关于平行线间折线成角问题的探究
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课
题
关于平行线间折线成角问题的探究
课型：探究课
授课人：孙娜
教学目标
1.熟练掌握平行线的性质和判定，找到解决平行线间折线成角问题的基本方法 2.在 TI 图形计算器探究的过程中，体会观察-猜想-实验-证明的探究过程 3.经历 Ti 图形计算器的探究过程，培养学生独立思考，自主探究的能力 对于平行线中基本图形的认识 体会添加辅助线的方法根源和思维构成 Ti 图形计算器、多媒体 教学内容 学生活动 教师活动 设计意图
流程（二） 猜想途径： ∠O 是 180 的 猜想结论 （1）观察图形（几何直观） （2）先特殊化（从一般到 特殊） 时候 猜想结论：∠B+∠O+∠D=360
流程（三） 3.是否有方法来验证自己猜想的正确性？ 验证结论 验证途径：利用图形计算器说明
学生利用 Ti 图 引导学生验 形 计 算 器 对 猜 证自己的猜 想进行验证 想 引导学生利 用发现的结 论获得启 示，找到证 明的方法， 关注常量 360 ° 和 平 行线知识 的联系 体会探究问 题的过程观 察-猜想-实 验-证明
A B
发散思维， 体会条件变 化带来的可 持续探究
O1 O2 O3 C D
图9 挑战 2. 如图：AP1 // BPn ，则探究P1、P2 Pn 之间的 关系.
A
P1
P2 P3 P4
B
Pn
来自百度文库
挑战 3.
A O C D B
将左图中 AB∥CD 条件改为 AB、 CD 相交于点 E，得到新 图 10，并得到新角∠E，试 探究∠B、∠E、∠D、∠O 之间的角度关系
流程（八） 5.如果还想进行关于∠B、∠O、∠D 角度的探究，那 么图形可以如何变化？ 改变点 O 的位置，可以得到怎样的图形，结论是 否成立？能否自己进行探究？ 图 6.
借 助 于 图 形 计 教师适时引 渗透类比思 算器由学生参 导 想 考流程一的提 出新问题
A O C
图 7.
B
证明略 并 对 新 问 题 进 引导学生关 感受位置变 行探究 注边缘位置 化带来的数 的情况 量关系的变 化 渗透分类讨 论的思想
B E O D
图 10
流程（四） 4.由于利用图形计算器进行测量，有误差，不够严谨， 同 学 分 享 自 己 证明结论 所 以 能 否 采 用 更 严 谨 的 方 法 来 说 明 ∠ B+ ∠ O+ ∠ 的想法 有想法的同学 D=360 呢？-几何推理证明，你是否有思路？ 可以利用 TI 平 引导：通过观察、猜想、验证，我们已经的到了一个 台 讲 解 演 示 自 结论，能否利用这个结论来帮助我们找到证明的方法 己的方法 呢？ （1） 由 360°你能想到什么? 圆周角：那么∠B、∠D 需要转移出去，转移角的工 具即利用平行线实现，过点 O 作 AB 平行线，进而 可证. 同旁内角：两对同旁内角的和，图中是否有同旁内 角？可否构造与∠B、∠O、∠D 有关的同旁内角？ 作法同上，可证.
O C D
渗透化归思 想
图 3.连结 BD.
A B O C D
证明略
图 4.过点 D 作 DE∥OB 交 AB 与点 E..
选择有代表性 的证法利用 TI 图形计算器展 示平台展示
A
E
B O
引领学生提 升认识，领 会同法 当解法多时 要注意择优 原则
不要求学生 用很多出很 多的证法， 只要突出应 用通法的即 可
证明略
C
D
图 5.在 AB、CD 上任意选取点 E、F，连结 EF
A E B O D
证明略
C
F
流程（七） 小结： 总结通法 要解决平行线间角的问题可以考虑用平行线性质定 理，这就需要有：两条平行线被第三条直线截的图 形结构。 现在有：平行线和其间的折线 如果从平行线出发，添加第三条线，截已知的两条 平行线 如果从折线段出发，借助转折点添加平行线
教师板书证 规范步骤 明过程
图 1.过点 O 作 EF∥AB.
