固体物理第二章习题及答案

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固体物理答案-第二章

NaCl晶体
N0=6.0221023,与N0对应的质量应为
M=23+35.5=58.5(g)
Na原子量
Cl原子量
阿伏加德罗常数
面心立方,最近邻原子有12个, 由N个惰性气体原子构成的分子晶体，其总互作用势能可表示为
(2)计及最近邻和次近邻,次近邻有6个。
2.14 KCl晶体的体积弹性模量为相邻离子间距缩小0.5%，需要施加多大的压力。，若要使晶体中解：根据体积弹性模量K的定义，得，因而设R为相邻离子间的距离。KCL具有NaCL结构，平均每体才有一个离子，若晶体中共含N个离子，则晶体体积积
式中，V为晶体体积，N为晶体包含的原子数，v为每个原子平均占据的体积。若以
表示晶体包含的晶胞数，
中每个晶胞的体积，n表示晶胞中所含的粒子数，则(1)式完全等效于
解：题给
表示晶体
(1)
于是得
(2)
R为离子间的最短距离。题给的各种晶格均为立方格子，如令
证明：
选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。
第j个离子与参考离子的距离可表示为
对于参考
离子O，它与其它离子的互作用势能为
马德隆常数
2.3 设两原子间的互作用能可由表述。式中第一项为吸引能，第二项为排斥能；均为正的常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须n>m。且即当时，证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应于平衡距离处的能量应为能量的极小值，
为常数，试求
（1）平衡时原子间的最短距离；
（2）平衡时晶体体积；
（3）平衡时体积弹性模量；
（4）抗张强度。
解：
（1）
由
得
01

固体物理习题第二章

U U R N M Q V V （） V0 ( ) R0 [ ( m 1) m m 2 ( n 1) n n 2 ] V R V 2 R0 R0 ( 1 N M Q 1 1 2 ) ( m n )( 2 )( )( ) 2 m 1 n 1 3 2 2 3 NAR0 R0 R0 3 NAR0 3 NAR0
2
每个氢分子可以当做球形来处理.结合能实验值为 0.75KJ / mol, 试与计算值比较 . 解：林纳德- 琼斯势：u (r ) 4 [( )12 ( ) 6 ] r r N N个气体分子间的互作用能为：U '{4 [( )12 ( ) 6 ]} 2 j rj rj
第二章：固体的结合
2.1证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为：α=2㏑2. 证明：设由两种一价离子组成一无限长的一维晶格，取任一一个负离子作为参考，用r表示相邻离子间的间距，则有： 1 1 1 1 '
r
j
2 ... aj r 2r 3r
（+、-号分别对应正离子和负离子间的相互作用）前面有个因子2是因为以负离子作为参考左右两边都存在相互作用. 1 1 2 1 ... 则： 2 3
j
1 12 6 ' 1 A 则 U ( R ) 2 N [ A ( ) A ( ) ] 12 12 6 6 12 R R aj aj j
U ( R ) 12 6 2 A12 16 在平衡位置处有：（） 6 A6 7 ) 0 有：R0 （） R0 2 N (12 A 12 13 R A6 R0 R0 A6 A6 A6 1 代入U ( R)有：U ( R0 ) 2 N ( ) N 4 A12 2 A12 2 A12 U ( R) bcc A6 A12 12.25 2 12.13 则： 2 ( ) 0.957 U ( R) fcc A12 A6 14.45 9.11

固体物理第二章习题答案

2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为2ln 2α=.证设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有(1)11112[...]234jij rr r r r rα±'==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为234(1) (34)n x x x x x x +=-+-+当X=1时，有1111 (2234)n -+-+= 2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为()mnu r rrαβ=-+求 1）平衡间距0r 2）结合能W （单个原子的） 3）体弹性模量 4）若取02,10,0.3,4m n r nm W eV ==== ，计算,αβ值。

解 1）晶体内能()()2m n N U r r rαβ=-+ 平衡条件0r r dUdr== 11000m n m n r r αβ++-+= 10()n m n r m βα-= 2) 单个原子的结合能01()2W u r =-0()()m n r r u r r r αβ==-+ 1(1)(2m n mm n W n m βαα--=-3) 体弹性模量0202()V UK V V∂=⋅∂ 晶体的体积3V NAr =—— A 为常数，N 为原胞数目晶体内能()()2m n N U r r r αβ=-+ 1121()23m n N m n r r NAr αβ++=-221121[()]23m n U N r m n V V r r r NAr αβ++∂∂∂=-∂∂∂ 1112[1...]234α=-+-+n α∴=体弹性模量0202()V UK V V ∂=⋅∂22222000001[]29m n m n V V UN m n m n V V r r r r αβαβ=∂=-+-+∂ 由平衡条件1120001()023m n V V UN m n Vr r NAr αβ++=∂=-=∂00m n m n r r αβ=222220001[]29m n V V UN m n V V r r αβ=∂=-+∂ 体弹性模量0202()V U K V V ∂=⋅∂ 000()2mn N U r r αβ=-+222220001[]29m n V V UN m n V V r r αβ=∂=-+∂2220001[]29m nV V UN m n m n V V r r αβ=∂=-+∂（00m n m n r r αβ=） 2000[]29mn N nm V r r αβ=--+ 020220()9V V U mn U V V =∂=-∂ 09mnK U V = 4）00m n m n r r αβ= 10()n m n r m βα-= 1(1)()2mn mm n W n m βαα--=-1002W r β=95101.1810e V m β-=⨯⋅ 20100[2]r W rβα=+ 1929.010e V m α-=⨯⋅。

固体物理课后习题与答案

第一章金属自由电子气体模型习题及答案1. 你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的？[解答] 自由电子论只考虑电子的动能。

在绝对零度时，金属中的自由（价）电子，分布在费米能级及其以下的能级上，即分布在一个费米球内。

在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态上，能够发生能态跃迁的仅是费米面附近的少数电子,而绝大多数电子的能态不会改变。

