高等数学课件-习题课2

哈 尔
解 x 0 :f( x ) ( 3 x 2 ) 6 x ;
滨 工
x 0 :f( x ) ( x 2 ) 2 x ;
程 大 学
f(0)lim 2x2x|x|0;
x 0
x
高
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim2x02; x0 x
等 数 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
滨
工 解 首,先 f(x)在x0处必须 ,从 连 而 续
程
大
f(00)f(00).
学
f(0 0 ) lism a in x 0 , x 0
高
等
f ( 0 0 ) li [m 1 l n x ) b ( ] b ,
数
x 0
学
b0.
对任意 a ,当 x 给 0 ,f定 (x )都 的 存 ; 在
dy
y
t
dx x t
1
1 1 t2
1 1 t2
2t
t; 2
等
数 学
1
d2y
2 t dx2
(
dy dx
)t
xt
2
1 1 t2
1 t2
4t
例8
用微分法则求函数
y
arctan1 1
x2 x2
的微分和
哈 尔 滨 工 程 大
导数.
解
dy1(111xx22)2d(11xx22)
学
高 等
1(1 11 x x2 2)2(1x2) (2(x 1)d x x 2)(2 1x2)2xdx u vduudv
6x0 lim 6;
x0 x
因 f (0 为 ) f (0 ),所以 f(0)不存 . 在
例 15 设 y sin2 x,求 y(n) (n 1).
哈 尔
解
y1 21 2co 2xs
滨
工 程
y(n )1 2(c2x o )(n )s)
大 学
1 22 nco 2 x sn 2 ()
高
2 n 1co 2 x sn 2 ()
哈 尔 滨 工
f (0)x l i0m f(x)x f(0)x l i0 m ln1 (xx)bb1 ;
程 大 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
sinax lim x x0
a;
高 当 a 1 时 f ( 0 ) f ( 0 ) ， f ( , 0 ) 存 在 ;
等 数
总之 a1 ， ,b0为所求 . 条件
工
程 大
2 f( x )f( x );
学
(2 )y f( x 2 )( x 2 )
高
f(x2)( 2x)
等
2xf(x2);
数
学
( 3 )y 3 f2 ( x 2 ) [ f ( x 2 ) ]
6 x f2 ( x 2 )f( x 2 ).
例12 讨论函数 f ( x) 2x2 x | x |在 x 0处的二阶导数.
学 f(1) (1 1 ) 1 f (1) 22
哈 例3
对于函数
f (x)
x
1
1 e x
,
x 0, 求 f(0) 和
尔 滨
0, x 0
工 f(0),再回答 f (0)是否存在.
程
大 学
解
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim 1 x0
1
1
ex
0;
高
1 x (x 0),
等
数
学
三、特例
哈
尔 特例 1 设 f ( x) | x a | ( x)，( x)在 x a 点连续，
滨 工
讨论 f '(a)是否存在？
程 大 学
解
f (a)x l iam f(xx ) a f(a)

lim(x)(a);
高
xa
等 数
f (a)x l iam f(xx ) a f(a)x l iam (xx a )a (x)0
高
等
f(x0)
数
学
哈
例2.若 f(1)0且 f (1) 存在 , 求 xl im 0 f((sexi2n1x)taconxxs).
尔 滨 工
解: 原式 = xl im 0f(si2nxx2coxs)
~x
程 大
lim (s2ixn cox)s1且 f(1)0
学
x 0
联想到凑导数的定义式
高 等 数
x l 0 if( m 1 ss i22 x n i x c n c o xx o s11 ) s f (1) si2x n x c 2o x s1
co xs
siyn
高
等 数
ylnsin yytaxn lncoxsxcoyt
学
例6
求参数方程
x y
3e t 2et
所确定的函数
y
f (x)的二阶导数
哈 尔
d2y.
滨 dx2
工
et 3 x
程 大
解
学
dy y t dx x t
23eett
2e2t 3
29 6
3
x2
x2
;
高 等
d2 y dx 2
大 学
求二阶导数:
y eyyx
高
等 数
y ddxeyyx (eyx()yey yx()e2yy1)
学
哈 尔
y(ey(xe yyexy))2yy 代入 yeyyx
滨
工 程 大
2yey 2xyy2ey
(ey x)3
.
学
在 e y x y e 中x 代 0 ,得 入 y 1 到 ;
高 等 数
在 2yey2x yy2ey中 (y ex)3
数
学
2x 1 x4
dx,
dy 2x
dx
1
x4
d( ) v
v2
d(1x2)2xdx
d(1x2)2xdx
例 9 用微分计算ln(0.98)的近似值.
哈 尔
解
滨
工
程
大
学
高 等 数 学
f ( x 0 Δ x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) Δ x
ln 0 .9) ( 8 ln 1 0 .( 0)2
滨
工 程
解
y(x2x)(xx2)
大
学
x 2 x(2 xln x ) x x 2(x 2ln x )
高
x2x(2xln2lnx2x)
等 数
x xx2(2xlnx1)
学
x
特例 2
试从dx dy
1 推出 y
d3x dy 3
3(
y)2 yy(3) ( y)5
.
哈
尔
滨 工
解
程
d2x dy2
d dy
dx dy
学
例5
求函数
f
(
x)
x
2
sin
1 x
,
x 0, 的导数, 并讨论
哈
0,
x0
尔 滨
f ( x)和 f ( x)在 x 0处的连续性.
工 程
解
当 x 0时 ,
大 学
f(x )2 x 2si1 x n x 2co 1 x( sx 1 2)
2x2si1 xn co 1 x;s
高 等 数
f(0)lx i0m f(x)x f(0)lx im 0xsin1x 0;
f(0)lim f(0x)f(0)
x 0
x
f(0x)f(0)
lim
x 0
x
lim f(0x)f(0)
x 0
x
lifm (0 h )f(0 )(h x )
h 0
h
f(0),
f(0)0.
