不定积分计算题1答案

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(完整版)不定积分习题与答案

不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。

2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。

3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。

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不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx ２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dxxxx32532 ６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x32(⎰+　８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos ６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰ ８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx 12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin 14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211 ２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx ６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）　１）inxdxxs⎰ ２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2 ６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln ８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dxxx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx （Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

不定积分专题试题

不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为（） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)，则⎰=dx )x 2(f （）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）。

第六章不定积分(1)

第五章不定积分第一节不定积分的概念与性质思考题1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0.2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x ++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？答：x x x f x f x cos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(.习题1. 已知曲线)(x f y =过点（0，0）且在点（y x ,）处的切线斜率为132+=x k ，求该曲线方程.解：依题意，132+=='x k y ，故C x x x x y ++=+⎰=32d )13(，又0)0(=y ，故0=C ，从而曲线方程为x x y +=3.2. 计算下列不定积分：（1）x x d 5⎰, （2）x xd 2⎰, （3）xe x d 1+⎰, （4）x x x d )sin (cos -⎰,（5）x x d 122+⎰,（6）x xd 122--⎰,（7）x xe x d )(3+⎰,（8）x x x d )cos 1sin 1(22+⎰. 解：（1）C x C x x x +=++=⎰+651d 6515. （2）C x xx+=⎰2ln 2d 2. （3）C C x x x x x x +=+=⎰=⎰++11e ee d e e d e.（4）C x x x x x x x x x ++=-⎰+⎰=-⎰cos sin d )sin (d cos d )sin (cos . （5）C x x x x x +=+=+⎰⎰arctan 2d 112d 1222.（6）C x x xx x+-=--=--⎰⎰arcsin 2d 11)2(d 1222.（7）C x C xx x x x x xxxx++=+++=⎰+⎰=+⎰+3431131343e 311e d d e d )e (. （8）C x x x x x x x xx ++-=⎰+⎰=+⎰tan cot d sec d csc d )cos 1sin 1(2222.第二、三节换元、分部积分法思考题1. 第一换元法（即凑微分法）与第二换元法的区别是什么？答：第一换元法与第二换元法的区别在于置换的变元不同，前者将被积函数)()]([x x f ϕϕ'中的中间变量)(x ϕ作为新的积分变量，而后者将原积分变量x 替换成函数)(t ϕ，以t 作为新的积分变量.2. 应用分部积分公式u v uv v u d d ⎰-=⎰的关键是什么？对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按什么样的规律设u 和v d ？答：应用分部积分公式的关键是恰当的选择u 和v d ，对于积分x x g x f d )()(⎰，一般应按如下的规律去设u 和v d ：（1）由v d 易求得v ；（2）u v d ⎰应比v u d ⎰容易积出. 3. 第二换元法有何规律可寻？答: 一般地，若被积函数中含有22a x ±或22x a -，则可利用三角函数的平方关系化原积分为三角函数的积分；若被积函数中含有n b ax +，则可令n b ax +=t ，将原积分化为有理函数的积分.习题1. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe x d 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x x x d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x , （12）⎰-24d x x .解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7）C x x x x x x x x x +=⎰==⎰⎰2ln 21)2ln d(2ln )2(d 22ln d 2ln 2. （8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(61)32(d )32(21d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12.（10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112xx⎰=C x +2arcsin .2. 计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x x d e 4,(4)⎰x x xd 4sin e5, (5)⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰- =⎰+-2241)(d 2arctan x x x x=)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x xxd 4cose 544sin e5155⎰-=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x xx xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin =C xx x +-100100cos 10000100sin . （6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 3. 计算下列不定积分：（1）x x d 162-⎰, （2）⎰+232)4(d x x .解：（1）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =，于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22xx x x t t t -=-⋅⋅==, 故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,x于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故 C xx x x ++=+⎰223242)4(d .x2。

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

不定积分的典型例题50题答案

例1．解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1(11111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(21212111111222222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dxx x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx x x x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx x x x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx xx x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰ 例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos 1)(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx xx x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 12222x xx d xx x dxxx x x xdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dxtx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11.arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt t ttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51．求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c x x x x x dx x f x ---='⎰，即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。

不定积分练习题及答案

不定积分练习题一、选择题、填空题：1、 ((1—sin 2X)dx =2 -------------2、若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________3、sin (I n x)dx 二 __12、若 F '(x)工f(x), • '(x)工 f (x),则 f(x)dx= _______________________________________________ (A)F(x) (B) ：(x) (C) ：(x) - c (D)F(x)(x) c13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B)—[ f(x)dxp f(x)dxdx L(C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则：f(lnx)dx = _____________2已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_'x\!xF'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________; e 「dx=____ ;"f(x)f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ;10、若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ;(A)必有导函数(B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、5、 6、7、9、设 xf (x)dx =arcsin x c,贝Vx1 1(D) - In x c (A) — c (B) lnx c (C) -― cx x15、、* ■ dx =,x(1-x)1(A) -arcsin x c (B) arcsin . x c (C) 2arcsin(2x-1) c(D) arcsin(2x -1) c16、______________________________________________________ 若f (x)在［a,b］上的某原函数为零，则在［a,b］上必有_____________(A)f(x)的原函数恒等于零；(C)f(x)恒等于零；二、计算题:- w (28)设f (si n2x) ,求: (B)f(x)的不定积分恒等于零；(D) f (x)不恒等于零，但导函数f '(x)恒为零。

不定积分习题及答案

不定积分习题及答案9．求()()()()()dx x f x f x f x f x f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''-'32。