也就是说，常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能十分相近。

2. 晶体膨胀时，费米能级如何变化？[解答] 费米能级3/222)3(2πn mE o F= ，其中n 单位体积内的价电子数目。

晶体膨胀时，体积变大，电子数目不变，n 变小，费密能级降低。

3．为什么温度升高，费米能反而降低？[解答] 当K T 0≠时，有一半量子态被电子所占据的能级即是费米能级。

除了晶体膨胀引起费米能级降低外，温度升高，费米面附近的电子从格波获取的能量就越大，跃迁到费米面以外的电子就越多，原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半，有一半量子态被电子所占据的能级必定降低，也就是说，温度生高，费米能反而降低。

4．为什么价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大？[解答] 由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子的浓度的关系。

价电子的浓度越大，价电子的平均动能就越大，这是金属中的价电子遵从费米—狄拉克统计分布的必然结果。

在绝对零度时，电子不可能都处于最低能级上，而是在费米球中均匀分布。

由式3/120)3(πn k F =可知，价电子的浓度越大费米球的半径就越大，高能量的电子就越多，价电子的平均动能就越大。

这一点从3/2220)3(2πn m E F=和3/222)3(10353πn mE E oF ==式看得更清楚。

电子的平均动能E 正比于费米能o F E ，而费米能又正比于电子浓度32l n。

固体物理习题答案PPT课件

上述八个矢量的垂直平分面，形成了第一布里渊区。
5 解： A2 b c,B 2 c a,C 2 a b
V c
V c
V c
V A (B C ) (2)3( b c )[ c ( a ) ( a b )] V c
A (B C )(A C )B (A B )C
6解：当 KCl 取 ZnS 结构时，晶体总相互作用
能为 utotN(zeRR q2)
已知：N=6.023*1023/mol, ρ=0.326埃，αZnS=1.6381,（见P103) 为NaCl结构时，Zλ=2.05*10-8erg, Z=6 当为ZnS 结构时，Z=4, Zλ=（4/6）*2.05*10-8erg
设ZnS 结构时，其晶格常数与NaCl结构相同，（为原子最近邻距离）
即 a=6.294埃（见P20，图20配位数为6，参见表10，表11， a=2*1.33+1.81=6.2埃），31/2a/4=2.72埃（为原子最近邻距
离）
u to 6 . 0 t 1 2 2 [ 3 0 6 4 2 2 . 0 1 5 8 e 0 0 2 . 3 . 7 2 2 1 . 6 6 2 . ( 3 7 4 . 8 1 8 2 1 8 0 1 0 e 1 5 0 0 ) 3 ] s 1 u . 8 K 5/ m 3 C
第二章习题答案
3解:
（c)衍射先只出现在同时满足以下二个方程的方
向上：（1）acosθ1=nλ,(2) bcosθ2=mλ
(
a,b
为二个方向矢量）
所以在二个锥面的交线上出现衍射极大。当底板
//原子面时，衍射花样为二个锥面的交线与底板
的交点。
（d）反射式低能电子衍射(LEED)中，只有表面层原子参与衍射，故为二维衍射，衍射点的周期大小与晶体表面原子排列方向上周期大小成反比。

固体物理习题答案

第一章晶体的结构习题解答1.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数目之比.[解答]设原子的半径为R,体心立方晶胞的空间对角线为4R,胞的边长为,晶胞的体积为,一个晶胞包含两个原子，一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为;面心立方晶胞的边长为 ,晶胞的体积为,一个晶胞包含四个原子，一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为 . 因此，同体积的体心和面心立方体晶体中原子数之比为：=0.909。

2．解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面？为什么？[解答]晶体容易沿解理面劈裂，说名平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大。

因为面间距大的晶体晶面族的指数低，所以解理面是面指数低的晶面。

3．与晶列垂直的倒格面的面指数是什么？[解答]正格子与倒格子互为倒格子。

正格子晶面与倒格式垂直,则倒格晶面与正格矢正交。

即晶列与倒格面垂直。

4．高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？[解答]对于同级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强。

低指数的晶面族间距大，晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用强。

相反，高指数的晶面族面间距小，晶面上的原子密度小。

另外，由布拉格反射公式2dh k ls inθ=nλ可知,面间距dh k l 大的晶面，对应一个小的光的掠射角θ面间距dh k l小的晶面，对应一个大的光的掠射角θ。

θ越大，光的透射能力就越强，反射能力就越弱。

5．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：（1）简立方，π /6；（2）体心立方，；（3）面心立方，；（4）六角密积，；（5）金刚石结构，。

[解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成。

一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。

设n为一个晶胞中刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，表示晶胞体积，则致密度（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚球堆积，如图1·2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切。

固体物理参考答案(前七章)

固体物理习题参考答案（部分）第一章晶体结构1.氯化钠：复式格子，基元为Na +，Cl -金刚石：复式格子，基元为两个不等价的碳原子氯化钠与金刚石的原胞基矢与晶胞基矢如下：原胞基矢)ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(213212211j i a a i k a a k j a a +=+=+= ，晶胞基矢 ka a j a a ia a ˆˆˆ321===2. 解：31A A O '：h:k;l;m==-11:211:11:111:1:-2:1 所以（1 1 2 1）同样可得1331B B A A ：（1 1 2 0）； 5522A B B A ：（1 1 0 0）；654321A A A A A A ：（0 0 0 1）3.简立方： 2r=a ，Z=1,()63434r 2r a r 3333πππ===F体心立方：()πππ833r4r 342a r 3422a 3r 4a r 4a 33333=⨯=⨯=∴===F Z ，，则面心立方：()πππ622r 4r 34434442r 4a r 4a 233ar 33=⨯=⨯=∴===F Z ，，则六角密集：2r=a, 60sin 2c a V C = a c 362=,πππ622336234260sin 34223232=⨯⨯⨯=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛a a c a r F a金刚石：()πππ163r 38r 348a r 3488Z r 8a 33333=⨯=⨯===F ，， 4. 解：'28109)31arccos(312323)ˆˆˆ()ˆˆˆ(cos )ˆˆˆ()ˆˆˆ(021*******12211=-=-=++-⋅+-=⋅=++-=+-=θθa a k j i a k j i a a a a a kj i a a kj i a a 5.解：对于（110）面：2a 2a a 2S =⋅=所包含的原子个数为2，所以面密度为22a2a22=对于（111）面：2a 2323a 22a 2S =⨯⨯= 所包含的原子个数为2，所以面密度为223a34a 232=8.证明：ABCD 是六角密堆积结构初基晶胞的菱形底面，AD=AB=a 。

