抛物线及其标准方程.ppt
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抛物线及其标准方程 课件(共21张PPT)数学人教A版(2019)选择性必修 第一册
p 2
2,
p 4,所以所求抛物线的标准方程是 x2 8 y
讲
课
人
：
邢
启 强
15
例题（讲3评）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
yl
Fo
x
x=1
解：因为准线方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴
的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x .
讲
课
讲
课 人 ：
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
邢
启 强
6
新知总结 一、抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一条定直 线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹 叫抛物线.
· d M
C
H
焦点
·F
点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线
l
准线
e=1
d 为 M 到 l 的距离
即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线. d
4.注重数形结合、分类讨论思想的应用
5.注重实际应用
讲
课
人
：
邢
启 强
21
3.3.1抛物线及其标准方程
1.回顾抛物线是如何切出来的。
临 界
2.如何画出抛物线呢？ ●第一定义？
第二定义？
复习回顾 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上)
(1)当0<e<1时,是椭圆; (2) 当e＞1时，是双曲线;
(A)直线
(B)抛物线
(C)双曲线 (D)椭圆
讲
课
抛物线及其标准方程 课件
(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
抛物线及其标准方程优秀课件
准线位置：根据抛物线 准线的位置，可以分为 准线平行于x轴、准线 平行于y轴和准线不平 行于坐标轴三种。
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程推导
抛物线的定义：一个平面曲线，它的所有点都位于一个固定点（焦点）和一条固定直 线（准线）之间。
抛物线的标准方程：y^2 = 4px，其中p是焦点到准线的距离。
抛物线的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。 单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您的观点。根据需要可酌情增减文字， 以便观者准确地理解您传达的思想。单击此处添加文本具体内容，简明扼要地阐述您 的观点
抛物线的对称轴为x=-b/2a。 结论：二次函数的对称轴与抛物线的对称轴相同，都为x=-b/2a。
抛物线的准线方程
准线的定义： 抛物线上任意 一点到准线的
距离相等
准线的方程： x=-p（开口方 向为x轴正方向） 或x=p（开口 方向为x轴负方
向）
准线的性质： 准线是与抛物 线对称轴平行 的直线，离抛
物线最近
准线的作用： 利用准线方程 可以求出抛物 线上任意一点
的坐标
抛物线的解析性质
抛物线的导数与切线斜率
抛物线在建筑美学中的应用：古罗 马建筑中的抛物线元素
抛物线在建筑美学中的应用：桥梁、 隧道等交通设施中的抛物线应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
抛物线在建筑美学中的应用：现代 建筑中的抛物线设计
抛物线在建筑美学中的应用：室内 设计中的抛物线元素
物理学中的抛物线应用
光学应用：抛物线 镜面可以聚焦光线， 用于制造望远镜、 显微镜等光学仪器。
抛物线的渐近线方程
定义：抛物线与直线y=±x 的交点形成的直线
抛物线及其标准方程(共32张PPT)高中数学人教A版选择性必修第一册
(1)椭圆的离心率范围为0<e<1 ;(2) 双曲线的离心率的范围是e>1 ;(3)当e=1 时，它的轨迹是什么? 抛物线我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们类比椭圆、 双曲线的研究过程与方法，研究另一类圆锥曲线——抛物线.
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
情景导入
02抛物线及其标准方程 P A R T 0 N E
抛物线及其标准方程
,准线为
为F
抛物线及其标准方程 从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标(x,y)都是方程①的解，以方 程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点 的距离和它到准线 的 距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上，我们把方程①叫做抛物线 的标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上，焦点是 ,准线是 的抛物线 .
将点(一2,3)代入抛物线方程y 得
抛物线及其标准方程
∴满足条件的抛物线的标准方程为(2)直线x—y+2=0 与两坐标轴的交点为(一2,0),(0,2). 若抛物线的焦点为(一2,0),设其方程为y²=—2px(p>0).