10．()d x x x ⎰1,,max 23。

第四章不定积分(A 层次)1．⎰xx dx cos sin解：原式()()⎰⎰+===C tgx tgxtgx d dx tgx x ln sec 2 2．⎰--dx xx 2112解：原式()⎰⎰+---=-----=C x x x dx x x d arcsin 1211122223．()()⎰-+21x x dx解：原式()()[]⎰+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=C x x dx x x 2ln 1ln 31211131 C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+-=12ln 314．⎰xdx x 7sin 5sin 解：原式()⎰⎰⎰-=--=xdx xdx dx x x 12cos 212cos 212cos 12cos 21C x x +-=12sin 2412sin 41 5．()⎰+dx x x x arctg 1解：原式()()()⎰⎰+==+=C xarctg x arctg d x arctg dx x x arctg 222126．⎰-+21xx dx解：⎰⎰⎰+-++=+=-+dt tt tt t t t t tdt t x x x dx sin cos sin cos sin cos 21cos sin cos sin 12令()()C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰cos sin ln 2121cos sin cos sin 2121 ()C x x x ++-+=21ln 21arcsin 21 7．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰⎰dx x x arctgx x x arctgxd 2333113131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 6161318．()⎰dx x ln cos解：原式()()[]⎰+=dx x x x x x 1ln sin ln cos ()()⎰+=dx x x x ln sin ln cos()()()[]⎰-+=x xd x x x x ln sin ln sin ln cos ()()()⎰-+=dx x x x x x x ln cos ln sin ln cos 故()()()[]C x x x x dx x ++=⎰ln sin ln cos 21ln cos 9．⎰--+dx xx x x 3458解：原式()⎰⎰--++++=dx xx x x dx x x 32281⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 131******** ()()C x x x x x x +--+-+++=1ln 31ln 4ln 821312310．()⎰+dx x x 2831解：原式()()()⎰⎰⎰=+=+=t tdt tgt u u du u x x x d 42224284sec sec 41141141令令 ()⎰⎰+==dt t tdt 2cos 181cos 412C t t ++=2sin 16181C uu u arctgu ++⋅++=221118181 ()C x x arctgx +++=844188111．⎰xdx x 2cos解：原式⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=dx x x 22cos 1[]()⎰⎰⎰+=+=x xd x xdx x xdx 2sin 41412cos 212 ⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412C x x x x +++=2cos 812sin 4141212．⎰dx e x 3解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23=原式[]⎰⎰⎰-===t d t e e t de t dt t e t t t t 2333222[]⎰⎰--=-=dt e te e t tde e t ttttt 636322C e te e t t t t ++-=6632 ()C x x e x++-=2223332313．⎰xx x dxln ln ln解：原式()()[]()()[]C x x x d x x x d +===⎰⎰ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 14．()⎰+21x e dx解：()()()()⎰⎰⎰⎰+-+=+-+=+222111111t dtdt t t t t t t t e e dxx x令 ()()C t t t t t d dt t t ++++=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰111ln 111112()C e e x C e e e xxx x x ++++-=++++=111ln 111ln15．()⎰+dx exe xx21解：原式()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=11112x xx e xd ee xd()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=+++-=x x x x x x x x e d e e e x dx e e e e x 111111()C e e e xx x x++-++-=1ln ln 1()C e e xe x xx++-+=1ln 116．dx x ⎰3sin解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23= 原式⎰⎰-=⋅=t d t dt t t cos 33sin 22⎰⎰+-=⋅+-=t td t t tdt t t t sin 6cos 32cos 3cos 322 ⎰-+-=tdt t t t t sin 6sin 6cos 32 C t t t t t +++-=cos 6sin 6cos 32C x x x x x +++-=333332cos 6sin 6cos 3 17．⎰-dx xx 1arcsin解：令u x sin =，则u x 2sin =，udu u dx cos sin 2= 原式⎰=udu u uucos sin 2cos ()⎰⎰--=-=udu u u u d u cos cos 2cos 2C x x x C u u u ++--=++-=2arcsin 12sin 2cos 218．()⎰+dx x x 321ln解：原式()⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=-22211ln x d x()⎰+++-=dx xx x x x 2222122121ln ()()⎰+++-=2222212121ln x x dx x x ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=222221112121ln dx x x x x ()()[]C x x xx ++-++-=22221ln ln 2121ln ()()C x x xx ++-++-=2221ln 21ln 21ln 19．⎰+-dx xx xx sin 2cos 5sin 3cos 7解：原式()()⎰+-++=dx x x x x x x sin 2cos 5sin 5cos 2sin 2cos 5dx x x x x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-+=sin 2cos 5sin 5cos 21C x x x +++=sin 2cos 5ln 20．()⎰++dx x xx 21ln解：原式()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x d x x 11ln⎰+++++-=dx x x x x x 1111ln ⎰+++-=dx x x x x 11ln C x xxx ++++-=ln 1ln 21．⎰xdx x 35cos sin解：原式⎰=xdx x x cos cos sin 25()x d x x sin sin 1sin 25⎰-=C x x +-=86sin 81sin 6122．⎰dx x x tgxsin cos ln解：原式()⎰⎰==tgx d tgx tgxdx xtgxtgx ln cos ln 2 ()()⎰+==C tgx tgx tgxd 2ln 21ln ln 23．dx xx ⎰-2arccos 2110解：原式()⎰-=x d x arccos 21021arccos 2 C C x x ar +-=+-=arccos 2cos 21010ln 211010ln 12124．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎰=331x arctgxd ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰dx x x arctgx x 2331131 dx xxx x arctgx x ⎰+-+-=23313131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 61613125．⎰-+dx x xx 1122解：令t x 1=，dt tdx 21-=原式dt t t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=222111111⎰⎰⎰----=-+-=dt tt tdt dt tt 2221111C t t +-+-=21arcsinC xx x+-+-=11arcsin 2 26．dx x a x ⎰+222 解：令atgt x =，tdt a dx 2sec = 原式dt t a ttg a t a ⎰=222sec sec ⎰⎰+==dt tt tt t t dt cos sin cos sin cos sin 2222dt tttdt ⎰⎰+=2sin cos sec C t tgt t +-+=sin 1sec lnC xx a a x a x a ++-++=2222lnC x a x a x ++-++=2222ln 27．()dx tgx e x 221⎰+解：原式()⎰+=dx tgx x e x 2sec 22 ⎰⎰+=tgxdx e xdx e x x 2222sec ⎰⎰+=tgxdx e dtgx e x x 222dx tgx e dx e tgx tgx e x x x ⎰⎰+⋅-=22222C t g xe x +=2 28．()()()⎰+++321x x x xdx解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=⎰⎰⎰3312421x dx x dx x dx()()()[]C x x x ++-+-+=1ln 3ln 32ln 421()()()C x x x ++++=34312ln2129．()⎰+xx dxsin cos 2解：令t x tg =2，则arctgt x 2=，212t dt dx +=，212sin t tx +=，2211cos t t x +-=，于是原式()⎰++=dt tt t 3122⎰⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=dt t t t 313322()⎰⎰+++=dt tt t d 131333122 ()C t t ++=3ln 313C x tg x tg +⎪⎭⎫⎝⎛+=232ln 31330．dx xxx x ex⎰-23sin cos sin cos 。

不定积分练习题1参考答案

不定积分练习1★(1)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。

解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(2)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(3)221x dx x+⎰ 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(2)(3)两题的解题思路是一致的。

一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。

★(4)x dx x x x⎰34134（-+-）2思路:分项积分。

解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2223134ln ||.423x x x x C --=--++★★(5)思路=？11172488x x ++==，直接积分。

解：715888.15x dx x C ==+⎰★★(6)221(1)dx x x +⎰思路:裂项分项积分。

解：222222111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x=-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(7)211x xe dx e --⎰ 解：21(1)(1)(1).11x x x x xx x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--⎰⎰⎰ ★★(8)3x x e dx ⎰思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。

不定积分练习题带答案

不定积分练习题带答案题目一计算以下不定积分：$$ \\int (3x^2 - 4x + 2)dx $$解答：首先，根据不定积分的性质，我们可以将不定积分的运算符号移到每个项上，然后分别对每个项进行积分。

$$ \\int (3x^2 - 4x + 2)dx = \\int 3x^2dx - \\int 4xdx +\\int 2dx $$对每个项分别进行积分运算：$$ \\int 3x^2dx = \\frac{3}{3}x^3 + C_1 = x^3 + C_1 $$$$ \\int 4xdx = 4 \\cdot \\frac{1}{2}x^2 + C_2 = 2x^2 + C_2 $$$$ \\int 2dx = 2x + C_3 $$将每个项的积分结果相加，得到最终的答案：$$ \\int (3x^2 - 4x + 2)dx = x^3 + 2x^2 + 2x + C $$这里的C是常数，表示积分常数，它可以任意取值。

题目二计算以下不定积分：$$ \\int \\frac{1}{x}dx $$解答：对于这个不定积分，我们可以使用换元积分法来计算。

令$ u = \ln|x| $，则 $ du = \frac{1}{x}dx $。

将 $ u = \ln|x| $ 代入原积分，得到：$$ \\int \\frac{1}{x}dx = \\int du = u + C = \\ln|x| + C $$这里的C是常数，表示积分常数，它可以任意取值。

题目三计算以下不定积分：$$ \\int e^x dx $$解答：这个不定积分是一个基本的指数函数积分。

根据指数函数的性质，对于任意实数 $ a $，有 $ \int e^{ax} dx =\frac{1}{a}e^{ax} + C $。

将原积分与上述性质进行对比，可以看出 a=1，所以：$$ \\int e^x dx = \\frac{1}{1} e^x + C = e^x + C $$这里的C是常数，表示积分常数，它可以任意取值。

(整理)§4不定积分习题与答案.