固体物理习题带答案

第二章：原子的结合
1．设原子间的互作用能表示为 u (r ) 态，则 n>m. 解：原子间的相互作用能为： u (r )
作用能处于极小值：这时有

r
m

rn
。证明：要使两原子处于平衡状

r
m

rn
。若两原子处于平衡状态时，则其相互
du (r ) (m) m 1 (n) n 1 dr r r
子晶格的情形比较，与 q 之间存在着两种不同的色散关系。一维复式晶体中可以存在两种独立的格波。两种不同的格波的色散关系：
2 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M ) (m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq]1 / 2 } 2 mM (m M )
xn (t ) A cos(t 2 naq) 。试求格波的色散关系。
解：一维单原子链中，牛顿方程为：
n ( x n 1 xn 1 2 xn ) m x
若将其振动位移写成 xn (t )
A cos(t 2 naq) 代入牛顿方程，则有
2

2 [1 cos(2aq)] 因此其色散关系为 m
0 。所以有
r0
m

r0
m 1
n

r0
n 1
。所以
m nm r0 。 n
0
r0
同
时
有
d 2u ( r ) (m)( m 1) m 2 (n)( n 1) n 2 2 dr r r
。
所
以

固体物理习题解答第二章

2.1证明对于六角密堆积结构，理想的c/a 比为（8/3）1/2≈1.633。

又：金属Na 在273K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a=0.423nm ，设六角密堆积结构相的c/a 维持理想值，试求其晶格常数。

解：2c a a A B C D E O a a（1）a AC AE AO 333332===a a a AO AD OD 32312222=-=-=633.138322221≈⎪⎭⎫ ⎝⎛===a OD a c（2）体心立方每个单胞包含2个基元，一个基元所占的体积为23c c a V =，单位体积内的格点数为.1Vc六角密堆积每个单胞包含6个基元，一个基元所占的体积为32122223843436/323a a a c a c a a V s =⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯=因为密度不变，所以 s c V V 11=，即：33222/a a c =nm a a c s 377.02/61==nma c s 615.0633.1==2.2证明简单六角布拉维格子的倒格子仍为简单六角布拉维格子，并给出其倒格子的晶格常数。

解：简单六角布拉维格子的基矢为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==z c a y a x a a x a a ˆˆ23ˆ2ˆ321倒格矢为：()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==⨯•⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯•⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=⨯•⨯=z c c a za a a a a ab y ac a yac a a a a a b y x a ca y ac xac a a a a a b ˆ223ˆ2322ˆ332223ˆ22ˆ21ˆ23332223ˆ21ˆ23222232121323211322321321πππππππππ容易看出此倒格子为简单六角布拉维格子晶格常数为：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===c b a b a b πππ23343343212.3画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。

