几何图形解题时中点的运用
四边形拓展—中点应用
A D CB M 四边形拓展练习——中点应用中点，特别是线段的中点是几何图形中的一个特殊点，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、中心对称图形、三角形中位线和梯形中位线等都有其身影．那么，如何恰当地利用中点和处理与中点有关的问题呢？关键在于：充分挖掘中点所包含的信息，合理联想构造含中点的图形来解决问题．一、利用中点构造三角形中线例1．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AE BD 交BC 于点E ．求证：2BE CE．例2．如图，在ABC 中，AB AC ，90BAC ，BD 是中线，AM BD 于M ，交BC 于点E ．求CDES．【注】如果是等腰三角形的问题，则腰上的中点即为构造全等三角形创造了条件．三角形中线的性质是分三角形为两个面积相等的小三角形．在涉及求面积时，往往是常用的结论之一．二、利用中点构造中心对称三角形例3．如图，在梯形ABCD 中，90D ，M 为AB 中点．若 6.5CM，17BC CD DA ，求梯形ABCD 的面积．E D CAB MEDCBAB C AD M NE 例4．如图，在菱形ABCD 中，120ABC ，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ．求直线BF 与DE 所夹的锐角的度数．【注】：在四边形问题中，若已知条件中有一边的中点，往往可利用中点构造中心对称的全等的三角形，从而把分散的条件相对集中，为解题创造有利条件．三、利用中点构造三角形中位线例5．如图，在ABC中，7AC ，4BC ，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，且1902AED C ．求CE 的长．例6．如图，已知AD 为ABC的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE AB ，M 、N 分别为边BC 、AE 的中点．求证：//MN AD ．【注】：在四边形问题中，当已知条件中出现四边形对边的两个中点时，常见的方法是：另外作对角线的中点，再利用三角形的中位线来解题．F CA DBE EDACBA B C DEFA BC PD E45°A D BC E四、利用中点构造直角三角形斜边中线和三角形中位线例7．如图，在ABC中，AB AC ，AD BC ，垂足为D ，E G 、分别为AD AC 、的中点，DF BE ，垂足为F ．求证：FG DG．例8．如图，在ABC内取一点P ，使PBA PCA ，作PD AB 于点D ，PE AC 于点E ．求证：DE 的垂直平分线必经过BC 的中点M ．【注】：当题目的条件中涉及到三角形一边的中点和直角三角形时，常用的方法是：另取一边（一般取斜边）的中点，为沟通直角三角形斜边中线定理和三角形中位线定理架起一座桥梁．五、利用中点构造梯形中位线例9．在梯形ABCD 中，90ABC DCB ，AD 上有一点E 使得BE EC ，且45CED ．求证：AB CD BC ．例10．如图，M N 、分别是四边形ABCD 边AB CD 、的中点，BN 与MC 交于点P ，AN 与MD 交于点Q ．求证：BCPADQMQNP SSS四边形．六、利用多个中点构造三角形和四边形 例11．如图，在任意五边形ABCDE中，M N P Q 、、、分别为AB CD BC DE 、、、的中点，K L 、分别为MN PQ 、的中点．求证：//KL AE 且1=4KL AE ．例12．在六边形ABCDEF中，//AB DE ，//BC EF ，//CD FA ，AB DE BC EF ，1111A B D E 、、、分别是边AB BC DE EF 、、、的中点，且1111A DB E ．求证：CDE AFE．QP NM AD B CK L Q PM NA BCD EE 1D 1B 1A 1EA BCD FABCD配套练习：1．如图，在菱形ABCD 中，100A ，M N 、分别是边AB BC 、的中点，MP CD于点P ，求NPC的度数．2．如图，在ABC中，D 为边BC 的中点，点E F 、分别在边AC AB 、上，且ABE ACF ，BE 与CF 交于点O ，作OP AC ，OQ AB ，P Q 、为垂足．求证：DP DQ．3．如图，在ABC 中，2A B ACB ，8BC ，D 为AB 的中点，且1972CD ，求AC 的长．PQDOABCE F PNMA B C DD BCAFE MABCDEM4．如图，在ABC 中，2B C ，AD BC 于D ，M 为BC 的中点，求证：12DM AB5．如图，在ABC中，2ABC C ，AD 平分BAC ，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：12BE BD ．6．如图，已知五边形ABCDE中，90,ABC AED BAC EAD。
一道双中点几何题的多角度解答
一道双中点几何题的多角度解答
高亮荣
【期刊名称】《数理天地（初中版）》
【年(卷),期】2024()9
【摘要】添加辅助线是解答几何题的一个基本策略,要求对题目的重要条件作分析,对基本图形进行理解与联系,运用图形之间的关联探索思考问题.下面以一道双中点问题作解题分析.
【总页数】2页(P22-23)
【作者】高亮荣
【作者单位】江苏省扬州市朱自清中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.一道典型几何题的多种证法——例谈中点相关的辅助线
2.一道几何题的多种思考与解法——例谈中点的常见用法
3.巧用数学模型解初中几何题--解答一道压轴题的几点思考
4.对一道解析几何题的多角度探究
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中考数学系统复习第五单元四边形方法技巧训练二几何中与中点有关的计算与证明练习
方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。
图形的中点问题
2012中考数学专题复习5图形的中点问题一.知识要点：线段的中点是几何图形中的一个特殊点，与中点有关的问题很多，添加适当的辅助线、恰当地利用中点是处理中点问题的关键。
涉及中点问题的几何问题，一般常用下列定理或方法：(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;(2)三角形中位线定理；(3)等腰三角形三线合一的性质；(4)倍长中线，构造全等三角形（或平行四边形）；(5)平行四边形的性质与判定.二.例题精选1、若一点是直角三角形斜边的中点或等腰三形底边的中点，则常过中点作中线，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质或“等腰三角形三线合一”的性质。
例1. 如图，已知△ABC中，∠B =90°，AB=BC,D在AB上,E在BC上，BD=CE , M是AC的中点，求证：△DEM是等腰直角三角形.提示：连结BM,证明ΔBDM≌ΔCEM,得DM=ME，∠DMB=∠EMC,则∠DME=,得ΔMDM为等腰直角三角形2、三角形中遇到两边的中点，常应用“三角形的中位线定理”,若有一点是三角形一边的中点或梯形一腰的中点，则常过中点作中位线。
例2.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线分别交MN的延长线于E、F．求证：∠DEN＝∠F．提示：连结AC，作AC中点G，连结MG，NG。
则MG=NG，MG∥BC，NG∥AD。
∴∠MGN＝∠F ,∠GNM=∠DEN,∠MGN=∠GNM. ∴∠DEN＝∠F．3、若有三角形的中线或过中点的线段，则通常加倍延长中线或过中点的线段，以构造两个三角形全等。
例3. 已知：如图2，AD为△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF提示：延长AD至G，使DG=AD，连结BG，则ΔBDG≌ΔCDA，∴AC=BG=BF4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想或构造“X字型”全等三角形.例4. 如图，正方形ABCD和正方形CGEF的边长分别是2和3，且点B，C，G在同一直线上，M是线段AE的中点，连结MF，则MF的长为．提示：延长AD、FM交于点H，则AH=EF=3，DH=1=DF，∴FH=MF=5、有关面积的问题中遇到中点，常用“等底等高的两个三角形面积相等”的性质。
线段双中点解题技巧
线段双中点解题技巧
线段的中点是线段上的一点，它把线段分成两个相等的部分。
当我们面对一个几何问题，特别是涉及到线段的问题时，利用中点的性质往往能简化问题，找到解题的突破口。
线段双中点解题技巧主要包括以下步骤：
1. 确定中点：首先确定题目中的两个中点，并理解它们的位置和性质。
2. 利用中点性质：利用中点的性质，如“中位线定理”或“中点四边形”等，这些性质可以帮助我们快速找到解题方向。
3. 建立数学模型：根据题目的具体要求，建立适当的数学模型，如方程、不等式或几何图形等。
4. 求解问题：通过计算或推理，求解出问题。
下面是一个具体的例子，说明如何使用线段双中点解题技巧。
