【初三】线段、角的和差倍分

【初三】线段、角的和

差倍分

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学竞赛专题选讲

线段、角的和差倍分

一、内容提要

证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。

一.转化为证明相等的一般方法

㈠通过作图转化

1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长

补短法）

⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个

小量

⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等

2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍

⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等

⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等

㈡应用有关定理转化

1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和

的一半

2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半

3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一

半

4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和

5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍

6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1

7.有关比例线段定理

二.用代数恒等式的证明

1.由左证到右或由右证到左

2.左右两边分别化简为同一个第三式

3.证明左边减去右边的差为零

4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论

二、例题

例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高

求证：DC＝AB＋BD

分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD 相等。

可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C 辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。

分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。

1

2

仍然以高AD 为轴，作出DC 的对称线段DF 。

为便于证明，辅助线用延长DB 到F ，使BF ＝AB ，连结AF ，则可得

∠ABD ＝2∠F ＝2∠C 。

例2.已知：△ABC 中，两条高AD 和BE 相交于H ，两条边BC 和AC 的中垂线相交于O ，垂足是M ，N

求证：AH ＝2MO ， BH ＝2NO

证明一：（加倍法――作出OM ，ON 的

连结并延长CO 到G 使OG ＝CO 连结AG ，则BG ∥OM ，BG ＝2MO ，AG ∥ON ，AG ＝2NO ∴四边形AGBH 是平行四边形， ∴AH ＝BG ＝2MO ，BH

＝AG ＝2NO

证明二：（折半法――作出AH ，BH 分别取AH ，BH 的中点F ，G 连结FG ，则FG ＝MN ＝

2

1

AB ，FG ∥MN ∥AB 又∵OM ∥AD ，

C

A

B D

F B C

D

3

∴∠OMN ＝∠HGF （两边分别平行的两锐角相等） 同理∠ONM ＝∠HFG ∴△OMN ≌△HFG ……

例3. 已知：在正方形ABCD 中，点E 在AB 上且CE ＝AD ＋AE ，F 是AB 的中点

求证：∠DCE ＝2∠BCF

分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE ＝AD ＋AE 条件的作用，如果只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。

我们可将AE （它的等量DG ）加在正方形边CD 的延长线上（如左图）也可以把正方形的边CD （它的等量AG ）加在AE 的延长线上（如右图）后一种想法更容易些。

辅助线如图，证明（略）自己完成

例4.已知：△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于I ， 求证：∠BIC ＝90 ＋

2

1

∠A 证明一：（由左到右）

G

4

∠BIC ＝180 －（∠1＋∠2）＝180 －

2

1

（∠ABC ＋∠ACB ） ＝180 －21（∠ABC ＋∠ACB ＋∠A ）＋2

1

∠A

＝90

＋2

1∠A

证明二：（左边－右边＝0） ∠BIC －（90 ＋

2

1∠A ） ＝180 －21（∠ABC ＋∠ACB ）－90 －21

∠A

＝90 －2

1

（∠ABC ＋∠ACB ＋∠A ）＝……

证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）

∵∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180 ∴∠A ＝180 －（∠ABC ＋∠ACB ）

21∠A ＝90 －2

1

（∠ABC ＋∠ACB ） 90 ＋21∠A ＝180 －21

（∠ABC ＋∠ACB ），即∠BIC ＝90 ＋

2

1

∠A 三、练习

1. △ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是角平分线，求证：AC ＝AB ＋BD

2. △ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是高，M 是BC 的中点，则AB ＝2DM

5

3. △ABC 中，∠B 的平分线和∠C 的外角平分线交于E ，则∠A ＝2∠E

4. △ABC 的AB ＝AC ，CD 是中线，延长AB 到E 使BE ＝AB ，连结EC ，则CE ＝2CD

5. 已知：等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝Rt ∠，BD 是角平分线

求证：BC ＝AB ＋AD

6. 已知：△ABC 中，AB ＜AC ，AD 是高，AE 是角平分线

求证 ：∠DAE ＝

2

1

（∠B ＋∠C ） 7. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 的延长线上， 求证：∠CBD ＝

2

1

（∠ABD －∠D ） 8. 已知：AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，BE 延长线交AC 于F 求证：BF ＝4EF

9. 已知：在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，AF 平分∠DAE ，交CD 于F 求证：AE ＝BE ＋DF

10. 在△ABC 中，∠BAC ＝Rt ∠，BC 的中垂线MN 交AB 于M ，交BC 于N ，角平分线AD 延长线交MN 于E ，则BC ＝2NE （1987年泉州市双基赛题）