例1.设 f(x0)存在,求
哈 尔 滨 工
lim f(x0x(x)2)f(x0).
x 0
x
程 大
解:
学
原式= lx i0 m f(x0xx( (x)x2))2f(x0)x(xx)2
f ( x ) lx n ,x 0 1 ,Δ x 0 . 02 ln 0 .9 ) (8 f(x 0 Δ x )
f(x 0 ) f(x 0 ) Δ x 01(0.0)20.02
1
ln0.(9)80.02020 ..2 . 707
三、特例
哈 尔
特例 1 求 y x 2x x x2 的导数.
学
yx
ey coysxey;
高
等 数 学
ey kcoysxey x0 1
y0
方法2(微分法)
哈
siynxey 0 d(syi n x ey)0
尔
d (sy )i n d (x ey) 0
滨 工
cy o d s e y d y x e y d y 0
程 大 学
y
x
dy dx
ey cosy x
(
dy dx
)t
xt
343ee2tt
4e3t 9
4 27 12
9
x3
x3
数 检验(不必):
学
x 3et
y
2et
y
6, x
y
6 x2
,
y
12 x3
例 7 求由参数方程 x ln(1 t 2 ) 所确定的函数
哈
y t arctan t
尔 滨 工
y
的二阶导数
d2 dx
y
2
.
程
大 学
解
高
代 x0 ,入 y1得
到
学
y(0)
1 e2
例 5 设函数 y f ( x)由方程 (cos x) y (sin y)x 所确定,
哈 求 yx.
尔 滨
解
(cx o)ys(siy)nx
工
程 大
y lc nx o x s ls ny in
学
y lc no xy ssixn ls niy n x co yy s
学
lim (x) (a),
xa
仅 ( a ) 0 时 当 ,f ( 0 ) f ( 0 ) 即 , f ( a ) 存 .
特例 2 求过原点且与曲线 y x 9相切的直线方程.
哈 尔
解
x5
如,图 令切T 点 (,为 ).
y
滨 工 程
切线的斜 k率 (4为 5)2;
大 学
切线的y方 (程 45为 )2 x;
lim b
lim b
x 0
bx
x 0
bx
2b(a)
例 3 设 y f ( x)为方程sin y xe y 0所确定的隐函数,
哈 尔
求 yx及方程所对应的曲线在(0, 0)点处的切线的斜率k .
滨 工
解
方法1(隐式求导)
程 大
siynxey 0 (c y ) y x o e y s x e y y x 0
ey
方法3(非通用)
高
siynxey 0 xeysiyn
等 数
x ye ysiy n e yco ys
学
ey(syi n co y);s
y x
1
x
y
ey
siny cosy
例 4 设函数 y f ( x) 由方程e y xy e 所确定,求
哈 y(0).
尔
滨 解 求一阶导数:
工 程
ey xye e yy y x y 0
解 f(0)lim f(x)f(0)
x 0
x
大
学
li[m ( a b ) x ( a b ) x ] [( a )( a )]
x 0
x
高 li[m ( a b ) x ( a ) ] [( a b ) x ( a )]
等
x 0
x
数 学
[(ab)x(a)] [(ab)x(a)]
大
学
d 1 dx
dx y dy
高
等 数
1 (y)2
y
1 y
y ( y)3 ;
学
哈 尔
d3x d d2x
dy3
dy
dy2
d y dx
dx(y)3
dy
滨
工
程
(y)3y(3)y3(y)2y 1
大 学
(y)6
y
高 等
3(y)2 yy(3) (y)5
数
学
d2x dy2
(
y y)3
高等数学课件-习题课2
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哈
尔
滨
工 程
第二章 导数与微分
大
学
习题课
高
等
数
学
例 2 设 f ( x)为偶函数且 f (0)存在, 求证 f (0) 0.
哈 尔
解
滨
工
程
大
学
高 等 数 学
y (y 2 1 )1 ( y )
等 数
y
1
1 y2
1
ex
等 数 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
1
lim 1 x0
e
1 x
1;
1 x (x 0),
1
ex 0
f ( 0 ) f ( 0 )f , ( 0 ) 不 存 在 .
哈
例4
对于
f
(x)
sin ax, ln(1 x)
b,
x 0,,确定a, x0
b的值,
尔 使函数在(,)上处处可导.
学 f(x)在 x0处不 . 连续
评注：在整个数轴上处处可导函数的导函数可以 在某一点不连续.
例7 设 f ( x)可导,求下列函数的导数:
哈
(1) y f 2 ( x); (2) y f ( x2 ); (3) y f 3 ( x2 )
尔
滨
解 ( 1 ) y 2 f ( x ) [ f ( x ) ]
学
例5
求函数
f
(
x)
x 2
sin
1 x
,
x 0, 的导数, 并讨论
0,
x0
哈 尔
f ( x)和 f ( x)在 x 0处的连续性.
滨 工 程 大
f(x) 2x2si1 xn co1 x,sx0;
0,
x0.
学
由 f(0 于 )存在 f(x )在 ， x 0 处 故 .连 在
高
等 数
由lx 于 i0m f(x)lx i0[m 2x2si1 xn co 1 x]不 s 存 ,故 在
特 例 3 求 方 程 y tan(x y) 所 确 定 的 隐 函 数
哈 尔
y
f
(
x)
的二阶导数
d2 dx
y
2
.
滨
工 程
解
y tx a y ) n y s ( 2 ( x e y ) 1 c ( y )
大
学
y (t 2 ( x a y ) n 1 )1 ( y )
高
T(,)
• x
0
高
等 数
由 方 ( 4 5 ) 2 程 5 9 得 到 3 ， 1.5