3、 (1) ln csct cot t c
（ 2） 2( x cos x sin x ) c
x2 4
2
（ 3） 2(tan
arccos ) c
2
x
a2
x
(4) (arcsin
2
a
x a2
a2
x2)
c
x
(5)
c
1 x2
(6) 2x ln(1 2x) c
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1 (7) (arcsin x ln x
(3) ln x 1 ln( x 2 1) c 2
(4) ln x
1 ln x 1
1 ln( x2
1)
1 arctanx
c
2
4
2
1 x2 1
3
2x 1
(5) 2 ln x2 x 1
arctan 3
3
c
1、设曲线 y
(B)
f ( x) ，由导数的几何意义： y
11 ， dx
ln x
c ，点 (e2 ,3) 代入即可。
１） (3 2x) 3dx
dx
２）
3 2 3x
３） sin t dt t
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dx
４）
x ln xln(ln x)
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５）
dx
cos x sin x
７） x cos(x2 ) dx
dx
６）
ex e x ８） 3 x3 dx
1 x4
９）
sin x
3
dx
cos x
10）
1 x dx
9 4x2
dx
x2 )
c
3

不定积分参考答案

不定积分参考答案不定积分参考答案不定积分是微积分中的重要概念，它与定积分相对应。

在求解不定积分时，我们需要找到一个函数的原函数，即求出它的不定积分。

本文将介绍一些常见函数的不定积分参考答案，并探讨一些与不定积分相关的概念和性质。

一、基本积分公式在求解不定积分时，我们可以利用一些基本积分公式来简化计算。

以下是一些常见的基本积分公式：1. $\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中n不等于-1）2. $\int e^x dx = e^x + C$3. $\int a^x dx = \frac{1}{\ln a}a^x + C$4. $\int \sin x dx = -\cos x + C$5. $\int \cos x dx = \sin x + C$6. $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$7. $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$这些基本积分公式可以帮助我们快速求解一些常见函数的不定积分。

但需要注意的是，对于复杂的函数，可能需要利用一些积分技巧来求解。

二、常见函数的不定积分1. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$这是一个非常重要的积分公式，也是自然对数函数的定义。

需要注意的是，由于对数函数的定义域不包括0，所以在不定积分中，我们需要加上绝对值。

2. $\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$这是一个常见的反比例函数的不定积分。

需要注意的是，由于分母中的x不能为0，所以在不定积分中，我们需要加上限制条件。

3. $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$这是一个三角函数的不定积分，也是反正弦函数的定义。

需要注意的是，由于反正弦函数的定义域为[-1, 1]，所以在不定积分中，我们需要加上限制条件。

(整理)不定积分习题与答案.

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax６）⎰+xdx2 1７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

高等数学不定积分例题和答案

高等数学不定积分例题和答案(1)解：(dx x ==+-⎰⎰(x +⎰，令t =2;dx tdt =2425315322122((1)22()5322(53x t t tdt t t dt t t C x x x C ∴+=+=+=++∴+=++⎰⎰⎰⎰⎰，令u =2;dx udu =242532532225533222222(1)22()5322(1)(1)5322[(1)][(1)].53u u udu u u du u u C x x C x x x x C ∴=-=-=-+∴=+-++∴=-++++++⎰⎰⎰⎰ (3)解：887888881(1)(1)(1)(1)1x dx x dx x dx dx dx x x x x x x x x x-=-=-+++++⎰⎰⎰⎰⎰ 对8(1)dx x x +⎰采用倒代换，令1x t=，则21dx dt t =-。

788182888111()ln(1)1(1)18181dx t t dt dt dt t C x x t t t t∴=-=-=-=-++++++⎰⎰⎰⎰ 111ln();8x C x+=-+88 78828811ln(1);8811x x dx x C x x ==++++⎰⎰d888811111ln()ln(1)ln ln(1).(1)884x x dx x C x x C x x x -+∴=--++=-+++⎰88 （5）、2(23)cos 2.x x xdx -+⎰解：22(23)cos2cos22cos23cos2x x xdx x xdx x xdx xdx -+=-+⎰⎰⎰⎰ 213sin 2sin 2cos 222213(sin 22sin 2)(sin 2sin 2)sin 222113(sin 2cos 2)(sin 2sin 22)sin 222211113sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 22222211sin 2c 22x d x xd x xd x x x x x x x x xdx x x x xd x x x xd x x x x x x xdx x x x x x x x =-+=--=+-=+---+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222d -+-+2113os 2sin 2sin 2cos 2sin 24221511()sin 2()cos 2.2422x x x x x x C x x x x x C --++=-++-+- (7)解：22222111arctan arctan arctan arctan 111x x xdx xdx xdx xdx x x x +-==-+++⎰⎰⎰⎰ 222arctan arctan arctan 111arctan ln(1)(arctan ).22x x x dx xd x x x x x x C =--+=-+-+⎰⎰ (9)解：令2sin ,02x t t π=<<，则2cos dx tdt =；2cos 11csc ln csc cot 2sin 2cos 2sin 22121ln .22tdt dt tdt t t C t t t C C x ∴====-+=+=+⎰⎰⎰（7）解：2233()()()()()()[]()()()()f x f x f x f x f x f x dx dx dx f x f x f x f x ''''-=-''''⎰⎰⎰ 而22223333()()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x f x dx df x f x f x d f x f x f x f x '''''==-''''⎰⎰⎰ 245226()2()()3()()()()()()f x f x f x f x f x f x f x dx f x f x ''''-'=-''⎰ 2223()()()()23()()()f x f x f x f x dx dx f x f x f x ''=-+'''⎰⎰ 2223232232()()()()()()()[]3[]()()()()()()()()1()[].()2()()f x f x f x f x f x f x f x dx dx f x f x f x f x f x f x f x f x f x dx C f x f x f x ''''∴-=-+-'''''''∴-=+'''⎰⎰⎰解：7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )x x x x x x '-=+++7cos 3sin 5cos 2sin (5cos 2sin )5cos 2sin 5cos 2sin (5cos 2sin )(5cos 2sin )[1]5cos 2sin 5cos 2sin (5cos 2sin )ln 5cos 2sin .5cos 2sin x x x x x x dx dx x x x xx x d x x dx dx x x x xd x x dx x x x C x x'-+++∴=++'++=+=++++=+=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：令2tan ,,sec .2x t t dx tdt π=<=则3323223tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec sec 1sec sec .3t tdt t tdt td t t d t t t t C C ∴====-=-+=⎰⎰⎰⎰解：令t=则321,3;x t dx t dt+==22231333(1)333ln111123ln1.t dt t dtt dt dt t t t Ct t tC∴===-+=-++++++=+⎰⎰⎰⎰解：令tan2xt=，则2222212sin,cos,;111t t dtx x dxt t t-===+++222221ln1ln1tan2112111dtdt xt t C Ct t tt t+∴==++=++-+++++⎰⎰解：令221(1)1A Bx Cxx x x+=+++，等式右边通分后比较两边分子x的同次项的系数得：01A BCA+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解之得：221111(1)1AxBx x x xC=⎧⎪=-∴=-⎨++⎪=⎩222221111ln(1)2(1)111ln ln(1).2xdx dx dx x d xxx x x xx x C C∴=-=-++++=-++=+⎰⎰⎰⎰()f x()xf x dx'⎰解：()()()()xf x dx x f x xf x f x dx'=-⎰⎰⎰d()=又2sin cos sin cos sin (),(),();x x x x x x xf x dx C f x xf xx xx--=+∴=∴=⎰cos sin sin2()cos sin Cx x x xxf x dx C x xx x x-'∴=-+=-+⎰二、求一个函数()f x,满足'()f x=(0)1f=。

