2015年北京中考数学试卷解析

2015年市高级中等学校招生考试
数学试卷逐题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意的.
1.截止到2015年6月1日，市已建成34个地下调蓄设施，蓄水能力达到140 000
立方米，将140 000用科学记数法表示应为
A.14×104
B.1.4×105
C.1.4×106
D.0.14×106
【答案】B
【解析】难度：★
本题考查了有理数的基础—科学计数法.难度易.
2.实数a,b,c,d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大
的是
A.a
B.b
C.c
D.d
【答案】A
【解析】难度：★
本题考查了有理数的基础数轴的认识以及绝对值的几何意义；
3.一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为
A.6
1 B. 3
1
C. 2
1
D. 3
2
【答案】B 【解析】难度：★
本题考查了概率问题，难度易.
4.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的为
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】难度：★
本题考查了轴对称图形的判断；难度易.
5.如图，直线l 1,l 2,l 3交于一点，直线l 4∥l 1，若
∠1=124°，∠2=88°，则∠3的度数为
A.26°
B.36°
C.46°
D.56°
【答案】B 【解析】难度：★
本题考查了相交线平行线中角度关系的考查，难度易.
1
32
l 4
l 3
l 2
1
6.如图，公路AC ，BC 互相垂直，公路AB 的中
点M 和点C 被湖隔开，若测得AM 的长为1.2km ，则M,C 两点间的距离为
A.0.5km
B.0.6km
C.0.9km
D.1.2km
【答案】D 【解析】难度：★
本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，难度易.
7.某市6月份的平均气温统计如图所示，则在日 平均气温这组数据中，众数和中位数分别是
A.21,21
B.21,21.5
C.21,22
D.22,22
【答案】C 【解析】难度：★
本题考查了中位数，众数的求法，难度易； 8. 右图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东，正北方向为x 轴，y 轴的正方向，表示太和门的点的坐标为（0，-1），表示九龙壁的点的坐标为（4,1），则表示下列宫殿的点的坐标正确的是 A.景仁宫（4,2） B.养心殿（-2,3） C.保和殿（1,0）
C
A
M
20 21 22 23 24
气温/°C
天数
68104O
2
D.武英殿（-3.5，-4） 【答案】B 【解析】难度：★
本题考查了平面直角坐标系点的坐标的确定，难度易；
例如，购买A 类会员年卡，一年游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年在
该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为 A.购买A 类会员年卡 B. 购买B 类会员年卡 C. 购买C 类会员年卡 D.
不购买会员年卡
【答案】C
【解析】难度：★★
本题考查了方案讨论问题，难度中.
10.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面的AB,BC,CA,
OA,OB,OC 组成，为记录寻宝者的行进路线，在BC 的中点M 处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x ，寻宝者与定位仪器之间的距离为y ，若寻宝者匀速行进，且表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为 A.A→O→B
B.B→A→C
C.B→O→C
D.C→B→O
x
图1图2
【答案】C
【解析】难度：★★
本题考查了动点函数图像与路径问题，难度中.
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11.分解因式：5x3-10x2+5x=_________.
【答案】5x(x-1)2
【解析】难度：★
本题考查了因式分解的计算，难度易
12.右图是由射线AB，BC,CD,DE,EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+
∠5=________.
【答案】360°
【解析】难度：★
本题考查了多边形的外角和为360°，难度易；
13. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠
定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开放术，正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有牛五，羊二，直金十两；牛二，羊五，直金八两.问：牛，羊各直金几何？”
译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两.问：每头牛，每只羊各值多少两？”
设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为______.
【答案】
5x+2y=10 2x+5y=8ì
í
î
【解析】难度：★★
本题考查了简单的二元一次方程组的应用问题，但是阅读量较大，需要学生迅速
提取有用信息，难度中
14.关于x 的一元二次方程ax 2+bx +
1
4
=0有两个相等的实数根，
写出一组满足条件的实数a,b 的值：a =________,b =________. 【答案】a=4,b=2(答案不唯一，满足2b a ) 【解析】难度：★
本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数值的问题，难度易；
15.市2009~2014年轨道交通日均客运量统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预估2015年市轨道交通日均客运量约为________万人次，你的预估理由是_________________________. 【答案】1038
根据2009～2014年平均增长率. 【解析】难度：★
本题考查了根据图像求平均增长率问题，难度易.
16.阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作确.” 请回答：小芸的作图依据是
______________________________________. 【答案】三角形的全等判定（SSS ）
尺规作图：作一条线段的垂直平分线， 已知：线段AB ，
求作：线段AB 的垂直平分线.
