罗素悖论的解决

罗素悖论的解决

罗素悖论

1901年,罗素提出了“不包含自己在内的集合的集合”这一悖论(策梅罗也同时独立地发现了这个悖论)。“罗素悖论”大家比较熟悉,但为了它的重要性,这儿不妨再说明几句。有的集合不包括自己在内,例如“人”这个集合,包括所有的人在内,却不能包括抽象的人这个总的概念在内,因为这是个概念,本身并不是一个具体的人。大多数集合属于这一类,罗素称之为“平常集”,即“不包括自身在内的集合刀。另一类集合却包括了集合本身,例如“概念”这个集合,本身也是一个概念。这一类集合,就叫做“非常集”。现拿“平常集”来说,它也有一个总的集合,那就是“所有不包括自身在内的集合的集合”,这就造成了一个悖论,因为既然定义了“不包括自身在内”,这个总集合当然不能包括自身在内,但如果不包括它自己在内,定义却是“所有不包括自身”的集合,因此又只能理解为包括它自身在内。至于所谓“非常集”,即“包括自己在内的集合”,例如“概念”这个“集合”，其中包含的元素同作为集合总体的“概念”相对言之,自然都是比较具体的概念,其实也是自相矛盾的。

人们至今对于罗素悖论相当重视,这不仅在于它指出了康托“不包括自己在内的合的集合刀的致命弱点,而且也由于这个悖论在形式逻辑概念问题上有重大意义,反映了逻辑学上的一些概念为什么必然自相矛盾这个问题。例如“否定刀这个概念是形式逻辑中不可少的,但“否定刀往往会转化为“肯定”。从辩证逻辑的观点看来,否定就包含着肯定,肯定也包含着否定,“包含自己刀和“不包含自己刀也是一种否定和肯定的关系,因为“包含”这个概念本身就包含着“不包含力。“谎话”可以是“真话”。但这一类辩证逻辑的判断,在形式逻辑领域中是不能允许其存在的。

悖论的解决

为了使康托集合论避免悖论的危害,本世纪初,策梅罗拟出了一套公理化系统,这一个系统后来经过法兰凯尔的补充,就是现在数学界最为通行的ZF系统。

简略地说,策梅罗的系统就是限制了康托集合论中产生悖论的所谓“概括公理”(comprehensionaxiom),因为这条公理允许构成包括一切集合的集合。根据策梅罗一法兰凯尔ZF系统的公理,就不允许构成这样的集合,因而也就躲开了康托悖论、布拉里-福尔蒂悖论,当然也包括罗素悖论。

但是,ZF系统能否真正使得集合论摆脱悖论的干扰呢?唯一的解答在于ZF系统本身有无矛盾,即是否能证明ZF本身是协调的。但是,由于哥德尔“不完全性定理刀这个紧箍咒的存在,凡是包括初等数论的逻辑系统都不能自己证明自己无矛盾或协调。所以,无论从数学基础或逻辑学、哲学的观点来看,ZF系统只是有效地躲开了若干悖论,

至今该系统中未曾出现什么悖论,而且行之有效,但难保以后不会从中出现悖论。

我们知道，弗雷格把0定义为:一切与自身不相等同的事物的集合，这一事物是不存在的，但是由其组成的集合是存在的，那就是空集。任何集合内的元素可有可无，但在逻辑上包含他们的集合不能为无，否则设定集合没有任何意义，不符合集合的规定。这是我们必须牢记的前提!如果集合可以不存在，那么设定空集存在就是没有必要的了。从现在开始，我们要时刻注意这个前提:集合必须存在!弗雷格的关于自然数的定义就是建立在这样的前提下的。因此，这个集合论的悖论必须遵守这样一个前提才能成立;反之则不成立。

我们下面来看看罗素的质疑。在罗素的质疑中，他设定了一个集合:一切与自身不相等同的集合组成的集合。我们令“一切与自身不相等同的集合为C，而令由这一集合C所组成的集合为D。那么“一切与自身不相等同的集合组成的集合”就表述为“一切与自身不相等同的集合C组成的集合D”。集合D里蕴含了一个集合C作为其元素，但是，集合C由于是与自身不相等同的，所以集合C根本不存在。因此罗素的这一质疑已经肯定了一个不存在的集合作为其推论的前提了，从而否定了上面我们讲过的弗雷格的“集合必须存在”的前提，那么即使这个质疑的推论过程是有效的，也由于擅自否定弗雷格的前提而使得该悖论无效。综上所述，罗素提出的集合论的悖论是无效的，尽管推理过程是严密的。

通过集合论悖论我们可以看出，在悖论的形成中，对前提的暂时肯定是其必须遵守的规则。即使这个前提是值得商榷的，但在推翻它之前必须先暂时肯定它，通过有效的推理，得出了相反的结论，这个前提才能被推翻。就如同这样一个已经被前人解决的例子，我在这里进行转述:基督教相信上帝是全能的，但有人诘问说:“如果上帝是全能的，那么上帝能造出一块自己搬不动的石头吗?如果上帝可以造出这一块石头，那么上帝就搬不动它;如果上帝能够搬动任何石

头，那么上帝就无法造出这一块自己搬不动的石头。”从表面上看，好像“上帝是全能的”这一命题是自相矛盾的，但其实是诘问者发生了错误。因为如果要推翻“上帝是全能的”这一命题，就必须暂时肯定该命题，通过必然有效的推论得出“上帝不是全能的”的结论才能成功地推翻原来的命题，“上帝不是全能的”只能在结论处出现，绝对不能在前提中直接出现!但是这个诘问所说的“上帝能够制造一块自己搬不动的石头”可以转化为一个复合命题，即:上帝能够做一件他做不了的事。在“事”的定语中已经把“上帝是全能的”这一大前提否定掉了，则该诘难“如果上帝能够制造这一块石头，那么上帝就不能搬动它”可表述为“如果上帝不是全能的，那么上帝不是全能的”这样荒谬的推论。集合论的悖论的错误与之相仿。那么无论其推论过程多么精彩也是徒劳的。