不定积分计算题1答案

计算题（共 200 小题）1、,cos )(sin )(sin )(x x c x x f ='='+=4分 )2cos()(cos )()()(πn x x x f n n +==∴ 7分 .)2sin(d )2cos(d )()(c n x x n x x x f n ++=+=∴⎰⎰ππ 10分2、 '=+∴'=+f x xf x x(),().1121122 5分.ln 21d )211(d )(2c x x x x x x f ++=+='∴⎰⎰ 10分3、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=⎰.02,02d 2212x c x x c x x x 5分cc c c c c x c x o x o x ===∴+-=+-+→→21212212)2(lim )2(lim , 令得由原函数的连续性 .20,2,0,2d 22c x x x c x x c x x x +⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=∴⎰ 10分4、⎰=x x f x F d )()(设)(lim )(lim ,.0cos ,03)(0213x F x F x c x x c x x F x x -+→→=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=由原函数的连续性则5分得即令-+==+=1121211c c c c c c⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=.0,cos 1,03)(3x c x x c x x F 则 10分5、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥+-==⎰.1)1(211)1(21d )()(2212x c x x c x x x f x F 5分由原函数的连续性，令lim ()lim (),.x x F x F x c c c c c →→+-=∴===111212⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥+-=.1)1(21,1,)1(21)(22x c x x c x x F ，则10分6、.32d 23c x x x +=⎰10分7、⎰-233d xx⎰-=21d 31xx 5分=+13arcsin .x c 10分8、⎰⎰=22d d xxa x x a =-+axc .10分9、⎰x e a x x d⎰=x ae x d )(3分=+1ln()()ae ae c x10分=++11ln .aa e c x x10、x x x d tan csc 22⎰⋅x x d sec 2⎰=5分 =+tan .x c10分11、x x x d cot sec 22⎰⎰=x x d csc 25分 =-+cot .x c10分12、⎰+22d xx⎰+=22)2(d xx5分.2arctan21c x +=10分13、⎰+82d 2x x⎰+=4d 212x x 5分=+++1242ln .x x c 10分14、⎰-9d 2x x ⎰-=223d x x5分.33ln 61c x x ++-=10分15、⎰-63d 2x x⎰-=2d 312x x 5分=+-+1322ln .x x c 10分16、⎰+232d x x ⎰+=232d 31x x5分=+1632arctan x c10分17、⎰-x xx x d 2432⎰⎰-=x x x x d 2d 125415分 c x x +-=121745172454 10分18、x x x d ⎰⋅ ⎰=x xd 435分 .7447c x += 10分19、x x x d )1(23⎰+x x x x d d 2⎰⎰+=5分.332323c x x ++= 10分 20、.sinh cosh d )cosh sinh (c x b x a x x b x a ++=+⎰ 10分21、⎰x d cot 2⎰-=x x d )1(csc 2 3分 ⎰⎰-=x x x d d csc 25分 =--+cot .x x c10分22、x x x d )1(⎰+-=原式5分 c x x x ++-=233221210分 23、x x d 41211⎰++=原式5分⎰=x xd 47c x c x +=++=+411471141114710分24、x x x d )arccos (arcsin ⎰+⎰π=x d 2 7分=+π2x c .10分25、[]x x x x x d )1(cos cos )1(sin sin ⎰+++⎰++=x x x d )cos sin 1(5分 =-++x x x c cos sin .10分26、x xd 2sin 22⎰⋅⎰-=x x d )cos 1(5分 =-+x x c sin .10分27、⎰x xd 2cos 22⎰+=x x d )cos 1(5分 =++x x c sin .10分28、⎰-x xx d sin 1sin 423 ⎰⎰-=x x x x d csc d sin 425分 =-++4cos cot .x x c10分29、⎰+x x x d )32(2x x x x x d )33222(22⎰+⋅⋅+=3分 ⎰+⋅+=x x x x d )9624(5分c x x x +++=3ln 2966ln 22ln 24 10分30、x x x d 3273⎰--⎰++=x x x d )93(25分=+++x x x c 323329. 10分31、.d 22222x x x x ⎰-+- ⎰-=x x d )2(5分=-+x x c 222. 10分32、⎰---.d )31)(21)(1(x x x x⎰-+-=x x x x d )61161(32 5分 .233113432c x x x x +-+-= 10分33、x x x x d )1(21222⎰++x x x x x d )1(12222⎰+++= ⎰⎰++=221d d 1xxx x 5分 .arctan 1c x x++-=10分34、x xx e x x x d 323⎰+- ⎰+-=-x xe xx d )1(255分 .ln 3223c x e x x ++--=-10分35、.d )1()1(22x x x x ⎰++x x x x x d )1(1222⎰+++=3分⎰⎰++=21d 2d 1x xx x 5分 .arctan 2ln c x x ++=10分36、⎰+.d )sec (tan 22x x x⎰-=x x d )1sec 2(25分 =-+2tan .x x c10分37、.d )csc (cot 22x x x +⎰⎰-=x x d )1csc 2(25分=--+2cot .x x c10分38、⎰+x xx xx d sin sin 2222 x x x x d 1d sin 122⎰⎰+= 5分 =--+cot .x xc 110分39、x x x d 122⎰+⎰+-+=x xx d 11122 5分⎰⎰+-=21d d x xx =-+x x c arctan .10分40、⎰-.d 122x x x x x x d 11122⎰----=5分⎰⎰-+-=21d d xxx .11ln 21c xx x +-++-= 10分41、x x x d 1322⎰-+ x x x d 14122⎰-+-= 5分⎰⎰-+=1d 4d 2x xx .11ln2c x x x ++-+= 10分42、.d 111422x x x x ⎰--++⎰⎰++-=221d 1d xx xx5分.1ln arcsin 2c x x x ++++=10分43、x x x x d 111422⎰---+⎰⎰+--=1d 1d 22x x x x5分c x x x x +++--+=1ln 1ln 22=+-+++ln.x x x x c 221110分44、x xxd sin 2sin 122⎰+=原式 5分⎰⎰+=x x d 21d csc 2128分 .21cot 21c x x ++-=10分45、x x xd 1cos sin 122⎰-- x xx d sin sin 122⎰--=5分⎰⎰+-=x x x d d csc 2=++cot .x x c10分46、x xx xd cos sin d 22⎰ ⎰⋅+=x xx xx d cos sin cos sin 2222 5分⎰⎰+=x x x x d csc d sec 227分 .cot tan c x x +-=10分 ⎰=xx2sin d 4:2原式另解 5分 =-+22cot .x c 10分47、⎰++x xxd 2cos 1cos 12x xx d cos 2cos 122⎰+=5分⎰⎰+=x x x d 21d sec 2127分 =++1212tan .x x c 10分48、x x x xd sin cos 2cos ⎰-x xx x x d sin cos sin cos 22⎰--=5分 ⎰+=x x x d )sin (cos7分 =-+sin cos .x x c10分49、)20(d 2sin 1π≤≤+⎰x x x =+⎰(cos sin )x x dx 25分=+⎰(sin cos )x x dx.sin cos c x x ++-= 10分50、x xx xd sin cos 2cos 22⎰ ⎰-=x xx x x d sin cos sin cos 2222 5分 ⎰⎰-=x x x x d sec d csc 227分 =--+cot tan .x x c10分51、⎰+x x x2sin 2cos d ⎰=x x2cos d 5分 =+tan .x c10分52、⎰++++x x x x x x d 13323 x xx xx x x d 21)1(322⎰+++++= 5分x x x d )1211(2⎰+++= 7分 =+++x x x c ln arctan .210分53、x x xd 113⎰--x x x d 11)(333⎰---=5分⎰++-=x x x d )1(31327分 .43533435c x x x +---=10分 54、x xx d )311(312122⎰+-⋅=原式 5分.3arctan 361)1(61c x x +--=10分55、x x x x d )21(231+-=⎰-原式 ⎰+-=-x x xxd )2(3532315分 .835623383523c x x x ++-=10分 56、⎰--+=x x x x d )1(21232原式5分 .32523123253c x x x x +--+=10分 57、⎰-+=x x xd )211(2原式5分 .ln 21c x xx +--=10分58、x x xd )93222(316133--+-=⎰原式5分 .923325122326533c x x x ++⋅-=10分 59、x x x d )(4543--=⎰原式5分 .4744147c x x ++=- 10分 60、x xx d )111(22+-=⎰原式 5分.111ln 21c xx x +--+=10分61、x xx d )111(22⎰+-=原式 5分.arctan 1c x x +--= 10分 62、x xx d )1111(2122⎰-++=原式 5分.11ln 41arctan 21c xx x +-++=10分63、x x x d 124⎰+x xx x x d 1)1(2222⎰+-+= 5分⎰⎰⎰++-=221d d d x xx x x 7分.arctan 33c x x x ++-= 10分64、x x x x d 2344⎰++-x xx x d 3122⎰+=5分 x xx d )11(5+=⎰ 7分 .41ln 4c xx +-=10分65、⎰+-)3)(2(d 22x x xx x x d )3121(5122⎰+--=5分.3arctan 3122ln 22151c x x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=10分66、x x x xd )2sin 2(cos cos 22⎰- x xxd sin 1sin 12⎰--=5分⎰+=x x d )sin 1(=-+x x c cos .10分67、x x x x d sin 2sin 2cos 244⎰+ ⎰-++=x xx x x x x x d sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22sin 2cos 2222244 5分x x x x x d sin )(sin )2sin 2(cos 2221222⎰-+= 7分⎰⎰-=x x x d 21d csc 2.21cot c x x +--=10分68、⎰+x xx xd 2sin 2cos 21cos 2 x xx ⎰+-=d sin 1sin 1223分 ⎰-=x x d )sin 1(25分 =++2(cos ).x x c10分 69、22)sin 1(sin cos )sin 1sin ()(x x xx x x x x f +-='+= 4分c x f x f x f x f x f +==∴⎰⎰)(21)(d )()()(28分c x x x x ++-=422)sin 1()sin (cos 21 10分70、.1sin 1cos ,sin 222u x x x u -=-==则令cu u u u u f uu f +-=-=-='⎰221d )1()(1)(所以因此 6分.2)(2c x x x f +-=即 10分71、 f x f x x f x x c ()().()'⋅=∴=+　121222 5分21.2)1(.2)(2==+=∴c f c x x f 得代入 ∴=+f x x ().2110分 72、⎰++=3)()d(a x a x 原式5分=-++1212().x a c 10分73、⎰-x x 51d⎰---=xx 51)51d(51 5分 .51ln 51c x +--=10分74、x x d )32(10⎰-⎰--=)32d()32(2110x x 5分 =-+1222311().x c 10分75、⎰+x x d )56(4⎰++=)56d()56(514x x 5分 .)56(2515c x ++= 10分76、x x d 313⎰-)31d(31313x x ---=⎰ 5分 .)31(4134c x +--=10分77、⎰⋅x e x x d cos sin⎰=)d(sin sin x e x5分 .sin c e x +=10分78、⎰-x x xd 1 x xx d 111⎰----=5分⎰⎰-+-=xxx 1d d 7分 .1ln c x x +---=10分79、⎰x x d 2tan⎰=x xxd 2cos 2sin5分 ⎰-=x x 2cos )2d(cos 21 7分 =-+122ln cos .x c10分80、⎰+x x x d )cot (tan⎰⎰+-=xx x x sin )d(sin cos )d(cos 5分 c x x ++-=sin ln cos ln7分 =+ln tan .x c10分81、(解法一):⎰-.)1(d x x x⎰-=2)(1)d(2x x 5分=+2arcsin x c10分⎰⎰---=-=22)21(41)21d(d :)(x x xx x 原式解法二5分.)12arcsin(2121arcsinc x c x +-=+-=10分82、⎰x x x d 2sin cos )(2解法一)2d(cos 22cos 121x x⎰+-=5分 =--+1421822cos cos x x c10分⎰x x x d 2sin cos )(2解法二x x x d cos sin 23⎰⋅=5分 .cos 214c x +-= 10分83、⎰x x d cos 3⎰-=)d(sin )sin 1(2x x 5分 .sin 31sin 3c x x +-=10分84、⎰+x x xd cos 1sin⎰+-=xx cos 1)d(cos 5分 .)cos 1ln(c x ++-=10分85、(解法一)⎰x x xd cos sin 2⎰-=x x 2cos )d(cos 5分 =+1cos xc 10分(解法二):⎰=x x x d tan sec 原式5分=+sec .x c10分86、⎰-x x d )2(cos 2⎰-+=x x d 2)24cos(15分 ⎰---=)24d()24cos(4121x x x 7分 .)24sin(4121c x x +--= 10分87、⎰-x ex x d 32⎰--=-)d(3133x e x5分 .313c e x +-=-10分88、⎰-=22)3()2()3d(31x x 原式 5分.3232ln22131c xx +-+⋅=10分89、⎰-232d xx⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=223123d 2321x x 5分.23arcsin31c x +=10分90、x a x d )5sin 5(sin ⎰-.5sin 5cos 51c a x x +--=10分91、⎰+)4(sin d 2πx x⎰++=)4d()4(csc 2ππx x5分 .)4cot(c x ++-=π10分92、⎰+x xcos 1d⎰=2cos 2d 2xx5分⎰=)2d(2sec 2xx7分 .2tan c x+=10分93、.d cos 1sin x x x⎰- ⎰⎰--=-=xx x x cos 1)cos 1d(1cos )d(cos5分 c x +-=)cos 1ln(10分94、⎰x xxd ln 23⎰=)d(ln ln 23x x5分 .ln 5225c x += 10分95、⎰x x xln d⎰=xx ln )d(ln 5分 .ln ln c x +=10分96、x x x xd )(ln ln 12⎰+⎰⎰+=x x xx x x ln d )(ln d 2 5分⎰⎰+=x x x x ln )d(ln )(ln )d(ln 2 7分.ln ln ln 1c x x++-= 10分97、⎰-+-x xx x d 105211 x xx x x d 525211⎰⋅-=-+5分x x x x d 251d 52⎰⎰---⋅=7分 .22ln 5155ln 2c x x ++-=--10分98、⎰+x exd 12)1d(2212+=⎰+xxe5分 c ex+=+12210分99、⎰+x e e xxd 1⎰++=x x e e 1)1d(5分.)1ln(c e x ++=10分100、⎰--+x e e x x d )(2.212c e e x x +--=--10分101、⎰x x d sin 3)d(cos )cos 1(2x x ⎰--= 5分⎰⎰-=)d(cos )d(cos cos 2x x x =-+133cos cos .x x c 10分102、⎰+x x x d )sin (cos 2⎰++=x x x d )sin 22cos 1(5分 .cos 2sin 4121c x x x +-+= 10分103、⎰-++11d x x xx x x d 211⎰--+=5分[]⎰⎰---++=)1d(1)1d(121x x x x 7分 .)1(31)1(312323c x x +--+= 10分104、⎰x x x d sec tan 3　⎰-=)d(sec )1(sec 2x x 5分 .sec sec 313c x x +-= 10分105、x x x d csc cot 3⎰⎰--=)d(csc )1(csc 2x x5分=-++133csc csc .x x c10分106、⎰⋅x x x d sec tan 46⎰+=)d(tan )tan 1(tan 26x x x 5分 .tan 91tan 7197c x x ++=10分107、⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x 5分 =--+171979cot cot .x x c10分108、x x x d sec tan 4⋅⎰)d(tan )tan 1()(tan 221x x x +⋅=⎰5分 .tan 72tan 3273c x x ++=10分109、x x x d sec tan 35⎰⋅)d(sec )(sec )1(sec 2122x x x ⎰-= 5分⎰+-=)d(sec ))(sec 1sec 2(sec 2124x x x x)d(sec ))(sec )(sec 2)((sec 212529x x x x +-=⎰7分 .sec 32sec 74sec 1123711c x x x ++-=10分110、x x x d csc