【附20套中考模拟试题】湖南省永州市双牌县2019-2020学年中考数学模拟试卷含解析

湖南省永州市双牌县2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，2AB AC ==，直角顶点A 在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴、y 轴，若反比例函数k y x
=
的图象与ABC △有交点，则k 的取值范围是（ ）．
A ．12k <<
B ．13k ≤≤
C ．14k ≤<
D ．14k ≤≤
2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是( )
A ．四边形AEDF 是平行四边形
B ．若∠BA
C ＝90°，则四边形AEDF 是矩形
C ．若A
D 平分∠BAC ，则四边形AEDF 是矩形
D ．若AD ⊥BC 且AB ＝AC ，则四边形AEDF 是菱形
3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC ，②∠ABC=90°，③AC=BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．②④
4．抛物线y=ax 2﹣4ax+4a ﹣1与x 轴交于A ，B 两点，C （x 1，m ）和D （x 2，n ）也是抛物线上的点，且x 1＜2＜x 2，x 1+x 2＜4，则下列判断正确的是（ ）
A ．m ＜n
B ．m≤n
C ．m ＞n
D ．m≥n
516 ）
A ．±4
B ．4
C ．±2
D ．2
6．4的算术平方根为（）
A．2
±B．2C．2±D．2
7．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
8．如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是（）
A．50°B．60°C．70°D．80°
9．下列事件中，属于必然事件的是（）
A．三角形的外心到三边的距离相等
B．某射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一个三角形，其内角和是180°
D．抛一枚硬币，落地后正面朝上
10．如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=1
3
CD，过点B作BF∥DE，与
AE的延长线交于点F，若AB=6，则BF的长为（）
A．6 B．7 C．8 D．10
11．如图，一个铁环上挂着6个分别编有号码1，2，3，4，5，6的铁片．如果把其中编号为2，4的铁片取下来，再先后把它们穿回到铁环上的仼意位置，则铁环上的铁片（无论沿铁环如何滑动）不可能排成的情形是（）
A．B．
C．D．
12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．24+2πB．16+4πC．16+8πD．16+12π
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_____．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为_______．
15．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_____ °．
16．观察下列图形：它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第n个图形共有___个★.
17．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A'B'C'，此时A′B′⊥AC 于D ，已知∠A ＝50°，则∠B′CB 的度数是_____°．
18．不等式1253
x ->的解集是________________ 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB ．若∠ABC=70°，则∠NMA 的度数是 度．若AB=8cm ，△MBC 的周长是14cm ．
①求BC 的长度；
②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出△PBC 周长的最小值．
20．（6分）已知关于x 的一元二次方程(3)(2)(1)x x p p --=+.试证明：无论p 取何值此方程总有两个
实数根；若原方程的两根1x ，2x 满足222121231x x x x p +-=+，求p 的值.
21．（6分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y （升）与行驶路程x （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．求y 关于x 的函数关系式；（不需要写定义域）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
22．（8分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月
就可以多售出5件．降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？
23．（8分）如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=1
4
x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是
2 ．求这条直线的函数关系式及点B的坐标．在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？
24．（10分）如图所示，点B、F、C、E在同一直线上，AB⊥BE，DE⊥BE，连接AC、DF，且AC=DF，BF=CE，求证：AB=DE．
25．（10分）已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处,如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M 与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP 于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF的长度．
26．（12分）一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球、1个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率是；先从中任意摸出1个球，再从余下的3个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表）求两次都摸到红球的概率．27．（12分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这
种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：每千克核桃应降价多少元？在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．D
【解析】
设直线y=x 与BC 交于E 点，分别过A 、E 两点作x 轴的垂线，垂足为D 、F ，则A （1，1），而AB=AC=2，
则B （3，1），△ABC 为等腰直角三角形，E 为BC 的中点，由中点坐标公式求E 点坐标，当双曲线与△ABC 有唯一交点时，这个交点分别为A 、E ，由此可求出k 的取值范围.
解：∵2AC BC ==，90CAB ∠=︒．()1,1A ．又∵y x =过点A ，交BC 于点E ，∴2EF ED ==， ∴()2,2E ，∴14k ≤≤．故选D.