A E C D B O F
证明过程略
流程（五） 方法小结： 发现关键 （1） 探究的基本过程 （2） 为什么要作辅助线?-构造截线 是否还有其他构造截线的方法？ 流程（六） 图 2.延长 DO 与 AB 交与点 E. 发散落实 E B A 证明略
D
O A B
证明略
C
D
图 8.
O A B
证明略
D
C
流程（九） 通过本节课的学习你有哪些收获？ 课堂小结 知识线——平行线的性质与判定 方法线——提出问题的方法， 数学思想线——分类与转化
学 生 思 考 后 回 教师归纳提 答 升
流程（十） 【挑战自我】除了以上几种图形变化之外，还可以将 学生独立完成 挑战自我 图形进行怎样的变化？你能否提出新的问题？ 挑战 1.已知， 如图 9， AB∥CD， 探究B、 O1、O2、 O3、D 之间的关系.
教学重点 教学难点 教学用具 教学过程 流程（一） 提出问题
A
E
B
C
F
D
A
B O
C
D
1.如图，AB∥CD 被直线 EF 学 生 回 忆 平 行 引导学生关 1.复习平行 所截，形成了哪些角？可得 线性质 注三线八角 线性质，加 到哪些特殊的角度关系？ 的基本图形 深对基本图 形的认识， 3.由两平行 线被一直线 提醒大家我 截到被折线 们研究的角 截，从学生 2.如图，AB∥CD 被折线所 截，形成了哪些角？是否也 都是小于平 所学知识提 存在特殊的角度关系？你是 角的角 出新问题， 怎么发现这个结论的？ 引发学生探 究兴趣. ∠B、∠O、∠D 利用特殊化 的图形，将 未知转化成 已知
题
关于平行线间折线成角问题的探究
课型：探究课
授课人：孙娜
教学目标
1.熟练掌握平行线的性质和判定，找到解决平行线间折线成角问题的基本方法 2.在 TI 图形计算器探究的过程中，体会观察-猜想-实验-证明的探究过程 3.经历 Ti 图形计算器的探究过程，培养学生独立思考，自主探究的能力 对于平行线中基本图形的认识 体会添加辅助线的方法根源和思维构成 Ti 图形计算器、多媒体 教学内容 学生活动 教师活动 设计意图
流程（二） 猜想途径： ∠O 是 180 的 猜想结论 （1）观察图形（几何直观） （2）先特殊化（从一般到 特殊） 时候 猜想结论：∠B+∠O+∠D=360
流程（三） 3.是否有方法来验证自己猜想的正确性？ 验证结论 验证途径：利用图形计算器说明
学生利用 Ti 图 引导学生验 形 计 算 器 对 猜 证自己的猜 想进行验证 想 引导学生利 用发现的结 论获得启 示，找到证 明的方法， 关注常量 360 ° 和 平 行线知识 的联系 体会探究问 题的过程观 察-猜想-实 验-证明
A B
发散思维， 体会条件变 化带来的可 持续探究
O1 O2 O3 C D
图9 挑战 2. 如图：AP1 // BPn ，则探究P1、P2 Pn 之间的 关系.
A
P1
P2 P3 P4
B
Pn
来自百度文库
挑战 3.
A O C D B
将左图中 AB∥CD 条件改为 AB、 CD 相交于点 E，得到新 图 10，并得到新角∠E，试 探究∠B、∠E、∠D、∠O 之间的角度关系
流程（八） 5.如果还想进行关于∠B、∠O、∠D 角度的探究，那 么图形可以如何变化？ 改变点 O 的位置，可以得到怎样的图形，结论是 否成立？能否自己进行探究？ 图 6.