固体物理第二章答案

第21. 有一晶体,平衡时体积为 0V ，原子间相互作用势为0.如果相距为 r 的两原子互作用势为 ()n m r r a r u β+-= 证明(1) 体积弹性模量为 K=.90V mnU (2) 求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.[解答]设晶体共含有 N 个原子,则总能量为U(r)=()∑∑i jij r u '21. 由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为 U=().2'∑jijr u N设最近邻原子间的距离为R 则有j ij a r =R再令 A ,1'∑=j m j m a A ,1'∑=jn j n a 得到 U=.200⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n m m R A R A N βα 平衡时R=R 0,则由已知条件U(R 0) = 0U 得0002U R A R A N n n m m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-βα 由平衡条件 0)(0=R dRR dU得021010=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++n nm m R A n R A m N βα. 由(1),(2)两式可解得.)(2,)(20000n n m m nR n m N U A nR n m N U A -=-=βα利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式]K=0220209R R U V R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂得K= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-n n m m R A n n R A m m N V 000)1()1(291βα = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-)(2)1()(2)1(2910000000n m N mR U R n n n m N nR U R m m N V nnm m = .900V mn U - 由于,00<U 因此,00U U -= 于是 K= .90V mnU (1) 由《固体物理教程》(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为.)(126r B r A r u +-=若令 61,42⎪⎭⎫⎝⎛==A B B A σε,则N 个惰性气体分子的互作用势能可表示为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=6612122)(R A R A N r U σσε.由平衡条件0)(0=R dRR dU 可得 R .2616120⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A σ进一步得 .2)(122600A A N R U U ε-==代入K=.900V mn U 并取 m =6，n =12，V 300334R N =得 K=5126123233⎪⎪⎭⎫⎝⎛A A A σε.对体心立方晶体有 A .11.9,25.12126==A 于是.1.703σε=K 2. 一维原子链,正负离子间距为a ,试证:马德隆常数为2=μ1n2. [解答] 相距ij r 的两个离子间的互作用势能可表示成.4)(2n ijij ij r br q r u +=πμ设最近邻原子间的距离为R 则有 R a r j ij =, 则总的离子间的互作用势能 U=()∑∑∑-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=jn jn j j j ij a bRa R q N r u N ''0'114[22πε. 基中 jja 1'±=∑μ 为离子晶格的马德隆常数,式中+;- 号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有.413121112)1('⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=±=∑Λj ja μ利用正面的展开式 1n(1+x ),432432Λ+-+-x x x x 并令 1=x 得Λ+-+-41312111=1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为2=μ1n23. 计算面心立方面简单格子的6A 和12A(1) 只计最近邻; (2) 计算到次近邻; (3) 计算到次近邻.[解答]图2.26示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶O 原子周围有8个这样的晶胞,标号为1的原子是原子O 的最近邻标号为2的原子是O 原子的最近邻,标号为3的原子是O 原子的次次近邻.由此得到,面心立方简单格子任一原子有12个最近邻,6个次近邻及24个次次近邻.以最近邻距离度量,其距离分别为:.3,2,1===j j j a a a 由 .1,112'126'6⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑jj j j a A a A图2.6 面心立方晶胞得(1) 只计最近邻时1211*12)1(66=⎪⎭⎫⎝⎛=A ， 1211*12)1(1212\=⎪⎭⎫⎝⎛=A .(2) 计算到次近邻时.094.1221*611*12)2(,750.1221*611*12)2(121212666=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=A A(3) 计算到次次近邻时.127.12033.0094.1231*2421*611*12)3(,639.13899.0750.1231*2421*611*12)3(121212126666=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛==+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=A A 由以上可以看出,由于12A中的幂指数较大,12A 收敛得很快,而6A 中的幂指数较小,因此 6A 收敛得较慢,通常所采用的面心立方简单格子的 6A 和 12A 的数值分别是14.45与12.13.4. 用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数. [解答]马德隆常数的定义式为 jja 1'±=∑μ,式中+、-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子,二维正方离子(正负两种)格子,实际是一个面心正方格子,图 2.7示出了一个埃夫琴晶胞.设参考离子O 为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/2).对参考离子库仑能的贡献为图2.7二维正方离子晶格.121*4顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/4), 对参考离子库仑能的贡献为 .241*4-因此通过一个埃夫琴晶胞算出的马德隆常数为 .293.1241*4121*4=-=ν再选取422=个埃夫琴晶胞作为考虑对象,这时离子O 的最的邻,次近邻均在所考虑的范围内,它们对库仑能的贡献为,2414-而边棱上的离子对库仑能的贡献为 ,521*8221*4+- 顶角上的离子对为库仑能的贡献为 ,841*4-这时算出的马德隆常数为图 2.8 4个埃夫琴晶胞同理对932=个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为611.11841*41321*81021*8321*48458242414=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=μ 对 1642=个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为614.13241*42521*81721*81021*8421*4184138108348458242414=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=μ当选取 n 2个埃夫琴晶胞来计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数,其计算公式(参见刘策军,二维NaC1 晶体马德隆常数计算,《大学物理》，Vo1.14,No.12,1995.)为 [][].1,8411>+++=--n D C B A n n n n μ其中 ,21)1(,1)1(11111nB t A n n n t t n +-=+--=-=∑,1)1(1)1()2()1(1)1()1(2112212221112122122222222221⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+--+-+-+--++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---n n n n n C n n ΛΛ.121)1()1(2181222222+-+-++++-=n n n n n D n n Λ5. 用埃夫琴方法计算CsCl 型离子晶体的马德隆常数(1) 只计最近邻 (2) 取八个晶胞 [解答](1) 图2.29是CsCl 晶胸结构,即只计及最近邻的最小埃夫琴晶胞,图2.29()a 是将Cs +双在体心位置的结构,图2.9(a)是将 Cl -取在体心位置的结构,容易求得在只计及最近邻情况下,马德隆常数为1.图2.29 （a ）Cs 取为体心的CsC1晶胞,(b) C1取为体心的CsC1晶胞(2)图2.10是由8个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞,8个最近邻在埃夫琴晶胞内,每个离子对晶胞的贡献为1,它们与参考离子异号,所以这8个离子对马德隆常数的贡献为8埃夫琴晶胞6个面上的离子与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是21,它们与参考离子的距离为32R 它们对马德隆常数的贡献为-()3/2*621图 2.10 8个CsCl 晶胞构成的一个埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是41它们与参考离子的距离为322R 它们对马德隆常数的贡献为-()3224/1*12埃夫琴晶胞角顶上的 8个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是81它们与参考离子的距离为2R 它们对马德隆常数的贡献为 -()281*8,由8个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的马德隆常数.064806.32)8/1(*8322)4/1(*123/2)2/1(*68=---=μ 为了进一步找到马德常数的规律,我们以计算了由27个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数,结果发现,由27个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数是0.439665.马德隆常数的不收敛,说明CsCl 晶胞的结构的马德隆常数不能用传统的埃夫琴方法计算.为了找出合理的计算方法,必须首先找出采用单个埃夫琴晶胞时马德隆常数不收敛的原因.为了便于计算,通常取参考离子处于埃夫琴晶胞的中心.如果以Cs +作参考离子,由于埃夫琴晶胞是电中性的要求,则边长为pa 2(p 是大于或等于1的整数)的埃夫琴晶胞是由(2p )3个CsCl 晶胞所构成,埃夫琴晶胞最外层的离子与参考离子同号,而边长为(2p +1)的埃夫琴晶胞是由(2p +1)3 个 CsCl 晶胞所构成,但埃夫琴晶胞的最外层离子与参考离子异号,如果以C1-作参考离子也有同样的规律,设参考离子处于坐标原点O ,沿与晶胞垂直的方向(分别取为x,y,z 图2.11示出了z 轴)看去,与参考郭同号的离子都分布在距O 点ia 的层面上,其中i 是大于等于 1的整数,与 O 点离子异号的离子都分布在距O 点(i -0.5)a 的层面上,图 2.11(a) 示出了同号离子层,图2.11(b)示出了异号离子层.图2.11 离子层示意图(a)表示同号离子层, O 离子所在层与 O '离子所在层相距ia(b)表示异号离子层, O 离子所在层和O ' 离子所在层相距(i -0.5)a当 CsCl 埃夫琴晶胞边长很大时,晶胞最外层的任一个离子对参考离子的库仑能都变得很小,但它们对参考离子总的库仑能不能忽略.对于由(2p )3个CsCl 晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,最外层有6*(2p )2个与参考离子同号的离子,它们与参考离子的距离为(1/2)pa ~(23)pa ,它们与参考离子的库仑能为a pe 024πε量级,这是一个相对大的正值.对于由(2p +1)3个CsCl 晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,离外层有6*(2p +1)2个与参考离子异号的离子,它们与参考离子的库仑能为a pe 024πε-量级,这是一个绝对值相对大的负值,因此,由(2p )3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能,与由(2p +1)3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能会有较大的差异.即每一情况计算的库仑能都不能代表CsCl 晶体离子间相互作用的库仑能.