cot 35⎰⋅)d(csc )(csc )1(csc 2122x x x ⎰--=5分)d(csc ))(csc 1csc 2(csc 2124x x x x +--=⎰ )d(csc ))(csc )(csc 2)((csc 212529x x x x +--=⎰7分 .csc 32csc 74csc 1123711c x x x +-+-= 10分111、x x x d csc cot 43⋅⎰⎰+-=)d(cot )cot 1()(cot 231x x x5分)(cot d ))(cot )((cot 3731x x x ⎰+-=.cot 103cot 4331034c x x +--= 10分112、⎰x xexd)d(2x e x⎰=5分 c ex+=210分113、x x x ⎰+d 1arctan 2⎰=)d(arctan arctan x x 5分 =+122(arctan ).x c 10分114、⎰+x e e xxd 12 ⎰+=xx ee 21)d( 5分.arctan c e x +=10分115、x e e x x ⎰+d )1(3)1d()1(3++=⎰x x e e 5分 .)1(414c e x ++= 10分116、⎰+x ee xxd 122 ⎰++=xx e e 221)1d(21 5分=++1212ln().e c x 10分117、⎰-+2215d xx x⎰---=2)1(16)1d(x x 5分=-+arcsin.x c 1410分118、⎰-+22d xx x⎰---=2)21(49)21d(x x 5分c x +-=2321arcsin.)21(32arcsin c x +-=10分119、⎰++32d 2x x x⎰++=2)1(d 2x x5分.21arctan21c x ++=10分120、x x xd )1(5⎰+x x x d )1(115⎰+-+=⎰+-+=x x x d ))1(1)1(1(54 5分.)1(141)1(13143c x x ++++-=10分121、x x xd sin ln cot ⎰ ⎰=xx sin ln )sin d(ln 5分 =+ln ln sin .x c10分122、⎰+-=xx cos 2)d(cos 原式⎰++-=xx cos 2)cos 2d(5分=-++22cos x c 10分123、x x x d )2(2321⎰+)2d()2(313321++=⎰x x 5分 .)2(92233c x ++= 10分124、⎰+x x xd )1(22⎰++=222)1()1d(21x x 5分=-++12112x c .10分125、⎰-x xx x x d cos sin 4cos sin 22⎰-=1sin 5)d(sin 2122x x 5分⎰--=1sin 5)1sin 5d(10122x x 7分.1sin 5512c +-=10分126、x x x d cos ⎰)d(cos 2x x ⎰=5分 =+2sin .x c10分127、x x xd 412⎰- ⎰-⋅=x x 41)2d(2ln 1 5分.1212ln 2ln 21c x x +-+= 10分128、⎰-x xx d 913arccos 2)3d(arccos 3arccos 31x x ⎰-= 5分 =-+1632(arccos ).x c10分129、x xxx d 1)(arcsin 22⎰--⎰⎰--+=2221)1d(21)d(arcsin )(arcsin x x x x 5分=+-+13132(arcsin ).x x c 10分130、⎰+x x x xd )ln (ln 123⎰=23)ln ()ln d(x x x x5分.)ln (221c x x +-=-10分131、⎰x x d csc 6)d(cot )cot 1(22x x ⎰+-= 5分⎰++-=)d(cot )cot cot 21(42x x x .cot 51cot 32cot 53c x x x +---=10分132、x x d sec 6⎰)d(tan )tan 1(22x x ⎰+= 5分⎰++=)d(tan )tan tan 21(42x x x =+++tan tan tan .x x x c 231535 10分133、⎰-x xx d 183⎰-=244)(1)d(41x x 5分=+144arcsin .x c 10分134、x x x d 462⎰+ ⎰+=4)()d(31233x x 5分=+1623arctan .x c 10分135、⎰⋅x x x d 3cos 2sin⎰+-=x x x d )5sin )(sin(215分 .5cos 101cos 21c x x +-= 10分136、⎰⋅.d 7sin 5sin x x x 求[]⎰--=x x x d )12cos()2cos(215分 .12sin 2412sin 41c x x +-= 10分137、⎰⋅x xx d 3cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰x x x x d 65cos d 61cos 21 5分.65sin 5361sin 3c x x ++=10分 138、⎰=)d(ln )(ln sec 2x x 原式5分 .)tan(ln c x +=10分139、⎰-=2221)2d(41x x e e 原式5分.21ln 412c e x +--=10分140、⎰-=222)2(1)2d(41x x 原式5分.2arcsin 412c x +=10分 141、⎰-=2)2(1)2d(2ln 1x x 原式 5分.2arcsin 2ln 1c x +=10分142、⎰-++x x x x d 1322⎰⎰-++-+-+=1d 21)1d(222x x xx x x x 3分⎰-+++-+=222)25()21()21d(21ln x x x x 5分25212521ln 5521ln 2++-++-+=x x x x 8分.512512ln 5521ln 2c x x x x +++-++-+= 10分143、x x x d )2(8232⎰+ ⎰++=233)2()2d(38x x 5分.21383c x ++⋅-= 10分144、x x x d 4252⎰+- x x x x d 424)4d(25222⎰⎰+-++= 5分.2arctan )4ln(252c xx +-+=10分145、x x x x d 13962⎰+++x x x x d 133232⎰+++= 3分.13ln 313)13d(3222c x x x x x x +++=++++=⎰10分146、⎰x x x xd 4ln 2ln ⎰++=)d(ln ln 4ln ln 2ln x xx3分 ⎰+-=)d(ln )ln 4ln 2ln 1(x x7分 =-⋅+ln ln ln ln .x x c 2410分147、⎰-2d bx ax x x bx a b x a d )1(1⎰-+= 5分 .)ln (ln 1c bx a x a+--= 10分148、⎰+x xx xd ln 1ln⎰+=)d(ln ln 1ln x xx3分⎰⎰++-++=xx x x ln 1)ln 1d()ln 1d(ln 17分.ln 12)ln 1(3223c x x ++-+= 10分149、x xxd 1321⎰+ ⎰+=2)(1)d(322323x x 5 分.)arctan(3223c x += 10分150、x x x x d )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰=5分 .)(arctan 2c x +=10分151、⎰++x x x x d )sin (cos 134⎰++=34)sin ()sin d(x x x x 5分=-++-313(sin ).x x c10分152、⎰x xxd cos sin 3)d(cos cos cos 12x xx ⎰--=5分⎰⎰-=xx x x cos )d(cos )d(cos )(cos 23 7分=-+2525cos cos .x x c 10分153、⎰x x d cosh 1x e e xx d 2⎰-+= 3分x ee xxd 122⎰+= 5分⎰+=+=.)arctan(21d 22c e ee xxx 10分154、x x d sinh 1⎰ x ee xx d 2⎰--= 3分⎰-=1)d(22x x e e7分.11ln c e e x x ++-=10分155、x xx e e xxxd )ln 3(-+⎰ ⎰⎰+=xx xx e x ln d d )3( 5分.ln ln 313ln 1c x e x x ++⋅+=10分156、⎰-x xx d 1102arccos 2⎰-=)arccos 2d(1021arccos 2x x5分 .1010ln 21arccos 2c x +-=10分157、⎰-+-x xx x d 34212⎰⎰----+-=222)23()25(d 2d 3423x x x xx x 7分.532arcsin23422c x x x +---+= 10分158、⎰x x d tan 3⎰-=x x x d tan )1(sec 2 3分 ⎰⎰-=x x x x d tan )d(tan tan 7分 =++122tan ln cos .x x c 10分159、x x d cot 14⎰⎰=x x d tan 4⎰⎰+-=-=x x x x x d )1sec 2(sec d )1(sec 2422 5分 ⎰⎰+-+=x x x x )d(tan 2)d(tan )tan 1(2 7分=+-++tan tan tan x x x x c 1323=-++133tan tan .x x x c 10分160、tan sin cos xx x dx 3222+⎰ )(tan 2tan 3tan 2x d x x ⎰+=5分=+=++⎰163321632222d x x x c (tan )tan ln(tan ). 10分161、⎰--123d 2x x x=--+⎰1411331()x x dx 5分c x x ++--=)13ln 1(ln 41=-++14131ln .x x c 10分162、x x xdx 52+-⎰=-+-+-++-⎰⎰1255125222d x x x x dxx x() 5分⎰---+-+-=22)21(421)21(215x x d x x7分.21)21(2arcsin 2152c x x x +-+-+-= 10分163、dx x x x ⎰+++112⎰⎰+++++++=1211)1(21222x x dxx x x x d 5分⎰+++++=43)21(21122x dxx x 7分=++++++++x x x x x c 22112121ln . 