借 助 于 图 形 计 教师适时引 渗透类比思 算器由学生参 导 想 考流程一的提 出新问题
A O C
图 7.
B
证明略 并 对 新 问 题 进 引导学生关 感受位置变 行探究 注边缘位置 化带来的数 的情况 量关系的变 化 渗透分类讨 论的思想
B E O D
图 10
流程（四） 4.由于利用图形计算器进行测量，有误差，不够严谨， 同 学 分 享 自 己 证明结论 所 以 能 否 采 用 更 严 谨 的 方 法 来 说 明 ∠ B+ ∠ O+ ∠ 的想法 有想法的同学 D=360 呢？-几何推理证明，你是否有思路？ 可以利用 TI 平 引导：通过观察、猜想、验证，我们已经的到了一个 台 讲 解 演 示 自 结论，能否利用这个结论来帮助我们找到证明的方法 己的方法 呢？ （1） 由 360°你能想到什么? 圆周角：那么∠B、∠D 需要转移出去，转移角的工 具即利用平行线实现，过点 O 作 AB 平行线，进而 可证. 同旁内角：两对同旁内角的和，图中是否有同旁内 角？可否构造与∠B、∠O、∠D 有关的同旁内角？ 作法同上，可证.
O C D
渗透化归思 想
图 3.连结 BD.
A B O C D
证明略
图 4.过点 D 作 DE∥OB 交 AB 与点 E..
选择有代表性 的证法利用 TI 图形计算器展 示平台展示
A
E
B O
引领学生提 升认识，领 会同法 当解法多时 要注意择优 原则
不要求学生 用很多出很 多的证法， 只要突出应 用通法的即 可
证明略
C
D
图 5.在 AB、CD 上任意选取点 E、F，连结 EF
A E B O D
证明略
C
F
流程（七） 小结： 总结通法 要解决平行线间角的问题可以考虑用平行线性质定 理，这就需要有：两条平行线被第三条直线截的图 形结构。 现在有：平行线和其间的折线 如果从平行线出发，添加第三条线，截已知的两条 平行线 如果从折线段出发，借助转折点添加平行线
教师板书证 规范步骤 明过程
图 1.过点 O 作 EF∥AB.
A E C D B O F
证明过程略
流程（五） 方法小结： 发现关键 （1） 探究的基本过程 （2） 为什么要作辅助线?-构造截线 是否还有其他构造截线的方法？ 流程（六） 图 2.延长 DO 与 AB 交与点 E. 发散落实 E B A 证明略
D
O A B
证明略
C
D
图 8.
O A B
证明略
D
C
流程（九） 通过本节课的学习你有哪些收获？ 课堂小结 知识线——平行线的性质与判定 方法线——提出问题的方法， 数学思想线——分类与转化
学 生 思 考 后 回 教师归纳提 答 升
流程（十） 【挑战自我】除了以上几种图形变化之外，还可以将 学生独立完成 挑战自我 图形进行怎样的变化？你能否提出新的问题？ 挑战 1.已知， 如图 9， AB∥CD， 探究B、 O1、O2、 O3、D 之间的关系.
教学重点 教学难点 教学用具 教学过程 流程（一） 提出问题
A
E
B
C
F
D
A
B O
C
D
1.如图，AB∥CD 被直线 EF 学 生 回 忆 平 行 引导学生关 1.复习平行 所截，形成了哪些角？可得 线性质 注三线八角 线性质，加 到哪些特殊的角度关系？ 的基本图形 深对基本图 形的认识， 3.由两平行 线被一直线 提醒大家我 截到被折线 们研究的角 截，从学生 2.如图，AB∥CD 被折线所 截，形成了哪些角？是否也 都是小于平 所学知识提 存在特殊的角度关系？你是 角的角 出新问题， 怎么发现这个结论的？ 引发学生探 究兴趣. ∠B、∠O、∠D 利用特殊化 的图形，将 未知转化成 已知