因此这两种情况所计算的马德隆常数也必定有较大的差异,由1个CsCl 晶胞、8个CsCl 晶胞和27个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的计算可知, CsCl 埃夫琴晶胞体积不大时,这种现象已经存在.为了克服埃夫琴方法在计算马德隆常数时的局限性,可采取以下方法,令由 (2p )3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的库仑能为1U ，由(2p +1)3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能为1U ，则CsCl 晶体离子间相互作用的库仑能可近似取作 )(2121U U U +=(1) 因子1/2 的引入是考虑除了(2p +1)3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞最外层离子外,其他离子间的库仑能都累计了两偏,计算1U 和2U 时要选取体积足够大的埃夫琴晶胞,此时埃夫琴晶胞最外层离子数与晶胞内的离子数相比是个很小的数,相应的马德隆常数应为 )(2121μμμ+=(2) 其中：=1μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±∑i ja 1'是由(2p )3个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的值; =1μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±∑i ja 1'由 (2p +1)3 个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算成本的值.为简化计算,特选取晶胞边长a 为计算单位,由于,32a R =所以,23'μμ= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=∑'''1i i a μ (3) 其中'i a 是某一离子到参点的距离与a 的比值.考虑到对称性,对选定的埃夫琴晶胞,把晶胞的离子看成分布在一个个以参考离子为对称心的正六面体的六个面上,体积不同的正六面六个面上的离子分别计算.由(2p )3个CsC1晶胞构成埃夫琴晶胞时,由分析整理可得,231111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑=-=p pi i p i i C B A μ (4) 由(2p +1)3个 CsC1 晶胸构成埃夫琴晶胞时,,231112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑=-=p pi i p i i D B A μ (5)其中：),1(''''22'2'p i i y x k A i x iy y x i <≤++-=∑∑(6)i A 表示与 O 点距离为ia 的6个面上所有的离子对马德隆常数的面贡献,因为这些离子与参考离子同号,故到负号.'x 、'y 是离子在平面 '''y x o 上的坐标, ''y x k 代表 6个面上等价离子的个数,其取值规则为:(1) 在角上(如E 点),即'x =i 且 'y = i. 时, ''y x k =8；(2) 在棱与坐标轴的交点(如 F 点)，'x =i 且'y = 0或 'x =0且'y = 0时, ''y x k =6 (3) 在棱上的其他点(如H 、I 点)即不满足上述条件,且'x =i 或'y = i.时, ''y x k =12 (4) 在'O 点,即'x =0且'y = 0时, ''y x k =6(5) 在除'O 点外的面上的点(如J 点),即不满足上述条件时，''y x k =24.),1()5.0(5.05.05.05.022'2''''''p i i y x k B i x i y yx i ≤≤-++=∑∑-=-=(7)i B 代表距O 点距离为(i -0.5)a 的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,因为这种些离子与参考离子异号,故取正号. 'x ,'y 是离子在平面'''y x o 上的坐标, '''y x k 代表这6个面上等价离子的个数,其取值规则为:(1) 在角上(如K 点),即'x =i 且 'y = i.时, '''y x k =8;(2) 在棱下(如L 、M 点),即不满足不述条件,且'x =i 或'y = i 时，'''y x k =12； (3) 在面上(如N 点)好不满足上述条件时, '''y x k =24.),(0022'2'"''''p i i y x k C i x iy i yx =++-=∑∑==i C 表示在边长为2pa 的晶胞最外层,即与参考离子相距pa 的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,应取负号,与iA 的不同在于"''y x k的取值: (1) 在角上, "''y x k =''y x k /8; (2) 在棱上, "''y x k =''y x k /4; (3) 在面上, "''y x k=''y x k /2.),()5.0(5.05.05.05.022'2''''''''p i i y x k D i x i y yx i =-++=∑∑-=-=i D 表示在边长为2a p )1(+的晶胞最外层,即与参考离子相距(p +0.5)a 的离子层对马德隆常数的贡献,应取正号,与i B 的不同在于'''''yx k 的取值: (1) 在角上, '''''y x k ='''y x k /8; (2) 在棱上, '''''y x k ='''y x k /4; (3) 在面上, '''''y x k ='''y x k /2.表2.1给出了计算结果,给出的μ是由分别对应2p 和2p+1的1μ和2μ求得的,实际上, 1μ和2μ只需对应边长相近的埃夫琴晶胞即可,如取对应2p 和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一样的收敛结果,由以上数据可见,马德隆常数μ随晶胞边长的增大而迅速收敛.该方法适用于NaC1结构以外离子晶体马德隆常数的计算.6.只计及最近邻间的排斥作用时,一离子晶体离子间的互作用势为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±-=-)2(,)1(,)(22r e R e e r u R ρλ(1)最近邻(2)最近邻以外式中ρλ,是常数,R 是最近邻距离,求晶体平衡时,原子间总的互作用势.[解答]设离子数目为2N,以j ij a r =R 表示第j 个离子到参考离子i 的距离,忽略表面效应,则总的相互作用能可表示为U =N ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑-ρλR j j e R a e 2' (∑表示最近邻)=N ,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--ρλμR e Z R e其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛±=∑j ia 1'μ 为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子;Z 为任一离子的最近邻数目,设平衡时R=R 0 ,由平衡条件,02020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-ρρλμR R e Z R e N dRdU 得.0202ρλμρR e Z R e -=平衡时的总相互作用为.1)(0020200⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-R R e N e Z R e N R U R ρμλμρ 7. 设离子晶体中,离子间的互作用势为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±+-=最近邻以外最近邻,,)(22re R b R e r u m(1) 求晶体平衡时,离子间总的相互作用势能)(0R U (2) 证明: )(0R U 11-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∝m mZ μ其中μ是马德隆常数，Z 是晶体配位数 [解答](1)设离子数目为2N , 以j ij a r =R 表示第j 个离子到参考离子i 的距离,忽略表面效应,则总的相互作用能可表示U =N ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑m j j R b R a e 2'(∑表示最近邻) =N ,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-m R b Z Re μ其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=∑j i a 1'μ,为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子.Z 为任一离子的最近邻数目,设平衡时R=R 0由平衡条件,0102020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+m R R Zmb R e N drdUμ得10-m R Zmb=2e μ即1120-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m e Zmb R μ.于是,晶体平衡时离子间总的相互作用势能0U =).1(000--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-m R NZbR b Z R Zmb N m m m(2)晶体平衡时离子间的相互作用势能可进一步化为0U =.)()()1()1(1111121211--------=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m m mm m m m m mb Ze Nbm e Zmb ZNbm μμ由上式可知 .110-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∝m mZ U μ8.一维离子链,其上等间距载有正负2N 个离子,设离子间的泡利排斥只出现在最近邻离子之间,且为b/R n,b,n 是常R 是两最近邻离子的间距,设离子电荷为q ,(1) 试证明平衡间距下 )(0R U =;114212002⎪⎭⎫⎝⎛--n R n Nq πε(2) 令晶体被压缩,使0R )1(0δ-→R , 试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力作功的主项为c 2δ其中c=;21)1(02R n q n -(3) 求原子链被压缩了2)1(0<<e e NR δδ时的外力[解答](1) 因为离子间是等间距的,且都等于R ,所以认定离子与第j 个离子的距离j r 总可表示成为R a r j j =ja 是一整数,于是离子间总的互作用势能⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=∑∑n i in j j j R b a R q N r b r q N R U 214242)('202'0πεπεμ,其中+、-分别对应相异离子和相同离子的相互作用.一维离子晶格的马德隆常数(参见本章习题2)为=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±∑i ia 1'21n2. 利用平衡条件0)(0=R dRR dU得到b=nq 01-n 0241n2R πε,)(R U =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---n n nR R R Nq 102141n22πε. 在平衡间距下⎪⎭⎫⎝⎛--n R Nq R U 1141n22)(0020πε.(2) 将互作用势能在平衡间距附近展成级数Λ+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+=202200)(21)()()(0R R dR U d R R dR dU R U R U R R 由外力作的功等于晶体内能的增量，可得外力作功的主项为W=20220)(21)()(0R R dR U d R U R U R-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-, 其中利用平衡条件，将R=R )1(0δ- ，代入上式，得到W=δδπε)2(421)1(2102002NR R n q n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-. 晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项δ02W NR =δπε⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2002421)1(21R n q n 令c=202421)1(R n q n πε-(CGS)得到在晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项为2δc . （3）设e δδ=时外力为F e ,由于在弹性范围内，外力与晶格的形变成正比，所以 F= )2(0δαNR , F e = )2(0e NR δα,其中α为比例系数离子链被压缩e NR δ02过程中外力作的功W e =δδαδδd NR NR Fdx e eNR e 020002)]2([0⎰⎰== e e e F NR NR δδα022022121)2(=.由于 W e =)2(20e eNR c δδ,所以离子链被压缩了e NR δ02时的外力为F e =202)1(21R n n q c ee δδ-=.9．设泡利排斥项的形式不变，讨论电荷加倍对NaC1晶格常数，体积弹性模量以及结合能的影响。