A
B
如图， （1） 分别以点A 和点B 为圆心，大于
1
2
AB 的长为半径 作弧，两弧相交于C ,D 两点； （2） 作直线CD ， 所以直线CD 就是所求作的垂直平分线.
D
C
【解析】难度：★
本题考查了垂直平分线的画图依据，难度易；
三、解答题（本题共72分，第17～26题每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
17. 计算：(2
124sin 602π-⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
.
【答案】5+【解析】难度：★
解：原式
本题考查了实数，零指数幂，负整数幂，特殊角的三角函数值的运算，二次根式的化简.综合考查了实数的混合运算.解决此类问题的关键是熟练记住三角函数值，掌握实数，零指数幂，负整数幂的运算及二次根式的化简.难度易.
18. 已知22360a a +-=，求代数式()()()3212121a a a a +-+-的值. 【答案】7
【解析】难度：★★ 解：原式=()226341a a a +--
=226341a a a +-+ =2231a a ++
∵2a 2+3a -6=0
2236a a ∴+=
∴原式=6+1=7
本题考查了整式的混合运算与化简求值，注意先化简，再整体代入求值.难度中.
19. 解不等式组
()
41710
8
5
3
x x
x
x
+≤+
⎧
⎪
⎨-
-<
⎪
⎩
，并写出它的所有非负整数解.
【答案】解集为
7
2
2
x
-≤<；非负整数解：x=0，1，2，3
【解析】难度：★
解：
()
41710
8
5
3
x x
x
x
+≤+
⎧
⎪
⎨-
-<
⎪
⎩
①
②
解①得：2
x≥-
解②得：
7
2 x<
∴原不等式的解集为
7 2
2
x
-≤<
∴它的所有非负整数解为x=0，1，2，3
本题考查了一元一次不等式的解法及把解集在数轴上表示出来，解答这类问题学生往往会在解题时不注意移项时”变号“而出现错误.重点掌握不等式的基本性质，难度易.
20. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E ， 求证：CBE BAD ∠=∠
【答案】证明见解析 【解析】难度：★★ 证明：∵AB =AC
ABC ∴∆是等腰三角形 ∵AD 是BC 边上中线
BAD CAD ∴∠=∠
90ADB ADC ∠=∠=
∵BE ^AC
90BEA ∴∠=
AEB ADB ∴∠=∠
∵ÐAOB =ÐAEB +ÐEAD
AOB EBC ADB ∴∠=∠+∠ CBE BAD ∴∠=∠
本题考查了等腰三角形的概念及”三线合一“的性质，八字模型的运用.难度中.
B
21. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？ 【答案】1000个 【解析】难度：★★
解：设2015年底，全市将有租赁点x 个.
根据题意得：5000025000
1.2600x =⨯
解得：x =1000
经检验：x =1000是原分式方程的解.
答：预计到2015年底，全市将有租赁点1000个.
本题考查了分式方程的应用，找出题目中蕴含的数量关系，列出方程解出即可.难度中. 22. 在
中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF =BE ，连接AF ，
BF .
（1）求证：四边形BFDE 是矩形；
（2）若CF =3，BF =4，DF =5，求证：AF 平分DAB ∠.
【答案】证明见解析； 【解析】难度：★★
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
A
C
∵DF =BE
∴四边形DEBF 是平行四边形
∵DE ⊥AB
∴90DEB ∠= ∴四边形BFDE 是矩形
（2）证明：四边形BFDE 是矩形
90BFD ∴∠= 90BFC ∴∠=
在Rt △BFC 中，CF =3，BF =4
5BC ∴=== ∵四边形ABCD 是平行四边形
∴BC =AD =5，DFA FAB ∠=∠
∵DF =5
∴AD =DF
∴DAF DFA ∠=∠ ∴DAF FAB ∠=∠ ∴ AF 平分DAB ∠.
本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定及性质.等腰三角的定义及性质运用，主要考查了平时所讲到的”角平分线+平行必出等腰的模型.难度中.
23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx b k =+≠与双曲线8
y x
=的一个交点为(2,)P m ，与x 轴、y 轴分别交于点A ，B . （1）求m 的值；
（2）若PA =2AB ，求k 的值. 【答案】 （1）4
【解析】难度：★★★
解：（1）∵P 是直线与双曲线的交点，
∴P 在双曲线8
y x
=上.
