第四节极值与凹凸性

曲线 yf(x)的拐点.
例4 求曲线 y(x1)3 x2 的拐点及凹凸区间.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
y
5
2
x3
2x13,
33
y2(5x4 1),(x0) 9x3
在x0处,y,y均 不;存令在 y0,得x1.
5
x
, 1
5
1 5
f(x)
0
1 ,0 5
0 (0, )
不
存
在
f (x)
在空心邻域 U ( x 0 ) 内f (x) 存在, (1) 若x0 在 两f侧 (x)异,则 号点 (x0, f(x0))即为拐 ; 点 (2) 若x0 在 两f侧 (x)同,号 则点 (x0, f(x0))不是拐 . 点
定理3.9 (拐点的第二充分条件)
若 f(x 0 ) 0 ,f(x 0 ) 0 ,则(点 x0,f(x0)是 )
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,或 上称 凸.凸 的的
定理3.7 设 f(x)在 [a,b]上连 ,在 (a续 ,b)内可 ,则导
(1 )若 (a ,b 在 )内 f(x ) 0 ,则 f(x )在 [a ,b ]上是 ;
(2 )若 (a ,b 在 )内 f(x ) 0 ,则 f(x )在 [a ,b ]上是 .
y
yf(x)
•
•
O x1 x1 x2 x 2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
定义 3.2 设 f (x)在区间I 上连续, 如果 x1,x2I,
恒有
fx1x2f(x1)f(x2)
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,或 下称 凸;凹 的的
如果 x1,x2I, 恒有
fx1x2f(x1)f(x2)
邻域内可导, 则
(1) 如果 x (x0,x0)有, f(x)0，而x(x0,x0),
有 f(x)0, 则 f (x)在 x 0 处取得极大值;
(2) 如果 x (x0,x0)有, f(x)0，而x(x0,x0),
有 f(x)0, 则 f (x)在 x 0 处取得极小值;
(3) 如果当 x (x 0,x 0)及 x (x0,x0)时,
f(x)f(y)fxy
2
2
即 xln xyln yxyln xy.
22
性质 如果 f(x)在[a,b]上连,且 续其图形.是凸
则 x i [ a ,b ]p i , 0 (i 1 ,2 , ,n ),
f(x)3x26x 令f(x)0，得 驻 x 10,点 x22.
f(x)6x6 f(0) 60, 故 极 大 f(0值 )1,
f(2)60, 故 极 小 f(2)值 3.
3.4.2 曲线的凹凸性及拐点
问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
yf(x) • •
O x1 x1 x2 x2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
f (x)符号相同,则 f (x)在 x 0 处无极值.
y
y
o x0
xo
x0
x
是极值点情形
y
y
o
x0
xo
x0
x
不是极值点情形
求函数极值的基本步骤:
(1) 求出 f ( x) 的所有可能的极值点, 即的不可导 的点和 f(x)0的点; (2) 对(1)中求得的每个点, 根据 f(x)0在其左、
右是否变号, 确定该点是否为极值点.
3
x
( ,0)
0
0 , 1 3
不
f(x) 存
在
1 3
1 ,1 3
1
(1, )
不
0 存在
f (x)
无
极
极 值
大 值
极
小 值
极大值 f 1 3 4 , 极小值 f(1)0.
3 3
定理3.6 (极值的第二充分条件) 设 f (x)在x 0 处具有二阶导数, 且 f(x0)0,
f(x0)0, 则 (1) 当 f(x0)0时, 函数 f (x) 在 x 0处取得极大值; (2) 当 f(x0)0时, 函数 f (x) 在 x 0处取得极小值.
注意: f(x0)0时,f(x)在点 x0处不一定取 , 得 此时仍需用定理3.5.
例2 求函数 f(x)x33x21的极值.
解 定义域为 ( , ).
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数 取得极值的点x0称为极值点. 注意: 极值的概念是一个局部性的概念, 它仅)
设 f (x)在点 x 0处可导, 且在 x 0处取得极值,
则必有 f(x0)0. 使得 f(x 导 )为数 零 ,称 的 为 f点 (x函 )的驻点数 .
例3 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解
y 3x2, y 6x
当x 0时，y0, 所,以 曲线 (在 ,0]上是;凸的
当x 0时，y 0, 所,以 曲线 [0,在 )上是.凹的 定义3.3 连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线 的拐点.
定理3.8 (拐点的第一充分条件) 设函数 yf(x)在 x0的某邻域 U( x0)内连续，
拐点
凸的
1 5
,
6 5
3
1 25
凹的
不是 拐点
凹的
例5 证明 x lx n y ln y x y ln x y ,(x 0 ,y 0 ,x y ) 22
证 令 f(t)tln t,(t0).
f(t)ln t1, f (t) 1 0
t
所以曲线在 (0, )上是严格向下凸的.
x ,y (0 ,) x ,y, 有
注意: 可导函数的极值点必定是驻点, 但驻点不一定是极值点.
例如, y x3, yx00, 但x0不是极值.点 另外: 连续函数的不可导点, 也可能是极值点.
例如, y x , 在x0处不可 ,但导 是极小 . 值点
定理3.5 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0的某个空心
3.4 极值与凹凸性
3.4.1 函数的极值
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义3.1 设 f (x)在 x0 附近有定义, 如果在 x0的 某个空心邻域内, 恒有
f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0))
则称 f(x0)为函f(数 x)的一个极大值(或极小值),
如果是极值点, 进一步确定是极大值点还是 极小值点; (3) 求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值.
例1 求函数 f(x)3 x(1x)2 的极值.
解 函数在其定义域 (,)内连续.
f(x) 13x ,(x0,1) 33 x2(1x)
当 x0与 x1时 ,导数不存在; 令f(x)0，得驻点x 1.