题目：在三角形ABC中，D和E分别是AB和AC的中点，F是BC的中点。
DE = 2EF。
求证：BD = 2DC。
证明：
第一步，由题目信息，D和E是AB和AC的中点，所以DE是三角形ABC 的中位线。
第二步，根据中位线的性质，DE = ，且DE平行于BC。
第三步，同样由题目信息，F是BC的中点，所以BF = FC = 。
第四步，由第二步和第三步的信息，我们可以得出DE = 2EF。
第五步，由于DE平行于BC并且D是AB的中点，所以BD = 2DC（平行线性质和线段的比例性质）。
综上，我们证明了BD = 2DC。
巧用中点解题
作者：吴妍迪
来源：《数学大世界·中旬刊》2020年第01期
【摘要】中点是初中数学几何问题中经常出现的特殊点，利用这个特殊点构造直角三角形斜边中线、中位线这两种辅助线，往往能让我们快捷地寻找到合适的解题方案。
【关键词】中点;直角三角形斜边中线;中位线
线段的中点把线段分成长度相等的两个部分，是几何图形中的一个特殊的点。图形中出现的中点，可以引发我们丰富的联想。解题中，经常需要根据问题具体情境，利用中点构造恰当的辅助线，解决问题。下面结合几道例题具体谈谈如何巧用中点解决问题。
法二：借助DF的中点G、EF∥AD，构造“×字型”全等及直角三角形。延长EG与AD的延长线相交于H点，连接EC、HC。（如图5所示）此时，EG=GH，G为EH的中点。又易证△EBC≌△HDC，则∠ECH=90°，从而用直角三角形斜边上的中线得证。（也可用其他方法得到，如证明△ECH为等腰直角三角形等）
直角三角形中斜边中线及其性质在直角三角形中起着重要作用，除了出现2倍关系之外，这条中线还把直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的等腰三角形，借助中点，如果我们能把握图形特征，恰当构造出直角三角形斜边上的中线，借助它的性质，往往能帮助我们迅速打开解题思路，顺利解决问题。
中位线是三角形中具有重要性质的线段，三角形中位线定理更是平面几何中具有重要价值的定理，它既呈现出了线段之间的位置关系，又传递了线段长度的关系，在一些几何解题中，我们常常会见到它的身影，特别是又遇到了中点，往往会联想到三角形中位线，利用中位线定理建立模型，解决问题。
例1：如图1，在△ABC中，AB=AC，延长AB到点D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE。求证：CD=2CE。
分析：从条件分析，图中出现了两个中点：E为AB中点，B为AD的中点。而E、B在边AD上，不能发挥中线或中位线的作用。但从结论分析，此题目求证的是长度的2倍关系，联想到三角形中位线、直角三角形斜边上的中线构造辅助线，然而此题未出现直角，只能构造中位线，并且构造长度为DC一半长度的中位线，即找到了以B为一端点的中位线。
七上数学中点问题解题技巧和方法
七上数学中点问题解题技巧和方法一、认识中点1、什么是中点在平面几何中，中点指的是线段的中心点，也就是将一条直线段平均分成两段的点。
在坐标系中，中点的坐标可以通过相应线段的两个端点的坐标来求得。
2、中点的特点中点具有以下特点：- 与两端点距离相等- 与两端点连线构成的线段长度是全线段长度的一半- 坐标为两端点坐标的算术平均值二、中点问题解题技巧和方法1、求直线段中点的坐标求直线段中点的坐标，可以通过端点坐标的平均值来求得。
假设直线段的两个端点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标为：\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]2、中点问题解题步骤求解中点问题一般需要经过以下步骤：- 确定问题：明确问题中需要求解的中点的具体内容，确定问题中所给条件以及未知数。
- 分析问题：通过问题分析，理清思路，确定解题的方法和步骤。
- 求解过程：根据问题需求，使用公式或者坐标的求解方法求得中点坐标。
- 检验答案：求得中点坐标后，通过计算或者图示方法对答案进行检验，确保结果的准确性。
三、实例分析下面通过实例对中点问题的解题技巧和方法进行具体分析。
例题：已知直线段AB的端点坐标分别为A（2，3）和B（6，8），求直线段AB的中点坐标M。
分析解题步骤：1. 确定问题：根据题目要求，需要求解直线段AB的中点坐标M。
2. 分析问题：根据中点的定义和公式，可以通过端点坐标的平均值求得中点坐标。
3. 求解过程：根据公式\[M(\frac{x1+x2}{2},\frac{y1+y2}{2} )\]，带入端点坐标得到：\[M(\frac{2+6}{2},\frac{3+8}{2} )\]，计算得中点坐标M为：\[M(4,5)\]。
4. 检验答案：通过计算得到的中点坐标进行检验，发现满足与端点距离相等的特点，因此得出结论，中点坐标M为(4,5)。
四、总结与思考中点问题是数学中的基础问题，其求解过程涉及到坐标系的运用、平均值的计算等数学知识。
专题 几何中与中点有关的那些事
专题几何中与中点有关的那些事一、知识点综述中点是几何中的一个重要概念，体现了对称、和谐之美，是中考的核心考察对象之一，在命题中占着重要的一席之地.主要有：①三角形的中线（三角形的中线将三角形面积一分为二）；三角形重心将三角形中线分成1:2两份.②等腰三角形三线合一（等腰三角形底边的中线、高、顶角平分线共线）；③线段垂直平分线（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）；④斜中定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）；⑤三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半）；⑥平行四边形对角线性质（平行四边形对角线互相平分）；⑦四边形的中点四边形（形状与对角线关系有关）.二、基本图形图形条件结论CD中△ACB的中线S1=S2△ABC是直角三角形，D、E、F分别是各边的中点四边形DFCE是矩形EF=CD图形条件结论D是△ABC边AB的中点，连接CD，CD=AD=BD∠ACB=90°平行四边形ABCD对角线交于点OO是AC和BD的中点DE∥BC，DE=12BCD、E分别是AB、AC的中点D、E分别是AB、AC的中点DE∥BC，DE=12BCE、F、G、H是各边中点AC⊥BD四边形EFGH是矩形AC=BD四边形EFGH是菱形AC⊥BD且AC=BD四边形EFGH是正方形延长AB至F，使AF=AB△ABC≌△AFD四边形BC FD是平行四边形三、典型例题分析下面我们就一些典型例题讲述这类题目的做题思路及方法.例题1. 如图-1，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=70°，则∠DGF的度数为．图-1例题2. 如图-2，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、BE相交于点O.求证：OC=2OD，OB=2OE.图-2例题3. 如图-3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD 的位置关系，并证明你的结论.图-3例题4. 如图-4,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB边上的中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=75°，求∠BCE的度数．图-4例题5. 若任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为30 cm ，则四边形EFGH的周长是例题6. 如图-6,已知在四边形ABCD 中,AD =BC ,E 、F 分别是DC 、AB 边的中点,FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF =∠BGF ．图-6例题7. 如图-7，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AB =33，AD =3，点M ，N 分别在边AB ，BC 上，点E ，F 分别为MN ，DN 的中点，连接EF ，则EF 长度的最大值为 ．图-7例题8. 如图-8所示，已知△ABC 中，D 是BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E 点，若AB ＝12，AC ＝16，求ED ．CBADE图-8例题9. 如图-9，在△ABC 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以A C 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠CAB ＝45°. （1）求∠ECD 的度数；（2）求证：DE平分∠FDC.图-9例题10. 如图-10所示，在△ABC中，点D在边AC的中点上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，（1）求证：EF＝12 AB．（2）当∠C＝60°时，BC、AB与AC满足怎么样的关系？图-10例题答案例题1. 