罗素悖论的解决
罗素悖论的产生原因及排除方法
㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２１ １２罗素悖论的产生原因及排除方法罗素悖论的产生原因及排除方法Һ王海东㊀（天津市北方调查策划事务所㊀天津㊀３０００５０）㊀㊀ʌ摘要ɔ罗素悖论的产生原因在于没有将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象．罗素悖论的排除方法在于将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，要想将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，就必须在集合论中引入自我归属定理．ʌ关键词ɔ罗素悖论；属于关系；自我归属定理一个 幽灵 在集合论中徘徊．这个幽灵就是罗素悖论．罗素悖论：是指属于一个集合的元素不属于自己，或属于自己的元素不属于一个集合．二者必居其一．罗素悖论可以用以下公式表示：∃ｘ∀ｙ（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙᶱｙɪｙ↔ｙ∉ｘ）从这个公式来看，如果罗素悖论成立，那么属于一个集合的元素不属于自己，包含这个元素的集合也不属于自己了．因为，在集合论的逻辑推理过程中，任何一个集合都有可能被定义为另一个集合的元素．这样一来，集合论就产生了一个集合都不属于自己的逻辑矛盾．有人认为，集合论公理系统（ＺＦＣ）能够从集合论中排除罗素悖论．因为，集合论公理系统（ＺＦＣ）包括外延公理㊁配对公理㊁并集公理㊁幂集公理㊁无穷公理㊁概括公理㊁替换公理㊁正则公理㊁选择公理等九个公理．外延公理可以用以下公式表示：∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ↔∀ｚ（ｚɪｘ↔ｚɪｙ））配对公理可以用以下公式表示：∀ｘ∀ｙ∃ｚ（ｚ＝（ｘ，ｙ））并集公理可以用以下公式表示：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ɣｘ＝（ａ｜∃ｂ（ｂɪｘɡａɪｂ）））幂集公理可以用以下公式表示：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ｐ（ｘ）＝（ａ｜ａ⊆ｘ））无穷公理可以用以下公式表示：∃ｘ（（∃ａ（ａɪｘ））ɡ（∀ｙ（ｙɪｘңｙɣ｛ｙ｝ɪｘ）））概括公理可以用以下公式表示：∀ｙ∃ｘ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙɪｚɡｐ（ｙ））替换公理可以用以下公式表示：∀ｕ∀ｖ∀ｗ（φ（ｕ，ｖ）ɡφ（ｕ，ｗ）ңｖ＝ｗ）ң∀ｘ∃ｙ（ｙ＝（ｖ｜∃ｕ（ｕɪｘɡφ（ｕ，ｖ））））正则公理可以用以下公式表示：∀ｘ（ｘʂφң∃ｙ（ｙɪｘɡｘɘｙ＝φ））选择公理可以用以下公式表示：∀ｘ（φ∉ｘ⇒∃ｆ：ｘңɣｘ＝∀ａ（ａɪｘ（ｆ（ａ）ɪａ））在这九个公理中，概括公理就是针对罗素悖论提出的一个公理．因为概括公理规定了集合概念的概括方法，所以概括公理限制了任意规定集合概念的现象．因为概括公理限制了任意规定集合概念的现象，所以概括公理消除了形成罗素悖论的可能性．又因为概括公理消除了形成罗素悖论的可能性，所以概括公理就把罗素悖论从集合论中排除出去了．但是，实际情况并非如此．即使有了概括公理，我们仍然消除不了形成罗素悖论的可能性．不管我们怎样在集合论中挥舞概括公理的 保护伞 ，罗素悖论的阴影仍然神出鬼没㊁无处不在．因为，我们可以从概括公理中推出以下公式：∀ｙ∃ｘ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙɪｚɡｐ（ｘ）↔ｚɪｐ（ｙ）↔ｙɪｐ（ｙ）↔ｙ∉ｙ）从这个公式来看，概括公理只是把罗素悖论从一个集合推向了另一个集合．如果这样推下去，罗素悖论将会出现在所有集合之中．由此可见，概括公理不仅没有把罗素悖论从集合论中排除出去，还把罗素悖论从集合论带进了集合论公理系统（ＺＦＣ）．因为，出现在概括公理之中的罗素悖论，同样可以出现在其他八个公理之中．我们可以从外延公理中推出以下公式：∀ｘ∀ｙ（ｘ＝ｙ↔∀ｚ（ｚɪｘ↔ｚɪｙ）↔ｚ∉ｚ）我们可以从配对公理中推出以下公式：∀ｘ∀ｙ∃ｚ（ｚ＝（ｘ，ｙ）↔（ｘɪｚ，ｙɪｚ）↔（ｘ∉ｘ，ｙ∉ｙ））我们可以从并集公理中推出以下公式：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ɣｘ＝（ａ｜∃ｂ（（ｂɪｘ↔ｂ∉ｂ）ɡ（ａɪｂ↔ａ∉ａ））））我们可以从幂集公理中推出以下公式：∀ｘ∃ｙ（ｙ＝ｐ（ｘ）＝（ａ｜ａ⊆ｘ↔ａɪｘ↔ａ∉ａ））我们可以从无穷公理中推出以下公式：∃ｘ（（∃ａ（ａɪｘ↔ａ∉ａ））ɡ（∀ｙ（（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ）ң（ｙɣ｛ｙ｝ɪｘ））））我们可以从替换公理中推出以下公式：∀ｕ∀ｖ∀ｗ（φ（ｕ，ｖ）ɡφ（ｕ，ｗ）ңｖ＝ｗ）ң∀ｘ∃ｙ（ｙ＝（ｖ｜∃ｕ（（ｕɪｘ↔ｕ∉ｕ）ɡφ（ｕ，ｖ））））我们可以从正则公理中推出以下公式：∀ｘ（ｘʂφң∃ｙ（（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ）ɡｘɘｙ＝φ））我们可以从选择公理中推出以下公式：∀ｘ（φ∉ｘ⇒∃ｆ：ｘңɣｘ＝∀ａ（ａɪｘ（ｆ（ａ）ɪａ）↔ａ∉ａ））从这些公式来看，集合论公理系统（ＺＦＣ）如同一个包含罗素悖论的公理系统．这个包含罗素悖论的公理系统肯定不是一个合理的公理系统，所以集合论公理系统（ＺＦＣ）的合理性将会受到严重质疑．那么，怎样才能从集合论中排除罗素悖论呢？显然，要想从集合论中排除罗素悖论，就必须找到罗素悖论的产生原因．只有找到罗素悖论的产生原因，才能找到罗素悖论的排除方法．只有找到罗素悖论的排除方法，才能从集合论中排除罗素悖论．那么，怎样才能找到罗素悖论的产生原因呢？显然，要想找到罗素悖论的产生原因，就必须从集合论的一个二元关系说起．这个二元关系就是在规定集合概念的数学公式中必须阐明的属于关系．属于关系就是某个数学对象属于另一个数学对象的二元关系．从属于关系来看，当某个数学对象属于另一个数学对. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２１ １２象的时候，这个数学对象就被包含在另一个数学对象之中了．