固体物理答案第二章

6 σ 12 σ U ( R ) = 2Nε A12 A6 R R 式中R为最近邻原子间的距离 ε, 为最近邻原子间的距离，为常数，式中为最近邻原子间的距离， σ, A6 , A12 为常数，试求
（1）平衡时原子间的最短距离；）平衡时原子间的最短距离；（2）平衡时晶体体积；）平衡时晶体体积；（3）平衡时体积弹性模量；）平衡时体积弹性模量；（
O
A
B
C
选取负离子O为参考离子，相邻两离子间的距离用R表示。表示。选取负离子为参考离子，相邻两离子间的距离用表示为参考离子第j个离子与参考离子的距离可表示为 roj = α j R 。个离子与参考离子的距离可表示为对于参考离子O，离子，它与其它离子的互作用势能为
zo z j e 2 ′ u0 = ∑ ± j roj
′
2.3 设两原子间的互作用能可由 u(r ) = α + βn 表述。表述。 m
r r
式中第一项为吸引能，第二项为排斥能；式中第一项为吸引能，第二项为排斥能； α, β 均为正的常数。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须m>n。证明，要使这两原子系统处于平衡状态，必须m>n。 m>n 证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，证明：相互作用着的两原子系统要处于稳定平衡状态，相应于平衡距离 r0 处的能量应为能量的极小值，处的能量应为能量的极小值，即当 r = r0 时，
对于面心立方，个原子构成晶体体积（2））对于面心立方，N个原子构成晶体体积 3 a3 1 R03 V0 = N 2 R0 = N =N 4 4 2
6 σ 12 解： 1）由 U( R) = 2Nε A12 A σ （） 6 R R

固体物理（胡安）第二版课后习题答案__完整版_校核版

固体物理（胡安）第⼆版课后习题答案__完整版_校核版Word 版完整版校核版第⼀章晶体的结构及其对称性1.1⽯墨层中的碳原⼦排列成如图所⽰的六⾓⽹状结构，试问它是简单还是复式格⼦。

为什么？作出这⼀结构所对应的两维点阵和初基元胞。

解：⽯墨层中原⼦排成的六⾓⽹状结构是复式格⼦。

因为如图点A 和点B 的格点在晶格结构中所处的地位不同，并不完全等价，平移A →B,平移后晶格结构不能完全复原所以是复式格⼦。

1.2在正交直⾓坐标系中，若⽮量k l j l i l R l321 ，i ，j ，k 为单位向量。

3,2,1 i l i 为整数。

问下列情况属于什么点阵？（a ）当i l为全奇或全偶时；（b ）当i l之和为偶数时。

解： 112233123l R l a l a l a l i l j l kr r r r r r r...2,1,0,,321 l l l 当l 为全奇或全偶时为⾯⼼⽴⽅结构点阵，当321l l l 之和为偶数时是⾯⼼⽴⽅结构 1.3 在上题中若321l l l 奇数位上有负离⼦，321l l l 偶数位上有正离⼦，问这⼀离⼦晶体属于什么结构？解：是离⼦晶体，属于氯化钠结构。

1.4 （a ）分别证明，⾯⼼⽴⽅（fcc ）和体⼼⽴⽅（bcc ）点阵的惯⽤初基元胞三基⽮间夹⾓相等，对fcc 为，对bcc 为（b ）在⾦刚⽯结构中，作任意原⼦与其四个最近邻原⼦的连线。