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形 式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表. 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y²=2px(p>0) F(2,0) x=-2 y²=-2px(p>0) F(-2,0) x=2 x²=2py(p>0) F(0,2) y=-2 x²=-2py(p>0) F(0,-2 y=2
抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 求轨迹方程C P_ 建立直角坐标系?使方程形式足够简洁 !
设M(x,y) 是抛物线上一点，则M 到F的距离为则M到直线l的距离为所以上式两边平方，整理可得y²= 2px ①
3.3.1抛物线及其标准方程课件(人教版)
5.二次函数 = ( ≠ )的图象是抛物线吗？如果是，请写出它的焦点
坐标、准线方程.
问题1 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
问题2 当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
y
M
H
•
K O
•
F
x
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0).
① 我们把方程①叫做抛物线的标准方程
p
它表示焦点在 x轴正半轴上,焦点是F ( ,0)
，
2
p
准线是 x 的抛物线.
2
y2 = 2px (p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.y
p
( , 0) ,
2
焦点坐标是:_________
p
x
准线方程为:_______2
向右
开口方向：_____
焦点到准线的距离(焦准距).
p的几何意义是：___________________
问题4 抛物线只有这一种形式吗 ？
M
H
K
•
O
•
F
x
四种不同的建立平面直角坐标系
y
y
M
H
M
y
H
y
•
K O
•
F
x
•
FO
•
K
x
F•
O•
K
K•
O•
F
M
H
x
M
x
H
抛物线方程特点
l
F
坐标、准线方程.
问题1 抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨
迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
问题2 当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
y
M
H
•
K O
•
F
x
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0).
① 我们把方程①叫做抛物线的标准方程
p
它表示焦点在 x轴正半轴上,焦点是F ( ,0)
，
2
p
准线是 x 的抛物线.
2
y2 = 2px (p＞0)其中p为正常数,表示焦点在x轴正半轴上.y
p
( , 0) ,
2
焦点坐标是:_________
p
x
准线方程为:_______2
向右
开口方向：_____
焦点到准线的距离(焦准距).
p的几何意义是：___________________
问题4 抛物线只有这一种形式吗 ？
M
H
K
•
O
•
F
x
四种不同的建立平面直角坐标系
y
y
M
H
M
y
H
y
•
K O
•
F
x
•
FO
•
K
x
F•
O•
K
K•
O•
F
M
H
x
M
x
H
抛物线方程特点
l
F
抛物线及其标准方程ppt
二、标准方程 的推导
解法一：以 L为 y 轴，过点 F垂直于 的L 直线为 轴x 建立直
角坐标系（如下图所示）,则定点
F设(动p ,点o )
点 M (x, y) ，由抛物线定义得：
(xp)2y2 x
y p 化简得：
2
2
2px (p0)
y
.
M(X,y)
O
.
x
F
l
解法二：以定点 F 为原点，过点 F垂直于
且 p的几何意义是: 焦点到准线的距离
焦点坐标是 ( p , 0 ) , 准线方程为: 2
x p 2
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ 线方程的形式简单 ？
y
y
ox
ox
y ox
y o
x
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
图形
ly
OF x
标准方程
y2=2px (p>0)
y 2 = 4x 或 x 2 =
3
y92
看图
课堂练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程 是x =
1
；
4
y2 =12x y2 =x
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
焦点的坐标是 (2.88, 0)
学习小结:
标准方程中p前面的正负号 决定抛物线的开口方向．
抛物线的定义:
二．抛物线的标准方程有四 种不同的形式: 每一对焦点和准线对应 一种形式.
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
3.3.1抛物线及其标准方程-课件(共26张PPT)
(2)抛物线实质上就是双曲线的一支.( × )
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
(3)若抛物线的方程为2 = −4,则其中的焦参数 = −2.( × )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴.( × )
1
上
2.抛物线x2= 2 y的开口向____,焦点坐标为
1
(0, )
8
,准线方程是
=−
1
8
.
典例剖析
例1
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程;
D. y 2 2ax
4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线 3x 4 y 12 0 上的抛物线的标准方程为（ C ）
A. x 2 16 y 或 y 2 12x
B. y 2 16 x 或 x 2 12 y
C. y 2 16 x 或 x2 12 y
D. x 2 16 y 或 y 2 12 x
y2=8x
.