因此，属于关系可以被理解为包含关系．包含关系就是某个数学对象包含另一个数学对象的二元关系．但是，属于关系不仅可以被理解为包含关系，而且还可以被理解为等于关系．等于关系就是某个数学对象等于另一个数学对象的二元关系．包含关系可以推广到等于关系．当某个数学对象等于另一个数学对象的时候，这个数学对象就如同被包含在另一个数学对象之中了．这种推广到等于关系的包含关系称为包含等于关系．包含等于关系就是某个数学对象包含等于另一个数学对象的二元关系．由于属于关系有两种理解方法，所以罗素悖论也有两种评价标准．如果我们把属于关系理解为包含关系，罗素悖论就是一个可以成立的悖论．如果我们把属于关系理解为等于关系，罗素悖论就是一个不能成立的悖论．由此可见，罗素悖论隐含着一个理论假设：某个数学对象既可以属于另一个数学对象，也可以属于某些包含另一个数学对象的数学对象，但是不能属于任何一个不包含另一个数学对象的数学对象．这个理论假设称为罗素假设．罗素假设就是罗素悖论的理论依据．罗素悖论就是根据罗素假设提出的．那么，罗素假设是否可以成立呢？显然，如果罗素假设可以成立，我们不仅可以从中推出罗素悖论，而且可以从中推出罗素悖论的悖论．罗素悖论的悖论可以用以下公式表示：∃ｘ∀ｙ∀ｚ（ｙɪｘ↔ｙ∉ｙ↔ｙɪｚ↔ｚɪｘ↔ｚ∉ｚ↔ｚɪｙ↔ｙɪｘ ）从这个公式来看，如果属于一个集合的元素不属于自己，这个元素就属于另一个元素了．如果这个元素属于另一个元素，属于一个集合的元素就不是这个元素了．按照这个推论不断推导下去，我们会陷入一个永无止境的循环推理过程．在这个永无止境的循环推理过程中，每一个罗素悖论都会遭到下一个罗素悖论的否定．由此可见，罗素假设是不能成立的，所以罗素悖论也是不能成立的．但是，问题并没有到此结束．因为，罗素假设不能成立并非意味着罗素假设绝对不能成立．罗素假设在一定条件下是可以成立的．这个假设是否成立是由某个数学对象的自身存在决定的．如果罗素假设不涉及某个数学对象的自身存在，罗素假设就是一个可以成立的假设．罗素假设如果涉及某个数学对象的自身存在，就是一个不能成立的假设．那么，这个成立条件又是怎样形成的呢？显然，要想回答这个问题，就必须从属于关系说到等价关系．等价关系也是集合论中的一个二元关系．这个二元关系具有自反性㊁对称性和传递性三个基本特征．自反性可以用以下公式表示：ａ＝ａ对称性可以用以下公式表示：ａ＝ｂ，ｂ＝ａ传递性可以用以下公式表示：ａ＝ｂ㊀ｂ＝ｃ⇒ａ＝ｃ如果上述三个公式都可以成立，等价关系可以用以下公式表示：ａ ｂ由此可见，等价关系是从等于关系中推导出来的．只要把属于关系理解为等于关系，我们就可以将自反性㊁对称性和传递性纳入属于关系．只要将自反性㊁对称性和传递性纳入属于关系，我们就可以使属于关系成为一种等价关系．属于关系的自反性可以用以下公式表示：ａɪａ属于关系的对称性可以用以下公式表示：ａɪｂ，ｂɪａ属于关系的传递性可以用以下公式表示：ａɪｂ㊀ｂɪｃ⇒ａɪｃ这样一来，我们就发现了一个十分重要的数学定理：在属于关系成为一种等价关系的条件下，某个数学对象在属于另一个数学对象的同时，不仅可以属于某些包含另一个数学对象的数学对象，而且可以属于一个不包含另一个数学对象的数学对象．这个不包含另一个数学对象的数学对象就是这个数学对象的自身存在．这个数学定理就是自我归属定理．我们可以用以下公式证明自我归属定理：已知ｐɪｑ，又知ｐ＝∃ｐ∀ｐ（ｐɪｐ↔ｐ＝ｐ）；ｑ＝∃ｑ∀ｑ（ｑɪｑ↔ｑ＝ｑ）因此∃ｐ∀ｐ（ｐɪｐ↔ｐ＝ｐ）ɪ∃ｑ∀ｑ（ｑɪｑ↔ｑ＝ｑ）．证毕．从这个证明过程来看，某个数学对象在属于另一个数学对象之前就已经属于自身存在了．某个数学对象只有在属于自身存在的条件下才能属于另一个数学对象．这种数学现象如同发生在我们身边的一种社会现象．在这种社会现象中，我们每一个人只有在属于自己的条件下才能属于一个社会组织，才能使自己成为一个社会组织的合法成员．除非这个社会组织是一个奴隶制的社会组织．因为，在一个奴隶制的社会组织中，奴隶主属于自己而奴隶不属于自己．这种不属于自己的人只能被视为奴隶主的一种财产，而不能被视为这个社会组织的合法成员．由此可见，如果将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，任何两个数学对象之间的属于关系都不会产生罗素悖论．如果不将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，任何两个数学对象之间的属于关系都会产生罗素悖论．综上所述，罗素悖论的产生原因在于没有将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，罗素悖论的排除方法在于将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象．要想将每个数学对象都视为属于自身存在的数学对象，就必须在集合论中引入自我归属定理．ʌ参考文献ɔ［１］王元，文兰，陈木法．数学大辞典［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［２］冯琦著．集合论导引［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１９．［３］石纯一．数理逻辑与集合论［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０００．［４］汪芳庭．数理逻辑．［Ｍ］北京：中国科技大学出版社，２０１０．. All Rights Reserved.。
论罗素三个悖论的解决
第15卷第1期湖南科技大学学报(社会科学版) VOl_15NO．1 2012年1月Journal of Hunan University of Science&Technology《Social Science Edition)Jan．2012■逻辑今探论罗素三个悖论的解决张晚林，刘晓龙(湖南科技大学哲学系，湖南湘潭411201)摘要：解决悖论的可能的途径有两种，一种是特设的理论路线，一种是面向事物自身的非特设路线，但特设理论路线困难重重，而非特设路线的理论前景光明。
由此，进一步可以对罗素的三个悖论进行真实意义上的解决，将这三个所谓悖论排除在可能的逻辑矛盾之外，从而将其从悖论的行列中去除。