∴m =4
（2）<方法一 代入法> 由（1）知，P （2,4） 代入直线y =kx +b 得：4=2k +b
∴b =4-2k
∵直线交x 轴、y 轴于A 、B 两点 42,0k A k -⎛⎫∴- ⎪⎝⎭
，()0,42B k -
PA ∴=
AB = 又∵PA =2AB
()22
22
424224442k k k k k ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫∴++=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∴k =1或k =3 ∴k 的值为1或3
（2）<方法二 几何法>此题分情况讨论 ①若k >0且P 、A 分别在点B 的两侧如图①
图①
∵PA =2AB
∴B 为PA 中点 ∴OB 为中位线 ∴B （0,2） ∴2(0)y kx k =+≠ ∴4=2k +2 ∴k =1
②若k >0且P 、B 分别在点A 的两侧如图② 【解析】难度：★★
本题考察了反比例函数和一次函数的基本性质；两点之间坐标距离公式；分类讨论；相似.难度中. 本题可用两种方法解决：
第一种可利用两点之间坐标距离公式计算得出答案，虽然比较好思考，计算量却很大；
第二种利用几何法画图求相似的方法，分类讨论一次函数中k 的取值围画出不同情况的图形解决问题.
24.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，弦CD ∥BM ，交AB 于点F ，且弧DA 的长度等于弧DC 的长度，连接AC ，AD ，延长AD 交BM 于点E . （1）求证：△ACD 是等边三角形； （2）延长OE ，若DE =2，求OE 的长.
【答案】 （1）证明：∵ =
∴AD =CD ∵CD ∥BM
∴CD ⊥AB ∵AD=AC
∴AD=AC=CD
∴△ACD 是等边三角形 （2）解：设AD =x ，则AE =2+ BE =
2+x
2
，半径= ∴AB EB =3 ∴ 解得=6 ∴ DE =27 【解析】难度：★
本题考察了圆的性质和判定；勾股定理；难度易.
25.阅读下面材料
2015年清明小长假，市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属公园游客接待量约为190万人次，其中玉渊潭公园的樱花，植物园的桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万人次；颐和园、天坛公园、公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次，20万人次，17.6万人次；动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高.
x x 33x x 3
3
223=+⨯
x
2014年清明小长假，天气晴好，晴好，市属公园游客接待量约为200万人
次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增加了25%；颐和园游客接待量为26.2万人次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次；动物园游客接待量为22万人次.
2013年清明小长假，玉渊潭公园、然亭公园、动物园游客接待量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次
根据以上材料回答下列问题：
（1）2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次.
（2）选择统计表或统计图，将2013－2015年清明小长假玉渊潭公园、颐和园和
动物园的游客接待量表示出来.
【答案】
（1） 40
（2）
本题考查了学生的阅读理解及简单的数据分析，本题与往年考题不同之处在于以往是根据统计图进行数据分析计算，今年不仅需要简单的数据分析计算，而且需要学生自己画出统计表.难度中.
26.有这样一个问题：探究函数y =
12x 2+1
x
的图象与性质. 小东根据学习函数的经验，对函数y =12x 2+1
x
的图象与性质进行了探究.
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1） 函数y =12x 2+1
x 自变量x 的取值围是_________；
（2
求m 的值；
（3） 如下图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的
点.根据描出的点.画出该函数的图象；
（4） 进一步探究发现，该函数图象在第一象限的最低点的坐标是（1，3
2
），结
合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：__________.
【答案】
（1）x≠0
（2）29 6
（3）
（4）该函数与y轴没有交点；
该函数与x轴交点坐标为0）
该函数在y轴左侧因变量随着自变量的增大而减小；y轴右侧因变量随着自变量的增大先减小再增大（符合图像的性质均可）
【解析】难度：★★
本题考察了学生阅读材料的能力；函数的基本性质和汇总能力；难度中.
本题难点位于描点画图的能力，要注意此题函数图像不可与y轴有交点，但是可以与x轴有交点.
27.在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y =x -1交于点A ，点A 关于直线x =1的对称点为B ，抛物线C 1: y =x 2+bx +c 经过点A 、
B .
（1）求点A ，B 的坐标
（2）求抛物线C 1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C 2：y =ax 2(a ¹0)与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值围.
【答案】（1）A(3,2) B(-1,2) （2）y=x 2-2x-1 顶点（1，-2）
（3）292
<≤a
【解析】难度：★★
本题考查了对数形结合的认识和了解，难度适中.
备用图
首先必须对基本的函数解析式以及图像有清晰的认识，进而快速的画出图像.①根据交点特征写出A 点坐标，然后根据对称的性质直接写出B 点坐标. ②根据待定系数法快速求出解析式.