2．C
【解析】
A 选项，∵在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥A
B ，
∴DE ∥AF ，DF ∥AE ，
∴四边形AEDF 是平行四边形；即A 正确；
B 选项，∵四边形AEDF 是平行四边形，∠BAC=90°，
∴四边形AEDF 是矩形；即B 正确；
C 选项，因为添加条件“A
D 平分∠BAC”结合四边形AEDF 是平行四边形只能证明四边形AEDF 是菱形，而不能证明四边形AEDF 是矩形；所以C 错误；
D 选项，因为由添加的条件“AB=AC ，AD ⊥BC”可证明AD 平分∠BAC ，从而可通过证
∠EAD=∠CAD=∠EDA 证得AE=DE ，结合四边形AEDF 是平行四边形即可得到四边形AEDF 是菱形，所以D 正确.
故选C.
3．B
【解析】
【详解】
A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，当①AB=BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意；
B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD 是矩形，当AC=BD 时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD 是正方形，故此选项错误，符合题意；
C 、∵四边形ABC
D 是平行四边形，当①AB=BC 时，平行四边形ABCD 是菱形，当③AC=BD 时，菱形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意；
D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD 是矩形，当④AC ⊥BD 时，矩形ABCD 是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选C ．
4．C
【解析】
分析：将一般式配方成顶点式，得出对称轴方程2x =，根据抛物线2
441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，得出()()244410a a a =--⨯->V ，
求得 0a >，
距离对称轴越远，函数的值越大，根据121224x x x x <<+<，，判断出它们与对称轴之间的关系即可判定.
详解：∵()2244121y ax ax a a x =-+-=--，
∴此抛物线对称轴为2x =，
∵抛物线2441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，
∴当24410ax ax a -+-=时，()()244410a a a =--⨯->V ，
得0a >， ∵121224x x x x <<+<，，
∴1222x x ，->-
∴m n >，
故选C ．
点睛：考查二次函数的图象以及性质，开口向上，距离对称轴越远的点，对应的函数值越大，
5．B
【解析】
【分析】
16表示16的算术平方根，为正数，再根据二次根式的性质化简．
【详解】
，
解：164
故选B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，本题难点是平方根与算术平方根的区别与联系，一个正数算术平方根有一个，而平方根有两个．
6．B
【解析】
分析：先求得4的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
详解：∵4=2，
而2的算术平方根是2，
∴4的算术平方根是2，
故选B．
点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A 的错误．
7．C
【解析】
【分析】
在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.
【详解】
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD＞0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米．故选C．
【点睛】
本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.
8．B
【解析】
试题分析：∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．
由旋转的性质可知：BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，
∴∠ACB′=10°，∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°．故选B．
考点：旋转的性质．
9．C
【解析】
分析：必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
详解：A、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，是不可能事件，故本选项不符合题意；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和是180°，是必然事件，故本选项符合题意；
D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选C．
点睛：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10．C
【解析】
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，
∴CD=1
2
AB=1．
又CE=1
3 CD，
∴CE=1，
∴ED=CE+CD=2．
又∵BF∥DE，点D是AB的中点，∴ED是△AFB的中位线，
∴BF=2ED=3．
故选C．
11．D
【解析】
【分析】
摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，无论将铁片2，4穿回哪里，铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变，观察四个选择即可得出结论．
【详解】
解：摘掉铁片2，4后，铁片1，1，5，6在铁环上按逆时针排列，
∵选项A，B，C中铁片顺序为1，1，5，6，选项D中铁片顺序为1，5，6，1．
故选D．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，找准铁片1，1，5，6在铁环上的顺序不变是解题的关键．
12．D
【解析】
【分析】
根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得．
【详解】
该几何体的表面积为2×1
2
•π•22+4×4+
1
2
×2π•2×4=12π+16，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．2
【解析】
【分析】
连接AD交EF与点M′，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知AM＝MB，则BM+DM＝AM+DM，故此当A、M、D在一条直线上时，MB+DM有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为△ABC底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．
【详解】
解：连接AD交EF与点M′，连结AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝1
2
BC•AD＝
1
2
×4×AD＝12，解得AD＝1，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AM＝BM．
∴BM+MD＝MD+AM．
∴当点M位于点M′处时，MB+MD有最小值，最小值1．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD＝2+1＝2．
【点睛】
本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析.