如图-1，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=70°，则∠DGF的度数为．图-1【答案】55°.【解析】延长AD、EF相交于点H，如图所示∵F是CD的中点，∴CF=DF，由菱形性质知：AD∥BC，∴∠H=∠CEF，可证得：△CEF≌△DHF，∴EF=FH，∵EG⊥AD，∴GF=FH，∴∠DGF=∠H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=70°，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴CE=CF，在△CEF中，∠CEF=（180°﹣70°）÷2=55°，∴∠DGF=∠H=∠CEF=55°．故答案为：55°．例题2. 如图-2，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接CD、BE相交于点O. 求证：OC=2OD，OB=2OE.图-2【答案】见解析.【解析】此题有多种证明方法，这里以其中三种加以证明.证明方法①：连接DE，如图.∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC=1:2，∴OD:OC=OE: OB=DE: BC=1:2,即：OC=2OD，OB=2OE.证明方法②：连接DE，取OB、OC的中点F、G，连接FG，如图所示.∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE =12 BC，同理可证：FG∥BC，FG =12 BC，所以△DOE≌△GOF，∴OD=OG，OE=OF，即：OC=2OD，OB=2OE.证明方法③：连接OA，如图.由上面证明可知：DE∥BC所以S2+S5=S4+S5,所以S2=S4，而S1=S2，S3=S4，所以S1=S2=S3=S4，所以S△AOC=2S△AOD，所以OC=2OD，同理，OB=2OE.例题3. 如图-3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD 的位置关系，并证明你的结论.图-3【答案】见解析.【解析】解：MN⊥BD，理由如下：连接BM，DM，如图所示.因为∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，所以BM是Rt△ABC斜边上的中线，所以BM=12AC，同理DM=12AC.所以BM=DM.又因为N是BD的中点，所以MN⊥BD（三线合一）.例题4. 如图-4,在△ABC中,AD是边BC上的高,CE是边AB边上的中线,点G是CE的中点,DG⊥CE,点G 为垂足．（1）求证：DC=BE；（2）若∠AEC=75°，求∠BCE的度数．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵G是CE的中点，DG⊥CE，∴DG是CE的垂直平分线，∴DE=DC，∵AD是高，CE是中线，∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，∴DE=BE=12 AB，∴DC=BE；（2）∵DE=DC，∴∠DEC =∠BCE ，∴∠EDB =∠DEC +∠BCE =2∠BCE ， ∵DE =BE ， ∴∠B =∠EDB ， ∴∠B =2∠BCE ， ∴∠AEC =3∠BCE =75°， 则∠BCE =25°．例题5. 若任意四边形ABCD 各边中点分别是E 、F 、G 、H ，若对角线AC 、BD 的长都为30 cm ，则四边形EFGH 的周长是【答案】60cm .【解析】根据基本图形，可知：四边形EFGH 的形状为菱形， 依据中位线定理，可得：EF =0.5×30=15cm ， 所以四边形EFGH 的周长为：4×EF =60cm . 故答案为：60cm .题6. 如图-6,已知在四边形ABCD 中,AD =BC ,E 、F 分别是DC 、AB 边的中点,FE 的延长线分别与AD 、BC 的延长线交于H 、G 点．求证：∠AHF =∠BGF ．图-6【答案】见解析.【解析】证明：连接AC ，取AC 的中点M ，连接ME 、MF . 如图.H DCAB E M G∵M是AC的中点，E是DC的中点，∴ME是△ACD的中位线，∴AD =2ME, PE∥AH，∴∠MEF＝∠AHF，同理可证：BC =2MF, ∠MFE＝∠BGF，∵AD＝BC，∴ME＝MF，∴∠MFE＝∠MEF，∴∠AHF＝∠BGF.例题7. 如图-7，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，则EF长度的最大值为．图-7【答案】3.【解析】解：∵E，F分别为MN，DN的中点，∴EF是△NDM的中位线，∴EF=12 DM，即DM取最大值时，EF的长度最大，很明显，当M与B重合时，DM最大，根据勾股定理，得DM最大值为：DB=6.∴EF的最大值为3. 故答案为：3.例题8. 如图-8所示，已知△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB＝12，AC＝16，求ED．C B AD E图-8【答案】2.【解析】解：延长BE 交AC 于点F , 如图. C BD EF因为AE ⊥BE ，所以∠A EB =∠AEF =90°，因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠FAE ，又AE =AE ，所以△ABE ≌△AFE ,所以BE =EF ，即E 是BF 的中点，因为D 是BC 的中点，所以DE 是△BCF 的中位线，因为AB ＝12，AC ＝16， 所以CF =4，DE = 12CF =2.故答案为：2.例题9. 如图-9，在△ABC 中，AB ＝A C ，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以AC 为斜边作Rt △ADC ，若∠CAD ＝∠CAB ＝45°.（1）求∠ECD 的度数；（2）求证：DE 平分∠FDC .图-9 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠CAB＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°．∵Rt△ADC中，∠CAD＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，AD＝DC，∴∠ECD＝∠ACB+∠ACD＝112.5°；(2)证明：∵E、F分别是BC、AC的中点，∴FE＝12AB，FE∥AB，∴∠EFC＝∠BAC＝45°，∠FEC＝∠B＝67.5°．∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，AD＝DC，∴FD＝12AC，DF⊥AC，∠FDC＝45°，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠FDE＝∠FED＝12（180°﹣∠EFD）＝12（180°﹣135°）＝22.5°，∴∠FDE＝12∠FDC，∴DE平分∠FDC.例题10. 如图-10所示，在△ABC中，点D在边AC的中点上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，（1）求证：EF＝12 AB．（2）当∠C＝60°时，BC、AB与AC满足怎么样的关系？图-10 【答案】见解析.【解析】（1）证明：连接BE，∵在△BCD中，DB＝BC，E是CD的中点，∴BE⊥CD，∵F是AB的中点，∴在Rt△ABE中，EF是斜边AB上的中线，∴EF＝12 AB；（2）结论：BC2+AB2＝AC2理由：∵BC＝BD，∠C＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴CD＝BD，∵CD＝AD，∴DB＝DC＝DA，∴∠CBA＝90°∴BC2+AB2＝AC2。
几何中点的概念
几何中点的概念几何中点是指在几何图形中，两点之间的中点。
具体来说，中点是指连接线段的两个端点，并且距离这两个端点相等的点。
在几何中，中点是一个非常重要且常见的概念，它在解题和构造几何图形中起着重要的作用。
首先，我们来看一下中点的定义。
给定线段AB，如果M是线段AB的中点，那么AM = MB。
这意味着M到线段的两个端点的距离是相等的。
中点可以是线段的内部，也可以是线段的延长线上的一点。
中点的特性和性质有以下几点：1. 集合定义：线段的中点构成的集合，就是线段的中位数。
一个线段只有一个中点，而一条线段的中位线可以不存在，也可以不唯一。
2. 位置唯一：给定线段的两个端点，它们的中点位置是唯一确定的。
3. 对称性：如果M是线段AB的中点，则AM = MB。
反过来，如果AM = MB，则M是线段AB的中点。
4. 比例性：如果M是线段AB的中点，那么AM/AB = 1/2，并且MB/AB = 1/2。
也就是说，线段的中点将线段分成两个等长的部分。
5. 中点连线：两线段的中点连线平行于这两线段本身，并且等于这两线段的平均值。
6. 中点分割：一条直线上的任意两点，它们的中点也在这条直线上。
中点具有上述的特性和性质，在解题和构造几何图形时，可以利用这些性质来简化问题或者确定几何图形的一些未知位置。
