垂径定理+圆中的角_培优

•第2题图 G F

O

E D

C

B A •

第3题图 O

E

D C B

A •①

•① •第1题图 E D C B A 垂径定理+圆中的角

【例】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则2

2

CD AB +＝（ ）

A 、28

B 、26

C 、18

D 、35

【问题一】不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。 1）如图，在下面圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；

（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论

练习1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900

，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长。

2、如图，⊙O 的半径为10cm ，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过点G ，CD ＝16cm ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求AE －BF 的值。

3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。

4. 圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜5

E

O D C

B A

70x

•

第6题图

O

D C

B

A

圆中的角度问题

例.如图，在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝1000

，点P 在△ABC 的外部，并且PC ＝BC ，求∠APB 的度数。

一、选择题：

1、下列命题中，正确的命题个数是（ ） ①顶点在圆周上的角是圆周角；

②圆周角度数等于圆心角度数的一半； ③900的圆周角所对的弦是直径；

④圆周角相等，则它们所对的弧也相等。

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

2、已知AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝500，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是（ ）

A 、650

B 、1150

C 、650或1150

D 、1300或500

3、O 为锐角△ABC 的外心，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，垂足分别为D 、E 、F ，则OD ∶OE ∶OF 为（ ） A 、a: b: c B 、1/a :1/b :1/c C 、cosA ∶cosB ∶cosC D 、sinA ∶sinB ∶sinC

4、如图，AB 是⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若∠ACE ＝250，则∠D 为（ ）

A 、500

B 、550

C 、600

D 、650

•

第4题图

E

O C

B

A

1

O

••

第5题图

O

D

C

B

A

5、如图，⊙O 经过⊙O 1的圆心O 1，∠ADB ＝α，∠ACD ＝β，则α与β之间的关系是（ ）

A 、β＝α

B 、αβ21800

-= C 、

)

90(2

1

0αβ-= D 、

)

180(2

10αβ-=

二、填空题：

6、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则x ＝ 。

7、如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三个点，当BC 平分∠ABO 时，能得出结论 （任写一个）。 8、如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2＝ 。

•

第7题图 O

C B

A

•第8题图 21D

E

O

C

B A

•

第9题图

P

D

O

C

B

A

9、如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于C ，延长PO 交⊙O 于点B ，PA ＝AB ，PD 平分∠APB 交AB 于点D ，则P '

• 例 1 图

P

C

B A

2

O 1O ••

第11题图

E

D

C

B A

•

第14题图

O

F G

D

E

C

B A •第12题图

O M

P C B A 2O 1O •

•第13题图

D E C

B A

11、如图，⊙O 1与⊙O 2为两个等圆，O 1在⊙O 2上，O 2在⊙O 1上，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，过B 的直线交⊙O 1于C ，交⊙O 2于D ，过C 作⊙O 1的切线CE 与过D 作⊙O 2的切线DE 交于E ，则∠E ＝ 。

‘

三、计算题或证明题：

12、如图，已知P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，OP 与AB 相交于点M ，C 为⋂

AB 上一点。求证：∠OPC ＝∠OCM 。

13、如图，⊙O 1与⊙O 2交于A 、B 两点，点O 1在⊙O 2上，⊙O 2的弦O 1C 交AB 、⊙O 1于D 、E 。求证： （1）AO 12=O 1D·O 1C

（2）E 为△ABC 的内心。

14、如图，已知AD 是△ABC 外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA 交△ABC 的外接圆于点F ，连结FB 、FC 。

（1）求证：FB ＝FC ； （2）FD FA FB ⋅=2

；

（3）若AB 是△ABC 的外接圆的直径，∠EAC ＝1200，BC ＝6cm ，求AD 的长。