎨⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c.2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y ＝log a x 中，log a x 前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a >0，且a ≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y ＝ln x.2．对数函数的图象及性质：a>10<a<1图象性质函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)函数图象恒过定点(1，0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0 函数在定义域(0，＋∞)上为增函数函数在定义域(0，＋∞)上为减函数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式y＝a x (a>0，且a≠1)y＝log a x(a>0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)函数值变化情况a>1时，a>1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>011101x x x a x ； 0<a <1时，x ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>==><011101x x x a x ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==>>1001010x x x ； 0<a <1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==><1001010x x x 图象必 过定点点(0,1) 点(1,0)单调性a >1时，y ＝a x 是增函数；0<a <1时，y ＝a x 是减函数a >1时，y ＝log a x 是增函数；0<a <1时，y ＝log a x 是减函数图象y ＝a x 的图象与y ＝log a x 的图象关于直线y＝x 对称实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 范围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 范围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一 求函数定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1； (2)y ＝11－log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围． 解(1)要使函数有意义，必须{ 2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}； 当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二 对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba，log b a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1， log 4334＝log 43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43－1＝－1，∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba <logb a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较．②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限内)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限内)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是________．分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．解析 由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12.故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1； (2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三 函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax的图象在⎪⎭⎫⎝⎛21,0内恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减． 又loga 21>2=log 2aa ，∴a 2>21，即a>2221⎪⎭⎫⎝⎛.∴所求的a 的取值范围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评 原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值范围为[0,1]．本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(广东高考)已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}． 故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案 C2．(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－12<x <1D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a 1－a －1 ＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ； 又因为2>3，则log 32>log 33＝12， 而log 42＝log 22＝12， 所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数答案 D解析已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x>0时，|x|＝x，即函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y＝a x与y＝－log a x (a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析方法一若0<a<1，则曲线y＝a x下降且过(0,1)，而曲线y＝－log a x上升且过(1,0)；若a>1，则曲线y＝a x上升且过(0,1)，而曲线y＝－log a x下降且过(1,0)．只有选项A满足条件．方法二注意到y＝－log a x的图象关于x轴对称的图象的表达式为y＝log a x，又y＝log a x与y＝a x互为反函数(图象关于直线y＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12 答案 D解析 已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x ． 答案 {x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]；故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1， 即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值范围为__________．答案⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫17，13 解析 函数f (x )为实数集R 上的减函数， 一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数， 因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值范围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值．解∵f(x)的定义域为[1,4]，∴g(x)的定义域为[1,2]．∵g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋log2x)2＋(1＋log2x2)x＋2)2－2，＝(log2又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1.∴当x＝1时，g(x)min＝2；当x＝2时，g(x)max=7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点(1,0)，即log a1＝函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1a x 的图象关于x轴对称对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( ) A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34D ．53,101,3,34 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的。
对数的运算知识点总结
对数的运算知识点总结对数的概念是建立在幂指数的基础之上的。
在代数运算中，指数表示一个数与底数的乘积。
举个例子，2的3次方表示为2^3=2×2×2=8。
对数则表示幂指数的逆运算，即给定一个底数和一个数，对数就是指明这个底数的多少次幂等于这个数。
如果a的x次幂等于b，那么记作loga(b)=x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
对数的运算法则和性质有很多，接下来我们将对它们进行详细的总结和解析。
一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数的定义是对数学中幂指数运算的逆运算。
如果a的x次幂等于b，那么记作loga(b)=x。
其中，a是底数，b是真数，x是指数。
在这个定义中，底数为a，真数为b，指数为x，x 就是对数。
对数的定义可以简单理解为求底数为a的真数b的x次幂是多少。
对数的定义也可以形式化为loga(b)=x ⇔ ax=b，即底数为a的对数b等于x等价于a的x次幂等于b。
2. 对数的性质对数有一些基本的性质，这些性质在对数的运算中有着重要的作用。
对数的性质主要有以下几点：（1）对数的底数不能为1，对数的真数不能为负数。
（2）底数为10的对数叫做常用对数，底数为自然常数e（e=2.7182）的对数叫做自然对数。
（3）对数运算的唯一性：如果loga(b)=loga(c)，那么b=c。
（4）对数运算的除法性质：loga(b/c)=loga(b)-loga(c)。
（5）对数运算的乘法性质：loga(b×c)=loga(b)+loga(c)。
（6）对数运算的幂指数性质：loga(b^r)=r×loga(b)。
（7）对数运算的变底公式：loga(b)=logc(b)/logc(a)。
以上是对数的定义和性质的简要总结，接下来我们将对对数的运算方法和应用进行更详细的探讨。
二、对数的运算方法对数的运算方法主要包括对数的加法、减法、乘法、除法、幂指数等运算。
掌握这些运算方法对于解决一些复杂的对数问题有着重要的作用。