证明任意两条线之间夹⾓θ均为'1cos 109273arc o '1cos 109273arco解:（1）对于⾯⼼⽴⽅ 12a a j k r r r 22a a i k r r r32a a i j r r r13222a a a a r r r1212121602a a COS a a a a o r rr r2323231602a a COS a a a a o r rr r1360COS a a o r r（2）对于体⼼⽴⽅ 12a a i j k r r r r 22a a i j k r r r r32a a i j k r r r r12332a a a a r r r12'12121129273a a COS a a a a o r rr r'1313131129273a a COS a a a a o r rr r r r'2312927COS a a o r r（3）对于⾦刚⽯晶胞134a i j k rr r r234a i j k r r r r2212122122314934a COS a r rr r1.5 证明：在六⾓晶系中密勒指数为（h,k,l ）的晶⾯族间距为212222234c l a k hk h d证明: a b a r r元胞基⽮的体积a ai r rcos60cos301322b a i j ai ajo o r r r r rc ck r r20033022200a a a a c c倒格⼦基⽮ )33(2][2j i a c b ajaa c b334][2k c b a c2][2倒格⽮：***hkl G ha kb lc r r r r晶⾯间距***222cl b k a h Gd hklhkl2222222222ha kb lch a k b l c hk a b kl b c hl a cr r r r r r r r r 22423a a r 22423b a r 222c cr 2223a b ar r 0b c r r 0a cr r 122222222122222242424242333343hkld h k l hk a a a a h k kl l a c1.6 证明：底⼼正交的倒点阵仍为底⼼正交的。

固体物理第二章习题参考答案

固体物理第二章习题参考答案1．已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成 n m rb r a r U +-=)( (1) 求出晶体平衡时两原子间的距离；(2) 平衡时的二原子间的互作用能；(3) 若取m=2,n=10,两原子间的平衡距离为3Å,仅考虑二原子间互作用则离解能为4ev ，计算a 及b 的值；（4）若把互作用势中排斥项b/r n 改用玻恩－梅叶表达式λexp(-r/p),并认为在平衡时对互作用势能具有相同的贡献，求n 和p 间的关系。

解：(1)平衡时 01100=-=∂∂----n m r bnr amr r u 得 am bn r mn =-0m n ambn r -=1)(0 (2)平衡时把r 0表示式代入u(r) u(r 0)=－m n n m n m ambn b am bn a --+)()(=－m n n m b amn a bn m -+)()( （3）由r 0表示式得： 81)5(10310ab =⨯-若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功，为正值，所以，离解能＝结合能＝－互作用势能，由U(r)式的负值，得101021019)103()103(106.14---⨯-⨯+=⨯⨯ba 化简为 80101039104.6-⨯-+=⨯ba 略去第二项 a=5.76⨯102 上式代入a 值得 b=7.55⨯10-75 (4)由题意得 λex ρ(-r 0/ρ)＝br -n *ln λ－r 0/ρ=lnb －nlnr 0 nlnr o ＝r 0/ρ＋lnb/λln ln 0r n b r λρ+=又解：*式两边对r 0求导，得：λ/ρ×ex ρ(-r 0/ρ)＝bnr -n+1, 与*式比较得： n/r 0 =1/ρ 得：r 0 = n ρ2.N 对离子组成的Nacl 晶体相互作用势能为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=R e RB N R U n 024)(πεα(1) 证明平衡原子间距为 n e BR n 2014απε=- (2) 证明平衡时的互作用势能为 )11(4)(0020nR Ne R U --=πεα(3) 若试验试验测得Nacl 晶体的结合能为765kj/mol,晶格常数为5.63⨯10-10m ，计算Nacl晶体的排斥能的幂指数n ，已知Nacl 晶体的马德隆常数是α＝1.75证：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=---2021)1(4)(R e e n B N dr du n πεα)4(1202+--=n RBnR e N πεα令00==R R dRdu得20104e BnR n απε=- 证毕（2）把以上结果代入U(R)式，并把R 取为R 0⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=12012020)(4)()(402440e Bn e Bn e Bn e B N R U απεαπεαπεπεα =－N )11(4002nR e -πεα若认为结合能与互作用能符号相反，则上式乘“－” 证毕（3）由（2）之结论整理可得)(400022R U R e N e N n πεαα+= 式中阿氏常数N ＝6.0⨯1023 电子电量 e=1.6⨯10-19库仑真空介电常数 ε0=8.85⨯10-12法/米若题中R 0为异种原子的间矩，R 0＝0.5×5.63⨯10－10m U(R 0)=-765000j/mol （平衡时互作用势能取极小值，且为负，而结合能为正值）马德隆常数α=1.7520)(411e N R U R n απε－=8.811510121056.275.1100.61065,71082.21085.814.34≈-=--⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

固体物理第二章习题

a2 ，其中 a 为立 h2 k 2 l 2
2 2 2 i ， b* j ， c* k a a a
与晶面族（hkl）正交的倒格矢为 G h ha * kb * lc *
a2 2 2 由面间距与倒格矢的关系式 d ，得 d 2 | Gh | h k2 l2
因为晶体的晶格常数的数量级为1010m只有波长与晶格常数为一个数量级的电磁波或粒子才能以晶格作为衍射光栅进行晶格常数的测定而可见光的波长范围是400nm760nm远大于晶格常数所以不能用它作晶体结构的分析3
班级学号姓名一、简要回答下列问题(answer the following questions)： 1．与晶列 [l1l2l3 ] 垂直的倒格面的面指数是什么？ Chapter 2 X 射线衍射和倒格子
成绩
［答］正格子与倒格子互为倒格子。对于晶面指数为 (h1 h2 h3 ) 的正格子中的晶面，其倒格子矢量 Gh h1b1 h2 b 2 h3b 3 是这一族晶面的公共法线方向，即与这族晶面垂直。因此，与晶列 [l1l2 l3 ] 垂直的倒格面的面指数是 (l1l2 l3 ) 。
2．对晶体作结构分析时，是否可以用可见光，为什么？
10
m ， b 6 10 10 m ， c 8 10 10 m ，基矢间
夹角 90 ， 90 ， 120 。试求：倒格子基矢的大小；正、倒格子原胞
的体积；正格子(210)晶面族的面间距。 7．如图所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为 a，试求： (1) 正格子基矢和倒格子基矢； (2) 画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。
a/2
a/2
9. 用波长为 λ 的 X 射线，照射晶格常数为 a 的金刚石结构晶体，问要得到衍射面指数为（220）的衍射斑点，对应的布拉格角应是多少？ 10. 试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并讨论其衍射消光条件。 11. 用钯靶 K X 射线投射到 NaCl 晶体上，测得其一级反射的掠射角为 5.9° ，已知 NaCl 晶胞中 Na＋与 Cl－的距离为 2.82 1010 m ，晶体密度为 2.16 g / cm3 。求： (1) X 射线的波长；(2) 阿伏加德罗常数。