关键词：逻辑；矛盾；悖论；罗素中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：1672—7835(2012)01—0027—06一悖论是逻辑矛盾还是辩证矛盾学者如塞因斯伯里、弗兰克尔和巴一希勒尔、以及张建军、悖论被人们称为人类思维上的“死胡同”，它对人类思沈跃春等人的基础上，给出了他的关于悖论的定义：“悖论维规律和数学与逻辑学基础的影响是空前的，几乎所有的是某些知识领域中的一种论证，从对某概念的定义或一个理论，一旦演变出悖论则推理过程必须停止。
因此对悖论基本语句(或命题)出发，在有关领域的一些合理假定之的解决更是关系到数学、逻辑学，乃至哲学的演进。
鉴于下，按照有效的逻辑推理规则，推出一对自相矛盾的语句对悖论的研究的重要意义，我们首先将对其进行形式上的或两个互相矛盾的语句的等价式。
”口Jl”在这个定义中，批判，之所以如此是因为在我们还没有成功地解决任何一“合理假定”和“有效的逻辑推理规则”都是断定的，假定是个悖论之前且先不要探讨悖论的本质，对其本质的断定将否合理，推理规则是否有效，这是需要反思检验的。
陈波只能是一种先人之见，影响我们的判断。
对于这类的“独断”给出了一个比较合理的定义：“如果从学界对悖论的性质定位多有分歧，有的认为悖论是一看起来合理的前提出发，通过看起来有效的逻辑推导，得种逻辑矛盾，例如陈波，“悖论是一种特殊的逻辑矛盾，他出了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称的特殊性表现在：(1)推理过程看起来是合乎逻辑的得出了悖论。
集合最难练习题
集合最难练习题集合是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
在集合理论中，有一些难题，需要我们动脑筋来解决。
本文将介绍集合最难练习题，并尝试解答这些题目。
一、集合问题的背景集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。
集合的定义和性质是数学的基本内容之一。
在解决集合问题时，我们需要掌握集合的运算、集合之间的关系，以及集合的基本性质。
二、集合最难练习题的挑战1. 难题一：康托尔对角线论证康托尔对角线论证是由德国数学家康托尔提出的一种证明方法。
它用来证明无限集中元素个数的差异性。
具体问题为：对于一个由实数构成的集合，是否存在一个实数，它与集合中的每一个实数都不相等？如果存在，该如何构造这样一个实数？2. 难题二：罗素悖论罗素悖论是由英国哲学家罗素提出的一种逻辑悖论，也被称为自指悖论。
该悖论的具体问题为：是否存在一个集合，该集合既不属于自身，也属于自身？如果存在这样的集合，会导致逻辑的矛盾。
如何解决这个悖论，成为了集合论的一个重要问题。
三、集合最难练习题的解答1. 康托尔对角线论证对于一个由实数构成的集合，我们可以通过康托尔对角线论证得出，不存在一个实数与集合中的每一个实数都不相等。
我们可以通过构造一个实数，使得它在小数点后的每一位都与给定的实数不相等。
这样，我们就得到了一个不属于给定集合的实数。
2. 罗素悖论为了解决罗素悖论，数学家们提出了限制公理系统的办法。
通过限制公理系统中的公理，我们可以避免出现自指悖论。
例如，限制公理系统中的自反性公理，即不存在一个集合同时既非自己的元素，又是自己的元素。
四、结论集合最难练习题，考察了我们对集合概念的理解和运用能力。
通过解答这些难题，我们可以更好地掌握集合论的基本原理和性质，提高数学思维能力。
在解决集合问题时，我们需要灵活运用集合的运算和性质，善于发现问题的规律和特点。
通过不断练习和思考，我们可以逐渐提高解决集合问题的能力，掌握集合理论的精髓。
悖论及其解决
悖论及其解决悖论及其解决方案1、一连串悖论的出现罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界，造成第三次数学危机。
但是，罗素悖论并不是头一个悖论。
老的不说，在罗素之前不久，康托尔和布拉里·福蒂已经发现集合论中的矛盾。
罗素悖论发表之后，更出现了一连串的逻辑悖论。
这些悖论使入联想到古代的说谎者悖论。
即“我正在说谎”，“这句话是谎话”等。
这些悖论合在一起，造成极大问题，促使大家都去关心如何解决这些悖论。
头一个发表的悖论是布拉里·福蒂悖论，这个悖论是说，序数按照它们的自然顺序形成一个良序集。
这个良序集合根据定义也有一个序数Ω，这个序数Ω由定义应该属于这个良序集。
可是由序数的定义，序数序列中任何一段的序数要大于这段之内的任何序数，因此Ω应该比任何序数都大，从而又不属于Ω。
这是布拉里·福蒂1897年3月28日在巴洛摩数学会上宣读的一篇文章里提出的。
这是头一个发表的近代悖论，它引起了数学界的兴趣，并导致了以后许多年的热烈讨论。
有几十篇文章讨论悖论问题，极大地推动了对集合论基础的重新审查。
布拉里·福蒂本人认为这个矛盾证明了这个序数的自然顺序只是一个偏序，这与康托尔在几个月以前证明的结果序数集合是全序相矛盾，后来布拉里·福蒂在这方面并没有做工作。
罗素在他的《数学的原理》中认为，序数集虽然是全序，但并非良序，不过这种说法靠不住，因为任何给定序数的初始一段都是良序的。
法国逻辑学家茹尔丹找到—条出路，他区分了相容集和不相容集。
这种区分实际上康托尔已经私下用了许多年了。
不久之后，罗素在1905年一篇文章中对于序数集的存在性提出了疑问，策梅罗也有同样的想法，后来的许多人在这个领域都持有同样的想法。
布拉里·福蒂文章中对良序集有一个错误的概念，这个概念是康托尔1883年引进来的，但—直没有受到什么重视。
1887年8月，在布拉里·福蒂的文章发表以后，阿达马在第一次国际数学家大会上仍然给出了一个错误的良序集的定义。
罗素悖论及其拓展
“万有之集”W是一个集合，它无所不包，任何物质的或精神的事物都是它的元素，同时W本身也是一个事物，W∈W，所以“万有之集”W是一个异常集。但是罗素提问：
把正常集的全体构成一个集M，M是正常的还是异常的呢？
如果M是正常的，则M/∈M，即M不是M的元素，所以，M是异常的；
如果M是异常的，则M∈M，即M是M的元素，所以M是正常的。
正常之集M，如果是正常反而成了异常，如果是异常反而成了正常，既正则异，既异则正，两难选择，违反集合论二维基本公理。这就是罗素悖论。
罗素悖论曾经引起以集合论为基础的新兴数学的混乱。聪明的希尔伯特提出“A/∈A”的公理，从而制止了数学界的地震。不过这样做仅仅只是一种限制性回避。但是，回避不是办法。提出A/∈A的公理，回避了以自己为元素的异常集，实际是抛弃了对异常集的数学计算。异常集是客观存在的事物，前述如“观念之集”、“集之集”，再如“团体之集”、“市场之集”、“社会之集”、“宇宙之集”等。抛弃对客观事物的计算，不是数学精神。实际上，空集之集为空，全集之集为全，这两个集合论中的重要集合，也一起被抛弃在外了。