在解题过程中，利用中点的概念可以使问题简化。
以证明两个线段相等为例，在线段的中点处作平行于该线段的另一个线段，将两线段按照某种方法连接起来，利用中点的性质，可以得出两线段相等的结论。
在构造几何图形时，中点的位置也是很有用的辅助点。
比如，在绘制等边三角形时，可以通过找出一个线段的中点并连接两个端点，然后沿着中点连线的延长线截取等长的线段，再连接线段的两个延长线，就可以得到一个等边三角形。
除了常见的线段中点，平面几何中还存在着其它几何图形的中点。
比如，三角形的中点就是连接三角形两个顶点的中点，也可以视为三角形的边上的点。
同样，四边形、多边形等都有自己的中点。
初中数学中点模型归纳总结
初中数学中点模型归纳总结中点模型是初中数学中一个重要的概念，常用于几何图形的证明和计算中。
通过对中点模型的归纳总结，可以更好地理解和运用这一概念。
本文将分别从数轴中点、线段中点和三角形中点三个方面进行归纳总结。
一、数轴中点数轴中点是指数轴上离两个点距离相等的点。
在数轴上，如果A、B两个点的坐标分别为a和b，那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = (a + b) / 2通过这个公式，我们可以很方便地求解两个点的中点坐标。
同时，我们还可以推广到三个点的情况：三点中点坐标 = (a + b + c) / 3这个公式也可以以类似的方式计算。
二、线段中点线段中点是指线段上距离两个端点相等的点。
在线段AB上，如果A、B两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），那么它们的中点的坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2)通过这个公式，我们可以计算出线段AB的中点坐标。
同样地，我们还可以推广到三维空间中的情况：三维空间中点坐标 = ((x1 + x2 + x3) / 3, (y1 + y2 + y3) / 3, (z1 + z2 +z3) / 3)这个公式在三维几何场景中也能帮助我们求解线段的中点坐标。
三、三角形中点三角形中点是指连接三角形三个顶点与对边中点的线段所构成的三个线段的交点。
三角形的三个中点分别是三边中点、三角形重心和三角形外心。
下面我们分别来介绍它们的特点和计算方法。
1. 三边中点：连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，分别记为M1、M2、M3。
这三个点构成的线段M1M2、M2M3和M3M1分别平分三角形的三条边，且交于三角形的重心G。
2. 三角形重心：三角形重心是连接三角形三个顶点与对边中点的线段的交点，记为G。
三角形的重心是三条中线的交点，其中中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
3. 三角形外心：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，记为O。
人教版七年级数学上册课件：第四章几何图形初步 巧用线段中点(或分点)的有关计算 (共20张PPT)
(2)几秒后，恰好有OA:OB＝1:2? 设运动时间为t s. ①B与A相遇前：12－4t＝2(t＋3)，即t＝1； ②B与A相遇后：4t－12＝2(t＋3)，即t＝9. 答：1 s或9 s后，恰好有OA:OB＝1:2.
解：(1)因为点M，N分别是AC，BC的中点，
所以MC＝ 1 AC＝ 1 ×8＝4(cm)，
NC＝ 1 BC＝2 1 ×62＝3(cm)． 所以M2 N＝MC2 ＋NC＝4＋3＝7(cm)．
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC＋CB＝a cm，其
他条件不变，你能猜想出MN的长度吗？说明理由．
所以BN＝ BC＝ ×8＝4(cm)．
所以MN＝M1 B＋BN1 ＝10＋4＝14(cm)． 综上所述，2 线段MN2 的长为6 cm或14 cm.
(2)根据(1)中的计算过程和结果，设AB＝a，BC＝b， 且a＞b，其他条件都不变，求MN的长度(直接写 出结果)．
MN＝ 1 (a＋b)或MN＝ 1 (a－b)．
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月7日星期二2021/9/72021/9/72021/9/7 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/72021/9/72021/9/79/7/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/72021/9/7September 7, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/72021/9/72021/9/72021/9/7
中考数学解析几何解题技巧
中考数学解析几何解题技巧解析几何是中考数学中的一个重要考点，它涉及到平面几何和空间几何的一些基本概念和解题方法。
在中考中，解析几何的题目通常比较灵活多样，需要我们掌握一些解题技巧，下面将介绍几种常用的解析几何解题技巧。
1. 利用图形的对称性质对称性是解析几何中常见的一个特点，利用图形的对称性质可以简化解题的过程。
例如，在求解线段中点问题时，如果两个点关于某个点对称，那么这个点就是中点；在判断线段垂直问题时，如果两条线段的斜率乘积为-1，那么它们就垂直。
2. 用坐标系建立方程建立坐标系是解析几何中的常用方法，通过引入坐标系，可以将几何问题转化为代数问题，从而更方便地进行求解。
当遇到直线，平面或者圆等图形时，可适当引入坐标，利用坐标系建立方程，然后进行计算。
3. 利用平行和垂直关系平行和垂直是解析几何中常见的关系，利用这些关系可以简化解题的过程。
例如，在判断两条直线是否平行时，可以比较它们的斜率是否相等；在判断两条直线是否垂直时，可以比较它们的斜率乘积是否为-1。
4. 利用相似三角形相似三角形是解析几何中常用的一个概念，利用相似三角形的性质可以推导出一些几何关系，从而解决问题。
例如，在判断两条直线是否平行时，可以利用相似三角形的性质得到结论；在求解线段比例问题时，也可以利用相似三角形的性质进行求解。
5. 利用向量法求解向量法是解析几何中的一种常用方法，通过引入向量，可以更直观地描述几何对象之间的关系，从而解决问题。
例如，在求解线段的长度问题时，可以将线段表示为向量的差，然后计算向量的模即可；在判断三角形是否共面时，可以利用向量的线性相关性进行分析。
6. 利用距离公式求解距离公式是解析几何中的一个基本概念，通过利用距离公式，我们可以计算出几何对象之间的距离，从而解决问题。
例如，在求解点到直线的距离问题时，可以利用点到直线的垂线段长度计算距离；在求解点到平面的距离问题时，可以利用点到平面的垂线长度计算距离。
苏科版八年级数学下册第9章中心对称图形中点问题常用思路练习(含参考解答)
中点问题常用思路在解答几何问题时会遇到不少中点问题，解答这类问题通常考虑运用以下四类方法解答：(1)根据等腰三角形“三线合一”解答；(2)根据线段垂直平分线的性质解答；(3)根据直角三角形斜边上中线的性质解答；(4)构造三角形中位线解答．►类型一与等腰三角形有关的中点问题1．如图3－ZT－1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，BC＝12，CD＝AC＝16，M，N分别是对角线BD，AC的中点．(1)求证：MN⊥AC；(2)求MN的长．图3－ZT－1►类型二与垂直平分线有关的中点问题2．如图3－ZT－2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC 的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，如果AB＝AC，求证：BM＝MN＝NC.图3－ZT－2►类型三与直角三角形斜边上的中线有关的中点问题3．如图3－ZT－3①，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．(1)求证：MN⊥DE.(2)连接DM，ME，求证：∠DME＝180°－2∠A.(3)若将锐角三角形ABC变为钝角三角形ABC，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，直接写出正确的结论．图3－ZT－3►类型四与三角形中位线有关的中点问题4．如图3－ZT－4，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，M，N分别是对角线BD，AC的中点，试探索MN与AD，BC的位置关系与数量关系，并说明理由．图3－ZT－45．2018·白银如图3－ZT－5，已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC；(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．图3－ZT－56．已知M 为△ABC 的边BC 的中点，AB ＝12，AC ＝18，BD ⊥AD 于点D ，连接DM. (1)如图3－ZT －6①，若AD 为∠BAC 的平分线，求MD 的长； (2)如图3－ZT －6②，若AD 为∠BAC 的外角平分线，求MD 的长．