10分164、dx x x⎰+44=+⎰124222d x x ()()5分.2arctan 412c x += 10分165、34+-⎰xxdx⎰⎰-+---=xdx dx xx 4744 5分=-----⎰⎰44744xd x d x x()()7分.414)4(3223c x x +---= 10分166、dx x xsin cos 3⎰⎰=x dxx cot sin 14 3分⎰+-=xx d x cot )(cot )cot 1(27分.cot 21cot ln 2c x x +--=10分167、dxx xsin cos 3⎰ dx xx ⎰=tan sec 43分⎰+=xx d x tan )(tan )tan 1(27分=++ln tan tan .x x c 122 10分168、322152x x x dx ---⎰=---+--⎰⎰322221521522x x x dx dxx x 3分 ⎰--+--=16)1(152ln 2322x dx x x 7分=--+---++322151814142ln ln x x x x c .35ln 81152ln 232c x x x x ++-+--=10分169、dx e e xx⎰+12 =+⎰e d e e x x x()13分()⎰⎰+-=xxxee d e d 1)( 7分=-++e e c x x ln().110分170、⎰xdx x 3sin 2sin 2=-⋅⎰1423cos sin xxdx 3分 []⎰⎰+--=dx x x x xd )7sin()(sin(41)3(3sin 61 7分c x x x ++---=7cos 281)cos(413cos 61.7cos 281cos 413cos 61c x x x ++--=10分171、cos cos 223x xdx ⎰⋅xdx x3cos 24cos 1⋅+=⎰3分 =++⎰163147sin (cos cos )x x x dx 7分 .7sin 281sin 413sin 61c x x x +++= 10分172、⎰+dx exx ln 32⎰⋅=xdx e x 23 3分 ⎰=)3(61232x d e x 7分 .6123c e x += 10分173、dx xa x ⎰-32⎰-=22)()(322323x a x d 5分.arcsin 3223c ax += 10分174、⎰++dx x x cos 1cos 2⎰⎰++=xdxdx cos 1 3分⎰+=2cos 22xdxx 5分⎰+=)2(2sec 2xd x x7分 .2tan c xx ++=10分175、dx x x⎰+cos 12sin=+⎰21sin cos cos x x xdx2分 =-+⎰21cos (cos )cos xd x x5分⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰⎰x x d x d cos 1)(cos )(cos 2 8分.)cos 1ln(2cos 2c x x +++-=10分176、⎰+x dxsin 1 =-⎰12sin cos x xdx3分 ⎰⎰+=x x d xdx 22cos )(cos sec 7分 =-+tan cos .x xc 110分177、⎰+dx x x 2cos 4sin⎰+-=xx d 2cos 4)(cos 3分.cos 4cos ln 2c x x +++-=10分178、dx x x x⎰+cos sin 12cos⎰+=22sin 1)22sin (x x d 5分122sin 1ln c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()=++ln sin .22x c10分179、dxx x sin cos 222+⎰⎰+=2tan sec 22x xdx3分⎰+=2tan )(tan 2x x d 7分.2tan arctan21c x +=10分180、⎰+)21(x x dx=+⎰2122d x x ()(()) 5分.2arctan 2)2(1)2(22c x x xd +=+=⎰10分181、dx xxxx ⎰-⋅4932 dx x x⎰-=1)23()23(23分⎰-⋅=1)23()23(23ln 12x xd 5分.2323ln )2ln 3(ln 211)23(1)23(ln )2ln 3(ln 21c c xx x x x x ++--=++--=10分182、原式=-+⎰141456()x x x dx 5分⎰++-=4)4(241ln 4166x x d x 8分=-++1412446ln ln()x x c 10分或　原式=+⎰164666dx x x ()5分⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰6664414161dx x x 8分.4ln 241ln 24166c x x ++-=10分183、dx xxxx ⎰-=223553原式 ⎰⎰-=-=1)35()35(35ln 11)35()35(22x xx x d dx 5分c x x ++-=1)35(1)35(ln )35ln(2110分().3535ln 3ln 5ln 21c xx xx ++--= 184、.)(21)()(1)()(:2 c b ax f ab ax df b ax f a dx b ax f b ax f ++=++=++⎰⎰ 解 185、解由题知:()cos f x x = 2分c x c x f x df x f dx x f x f +=+==⎰⎰22 cos 21)(21)()()()( 6分.cos ln )(ln )()(1)()( c x c x f x df x f dx x f x f +=+==⎰⎰ 10分186、⎰+1)(2x xdx 解法一=++⎰1211222d x x x ()2分=+⎰1122xd x () 4分=++-⎰d x x ()()221118分=+-+++12111122ln.x x c 10分⎰+=2211:)(xxdx 原式解法二⎰+-=2111xx d 8分=-+++ln1112x xc 10分187、cos sin 5x xdx ⋅⎰=-⋅⎰(sin )sin (sin )122x xd x3分 ⎰+-=)(sin ))(sin )(sin 2)((sin 292521x d x x x7分 .sin 112sin 74sin 321173c x x x ++-=10分188、sin cos 32xx dx +⎰=-+⎰cos cos (cos )212x x d x3分=-++⎰cos cos (cos )2432x xd xx d xx d x cos cos 23cos )2(cos ⎰⎰++-=7分 .)cos 2ln(3cos 2cos 212c x x x +++-=10分189、⎰-++1232x x dx=+--+--⎰23212321x x x x dx ()4分=+--⎰⎰14231421x dx x dx 7分c x x +-⋅-+⋅=2323)12(3281)32(3281 .)12(121)32(1212323c x x +--+= 10分190、dx xx x ⎰+++2211)1ln( =++++⎰⎰12111222ln()(ln()x d x dx x 7分 [].arctan )1ln(4122c x x +++= 10分191、dx e e e xxx⎰-++22 =++⎰e e e dx xxx 22222分dx e e e e e e d x x x x x x ⎰⎰++-++++=1)1(22)22(21222 7分.)1arctan()22ln(212c e e e x x x ++-++=10分192、⎰-+dx xx x 21=---+-⎰⎰12123222x x x dx dx x x3分⎰⎰-------=222)21(41)21(23)(21x x d x x x x d 7分c xx x +----=2121arcsin 232.)21arcsin(232c x x x +----=10分193、()1122++⎰e e dx x xdx e e e xx x ⎰+++=221213分⎰⎰++=dx e dx x212 7分=++x e c x 2arctan().10分194、⎰+-)3)(2(22x x dx=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰15121322x dx x dx 5分.3arctan 35122ln 22151c xx x +-+-⋅=10分195、原式=-+⎰dxx x ()()2222=-++⎰14121222()x xdx 5分.2arctan 24122ln 22141c x x x ++-+⋅=10分196、⎰+++322)1(1x x xdx⎰++++=))1(1(1)1(21222x x x d 3分⎰+++=)1(1122x x d 7分.)1arctan(2c x ++=10分197、11+-⎰xxdx =+-⎰112x xdx3分⎰⎰----=2221)1(211x x d x dx7分=--+arcsin .x x c 1210分198、cos xdx 22+⎰⎰⎰-=-=xx d xx d 2232sin )(sin 21sin 23)(sin 7分.)sin 32arcsin(21c x +=10分199、sin cos sin cos 2244x xx x dx -+⎰=--⎰cos sin 212122xxdx 4分⎰--=xx d 2sin 2)2(sin 27分.2sin 22sin 2ln 221c x x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-= 10分200、dxe e x x ()--⎰2=-⎰e e dx xx 2221()3分⎰--=222)1()1(21xx e e d 7分=--+1212().e c x10分。