此时，杜瑞德法官看到骗子听了他的话以后无动于衷，就补充道：“我要警告，首席行刑官是逻辑实证主义行刑官俱乐部会员，将视任何形而上学废话为诺言，所以你别想在她面前玩花招。现在，给你一天时间，让你作出你自己的选择！”
杜瑞德法官言毕，陪审团为判决严正而鼓掌，法庭中所有的人都瞧着那名被告，为严惩这个撒谎成性的坏人而高兴，还想看看他是否会发表一个讲真话的声明而自取其辱。但奇怪的是，那“哲学家”仅微微冷笑，让人把他押送到死牢。
若干悖论（九、布什悖论）
只要是政治家，都好说漂亮话。美国总统布什访问北京大学，回答北大学子诘问有关自由的话题时说：“一个人只要不影响他人的自由，就可以享受个人自由”。这是近乎完美的闪烁着真理光芒的漂亮话。它是不是真理呢？
罗素的震撼了数学界悖论是怎么解决的
罗素的震撼了数学界悖论是怎么解决的现代数学基础的一场大论战在1902年拉开了序幕，这在自然科学史上是一件举世瞩目的大事。
自从科学巨匠牛顿和莱布尼兹创立微积分把无限带进了数学，数学家柯西接着建立了严格的极限理论，戴德金等又将实数理论严密化以来，数学便有了可靠的基础，成为完整得几乎无懈可击的体系。
因此，数学家庞加莱在1900年宣布：现在我们可以说，完全的严格性已经达到了!但是事隔三年，正当康托创立的集合论开始为大家所接受的时刻，英国的罗素于1902年提出了一个集合论上的悖论。
这一悖论非常清晰，数学家几乎没有辩驳的余地，一盆冷水浇下来，使数学家们目瞪口呆。
数理逻辑学的前驱弗雷格在他的《论数学基础》卷二的书后写道：“对一个科学家来说，没有一件事比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，突然它的一块奠基石崩塌下来了。
当本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷于这样的境地。
”罗素悖论震撼了数学界。
号称天衣无缝、绝对正确的数学，居然会出现自相矛盾，正如晴朗的天空上出现一片乌云，并且眼看着倾盆大雨就要来临!这样，从1902年开始，一场数学界关于现代数学基础的论争开始了。
罗素悖论使数学家感到“不安全”，众人欲努力设法消除这个怪物。
于是逻辑主义、直觉主义、形式主义相继出现，一场大论战终于把数学推向一个新阶段。
逻辑主义学派的代表人物是罗素和怀特海(英国数学家和哲学家)。
他们合作写了著名的《数学原理》，基本观点是“数学即逻辑”。
罗素说：“逻辑是数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代。
”逻辑主义学派把数学全部归结为逻辑的企图没有也不可能实现。
直觉主义学派认为数学理论的真伪，只能用人的直觉去判断。
这一派最早的代表人物是克罗内克，他有一句名言：“上帝创造自然数，别的都是人造的”。
意思就是说，只有自然数是人们可以感觉的真实存在，其余都是人为造出来的一些文字符号而已。
近代直觉主义者的系统创立人是荷兰数学家布劳威尔，他把数学思维理解为一种创造性程序，认为数学必须受到基本的数学直觉的限制。
罗素悖论
第三次数学危机
16级水保一班林南屏
Katalogue
什么是罗素悖论 罗素悖论的例子
罗素悖论的影响
悖论的解决
什么是罗素悖论
发现背景：
20世纪之初，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中， 科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基 本建成。 例如，德国物理学家基尔霍夫(G．R．Kirchhoff)就曾经说过：“物理 学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个 数字罢了。” 英国物理学家开尔文(L．Kelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说： “在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只能做一些零碎的修补 工作了。” 法国大数学家亨利•彭迦莱(Jules Henri Poincaré)在1900年的国际数学 家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了。 然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大 事就是罗素(Russell)悖论的发现。
NBG公理系统
冯· 诺伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系统等。在该公理系统 中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称 为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以 至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。
悖论的解决
• ZF公理系统：
1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一 个公理化集合论体系。这一公理系统在通过弗兰克尔（Abraham Fraenkel） 的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在 一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集 合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集； 并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛 盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。
罗素悖论用逻辑符号证明
罗素悖论用逻辑符号证明标题：深入理解罗素悖论：逻辑符号证明与哲学思考【引言】作为逻辑学和哲学的经典难题，罗素悖论一直以来都引发了学者们的广泛关注。