图3－ZT －67．如图3－ZT －7①，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，垂足分别为F ，G ，连接FG ，延长AF ，AG ，与直线BC 分别相交于点M ，N.(1)试说明：FG ＝12(AB ＋BC ＋AC)；(2)如图②，若BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，则线段FG 与△ABC 的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由；(3)如图③，若BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则线段FG 与△ABC 三边的数量关系是______________．图3－ZT －7中点问题常用思路参考答案1．解：(1)证明：如图，连接AM ，CM ，∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，M 是BD 的中点， ∴AM ＝CM ＝BM ＝DM ＝12BD.又∵N 是AC 的中点，∴MN ⊥AC.(2)∵∠BCD ＝90°，BC ＝12，CD ＝16， ∴BD ＝BC 2＋CD 2＝20，∴AM ＝12BD ＝12×20＝10.∵AC ＝16，N 是AC 的中点，∴AN ＝12×16＝8，∴MN ＝AM 2－AN 2＝6.2．证明：如图，连接AM ，AN.∵AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ， ∴BM ＝AM ，NC ＝AN ，∴∠MAB ＝∠B ，∠CAN ＝∠C. ∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ＝30°，∴∠MAB ＋∠CAN ＝60°，∠AMN ＝∠ANM ＝60°， ∴△AMN 是等边三角形， ∴AM ＝AN ＝MN ， ∴BM ＝MN ＝NC.3．解：(1)证明：如图①，连接DM ，ME.∵CD ，BE 分别是AB ，AC 边上的高，M 是BC 的中点，∴DM ＝12BC ，ME ＝12BC ，∴DM ＝ME.又∵N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE.(2)证明：由(1)知DM ＝ME ＝BM ＝MC ， ∴∠BMD ＋∠CME＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB) ＝360°－2(∠ABC ＋∠ACB) ＝360°－2(180°－∠A) ＝2∠A ，∴∠DME ＝180°－2∠A.(3)(1)中的结论成立；(2)中的结论不成立．理由如下：如图②，连接DM ，ME.在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠BAC. ∵DM ＝ME ＝BM ＝MC ，∴∠BME ＋∠CMD ＝2∠ACB ＋2∠ABC ＝2(180°－∠BAC) ＝360°－2∠BAC ，∴∠DME ＝180°－(360°－2∠BAC) ＝2∠BAC －180°.4．解：MN ∥AD ∥BC ，MN ＝12(BC －AD)．理由如下：连接AM 并延长交BC 于点H ，如图所示．∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠HBD. 在△AMD 和△HMB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADM ＝∠HBM ，DM ＝BM ，∠AMD ＝∠HMB ，∴△AMD ≌△HMB ，∴AM ＝MH ，AD ＝BH. ∵AM ＝MH ，AN ＝NC ， ∴MN ∥HC ，MN ＝12HC ，∴MN ∥BC ∥AD ，MN ＝12(BC －AD)．5．解：(1)证明：∵F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点，∴FH ∥BE ，FH ＝12BE ＝BG ，∴∠CFH ＝∠CBG.又∵BF ＝CF ，∴△BGF ≌△FHC.(2)连接EF ，GH.当四边形EGFH 是正方形时，可得EF ⊥GH 且EF ＝GH. ∵在△BEC 中，G ，H 分别是BE ，CE 的中点， ∴GH ＝12BC ＝12AD ＝12a ，且GH ∥BC ，∴EF ⊥BC.∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ， ∴AB ＝EF ＝GH ＝12a ，∴矩形ABCD 的面积＝AB·AD＝12a ·a ＝12a 2.6．解：(1)如图①，延长BD 交AC 于点E ，∵AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD ， ∴BD ＝DE ，AE ＝AB ＝12， ∴CE ＝AC －AE ＝18－12＝6. 又∵M 为△ABC 的边BC 的中点， ∴MD 是△BCE 的中位线， ∴MD ＝12CE ＝12×6＝3.(2)如图②，延长BD 交CA 的延长线于点E ， ∵AD 为∠BAE 的平分线，BD ⊥AD ， ∴BD ＝DE ，AE ＝AB ＝12， ∴CE ＝AC ＋AE ＝18＋12＝30. 又∵M 为△ABC 的边BC 的中点， ∴MD 是△BCE 的中位线， ∴MD ＝12CE ＝12×30＝15.7．解：(1)∵BD ⊥AF ， ∴∠AFB ＝∠MFB ＝90°. 在△ABF 和△MBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，∠ABF ＝∠MBF ， ∴△ABF ≌△MBF ， ∴MB ＝AB ，AF ＝MF.同理：CN ＝AC ，AG ＝NG ， ∴FG 是△AMN 的中位线，∴FG ＝12MN＝12(MB ＋BC ＋CN) ＝12(AB ＋BC ＋AC)．(2)FG ＝12(AB ＋AC －BC)．理由：如图①，延长AF ，AG ，与直线BC 分别相交于点M ，N ， ∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝∠MFB ＝90°. 在△ABF 和△MBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，∠ABF ＝∠MBF ， ∴△ABF ≌△MBF ， ∴MB ＝AB ，AF ＝MF.同理：CN ＝AC ，AG ＝NG ， ∴FG ＝12MN＝12(MB ＋CN －BC) ＝12(AB ＋AC －BC)．(3)FG ＝12(AC ＋BC －AB)．理由：如图②，延长AF ，AG ，与直线BC 分别相交于点M ，N. ∵AF ⊥BD ，∴∠AFB ＝∠MFB ＝90°. 在△ABF 和△MBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB ＝∠MFB ，BF ＝BF ，∠ABF ＝∠MBF ， ∴△ABF ≌△MBF ， ∴MB ＝AB ，AF ＝MF.同理：CN ＝AC ，AG ＝NG ， ∴FG ＝12MN＝12(CN＋BC－MB)＝12(AC＋BC－AB)．。
微专题 中点问题六大方法
方法四 遇到三角形一边垂线过这边中点时，利用垂直平分线的性质 例 4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点
7 D作DE⊥AB交BC的延长线于点E，则CE 的长为____6____． 【思考】点D是AB的中点且DE⊥AB，你想到了哪些学过的知识：D__E_是__线__段__A_B__的__垂__直__ _平__分__线__，__线__段__垂__直__平__分__线__上__的__点__到__线__段__两__端__点__的__距__离__相__等__．_
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针对训练
5. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，OD⊥BC于点D，AC＝6，则OD的长为
(B)
A
第5题图
6. 如图，AB是半圆O的直径，△ABC的两边AC，BC分别交半圆于D，E，且E为BC的 中点，已知∠BAC＝50°，则∠C＝____6_5_°__．
例5题图
方法总结 如图，(1)圆心O是直径的中点，常与已知中点连接，或过点O作一边的平行线或垂直 构造中位线解题； (2)圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“四中点一垂直”解决相应问题； (3)圆中遇到弧的中点，利用“一等四等”、“垂径定理”解决相应问题．
点E是弦AB的中点
点C是 »AB 的中点
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
∵∠BDG＝∠CDA，AD＝GD，
∴△ADC≌△GDB(SAS)．
∴AC＝GB，∠G＝∠EAF. 又∵AF＝EF，
∴∠EAF＝∠AEF.
∵∠AEF＝∠BED，
∴∠G＝∠BED.
例6题解图①
∴BE＝BG.
∴BE＝AC.