固体物理chapter2课堂测试答案

Chapter 2 固体的结合（Solid Combination ）一、简要回答下列问题(answer the following questions):1、晶体的结合能，晶体的内能，原子间的相互作用势能有何区别？[答] 自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量，或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量称为晶体的结合能。

用公式表示为：0E E E N b-=，其中E N 表示组成晶体的N 个原子在自由时的总能量，E 0 为晶体的总能量，则E b 为晶体的结合能。

原子的动能与原子间的相互作用势能之和称为晶体的内能。

在0E E E N b-=中，如果以组成晶体的N 个原子处于自由状态的能量作为能量的零点，则－E b 就是晶体的内能。

在0K 时，原子有零点振动能。

但原子的零点振动与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多。

所以，在0K 时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。

2、原子间的排斥作用和吸引作用有何关系？起主导作用的范围是什么？[答] 在原子由分散无规的中性原子结合成规则排列的晶体过程中，吸引力起了主要作用。

在吸引力的作用下，原子间的距离缩小到一定的程度，原子间才出现排斥力。

当排斥力与吸引力相等时，晶体达到稳定结合状态。

可见，晶体要达到稳定结合状态，吸引力与排斥力缺一不可。

设此时相邻原子间的距离为r 0,当相邻原子间的距离0r r >时，吸引力起主导作用；当相邻原子间的距离0r r <时，排斥力起主导作用。

3、共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”？[答] “饱和性”是指共价结合时一个原子只能形成一定数目的共价键，因此依靠共价键只能和一定数目的其它原子相结合。

共价键的数目取决于原子未配对的电子数。

共价结合时，共价键的形成只在特定的方向上，这些方向是配对电子波函数的对称轴方向，在这个方向上交迭的电子云密度最大。

这就是共价键的“方向性”。

4、如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征？[答] 原子的电负性是用来标志原子得失电子能力的物理量。

《固体物理学》房晓勇-习题02第二章晶体的结合和弹性

第二章晶体的结合和弹性2.1有一晶体，在平衡时的体积为0V ，原子之间总的相互作用能为0U ，如果相距为r 的原子间相互作用能由下式给出：()m n A Bu r r r=-+，证明：（1）体积弹性模量为9mnK U V = （2）求出体心立方结构惰性分子晶体的体积弹性模量。

解：参考王矜奉2.2.1 根据弹性模量的定义可知022V V dV U d V dV dP V K ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-= …………………（1）上式中利用了dVdUP -=的关系式。

设系统包含N 个原子，则系统的内能可以写成()()22m n N N A BU u r r r==-+ ……………（2）又因为可把N 个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距r 的函数，即3V Nv NBr == (3)上式中B为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，2B =）。

又因为0211211()()323R m n dU dU N mA nB dV BNr dr r r NBr ++⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭ ………………（4）00222111()(32V m n r r d U dr d N mA nB dV dV dr NBr r r ++=⎧⎫⎡⎤=⋅-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ 2220000013392m n m n Nm A n B mA nB V r r r r ⎡⎤=⋅-+-+⎢⎥⎣⎦ (5)考虑平衡条件0)(0=r dVdU，得00m n mA nB r r =，那么（5）式可化为002222220000011()9292V m n m n d U Nm A n B NmA nB m n dV V r r V r r ⎡⎤⎡⎤=⋅-+=⋅-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦022200000001()92929n m m n NnB mA mn N A B mnm n U V r r V r r V ⎡⎤⎡⎤=⋅-+=-⋅-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ……（6）将（6）式代入（1）式得：00020099mn mnK V U U V V =⋅-= （2）惰性分子晶体原子之间的相互作用势可以下式描述126()4()2()u r rr σσε⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ (7)此时m=12，n=6，式中1/6B A σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，24A B ε≡，称为雷纳德-琼斯参数。

固体物理1-6章习题及答案

立方元素晶体的衍射规律. 18. 金刚石和硅、锗的几何结构因子有何异同?
[解答] 取几何结构因子的(1.44)表达式
t
Fhkl =
f e i2n (hu j +kvj +lw j ) j
j =1
,
其中 uj,vj,wj 是任一个晶胞内,第 j 个原子的位置矢量在 a, b, c 轴上投影的系数. 金刚石和硅、锗具有相同的结构, 尽管它们的 a, b, c 大小不相同, 但第 j 个原子的位置矢量在 a, b, c
1 2
0
）（
00
1 2
）（
1 2
1 2
1 2
）
由（1.45）式可求得衍射强度 Ihkl 与衍射面(hkl)的关系
Ihkl={ f K+ [ 1+cos n (h + k) + cosn (k + l) + cosn (l + h)] +
fCl- [cosnh + cosnk + cosnl + cosn (h + k + l)]}
[解答]
正格子与倒格子互为倒格子. 正格子晶面(h1h2h3)与倒格式 K h = h1 b1 +h2 b2 +h3 b3 垂直,
则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢 Rl = l1 a1 + l2 a 2 + l3 a3 正交. 即晶列[l1l2l3]与倒格面(l1l2l3) 垂直. 9. 9. 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的?
[解答] 对于面心立方元素晶体, 对应密勒指数(100)的原胞坐标系的面指数可由(1.34)式求得
为 ( 111 ), p’=1. 由 (1.33) 式可知 , K h = 2K hkl ; 由 (1.16) 和 (1.18) 两式可知 ,

《固体物理学》第一二章参考答案

第一章晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。

因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。

这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。

它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx =（1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r 346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。