新课标高中数学必修2直线与方程

3.1知识表

直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率

（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．

（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．

（3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，

y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =，

12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.

1.特殊角与斜率 ※基础达标

1．若直线1x =的倾斜角为α，则α等于（ ）.

A ．0

B ．45°

C ．90°

D ．不存在

2．已知直线l 3 ）.

A. 60°

B. 30°

C. 60°或120°

D. 30°或150° 3. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为__________

4.经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为1350

，则y 的值等于 （ ） 5.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）. A.1 B.4 C.1或3 D.1或4

6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ .

7.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.

8．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是( ) A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -=

9．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 10.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．

11．光线从点(2,1)A 出发射入y 轴上点Q , 再经y 轴反射后过点(4,3)B , 试求点Q 的坐标,以及入射光线、 反射光线所在直线的斜率.

倾斜角 斜率

※能力提高

12．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.

13.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( A )

A.k ≥

43或k ≤－4 B.－4≤k ≤43 C. 43≤k ≤4 D.－4

3

≤k ≤4 14.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k

的取值范围.

15.右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2

§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

基础知识：1.两条不重合的直线平行或垂直，则（1）l 1∥l 2 ⇔k 1=k 2（2）l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=－1. 若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l 1⊥l 2. 【例1】四边形ABCD 的顶点为(2,222)A +、(2,2)B -、(0,222)C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.

【例2】已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．

【例3】（1）已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32）、S （0，5

2

），试判

断1l 与2l 是否平行？

（2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？

【例4】已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．

点评：通过设点D 的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.

※基础达标

1．下列说法中正确的是（ ）.

A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等

B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等

C. 垂直的两直线的斜率之积为-1

D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 2．若直线12l l 、的倾斜角分别为12,αα、且12l l ⊥，则有（ ）.

A. 1290αα-=o

B. 2190αα-=o

C. 2190αα-=

o D. 12180αα+=o

3．经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（ ）. A ．4 B ．1 C ．1或3 D ．1或4 4．若(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)A B C D --， 则下面四个结论：①//AB CD ；②AB CD ⊥；③//AC BD ；④AC BD ⊥. 其中正确的序号依次为（ ）.

A. ①③

B. ①④

C. ②③

D. ②④

5．已知ABC ∆的三个顶点坐标为(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，则其形状为（ ）. A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断

6．直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 .

7．若过点(2,2),(5,0)A B -的直线与过点(2,1),(1,)P m Q m --的直线平行，则m = . ※能力提高

8．已知矩形ABCD 的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，求第四个顶点D 的坐标． 9． ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.

※探究创新

10．已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.

（1） 证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.

必修二3.2知识表

名称

几何条件

方程 局限性

点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0=k(x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ，纵截距为b

y=kx ＋b

不含垂直于x 轴的直线

找要素，写方程（两点、一点一斜、两截）

设方程，求系数（讨论）

线段12P P 中点坐标公式1212

(

,)22

x x y y ++ §3.2.1 直线的点斜式方程

※基础达标

1．.写出下列点斜式直线方程：

（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； 54(3)y x -=-（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30o .3

1(3)y x +=-. 2. 倾斜角是135o ，在y 轴上的截距是3的直线方程是 . 3.直线y ax b =+（a b +＝0）的图象可以是（ ）.

4．已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =+的两倍，则直线l 的方程为（ ）.

A. 42(3)y x -=-

B. 43y x -=-

C. 40y -=

D. 30x -=

5．过点()2,1M 的直线与x 、y 轴分别交于P 、Q ，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为_____________ 6． 将直线31y x =+绕它上面一点（1315°，得到的直线方程是 .

求直线方程的方法 “先判断，后计算”，“特殊提前，通法接连”。