【思考】聪明的你还能想到哪些作辅助线的方法，至少再写出一种并解答．
中点倍长公式
中点倍长公式中点倍长公式是解决几何问题的一个有力工具，在咱们的数学学习中可有着重要地位呢！先来说说什么是中点倍长。
简单来讲，就是如果我们在一个几何图形中遇到了线段的中点，那就可以通过延长中线等方法构造出全等三角形，从而帮助我们找到解题的突破口。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个叫小李的同学总是一脸懵。
有一次课堂练习，遇到一道需要用到中点倍长公式的题目，小李看着题目直发愣。
我走到他身边，发现他完全没有思路。
于是我就耐心地引导他：“你看啊，这里有个中点，咱们是不是可以想想中点倍长的方法？”小李还是皱着眉头。
我拿起笔，给他在图上一点点地演示：“咱们把这条中线延长一倍，然后你再看看，能发现什么？”小李盯着图，眼睛突然亮了一下：“老师，好像能构造出全等三角形！”我笑着点点头：“对呀，这就是中点倍长的妙处！”从那以后，小李对这个知识点算是有了深刻的理解。
咱们再深入聊聊中点倍长公式的具体应用。
比如说，在证明线段相等或者角相等的问题中，如果涉及到中点，就可以考虑用中点倍长的方法。
通过构造全等三角形，把原本不相关的线段或者角联系起来，问题往往就能迎刃而解。
还有啊，在求解三角形的边长或者角度的时候，中点倍长也能派上大用场。
有时候题目给出的条件看似很复杂，但是只要我们巧妙地运用中点倍长，就能把复杂的图形变得简单明了。
不过，同学们在使用中点倍长公式的时候也要注意一些问题。
首先，一定要准确地找到中点，可别找错了哦，不然整个思路就都错啦。
其次，构造出全等三角形后，要认真分析新得到的图形和条件，可不能马虎。
总之，中点倍长公式就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们打开几何难题的大门。
只要同学们多加练习，熟练掌握，就能在数学的世界里畅游无阻。
希望大家都能和中点倍长公式成为好朋友，让它为我们的解题之路助力！就像小李同学一样，只要用心，就一定能掌握这个有用的工具。
不知道大家在学习中点倍长公式的时候有没有什么有趣的经历或者疑问呢？可以多思考，多交流，相信大家都能把这个知识点掌握得妥妥的！。
专题7几何图形—7.11之中点结构-2021年鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练
中点结构【知识点睛】中点是初中数学几何问题中的常见特征．在实际解决问题时，应用与中点有关的定理，也可以看作是中点与其他几何特征进行的组合搭配．1.与中点有关的定理① ① ①等腰+中点 直角+中点 多个中点__________ ________________ 考虑__________2.与中点有关的构造（1）将中点看作是对称中心，构造中心对称图形平行夹中点 见中点，要倍长________________ 考虑________________（2）将中点看作线段间的比值关系，考虑相似或者面积转化；3.其他背景下的中点（1）坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式；如图，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）圆背景下的中点，考虑圆中的相关定理；如：①圆中四组量关系定理；②垂径定理；③圆周角定理等；倍长中线（1）【条件】：在矩形ABCD中，BD=BE，DF=EF；【结论】：AF⊥CF；模型思路：存在平行线AD平行BE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF；（2）【条件】在平行四边形ABCD中，BC=2AB，AM=DM，CE⊥AB；【结论】∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB①CD，有中点AM=DM，延长EM，构造①AME①①DMF，连接CM构造等腰①EMC，等腰①MCF。
（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）【经典例题1】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B 重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【解析】（1）AE①BF，QE=QF，理由是：如图1，①Q为AB中点，①AQ=BQ，①BF①CP，AE①CP，①BF①AE，①BFQ=①AEQ，在①BFQ和①AEQ中①①BFQ①①AEQ（AAS），①QE=QF，故答案为：AE①BF，QE=QF．（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，①AE①BF，①①QAD=①FBQ，在①FBQ和①DAQ中①①FBQ①①DAQ（A SA），①QF=QD，①AE①CP，①EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，①QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，①AE①BF，①①1=①D，在①AQE和①BQD中，①①AQE①①BQD（AAS），①QE=QD，①BF①CP，①FQ是斜边DE上的中线，①QE=QF．练习1-1已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．【解析】（1）BH⊥HE，BH＝HE；理由如下：延长EH交AB于M，如图1所示：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB∥CD∥EF，AB＝BC，CE＝FE，∠ABC＝90°，∴∠AMH＝∠FEH，∵H是AF的中点，∴AH＝FH，∴△AMH≌△FEH（AAS），∴AM＝FE＝CE，MH＝EH，∴BM＝BE，∵∠ABC＝90°，ME＝HE；∴BH⊥HE，BH＝12（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，EM＝EH；∴BH⊥EH，BH＝12（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，EM＝MH＝EH，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12在Rt△CBE中，BE＝2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，BE＝6√2．∴BH＝√22练习1-2（1）如图1，在线段AB上取一点C（BC＞AC），分别以AC、BC为边在同一侧作等边①ACD与等边①BCE，连结AE、BD，则ACE经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到①DCB？请写出具体的变换过程；（不必写理由）【A】（2）如图2，在线段AB上取一点C（BC＞AC），如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连结EG，取EG的中点M，设DM的延长线交EF于N，并且DG=NE；请探究DM与FM的关系，并加以证明；【B】（3）在图2的基础上，将正方形CBEF绕点C顺时针旋转（如图3），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF的关系，并加以证明．【解析】（1）将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；理由如下：①①ACD和①BCE是等边三角形，①AC＝CD，CE＝CA，①ACD＝①BCE＝60°，①①ACE＝①DCB，在①ACE和①DCB中，，①①ACE①①DCB（SAS），①将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；（2）如图，相等且垂直．理由如下：①EF①GD，①①NEM＝①DGM，在①MGD和①MEN中，，①①MGD①①MEN（SAS），①DM＝NM，在Rt①DNF中，FM＝DN＝DM，①NE＝GD，GD＝CD，①NE＝CD，①FN＝FD，即FM①DM，①DM与FM相等且垂直．（3）MD与MF相等且垂直．理由如下：延长DM交CE于N，连接DF、FN，如图所示：根据（2）可以得到①MGD①①MNE，①DM＝NM，NE＝DG，①①DCF＝①FEN＝45°，DC＝DG＝NE，FC＝FE，①在①DCF和①NEF中，，①①DCF①①NEF（SAS），①DF＝FN，①DFC＝①NFE，①①DFN＝90°，即①FDN为等腰直角三角形，①DM＝NM，即FM为斜边DN的中线，①FM＝DM＝NM＝DN，且FM①DN，则FM＝DM，FM①DM．练习1-3如图，已知①BAD和①BCE均为等腰直角三角形，①BAD=①BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；（2）将图1中的①BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：①ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中①BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【解析】（1）证明：如图1，①EN①AD ，①①MAD=①MNE ，①ADM=①NEM ．①点M 为DE 的中点，①DM=EM ．在①ADM 和①NEM 中，①MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①①ADM①①NEM ．①AM=MN ．①M 为AN 的中点．（2）证明：如图2，①①BAD 和①BCE 均为等腰直角三角形， ①AB=AD ，CB=CE ，①CBE=①CEB=45°． ①AD①NE ，①①DAE+①NEA=180°．①①DAE=90°，①①NEA=90°．①①NEC=135°．①A ，B ，E 三点在同一直线上， ①①ABC=180°-①CBE=135°．①①ABC=①NEC ．①①ADM①①NEM （已证），①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．（3）①ACN 仍为等腰直角三角形．证明：如图3，延长AB 交NE 于点F ，①AD①NE ，M 为中点，①易得①ADM①①NEM ，①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．①AD①NE ，①AF①NE ，在四边形BCEF 中，①①ACN=①BFE=90°①①FBC+①FEC=360°-180°=180°①①FBC+①ABC=180°①①ABC=①FEC在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．练习1-4图1，在①ABC中，①ACB=90①，点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB，使得①DEA=90①，若点O是线段BD的中点，连结OC、OE，则易得OC=OE；操作：现将①ADE绕A点逆时针旋转得到①AFG(点D. 点E分别与点F. 点G对应)，连结FB，若点O是线段FB的中点，连结OC、OG，探究线段OC、OG 之间的数量关系；(1)如图2，当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，当点G在线段CA上时，线段OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图4，在①ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化?请直接写出结论，不用说明理由.