它揭示了命题逻辑自身的内在矛盾，挑战了我们对真理和自指的理解。
本文将以逻辑符号证明的方式，深入探讨罗素悖论，并分享一些个人的观点和理解。
【1. 罗素悖论的定义】罗素悖论最初由英国哲学家伯特兰·罗素提出，其核心思想是自指命题与自指命题的真值判断出现矛盾。
具体来说，设P为一个命题，表示“P是假的”。
若P为真，则根据定义，P为假，与前提相矛盾；若P 为假，则根据定义，P为真，同样与前提相矛盾。
这一悖论以精妙的逻辑构思揭示了命题逻辑的局限性。
【2. 逻辑符号证明】在逻辑学领域中，为了对罗素悖论进行深入研究，学者们善用逻辑符号进行证明。
我们可以运用谓词逻辑中的“属于”符号和“不属于”符号，来形成数学化的证明过程。
假设x为一个集合，使用R(x)表示“x属于自己”，则根据罗素悖论的设定，R(x)既不能为真，也不能为假。
但通过理性推导，我们可以证明R(x)在任何情况下都必须为真或必须为假，这与罗素悖论的设定相矛盾。
【3. 罗素悖论的启示】罗素悖论对哲学思考带来了深远的影响。
它揭示了命题逻辑的局限性，同时挑战了我们关于真理和自指的传统观念。
通过深入思考罗素悖论，我们不仅可以对逻辑学的发展进行反思，还能够拓宽对自我认知和哲学思辨的思路。
【4. 个人观点与理解】在我看来，罗素悖论不仅是一道逻辑上的困惑，更是对我们思维方式和认知能力的一种严峻考验。
它引发了人们对自指问题和真理本质的思考，促使我们反思人类对世界的认识是否存在根本性的局限。
虽然我们无法完全解决罗素悖论，但通过思辨和讨论，我们能够提升我们的哲学素养，并在日常生活中更加谨慎地运用逻辑思维。
【5. 总结】通过逻辑符号证明的方式，我们深入研究了罗素悖论这一命题逻辑的经典难题。
从定义上，我们了解了罗素悖论的内在矛盾，从证明上我们得到了逻辑上的严谨解释。
罗素悖论与不可判定问题
第六章 罗素悖论与不可判定问题§6.1 罗素悖论及其彻底消除方法6.1.1 罗素悖论与已有解决方法简述1902 年罗素、策梅罗发现了集合论中的一个重要的“策梅罗——罗素悖论”。
关于这个悖论黄耀枢著《数学基础引论》（北京大学出版社，1987 年出版）118-119页作了如下叙述。
“依逻辑二分法，可把集合分为两类：第一类：非正常集合。
例如：所有集合的集合、所有观念的集合，都是非正常的集合。
这类集合的特点是：集合本身也可以作为自己的一个元素。
所以可以作如下的定义：定义1 如果x 是非正常集合，当且仅当x 可以包括自己作为一个元素。
通常把满足非正常集合的条件记为：x x ∈。
第二类：正常集合。
例如：所有中国人组成的集合、所有自然数组成的集合、所有拉丁字母组成的集合等都是正常集合。
这类集合的特点是：集合本身不能作为自己的一个元素。
所以可以给正常集合作如下一个定义：定义2 如果x 是一个正常集合，当且仅当集合x 本身不是自己的一个元素。
通常把x 满足正常集合的条件记为：x x ∉。
现在设：所有不以自己为元素的集合组成一集合R, 即令所有正常集合组成一集合R 。
亦即{}x x x R ∉=。
那么集合R 包不包含自身？或者说集合R 是属于第一类集合还是属于第二类集合？” 结果得到：“集合R 包含在R 中当且仅当R 不包含在R 中的矛盾”。
为了解决集合论中的悖论，在罗素的《数学原理》中建立了逻辑类型轮。
其中一个内容说的是：‘应消除这种表示“非正常总体”的“所有集合的集合R ”的假设’(这句话摘自黄耀枢著《数学基础引论》265页)。
这是罗素对集合论研究的有益且有用的贡献；但是，罗素没有能够用纯粹逻辑方法建立起集合理论，在如何对待无穷集合问题上，他不是使用笔者的“自然数集合是一个（不同于有穷集合的）理想的非正常集合”的做法，而是采用了“无穷公理”。
这个公理的采用，实质上是采用了康托尔的“实无穷”观点，也可以说是采用了“肯定了自然数无穷总体的存在”、“所有数学对象的无穷总体都可以和通常的一个数学对象那样来处理”（这两句话摘自黄耀枢著《数学基础引论》305页）的柏拉图主意者的观点。
数学史上的经典悖论节选
悖论影响：罗素的这条悖论使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及 的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学 界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿 付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列 结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰 到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃 了。”罗素悖论的提出导致了数学的第三次危机。 悖论解决：罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能 够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需 要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必 须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论 主要有两种选择，ZF公理系统和 NBG公理系统。
②一个人从A点走到B点，要先走完路程 的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的 1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。 另附：《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭。”
三：希尔伯特悖论
• 人物生平：戴维·希尔伯特，又译大卫·希尔伯特，D.（David Hilbert，1862～1943），德国著名数学家。他于1900年8月8 日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努 力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的至高点，对这些 问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远 的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的 一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，他是天才中 的天才。