③的重点在于画出图像，分别找出有两个交点的临界条件是过B,有一个交点的临界条件是过点A,进而得出答案在y=ax 2刚好过A 、B 点取值之间.
28.在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线.点P 在射线CD 上（与点C ，D 不重合），连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于点H ，连接AH ，PH .
（1）若点P 在线段CD 上，如图1， ①依题意补全图1；
②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P 在线段CD 的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路（可以不写出计算结果） 【答案】
（1）
备用图
图1
D
A
（2）
∵平移△ADP ，使点D 移动到点C 得到△BCQ ∴△ADP ≌△BCQ ∴DP=CQ ∵DC=DP+PC PQ=QC+PC ∴DC=PQ
∵正方形ABCD ∴DA=DC=PQ ∵BD
∴∠∵QH ∴∠∴在△⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=PQ AD HDA HD
∴△HAD ≌△HPQ
∴HA=HP 、∠AHD=∠PHQ ∵∠DHP+∠PHQ=90° ∴∠DHP+∠AHD=90° ∴∠AHP=90° ∴HA ⊥HP （3）
∵AHQ=152°, ∠∴∠PHD=360°-∠∵∠HPD=∠HDQ-∠∴∠HPD=17° ∵HA=HP,HA ⊥HP ∴∠HPA=45°
∵∠APD=∠APH+∠∴∠APD=62°
∵∠APD+∠PAD=90° ∴∠PAD=28°
∵AD
PD
PAD =
∠tan ，AD=1 ∴︒=28tan PD
【解析】难度：★★
本题考查了平移作图、旋转全等和三角形函数，难度适中.今年的几何压轴题实际难度相比去年是有所降低的，但是学生的感知难度并不低，主要难点在于两方面：
一、对学生作图能力的考查，尤其第三问需要学生能精确画出题中描述的图形.二、今年出现新颖问法“请写出求DP 长的思路（可以不写出计算结果）”.这给学生解题带来了一定干扰，学生在不知道如何使用152度的情况下，还要思考答案究竟该如何表示等问题，问题较为开放，表示方法并不单一.实际上解出答案并不难，关键是学生求完了答案不确定对不对.难度中.
29. 在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P 关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线
．．CP上存在一点'P存在，满足
CP+CP'=2r，则称'P为点P关于⊙C的反称点.下图为点P关于⊙C的反称点'P 的示意图.
特别地，在点'P与圆心C重合时，规定CP'=0.
（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断点M（2,1），
N（3
2
，0），T（1
关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y=-x+2上，若点P关于⊙O的反称点'P存在，且点'P不在x轴上，求点P的横坐标的取值围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y
=-
3
x
+x轴、y轴分别交
于点A，B，若线段
．．AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点'P在⊙C的部，求圆心C的横坐标的取值围.
【答案】
（1）① M 关于⊙O 的反对称点不存在，点N 关于⊙O 的反对称点是1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
，
点T 关于⊙O 的反对称点是()
0,0
②P 点横坐标x 的取值围是02x <<
（2）圆心C 横坐标x 的取值围是28x ≤≤
【解析】难度：★★
（1）①可以算出MO
，NO 的长度是
3
2
，TO 的长度是2 而⊙O 的半径是1，只需满足点与反对称点分别到原点的距离长度和是2即可 ②点P 的反对称点存在，可知PO 的长度不能超过2，而'P 不在x 轴上，可求出x 的取值围
（2）由题意可知C 到已知线段的任一点的距离要大于1且不超过2，也可理解
评析：自13年中考最后一题第一次考察新定义的形式以来，近连续三年都是新定义的方式出题，从知识点来说，13年考查的是坐标系下新定义与圆的结合，14年考察的是坐标系下新定义与一次函数，反比例函数，二次函数的综合，而今年考察的仍然是坐标系下新定义与圆的综合并且结合了特殊斜率的直线，对于圆的切线，两点之间的距离公式，相似或解直角三角形也都有涉及.但对于所给新定义的深度挖掘要求较小，计算量也不大，所以今年的题目难度不比前两年.从以上我们可以看出，虽然中考试卷题目由25道变为29道，但是未来几年的压轴题的难度是下降的，考查形式仍然会是新定义，但结合函数或者圆却不一定，也不排除未来会结合其他几何图形或方程与不等式，或者都结合到一起也不是不
可能的，考查形式特别灵活，这就要求同学们不能有任何知识盲点，对于每章节的重点要熟练掌握.。