【解析】（1）当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG成立理由：如图2，延长GF，CO相较于点D，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ， （2）当点G 在线段CA 上时，线段OC=OG 是成立，理由：如图3，延长GF ，CO 相较于点D ，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC ，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ， （3）在①ADE 的旋转过程中，线段OC 、OG 之间的数量关系不发生了变化， 理由：如图4，连接CG ，延长GF 交BC 于M ，过点F 作FD①BC ，连接DG ，①①BCO=①FDO ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，BC=DF由题意知，①AFG①①ABC ，①AF/AB=FG/BC ，①AF/AB=FG/DF ，①①ACB=①AGF=90°，①点A ，C ，M ，G 四点共圆，①①CAG=①BMG ，①FD①BC ，①①GFD=①BMG ，①①CAG=①GFD ，①AF/AB=FG/DF ，①①GAC①①GFD ，①①CGD=①ACF=90°，①OC=OD ， ①OG=21CD=OC ． 点评 此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出①BOC①①FOD ，难点是（3）中判断出①CGD=90°．练习1-5已知：点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是__________；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF=30°时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．【解析】（1）①AE①PB ，CF①BP ，①①AEO=①CFO=90°，在①AEO 和①CFO 中，①AEO=①CFO①AOE=①COFAO=OC ，①①AOE①①COF ，①OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE-AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①EAO=①GCO，在①EOA和①GOC中，①EAO=①GCOAO=OC①AOE=①COG，①①EOA①①GOC，①EO=GO，AE=CG，在Rt①EFG中，①EO=OG，①OE=OF=GO，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=GF，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG+CG，①CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①AEO=①G，在①AOE和①COG中，①AEO=①G①AOE=①GOCAO=OC，①①AOE①①COG，①OE=OG，AE=CG，在Rt①EFG中，①OE=OG，①OE=OF=OG，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=FG，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG-CG，①CF=OE-AE．练习1-6如图1，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（1）（2）【探究证明】把①ADE 绕点A 逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把①ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出线段AP 长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP ＝BE ，P A ①BE ；（2）（3）见解析． 【解析】（1）设P A 交BE 于点O ．①AD ＝AE ，AC ＝AB ，①DAC ＝①EAB ，①①DAC ①①EAB ，①BE ＝CD ，①ACD ＝①ABE ，①①DAC ＝90°，DP ＝PC ，①P A ＝CD ＝PC ＝PD ， ①P A ＝BE ，①C ＝①P AE ， ①①CAP +①BAO ＝90°，①①ABO +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ，（2）结论成立．121212理由：延长AP 至M ，使PM ＝P A ，连接MC ，延长P A 交BE 于O ．①P A ＝PM ，PD ＝PC ，①APD ＝①CPM ，①①APD ①①MPC ，①AD ＝CM ，①ADP ＝①MCP ，①AD ①CM ，①①DAC +①ACM ＝180°，①①BAC ＝①EAD ＝90°，①①EAB ＝①ACM ，①AB ＝AC ，AE ＝CM ，①①EAB ①①MCA ，①BE ＝BM ，①CAM ＝①ABE ，①P A ＝AM ，P A ＝BE ， ①①CAM +①BAO ＝90°，①①ABE +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ．（3）①AC ＝10，CM ＝4，①10﹣4≤AM ≤10+4，①6≤AM ≤14，①AM ＝2AP ，①3≤P A ≤7．①P A 的最大值为7，最小值为3．1212练习1如图，在矩形ABCD 中，①BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F .（1）若AB =2，AD =3，求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点，连接BG 和DG ，求证：DG =BG .【解析】（1）EC=CF=1 EF=2（2）连接CG ，易证△CGD ≌△CGB ，∴DG=BG练习小题1.如图所示，在①ABC 中，AD 是①BAC 的平分线，M 是BC 的中点，ME①AD 且交AC 的延长线于E ，CE=21CD ，求证：①ACB=2①B ．【解析】延长EM 交AB 于F ，过B 作BG①EF 交AD 的延长线于K ，交AE 的延长线于G ，设AK ，EF 交于H ，连接DG ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAH=①EAH ，①ME①AD ，①①AHF=①AHE ，在①AFH 与①AEH 中，①FAH=①EAH AH=AH ①AHF=①AHE ，①①AFH①①AEH ，①FH=EH ，①AH 垂直平分EF ，①AK 垂直平分BG ，①AB=AG ，①EF①BG ，BM=CM ， ①CE=21CG ， ①CE=21CD ，①CD=CG ，①①CDG=①CGD ，①①ACB=①CDG+①CGD=2①CGD ，在①ABD 与①AGD 中，AB=AG ①BAD=①GAD AD=AD ，①①ABD①①AGD ，①①ABC=①AGD ，①①ACB=2①B ．点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，90ABD CBE ∠=∠=︒，BA BD =，BC BE =，延长CB 交DE 于F .求证：EF DF =.【解析】3.已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AG HG =.求证：BH AC =.【解析】4.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC ＞2AD ．【解析】证明： 延长AD 到M ，使AD=DM ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∵AD=DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM=AC ，在△ABM 中，AB+BM>AM ，即AB+AC>2AD ．5.如图所示，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE OE =.【解析】法一：连接OD.∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点∴B ，C ，D ，E 四点共圆，且圆心为O∴OD=OE ，∠COD=2∠CBD ，∠BOE=2∠BCE∵∠BAC=120°∴∠CBD+∠BCE=60°∠COD+∠BOE=120°∴∠DOE=60°∴△DOE 是等边三角形∴DE=OE法二：如图，连接OD ，∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点，∴OD=OE=OB=OC ，∴∠CBA=∠BDO ，∠BCA=∠CEO ， 由三角形的外角性质得，∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA ，∠COD=∠CBA+∠BDO=2∠CBA ，∵∠BAC=120°，∴∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°，∴∠DOE=60°，∴△DOE 是等边三角形，∴DE=OE ．6.如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：2BAC BAD ∠=∠.【解析】延长FE ，截取EH=EG ，连接CH①E 是BC 中点，那么BE=CE①BEG=①CEH①①BEG①①CEH(SAS)①①BGE=①H ，那么①BGE=①FGA=①HBG=CH①CF=BG①CH=CF①①F=①H=①FGA①EF①AD①①F=①CAD ，①BAD=①FGA①①CAD=①BAD那么AD 平分①BAC7.如图，在四边形ABCD 中，①ABC =90°，AC =AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2，则BN 的长为____________． 【解析】28.如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，连接CF ，NMDC B A则下列结论：△BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．其中一定正确的是_________．【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD=2∠DCF ，故①正确； ②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，∴△AEF ≌△DMF （ASA ）， AB C DE F∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，∴∠ECF=∠CEF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．9.如图，在①ABC中，点D是BC的中点，若AB=5，AC=13，AD=6，则BC的长为____________．【解析】延长AD 到E ，使DE=AD=6，连接BE ，CE ．①CD=BD ，①四边形ABEC 是平行四边形，①AB①CE ，EB=CA=13；①52+122=132，①①CEA=90°，①①EAB=90°，=．10.如图，在①ABC 中，①ACB =60°，AC =1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分①ABC 的周长，则DE 的长是___________．【解析】23 ECB A11.如图，在四边形ABCD 中，AD ①BC ，①D =90°，AD =4，BC =3，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ．作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（ ）A． B ．4 C ．3 D【解析】10F EDC B A O。