数学史上的三次危机及其解决
论数学史上的三次数学危机学号：100521026 姓名：付东群摘要：数学发展从来不是完全直线，而是常常出现悖论。
历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学的可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。
数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。
危机的产生、解决，又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。
关键词：数学危机；无理数；微积分；集合论；悖论；引言：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录。
数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至面临危机。
数学史也是数学家们克服困难和战胜的斗争记录。
无理数的发现，微积分和非欧集合的创立，乃至费马定理的证明......这样的例子在数学史上不胜枚举，他们可以帮助人们了解数学创造的完美过程。
对这种创造的过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中西区教益，获得鼓舞和增强信心。
第一次数学危机（无理数的产生）第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。
(一)、危机的起源毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这个数就是整数，他们确定数学的目的是企图通过数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，并且认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。
后来这个学派发现了毕达哥拉斯学定理（勾股定理），他们认为这是一件很了不起的事，然而了不起的事后面还有更了不起的事。
毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数。
这无疑对“万物皆数”产生了巨大的冲击，由此引发了第一次数学危机【1】。
（二）、危机的解决由无理数引发的第一次数学危机对古希腊的数学观点产生了极大的冲击。
数学悖论
罗素的“悖论”英国现代数理学家、哲学家罗素，是数学中逻辑主义学派的代表人物。
1903年他提出了著名的“悖论”，导致了“集合论”理论的发展。
所谓悖论，是从一些貌似正确的或看来可接受的约定出发，经过简明正确的推理，却得到自相矛盾的结论。
例如，对一个命题，如果假定它为真，经过无懈可击的推理，却推出它为假；但假定它为假，又能推出它为真。
这样的命题就是一个悖论。
下面是罗素提出的一个命题：某理发师规定：他只给那些自己不给自己刮脸的人刮脸。
这个理发师该不该给自己刮脸呢？很显然，如果这个理发师给自己刮脸，那么按规定他就不该给自己刮脸；同时，如果他不给自己刮脸，那么按规定他又应该给自己刮脸。
多尴尬的理发师！这样自相矛盾的命题就是悖论。
聪明的读者，请你分析下面的一句话：安第斯山人迪皮克说：“所有安第斯山人说的话都是谎话。
”你能推出这句话中的悖论吗6参考答案：如果这句是真话，由于迪皮克是安第斯山人，他也是说谎者，因此这句话是谎话。
如果这句话是谎话，那么安第斯山人不都是说谎者，可是他的话说明是在说谎，因此是句真话。
摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。
第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。
第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。
是通过无穷趋近而确定某一结果。
罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合一、前言数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
罗素悖论用逻辑符号证明
罗素悖论用逻辑符号证明
（实用版）
目录
一、罗素悖论的概念
二、罗素悖论的逻辑证明
三、罗素悖论的解决方法
四、罗素悖论的意义
正文
一、罗素悖论的概念
罗素悖论是由英国哲学家、数学家伯特兰·罗素提出的一个逻辑悖论，其核心问题是关于集合的自我归类。
罗素悖论用逻辑符号证明，可以表示为：“所有不包含自身的集合组成的集合是否包含自身？”
二、罗素悖论的逻辑证明
为了证明罗素悖论，我们可以通过逻辑符号来进行表示。
假设有一个集合 A，它包含所有不包含自身的集合。
那么我们可以得到以下两个结论：
1.如果 A 包含自身，那么根据 A 的定义，A 不应该包含自身，产生矛盾。
2.如果 A 不包含自身，那么根据 A 的定义，A 应该包含在 A 之中，产生矛盾。
由此可以看出，集合 A 无论是包含自身还是不包含自身，都会产生矛盾。
这便是罗素悖论的逻辑证明。
三、罗素悖论的解决方法
针对罗素悖论，数学家们提出了多种解决方法，如：
1.采用更加严谨的集合论公理系统，如 Zermelo-Fraenkel 集合论
（ZFC）。
2.引入新的逻辑原则，如 Gdel 不完备定理。
3.使用范畴论或模型论等数学工具对集合论进行重建。
四、罗素悖论的意义
尽管罗素悖论揭示了集合论的矛盾，但它对数学和逻辑学的发展产生了深远的影响。
罗素悖论
罗素悖论1.【罗素悖论简介】1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。
此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。
这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。