【解析】由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.
设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.
则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.
因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.
由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
3.3.1抛物线及其标准方程 课件(可编辑图片版)(共35张PPT)
4．已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的 点M(m，－2)到焦点的距离为4，则m＝________.
解析：由已知，可设抛物线方程为x2＝－2py.由抛物线定义有
2＋
p 2
＝4，∴p＝4，∴x2＝－8y.将(m，－2)代入上式，得m2＝
16.∴m＝±4.
答案：±4
题型一 求抛物线的标准方程 探究 1 直接法求抛物线方程 例 1 (1)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并且顶点与焦点的距离 等于 3 的抛物线的标准方程是( ) A．x2＝±3y B．y2＝±6x C．x2＝±12y D．x2＝±6y
3.3.1抛物线及其标准方程
[知识要点]
要点一 抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的 点的轨迹叫做__抛__物__线__．点 F 叫做抛物线的__焦__点____，直线 l 叫做 抛物线的_准__线___．
【方法技巧】(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一 个动点，设为 M；一个定点 F 叫做抛物线的焦点；一条定直线 l 叫 做抛物线的准线；一个定值，即点 M 到点 F 的距离和它到直线 l 的距离之比等于 1.
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距 离．( √ ) (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是 抛物线．( × ) (3)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物 线才具有标准形式．( √ ) (4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写 成y＝ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．( √ )
受二次函数的影响，误以为 y 根据抛物线方程求准线方程时，应
抛物线及其标准方程 课件
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】
抛物线及其标准方程课件
即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方程可设为 y2＝ax 或 x2＝by. 把点(3，－4)分别代入，可得 a＝136，b＝－94， ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15.
所以 m2＝24，所以 m＝±2 6，
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6.
题型三 抛物线定义的应用
例3 抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9， 求点P的坐标．
解析：点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x＝－2 的距离， 得 xp＝7，yp＝±2 14，点 P 的坐标为(7，±2 14)．
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点
到准线的距离等于到焦点的距离，由图可知，点 P，
点(0,2)，和抛物线的焦点12，0三点共线时距离
之和最小，所以最小距离 d＝
（0－12）2＋ （2－
）2＝
17 2.
变式 训练
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 方法二 设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标 F－p2，0，准线方程 x＝p2. 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，
即点 M 到准线的距离等于 5，
则
p
3＋2＝5，所以
p＝4，所以抛物线方程为
y2＝－8x.
又点 M(－3，m)在抛物线上，
C．双曲线 D．抛物线
基础 梳理
2．如下图所示，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合， 得抛物线的标准方程为 y2＝2px，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是p2，0，它的准线方程是 x＝－p2.
方法二 ∵点(3，－4)在第四象限，
∴抛物线的方程可设为 y2＝ax 或 x2＝by. 把点(3，－4)分别代入，可得 a＝136，b＝－94， ∴所求抛物线的方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y. (2)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15.
所以 m2＝24，所以 m＝±2 6，
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6.
题型三 抛物线定义的应用
例3 抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9， 求点P的坐标．
解析：点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x＝－2 的距离， 得 xp＝7，yp＝±2 14，点 P 的坐标为(7，±2 14)．
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点
到准线的距离等于到焦点的距离，由图可知，点 P，
点(0,2)，和抛物线的焦点12，0三点共线时距离
之和最小，所以最小距离 d＝
（0－12）2＋ （2－
）2＝
17 2.
变式 训练
所以所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6. 方法二 设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)，
则焦点坐标 F－p2，0，准线方程 x＝p2. 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5，
即点 M 到准线的距离等于 5，
则
p
3＋2＝5，所以
p＝4，所以抛物线方程为
y2＝－8x.
又点 M(－3，m)在抛物线上，
C．双曲线 D．抛物线
基础 梳理
2．如下图所示，建立直角坐标系 xOy，使 x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合， 得抛物线的标准方程为 y2＝2px，它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上，坐标是p2，0，它的准线方程是 x＝－p2.