匀变速直线运动的几个重要推论

专题一：匀变速直线运动的三个重要推论

一．在匀变速直线运动中，连续相等时间T 内的位移之差等于一个恒量，即

2aT x =∆(又称匀变速直线运动的判别式)。

证明：设物体以初速度0v ，加速度a 做匀变速直线运动，如图所示。

第1个T 内的位移：

第2个T 内的位移：

或

第3个T 内的位移：

或

依此类推：

因此：连续相等时间内的位移之差为

即

由此还可推导：

x Ⅰ=20121aT T v x += x Ⅱ==+=+-+=-2020201223)21(])2(21)2([aT T v aT T v T a T v x x x Ⅰ+2aT x Ⅲ=2020202325])2(21)2([])3(21)3([aT T v T a T v T a T v x x +=+-+=-=x Ⅱ+2aT x Ⅱ==+=++20202321)(aT T v aT T aT v x Ⅰ+2aT x Ⅲ==+=++20202521)2(aT T v aT T aT v x Ⅱ+2aT x n =x n-1+2aT Δx =x Ⅱ-x Ⅰ=x Ⅲ-x Ⅱ=……=x n -x n-1=2aT Δx =2aT x n+m =x n +m 2aT =-=-=∆=++222122T x x T x

x T x a n n n n …=2mT x x n m n -+

0v

Ⅰ

Ⅱa

例1.一个物体做匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔4s 内，通过的位移分别为24m 和64m ，求物体的初速度和加速度。 解:设物体的初速度0v ，为加速度为a ，如图

方法一：

或

由①②或①③解得：

方法二：

解得: 二．做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度2

0v v t x v +==。 证明：作物体的v -t 图像，如图所示。 由面积=位移的大小知：

2

)(0t

v v S x +=

= 又t v x = 得：2

0v

v v +=

（只适用于物体做匀变速直线运动） 例2.如图所示为A 、B 、C 三物体的v -t 图像，则关于三物体在时间t 内的

24=x m 4=T 4=T =2x 64m

0v

a 20121aT T v x += 即 24=40v +2421a 整理得：620=+a v ……① 202)2(21)2(T a T v x +=1x - 即 64=243280-+a v 整理得：1140=+a v ……② 2

22

1)(aT T aT v x ++= 即 64=（)40a v +×4+2421a 整理得：1660=+a v ……③ 10=v m/s 5.2=a m/s 2 2

21242464-=-=T x x a m/s 2=2.5m/s 2

20121aT T v x += 即 24=42

10+v ×2.5×42 10=

v m/s

0v t v

平均速度的说法正确的是（ BD ）

A.A v ＜20v v +

B.20v

v v B +=

C.C v ＞2

0v

v + D.A v ＞B v ＞C v

解析：面积=位移的大小，B 做匀加速直线运动,

所以20v

v v B +=，在时间t 内A 的位移大于B 的位移、C 的位移小于B 的位移，

由t

x

v =

知，A v ＞20

v v v B +=，C v ＜2

0v

v v B +=

，故B 、D 正确。 练习1.汽车从A 点由静止开始沿直线ABC 做匀变速直线运动，第4s 末通过

B 点时关闭发动机做匀减速直线运动，

再经6s 到达C 点停止运动，总位移是30m ，则下列说法正确的是（ ACD ）

A.汽车在AB 段与BC 段的平均速度相同

B.汽车通过C 点时速的度为3m/s

C.汽车通过C 点时速的度为6m/s

D.AB 段的位移为12m

三．做匀变速直线运动的物体，在某段时间的中间时刻的瞬时速度2

t v 等于

这段时间内的平均速度v ，即 。 证明：方法一 ：公式法

方法二：图像法

202

v

v v v t +== at v v +=0……① 202t

a v v t +=……② 由①得代入0v v at -=②得

2 t

t 2

线为两底边的梯形的中位和是以v v v t 02

，因此20

2v

v v t +=。 匀加速 匀减速 202

v

v v t += 0v

t v

四．做匀变速直线运动的物体，在某段位移的中间位置的瞬时速度

。

证明：

思考：做匀变速直线运动的物体，在某段时间的中间时刻的瞬时速度2

t v 与

该段时间内的位移的中间位置的瞬时速度2

x v 的大小关系怎样？

解：方法一:

方法二：图像法

例3.做匀变速直线运动的物体，在8s 内先后通过a 、b 两点，已知a 、b 两点相距100m ，则物体通过a 、b 中点时的速度大小为（ C ）

22

2

02v v v x += ax v v 2202=-……①

222

022

x a v v x =-……② 由①得：代入2

20

2v v ax -=②得 22

2

02v v v x +=

4)(422)2(20202

0220202

2

22v v v v v v v v

v v v v x t --

=+--=+-+=- ＜0 ∴2t v ＜2x v

匀加速

t 2 匀减速 t 2 面积=位移的大小，2t v ＜2

x v 。