14．215
【解析】
【分析】
如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt△OPH
中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=1
2
OP=1，然后在在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得
到CH=15，即CD=2CH=215．
【详解】
解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，
∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=1
2
OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴=
∴
故答案为
【点睛】
本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可
15．1
【解析】
【分析】
根据△ABC中DE垂直平分AC，可求出AE=CE，再根据等腰三角形的性质求出∠ACE=∠A=30°，再根据∠ACB=80°即可解答．
【详解】
∵DE垂直平分AC，∠A=30°，
∴AE=CE，∠ACE=∠A=30°，
∵∠ACB=80°，
∴∠BCE=80°-30°=1°．
故答案为：1．
+
16．13n
【解析】
【分析】
分别求出第1个、第2个、第3个、第4个图形中★的个数，得到第5个图形中★的个数，进而找到规律，得出第n个图形中★的个数，即可求解．
【详解】
第1个图形中有1+3×1=4个★，
第2个图形中有1+3×2=7个★，
第3个图形中有1+3×3=10个★，
第4个图形中有1+3×4=13个★，
第5个图形中有1+3×5=16个★，
…
第n个图形中有1+3×n=（3n+1）个★．
故答案是：1+3n.
【点睛】
考查了规律型：图形的变化类；根据图形中变化的量和n 的关系与不变的量得到图形中★的个数与n 的关系是解决本题的关键． 17．1 【解析】 【分析】
由旋转的性质可得∠A ＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA'＝1°＝∠B′CB ． 【详解】
解：∵把△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△A'B'C'， ∴∠A ＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA' ∵A'B'⊥AC
∴∠A'+∠ACA'＝90° ∴∠ACA'＝1° ∴∠BCB'＝1° 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 18．7<-x 【解析】 【分析】
首先去分母进而解出不等式即可. 【详解】
去分母得，1-2x>15 移项得，-2x>15-1 合并同类项得，-2x>14 系数化为1，得x<-7. 故答案为x<-7. 【点睛】
此题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）50；（2）①6；②1 【解析】
试题分析：（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
试题解析：解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°．∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°．故答案为50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△MBC的周长
=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC．∵AB=8，△MBC的周长是1，∴BC=1﹣8=6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=1．
20．（1）证明见解析；（2）-2.
【解析】
分析：（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥1，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．
详解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=1．
∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥1，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）∵原方程的两根为x1、x2，
∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．
又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，
∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，
∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，
∴25-18+3p2+3p=3p2+1，
∴3p=-6，
∴p=-2．
点睛：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥1时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值．
21．（1）该一次函数解析式为y=﹣x+1．（2）在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油
站的路程是10千米．
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为8升时行驶的路程，即可求得答案. 【详解】（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，
将（150，45）、（0，1）代入y=kx+b中，得
，解得：，
∴该一次函数解析式为y=﹣x+1；
（2）当y=﹣x+1=8时，
解得x=520，
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．
530﹣520=10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米，
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，弄清题意是解题的关键.
22．(1) 4800元；(2) 降价60元.
【解析】
试题分析：（1）先求出降价前每件商品的利润，乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；（2）设每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系“每件商品的利润×商品的销售数量=总利润”列出方程，解方程即可解决问题．
试题解析：
（1）由题意得60×（360－280）＝4800（元）.即降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；
（2）设每件商品应降价x元，
由题意得（360－x－280）（5x＋60）＝7200，
解得x1＝8，x2＝60.
要更有利于减少库存，则x＝60.
即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.