七年级数学双中点问题
七年级数学双中点问题一、双中点问题定义双中点问题，也称为中点弦问题，是一种常见的几何问题。
在此问题中，我们需要找到一条经过给定两点并且经过其他两个中点的弦。
在平面几何中，一个重要的定理是“两点确定一条直线”，而双中点问题则是在此基础上进一步探讨。
二、双中点问题的基本性质1.两个中点与给定两点连线的中点在同一条直线上。
2.给定两点的中点与两个中点的连线段相等。
3.经过两个中点的弦是唯一的。
三、双中点问题的解决方法1.画出给定的两个点和两个中点，并用虚线连接两个中点和给定两点。
2.根据双中点问题的性质，找出经过两个中点的弦所在的直线。
3.确定经过该直线的所有弦，并找出满足题目要求的弦。
四、双中点问题在几何图形中的应用1.在三角形中，如果两个顶点和它们的中点的连线段相等，则这个三角形是等腰三角形。
2.在圆中，如果一条弦经过两个中点，则这条弦是直径。
3.在梯形中，如果一条对角线被两个中点分成两段相等的部分，则这个梯形是等腰梯形。
五、双中点问题的变式及拓展1.将双中点问题中的两个中点变为其他类型的点，例如顶点、角平分线上的点等。
2.将双中点问题中的两个给定点变为其他类型的点，例如平行线上的点、垂直线上的点等。
3.将双中点问题中的二维图形变为三维图形，例如球体、长方体等。
六、双中点问题的数学思想1.转化思想：将双中点问题转化为经过给定两点的弦的问题，再进一步转化为经过其他两点的弦的问题。
这种转化思想在数学解题过程中非常常见。
2.对称思想：在双中点问题中，两个中点和给定两点都是对称的，因此可以通过对称思想来解决这个问题。
这种对称思想也可以应用于其他几何图形的问题。
3.数形结合思想：在解决双中点问题的过程中，我们需要将图形和数字结合起来，通过计算和推理来找到答案。
这种数形结合思想是数学解题的重要思想之一。
七、双中点问题的实际应用案例1.桥梁设计：在设计桥梁时，需要考虑桥墩的位置和桥梁的承重能力。
通过应用双中点问题的解决方法，可以确定最优的桥墩位置和承重线。
中点定理应用
中点定理应用一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握中点定理的基本概念，建立中点与线段关系的数学模型。
2. 学生能够运用中点定理解决实际问题，如计算线段长度、确定线段中点位置等。
3. 学生了解中点定理在不同数学领域中的应用，如平面几何、立体几何等。
技能目标：1. 学生能够通过实际操作和画图，提高空间想象能力和图形分析能力。
2. 学生能够运用中点定理，进行几何图形的构造和证明，培养逻辑思维和解决问题的能力。
3. 学生能够运用数学语言准确表达解题过程，提高数学表达和交流能力。
情感态度价值观目标：1. 学生在学习过程中，培养对几何学的兴趣和热情，树立正确的数学学习态度。
2. 学生通过小组合作、讨论交流，培养团队协作精神，增强克服困难的信心。
3. 学生能够认识到数学知识在实际生活中的应用价值，提高学以致用的意识。
分析课程性质、学生特点和教学要求：1. 课程性质：本课程属于中学数学领域，以几何学为主要内容，强调理论与实践相结合。
2. 学生特点：学生处于初中阶段，具有一定的几何基础和空间想象力，但需加强对中点定理的理解和应用。
3. 教学要求：注重启发式教学，引导学生主动探究和发现，关注学生的个体差异，提高教学效果。
二、教学内容1. 教学大纲：a. 引入中点定理概念，讲解中点定义及其性质。
b. 通过实际例题，展示中点定理在线段划分、长度计算等方面的应用。
c. 进行中点定理相关练习，巩固所学知识，提高解题能力。
d. 拓展中点定理在平面几何、立体几何等领域的应用，激发学生思考。
2. 教学内容安排与进度：a. 第一节课：引入中点定理概念，讲解中点的定义及其性质。
- 教材章节：第二章第三节《线段的中点》b. 第二节课：通过实际例题讲解中点定理的应用。
- 教材章节：第二章第四节《中点定理的应用》c. 第三节课：进行中点定理相关练习，巩固所学知识。
- 教材章节：第二章练习题d. 第四节课：拓展中点定理在平面几何、立体几何等领域的应用。
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有关中点的联想
一 常见的联想路径
1 中线倍长 2作直角三角形斜边的中线 3 构造中位线 4 构造中心对称全等三角形 二 熟悉下列基本图形
三 探究训练
1 如图 四边形ABCD 中
AB=CD=4,M,N 分别为BC AD 的中点∠BAC=900∠ACD=300
,求MN 的长
2 如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ， 求证：AM 平分∠DAB . M B
3已知AD 为△ABC 的角平分线, AC ＞AB 在AC 上截取CE=AB,M,N 分别为BC,AE 的中点，求证: M N ∥AD
4如图 以△ABC 的AB AC 边为斜边向外作Rt △ABD 和Rt △ACE 且使∠ABD=∠ACE,M 是BC 的中点,求证: DM=ME
B C A D E N M
M B C A D E
5 如图 在四边形ABCD 中，AB=CD, ∠B ≠∠C,N,M 分别是AD,BC 的中点，BA,CD 的延长线分别交直线MN 于点E.F 求证：∠BEM=∠CFM
6 P 是线段AB 上的一点，在AB 的同侧作△APC 和△BPD ，使PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD ，连结CD ，点E,F,G,H 分别是AC,AB,BD,CD 的中点，顺次连接E,F,G,H. （1）猜想四边形EFGH 的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点P 在线段AB 的上方时，如图2，在△APB 的外部作△APC 和△BPD ，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）如图3中，若∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH 的形状，并说明理由.
P B
7 如图在△ABC中，AD为BC上的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F，若AE=EF,求证：AC=BF
8 如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE+CF与EF的大小关
系，并证明你的结论．
9 如图在△ABC中，AD平分∠BAC，在DB上取点M,使MD=DC,作M N∥AB,交AD于点N,求证：MN=AC
F
B
E
A
B C
D
M
N
10．如图，已知△ABC。
（1）请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图中只存在两对
．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB+AC>AD+AE。
11在图14-1至图14-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF 和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，
求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，
△FMH还是等腰直角三角形吗？（不必
说明理由）
图14-1
A
H
C(M) D E B
F G(N)
G
图14-2
A
H
C
D
E
B
F N
M
A
H
C
D
图14-3
B
F G
M
N
12．已知：△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形, ∠ABC ＝∠ADE=90︒， AB= BC ，AD=DE ，按图1放置，使点E 在BC 上，取CE 的中点F ，联结DF 、BF. （1）探索DF 、BF 的数量关系和位置关系，并证明；
（2）将图1中△ADE 绕A 点顺时针旋转45︒，再联结CE ，取CE 的中点F （如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△ADE 绕A 点转动任意角度（旋转角在0︒到90︒之间），再联结CE ，取CE 的中点F （如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论
E
C B
A E
C
E
A
13已知：在Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．
（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图①，探索BM 、DM 的关系并给予证明；
（2）如果将图①中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
图②
M D B A
C
E 图①
M
D B
A
C
E
14 （1） 如图 已知正方形ABCD 和正方形CGEF(CG>BC)B C G 在同一直线上，M 为线段AE 的中点，探究MD,MF 的关系？
2）若将正方形CGEF 绕点C 逆时针旋转45°，使得正方形CGEF 对角线CE 在正方形ABCD 的边BC 的延长线上，M 为AE 的中点，试问（1）中探究的结论是否还成立，请证明；如不成立，请说明理由。
M
G
E
A
B
D
C
F M
F
C
G
E
A
B D
15如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，
BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ；
(1) 延长MP 交CN 于点E (如图2)。
求证：△BPM ≅△CPE ； 求证：PM = PN ； (2) 若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变。
此时 PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3) 若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变。
请直接判断四边形
MBCN
的形状及此时PM =PN 还成立吗？不必说明理由。
a
A B
C
P
M
N
A B
C
M N a
P
A
B C
P
N
M
a
图1 图2 图3
17．如图1，在△ACB 和△AED 中，AC =BC ，AE =DE ，∠ACB ＝∠AED ＝90°,点E 在AB 上， F 是线段BD 的中点，连结CE 、FE .
（1）请你探究线段CE 与FE 之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转，使△AED 的一边AE 恰好与△ACB 的边
AC 在同一条直线上（如图2），连结BD ，取BD 的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED 绕点A 顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD ，取BD
的中点F ，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
图1图2F C
C
B
D
B E F E
D B A 图3
E A
A F C D。