触发了第三次数学危机。
【什么是悖论】解释让我们先了解下什么是悖论。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题。
即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
主要形式悖论有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
【罗素悖论定义】把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A}Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号，因为实在找不到）问，Q∈P 还是Q∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A￠A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。
若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=Φ，所以Q￠Q，还是矛盾。
这就是著名的“罗素悖论”。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。
罗素悖论的解决
罗素悖论的解决罗素悖论1901年,罗素提出了“不包含自己在内的集合的集合”这一悖论(策梅罗也同时独立地发现了这个悖论)。
“罗素悖论”大家比较熟悉,但为了它的重要性,这儿不妨再说明几句。
有的集合不包括自己在内,例如“人”这个集合,包括所有的人在内,却不能包括抽象的人这个总的概念在内,因为这是个概念,本身并不是一个具体的人。
大多数集合属于这一类,罗素称之为“平常集”,即“不包括自身在内的集合刀。
另一类集合却包括了集合本身,例如“概念”这个集合,本身也是一个概念。
这一类集合,就叫做“非常集”。
现拿“平常集”来说,它也有一个总的集合,那就是“所有不包括自身在内的集合的集合”,这就造成了一个悖论,因为既然定义了“不包括自身在内”,这个总集合当然不能包括自身在内,但如果不包括它自己在内,定义却是“所有不包括自身”的集合,因此又只能理解为包括它自身在内。
至于所谓“非常集”,即“包括自己在内的集合”,例如“概念”这个“集合”，其中包含的元素同作为集合总体的“概念”相对言之,自然都是比较具体的概念,其实也是自相矛盾的。
人们至今对于罗素悖论相当重视,这不仅在于它指出了康托“不包括自己在内的合的集合刀的致命弱点,而且也由于这个悖论在形式逻辑概念问题上有重大意义,反映了逻辑学上的一些概念为什么必然自相矛盾这个问题。
例如“否定刀这个概念是形式逻辑中不可少的,但“否定刀往往会转化为“肯定”。
从辩证逻辑的观点看来,否定就包含着肯定,肯定也包含着否定,“包含自己刀和“不包含自己刀也是一种否定和肯定的关系,因为“包含”这个概念本身就包含着“不包含力。
“谎话”可以是“真话”。
但这一类辩证逻辑的判断,在形式逻辑领域中是不能允许其存在的。
悖论的解决为了使康托集合论避免悖论的危害,本世纪初,策梅罗拟出了一套公理化系统,这一个系统后来经过法兰凯尔的补充,就是现在数学界最为通行的ZF系统。
简略地说,策梅罗的系统就是限制了康托集合论中产生悖论的所谓“概括公理”(comprehensionaxiom),因为这条公理允许构成包括一切集合的集合。
罗素悖论的解决
罗素悖论的解决
罗素悖论的意思是这样的：
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
这个问题可以这样解决：
理发师表示，他的原则是：他给不自己刮脸的人刮脸。
所以如果他的原则也针对他自己，那么假如他给自己刮脸，那么就不符合他的原则，而假如他不给自己刮脸，那么按照他的原则他又必须给自己刮脸。
这样就出现了悖论。
呵呵，这就是不顾他的原则的本意来推广他的原则的结果！事实上，他的原则的本意是针对别人的，而不是针对他自己的。
所以是按照他的原则的本意，是不存在悖论的。
罗素悖论的解决方法
罗素悖论是英国哲学家伯特兰·罗素提出的一个逻辑悖论，涉及到集合论的基本概念。
悖论可以简述为：给定一个集合，问该集合是否包含自己。
如果集合包含自己，那么它应该排除自己，因为它是指在包含自己的集合之外。
然而，如果集合不包含自己，那么它应该被包含在其中，因为它是包含所有不包含自己的集合的集合。
罗素悖论展示了集合论的一种自指问题，挑战了早期集合论的基础。
为了解决这个悖论和其他类似的自指问题，数学家和哲学家提出了一些解决方法：
约束公理系统：一种解决罗素悖论的方法是通过引入约束或规范来限制集合的构建。
这意味着在集合论的公理系统中加入限制条件，以排除具有自指特性的集合的存在。
类与集合的区分：另一种方法是区分类与集合的概念。
类是一种更一般化的概念，而集合是一个在约定的范围内定义的类。
通过将罗素所涉及的集合看作类而不是集合，可以避免悖论的产生。
阿诺德谓词逻辑（APL）：阿诺德谓词逻辑是一种处理自指问题的一阶逻辑系统。
它使用重言式约束和特殊的限制来避免自指的产生。
类型理论：类型理论是一种替代传统集合论的数学基础。
它通过类型和层次结构来限制集合构建，从而避免了自指问题。
这些方法只是解决罗素悖论的一些思路，不同的哲学学派和数学家可能会有不同的解决方法。
罗素悖论提出了一个深刻的问题，对于集合论和逻辑的发展产生了重要的影响。
什么是罗素悖论？一文通俗读懂！
什么是罗素悖论？一文通俗读懂！罗素悖论选自《哲学100问》第2季文字· 声音丨书杰免费试听↓本文纯干货请静心阅读上图扫码 - 解锁罗素01.罗素悖论19世纪末20世纪初，数学家康托尔提出的集合论逐渐被国际数学界高度认可，罗素却提出了著名的“罗素悖论”。
其矛头直接指向集合论的漏洞，这无疑给当时的数学界和逻辑学界一锤重击，从而引发了第三次数学危机。
“罗素悖论”不是指罗素理论中的悖论，而是罗素在进行理论研究（运用康托尔的集合论解决自然数的数列问题）时发现的悖论。
什么是悖论？通俗来理解，悖论就是自相矛盾的命题，是两个互斥的观点是在逻辑上是等值，两个互斥的观点是等值的，可以互推。
也就说，以自己为真作为前提的命题，经过推导后，推出自己为假。
从假这个方向也可以推出真。
无论怎么推，这前后的命题能够同时成立。
这样的一类理论就是悖论。
我们举个正常的例子，比如“天空是蓝色的”，如果这个命题为真，那么推到出他的否定命题是什么，“天空不是蓝色的”。