点睛：本题考查了列一元二次方程解实际问题的销售问题，解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键．
23．（1）直线y=3
2
x+4，点B的坐标为（8，16）；（2）点C的坐标为（﹣
1
2
，0），（0，0），（6，0），（32，
0）；（3）当M 的横坐标为6时，MN+3PM 的长度的最大值是1． 【解析】 【分析】
（1）首先求得点A 的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标； （2）分若∠BAC=90°，则AB 2+AC 2=BC 2；若∠ACB=90°，则AB 2=AC 2+BC 2；若∠ABC=90°，则AB 2+BC 2=AC 2三种情况求得m 的值，从而确定点C 的坐标；
（3）设M （a ，14a 2），得MN=14a 2+1，然后根据点P 与点M 纵坐标相同得到x=2166
a -，从而得到
MN+3PM=﹣14
a 2
+3a+9，确定二次函数的最值即可． 【详解】
（1）∵点A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为-2，
21
(2)14
y =⨯-=,A 点的坐标为（-2，1），
设直线的函数关系式为y=kx+b ， 将（0，4），（-2，1）代入得4
21
b k b =⎧⎨
-+=⎩
解得324
k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
∴y ＝
3
2
x ＋4 ∵直线与抛物线相交，
231424
x x ∴+= 解得：x=-2或x=8， 当x=8时，y=16，
∴点B 的坐标为（8，16）； （2）存在．
∵由A(－2，1)，B(8，16)可求得AB 2＝22(82)(161)++-=325 .设点C(m ，0)，
同理可得AC 2＝(m ＋2)2＋12＝m 2＋4m ＋5， BC 2＝(m －8)2＋162＝m 2－16m ＋320，
①若∠BAC ＝90°，则AB 2＋AC 2＝BC 2，即325＋m 2＋4m ＋5＝m 2－16m ＋320，解得m ＝－
1
2
； ②若∠ACB ＝90°，则AB 2＝AC 2＋BC 2，即325＝m 2＋4m ＋5＋m 2－16m ＋320，解得m ＝0或m ＝6； ③若∠ABC ＝90°，则AB 2＋BC 2＝AC 2，即m 2＋4m ＋5＝m 2－16m ＋320＋325，解得m ＝32，
∴点C 的坐标为(－1
2
，0)，(0，0)，(6，0)，(32，0) （3）设M(a ，
14
a 2
)，
则MN 2114a =+， 又∵点P 与点M 纵坐标相同， ∴
3
2x ＋4＝14
a 2， ∴x=2166
a - ，
∴点P 的横坐标为216
6a -，
∴MP ＝a －216
6
a -，
∴MN ＋3PM ＝14a 2＋1＋3(a －216
6
a -)＝－14a 2＋3a ＋9＝－14 (a －6)2＋1，
∵－2≤6≤8，
∴当a ＝6时，取最大值1，
∴当M 的横坐标为6时，MN ＋3PM 的长度的最大值是1 24．证明见解析 【解析】
试题分析：证明三角形△ABC ≅△DEF,可得AB ＝DE . 试题解析：
证明：∵BF ＝CE ， ∴BC=EF,
∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ， ∴∠B=∠E=90°，AC=DF, ∴△ABC ≅△DEF, ∴AB=DE.
25．（1）10；（2） 【解析】 【分析】
（1）先证出∠C=∠D=90°，再根据∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，得出∠2=∠3，即可证出△OCP ∽△PDA ；
根据△OCP与△PDA的面积比为1：4，得出CP=1
2
AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，由勾股定理得x2=
（8﹣x）2+42，求出x，最后根据AB=2OP即可求出边AB的长；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=1
2 PQ，
根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=1
2
QB，再求出EF=
1
2
PB，由（1）中的结论求出
PB=22
8445
+=，最后代入EF=1
2
PB即可得出线段EF的长度不变
【详解】
（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，
又∵∠D=∠C，
∴△OCP∽△PDA；
∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴，∴ CP=1
2
AD=4
设OP=x，则CO=8﹣x，
在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；
（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，∴△MFQ≌△NFB．
∴QF=FB，∴EF=EQ+QF=1
2
（PQ+QB）=
1
2
PB，
由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴
=EF=
1
2
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形
26．（1）1
2
（2）
1
6
【解析】
试题分析：（1）因为总共有4个球，红球有2个，因此可直接求得红球的概率；
（2）根据题意，列表表示小球摸出的情况，然后找到共12种可能，而两次都是红球的情况有2种，因此可求概率.