第五章不定积分习题课参考答案

① f ( x, n ax b ) dx ，令 t n ax b ；② f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a sin t ； ③ f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a tan t ；④ f ( x, x 2 a 2 )dx ，令 x a sect ；
例6 求下列不定积分：
108896097.doc
-2-
①
xdx ； 1 x2
②
1 1 sin dx ； 2 x x
③
dx x 1 ln 2 x
；
凑微分求不定积分，必须牢记基本积分公式类型，这样就不会被复杂的式子所迷惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分公式．常用的凑微分积分类型： 1 f (ax n b)d (ax n b) ； ① f (ax n b) x n 1 dx an ② f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x ； ③ f (tan x) sec 2 xdx f (tan x)d tan x ；
0 1
解: 由已知 x 2 x 为 f ( x) 的导函数，即 x2 x f ( x) 所以， xf ( x)dx x( x 2 x)dx ( x 3 x 2 )dx
0 0 0 1 1 1
1 4 1 3 x x C 4 3
例3 求下列不定积分： ①

x 2 x sin 2 x sin 2 x x 2 x sin 2 x cos 2 x dx C 4 4 4 4 4 8
例14 求下列不定积分：
xdx ① 3 ； x 3x 2 2x 3 dx ； ② 2 x x5
x4 1 dx ． ③ 6 x 1

不定积分练习题及答案

不定积分练习题211sin )_________2xdx -=⎰一、选择题、填空题：、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则：3sin(ln )______x dx =⎰、2224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()7(),_________;18()arcsin ,______()x x xe f x f x xdx dxy x xF x f x f ax b dx f e f x dx c dx x exf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族中，过点的积分曲线是、则、设则、设则____;9'(ln )1,()________;10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x cϕ+++13()[()]()()[()]()()()()()()()dA d f x dx f xB f x dx f x dx dxC df x f xD df x f x c====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______11()()ln ()()ln x f x f x e dx xA cB x cC cD x cxx-==++-+-+⎰、设则：115______(1)1()arcsin ()arcsin ()2arcsin(21)2()arcsin(21)dx x x A x c B x cC x cD x c=-++-+-+⎰、16()[,][,]()()()()()()()()'()f x a b a b A f x B f x C f x D f x f x 、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。

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