如果这个时候天空是蓝色的”和天空不是蓝色的”同时成立了，那么这就是悖论了。
很显然这两者无法同时成立，那么“天空是蓝色的”这个命题就不是悖论。
那么有没有这样的理论呢？命题本身就处在一个自相矛盾的状态呢？也就是前提和结论同时都成立，但同时又自相矛盾呢？有的！这就是我们接下来要讲到的罗素悖论。
罗素在研究过程中，发现了两类理论，一个是集合论的悖论，一个是语义的悖论，都处在一种前后自我矛盾的状态。
我们先不说数学上的专业术语，先给大家讲两个通俗的事例，一下就能理解罗素悖论的精髓。
02.理发师悖论城里有一位理发师，他的理发店前的招牌上写着这样一段广告语：我只给不给自己刮脸的人刮脸，欢迎大家前来体验。
于是，城里那些不给自己刮脸的人都来找这位理发师刮脸。
但此时有一个人的情况比较特殊，这个人就是理发师自己。
他自己的胡子长长了该怎么办，他是否要给自己刮脸呢？理发师陷入矛盾之中。
如果他不给自己刮脸，那么他就处在“不给自己刮脸”这类人中，因此这就符合他自己广告上的规定。
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罗素悖论的解决
罗素悖论
1901年,罗素提出了“不包含自己在内的集合的集合”这一悖论(策梅罗也同时独立地发现了这个悖论)。
“罗素悖论”大家比较熟悉,但为了它的重要性,这儿不妨再说明几句。
有的集合不包括自己在内,例如“人”这个集合,包括所有的人在内,却不能包括抽象的人这个总的概念在内,因为这是个概念,本身并不是一个具体的人。
大多数集合属于这一类,罗素称之为“平常集”,即“不包括自身在内的集合刀。
另一类集合却包括了集合本身,例如“概念”这个集合,本身也是一个概念。
这一类集合,就叫做“非常集”。
现拿“平常集”来说,它也有一个总的集合,那就是“所有不包括自身在内的集合的集合”,这就造成了一个悖论,因为既然定义了“不包括自身在内”,这个总集合当然不能包括自身在内,但如果不包括它自己在内,定义却是“所有不包括自身”的集合,因此又只能理解为包括它自身在内。
至于所谓“非常集”,即“包括自己在内的集合”,例如“概念”这个“集合”，其中包含的元素同作为集合总体的“概念”相对言之,自然都是比较具体的概念,其实也是自相矛盾的。
人们至今对于罗素悖论相当重视,这不仅在于它指出了康托“不包括自己在内的合的集合刀的致命弱点,而且也由于这个悖论在形式逻辑概念问题上有重大意义,反映了逻辑学上的一些概念为什么必然自相矛盾这个问题。
例如“否定刀这个概念是形式逻辑中不可少的,但“否定刀往往会转化为“肯定”。
从辩证逻辑的观点看来,否定就包含着肯定,肯定也包含着否定,“包含自己刀和“不包含自己刀也是一种否定和肯定的关系,因为“包含”这个概念本身就包含着“不包含力。
“谎话”可以是“真话”。
但这一类辩证逻辑的判断,在形式逻辑领域中是不能允许其存在的。
悖论的解决
为了使康托集合论避免悖论的危害,本世纪初,策梅罗拟出了一套公理化系统,这一个系统后来经过法兰凯尔的补充,就是现在数学界最为通行的ZF系统。
简略地说,策梅罗的系统就是限制了康托集合论中产生悖论的所谓“概括公理”(comprehensionaxiom),因为这条公理允许构成包括一切集合的集合。
根据策梅罗一法兰凯尔ZF系统的公理,就不允许构成这样的集合,因而也就躲开了康托悖论、布拉里-福尔蒂悖论,当然也包括罗素悖论。
但是,ZF系统能否真正使得集合论摆脱悖论的干扰呢?唯一的解答在于ZF系统本身有无矛盾,即是否能证明ZF本身是协调的。
但是,由于哥德尔“不完全性定理刀这个紧箍咒的存在,凡是包括初等数论的逻辑系统都不能自己证明自己无矛盾或协调。
所以,无论从数学基础或逻辑学、哲学的观点来看,ZF系统只是有效地躲开了若干悖论,
至今该系统中未曾出现什么悖论,而且行之有效,但难保以后不会从中出现悖论。
我们知道，弗雷格把0定义为:一切与自身不相等同的事物的集合，这一事物是不存在的，但是由其组成的集合是存在的，那就是空集。
任何集合内的元素可有可无，但在逻辑上包含他们的集合不能为无，否则设定集合没有任何意义，不符合集合的规定。
这是我们必须牢记的前提!如果集合可以不存在，那么设定空集存在就是没有必要的了。
从现在开始，我们要时刻注意这个前提:集合必须存在!弗雷格的关于自然数的定义就是建立在这样的前提下的。
因此，这个集合论的悖论必须遵守这样一个前提才能成立;反之则不成立。
我们下面来看看罗素的质疑。
在罗素的质疑中，他设定了一个集合:一切与自身不相等同的集合组成的集合。
我们令“一切与自身不相等同的集合为C，而令由这一集合C所组成的集合为D。
那么“一切与自身不相等同的集合组成的集合”就表述为“一切与自身不相等同的集合C组成的集合D”。
集合D里蕴含了一个集合C作为其元素，但是，集合C由于是与自身不相等同的，所以集合C根本不存在。
因此罗素的这一质疑已经肯定了一个不存在的集合作为其推论的前提了，从而否定了上面我们讲过的弗雷格的“集合必须存在”的前提，那么即使这个质疑的推论过程是有效的，也由于擅自否定弗雷格的前提而使得该悖论无效。
综上所述，罗素提出的集合论的悖论是无效的，尽管推理过程是严密的。
通过集合论悖论我们可以看出，在悖论的形成中，对前提的暂时肯定是其必须遵守的规则。
即使这个前提是值得商榷的，但在推翻它之前必须先暂时肯定它，通过有效的推理，得出了相反的结论，这个前提才能被推翻。
就如同这样一个已经被前人解决的例子，我在这里进行转述:基督教相信上帝是全能的，但有人诘问说:“如果上帝是全能的，那么上帝能造出一块自己搬不动的石头吗?如果上帝可以造出这一块石头，那么上帝就搬不动它;如果上帝能够搬动任何石
头，那么上帝就无法造出这一块自己搬不动的石头。
”从表面上看，好像“上帝是全能的”这一命题是自相矛盾的，但其实是诘问者发生了错误。
因为如果要推翻“上帝是全能的”这一命题，就必须暂时肯定该命题，通过必然有效的推论得出“上帝不是全能的”的结论才能成功地推翻原来的命题，“上帝不是全能的”只能在结论处出现，绝对不能在前提中直接出现!但是这个诘问所说的“上帝能够制造一块自己搬不动的石头”可以转化为一个复合命题，即:上帝能够做一件他做不了的事。
在“事”的定语中已经把“上帝是全能的”这一大前提否定掉了，则该诘难“如果上帝能够制造这一块石头，那么上帝就不能搬动它”可表述为“如果上帝不是全能的，那么上帝不是全能的”这样荒谬的推论。
集合论的悖论的错误与之相仿。
那么无论其推论过程多么精彩也是徒劳的。