试题解析：解：（1）1
2
．
（2）用表格列出所有可能的结果：
由表格可知，共有12种可能出现的结果，并且它们都是等可能的，其中“两次都摸到红球”有2种可能．
∴P（两次都摸到红球）=
2
12
=
1
6
．
考点：概率统计
27．（1）4元或6元；（2）九折. 【解析】
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x
2
×20）=2240，
化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元），54
100%=90% 60
.
答：该店应按原售价的九折出售.
中考模拟数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1. －2013的相反数是
A ．20131 Ｂ．2013 C ．－2013 D ．20131-
考点： 相反数
分析： 根据相反数的定义作答．
解答： 解：﹣2013的相反数是2013．
故选B ．
点评： 本题考查了相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2. 如果 32=b a ，则b
b a +＝ A ．31 B ．21 C ．35 D ．5
3
考点： 比例的性质
专题： 计算题．
分析： 因为
，所以a=b ，代入求解即可． 解答： 解：∵
，
∴a=b ， ∴原式=
=+1=．
故选C ． 点评： 能够用字母表示出相关线段，再进一步求其比值即可．
3．（3分）（2013•浙江一模）“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．有统计数据显示，中国人每年在餐桌上浪费的粮食价值高达2000亿元，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．现在，从中央到地方都在倡导勤俭节约，拒绝铺张浪费的“光盘行动”．其中2000亿元用科学记数法表示为（ ）
A ． 2×1010元
B ． 211元
C ． 2×1011元
D ． 0.2×1012元
考点： 科学记数法—表示较大的数
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于2000亿有12位，所以可以确定n=12﹣1=11．
解答：解：2000亿=200 000 000 000=2×1011．
故选C．
点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
4．（3分）（2013•浙江一模）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）
A．32°B．58°C．68°D．60°
考点：平行线的性质；余角和补角
专题：计算题；压轴题．
分析：本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．
解答：解：根据题意可知∠1+∠2=90°，所以∠2=90°﹣∠1=58°．故选B．
点评：主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．
5．（3分）（2013•浙江一模）不等式组的解在数轴上表示为（）
A．B．C．D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
专题：计算题；数形结合．
分析：先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．
解答：解：由不等式①，得2x＞2，解得x＞1，
由不等式②，得﹣2x≤﹣4，解得x≥2，
∴数轴表示的正确方法为C，
故选C．
点评：本题考查了一元一次不等式组的解法及其数轴表示法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”
要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6．（3分）（2013•浙江一模）实数在数轴上的位置如图所示，下列式子正确的是（）
A．a﹣b＜0 B．﹣a＜﹣b C．|a|＜|b| D．a＞b
考点：实数与数轴
分析：根据数轴表示数的方法得到a＜0＜b，数a表示的点比数b表示点离原点远，则a＜b；﹣a＞﹣b；
b﹣a＞0，|a|＞|b|．
解答：解：根据题意得，a＜0＜b，
∴a＜b；﹣a＞﹣b；b﹣a＞0，
∵数a表示的点比数b表示点离原点远，
∴|a|＞|b|，
∴选项A正确，选项B、C、D不正确．
故选A．
点评：本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．
7．（3分）（2013•浙江一模）分式方程的解是（）
A．x=2 B．x=﹣2 C．D．无解
考点：解分式方程
专题：计算题．
分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣5﹣x+1=x﹣2，
移项合并得：x=2，
经检验x=2是增根，原分式方程无解．
故选D
点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解
分式方程一定注意要验根．
8．（3分）（2011•福州）从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是（）A．0B．C．D．1
考点：列表法与树状图法
分析：列举出所有情况，看积是正数的情况数占总情况数的多少即可．
解答：
解：
共有6种情况，积是正数的有2种情况，故概率为，
故选B．
点评：考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到积是正数的情况数是解决本题的关键．
9．（3分）（2011•随州）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积为（）
A．2πB．C．4πD．8π
考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体
专题：计算题；压轴题．
分析：由几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，可以判断这个几何体是圆锥．
解答：解：依题意知母线长l=4，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π•1•4=4π．
故选C．
点评：本题主要考查三视图的知识和圆锥侧面面积的计算；解决此类图的关键是由三视图得到立体图形；
学生由于空间想象能力不够，找不到圆锥的底面半径，或者对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．。