第三章拉普拉斯变换
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第三章(1)2拉式变换
y(t) = e ∗h(t) = ∫ h(τ )es(t −τ )dτ
st −∞
=e
st
∫
∞
−∞
h(τ )e−sτ dτ
2
一 地 对 信号x(t) 有 般 ， 于
X (s) = ∫ x(t)e−st dt
−∞ ∞ ∞
= ∫ x(t)e e
−∞
−σt − jΩt
dt
X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt
X (S) = F[x(t)e ]
x(t)e−σt =
−σt
x(t )e 即为X ( s )的付里叶反变换
−σt
−σt x(t)e 的 变 即 X (S) 反 换 为
1 ∞ X (σ + jΩ)e jΩt dΩ 2π ∫−∞
1 ∞ σt jΩt x(t) = ∫−∞ X (σ + jΩ) ⋅ e e dΩ 2π
∞
σ
x(t )e −σ 0t dt < ∞
−(σ −σ 0 ) t
σ >σ0
∫
∞
t0
x(t ) e dt =∫ x(t ) e
t0
−σt
∞
−σ 0t −(σ −σ 0 ) t
e
dt ≤ e
∫
∞
t0
x(t ) e −σ 0t dt < ∞
∴σ 在 ROC 内。 又 ROC 内无极点，∴ ROC 必在最右边极点的右边。 5、 左边信号的 ROC 是最左边极点的左边。 6、 双边信号的拉氏变换如果存在，则它的 ROC 是一个带形区 域。
jΩ
22
例2 : x(t ) ↔ X ( S ) .......x(t ) • cos ω c t ↔ ?
积分变换法
第三章 积分变换法 一 付立叶变换及性质 1付立叶变换的定义设)(x f 是定义在),(+∞-∞内的实函数，它在任一有限区间],[l l +-上分段光滑，并且在),(+∞-∞内绝对可积，则有付立叶积分=)(x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞--ξξλπξλd e f d x i )()(21 定义由式⎰+∞∞--=ξξλλξd e f F i )()(确定的函数)(λF 为函数)(x f 的付立叶变换，记)]([x f Γ=⎰+∞∞--=ξξλλξd ef F i )()(由式了可知：⎰∞+∞--=ξλπλξd e F x f i )(21)(称上式定义的函数)(x f 的函数][λF 的付立叶逆变换，记： ⎰∞+∞---=Γ=ξλπλλξd e F F x f i )(21)]([)(1通常也称][λF 为)(x f 的象函数，)(x f 为][λF 的象原函数。
并且由付立叶积分式有：)()]([1x f x f =ΓΓ-从付立叶及其逆变换的定义来看，求其函数的付立叶变换或逆变换就是要计算一个含以变量的广义积分。
2付立叶变换的性质 (1)线性性质设)(λF ，)(λG 分别是函数)(x f 和)(x g 的付立叶变换，α和β是两任意常数，则有：)]()([x g x f βα+Γ＝)]([)]([x g x f Γ+Γβα(2)微分性质①原函数的微分性 设)(x f 内连续在),(+∞-∞分段光滑，并且当∞→||x 时有0)(→x f ，又)(x f 和)('x f 都绝对可积，则：)]([)](['x f i x f Γ=Γλ②象函数的微分性 若)()]([λF x f =Γ，则)]([)('x ixf F -Γ=λ(3)卷积性质二 付立叶变换在数理方程中的应用因为要求作付立叶的函数需要定义在区间),(+∞-∞内，所以数学物理方程中，通常利用付立叶变换求解无界区域上的定解问题，特别是柯西问题。
拉式变换
2、有些重要函数如eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。
2
3.1 引言
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷 多项虚指数信号ejt之和。
f (t) 1 F( )e j td
t
所以其收敛域为s平面上 的部分.
返回
13
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换
| 1、单位阶跃信号u(t)
L u(t) estdt 0
est s
0
1 s
即 u(t) 1
s
L 2、指数函数et eat
2j
则 L sin t 1 (L e j t L e j t ) 2j
1( 1 1 )
2 j s j s j
s2 2
16
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
即
L
s in
t
s2
2
同理
L
cos
t
s2
s
2
17
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
法写成如下形式：
s
(s )2 2 或 (s )2 2
31
例：
F(s)
s s2 2s 5
极点为 s 1 2 j
F
(s)
(s
s 11 1)2 22
(s
s 1 1)2
22
1 2
(s
2 1)2
22
f (t) et cos2t u(t) 1 et sin 2t u(t) 2
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。
2
3.1 引言
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷 多项虚指数信号ejt之和。
f (t) 1 F( )e j td
t
所以其收敛域为s平面上 的部分.
返回
13
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换
| 1、单位阶跃信号u(t)
L u(t) estdt 0
est s
0
1 s
即 u(t) 1
s
L 2、指数函数et eat
2j
则 L sin t 1 (L e j t L e j t ) 2j
1( 1 1 )
2 j s j s j
s2 2
16
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
即
L
s in
t
s2
2
同理
L
cos
t
s2
s
2
17
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
法写成如下形式：
s
(s )2 2 或 (s )2 2
31
例：
F(s)
s s2 2s 5
极点为 s 1 2 j
F
(s)
(s
s 11 1)2 22
(s
s 1 1)2
22
1 2
(s
2 1)2
22
f (t) et cos2t u(t) 1 et sin 2t u(t) 2
第三章(拉氏变换)
L [ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = F1 ( s ) F2 ( s )
t→0
t→∞
lim f (t ) = lim sF ( s) +
s →∞
s →0
lim f (t ) = lim sF ( s )
n
d n F ( s) L [(−t ) f (t )] = ds n
∞ f (t ) L[ ] = ∫ F (η )dη s t
m m−1
式中，系数 都为实数， 和 是正整数 是正整数, 式中，系数ai和bi都为实数，m和n是正整数 pi为F (s) 极点
Kn K1 K2 F(s) = + +L+ s − p1 s − p2 s − pn
Ki = (s − pi )F(s) s= p , i = 1,2,Ln
i
（１）极点为实数，无重根 (m<n) 极点为实数， 10(s + 2)(s + 5) 例1：求下列函数的逆变换 F(s) = s(s +1)(s + 3) K3 K1 K2 解：将F(s)展开成部分分式形式: + F(s) = + s s +1 s + 3
7 2 4 − (s +1) − × 2 5 = 5 + 5 s +2 (s +1)2 + 4
7 −2t 2 −t 4 −t ∴ f (t) = [ e − e cos 2t − e sin 2t)]u(t) 5 5 5
1 − e −2 s K1 K 2 s + K 3 F (s) = =( + )(1 − e − 2 s ) s ( s 2 + 4) s s2 + 4
第3章 拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版
6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、 线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章 拉普拉斯变换
本章要点 拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉 氏变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 拉氏变换的性质，收敛域 卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章 拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则 即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换
第三章拉普拉斯变换
t
X ( ) 1 1 j 1 s 1
s j
X (s) (t )e st dt 1
当 x(s)的 ROC 不包含 j 轴时， X ( ) 可能不存 在， 也可能存在， 一般地说， 如果不包含 j 轴， j 也不是 ROC 的边界时， X ( ) 不存在，例：
st
e
st
h( )e s d
2
一般地，对于信号 x(t ) 有
X ( s ) x(t )e st dt
x (t )e e
t jt
dt
X ( ) x(t )e jt dt
t
F [ x(t )e t ]
7
例三:
x(t ) e
0
a t
e u(t ) e u(t )
at
0
at
j
X ( s ) e e dt e at e st dt
at st
1 1 sa sa ( a, a)
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
1
x(t ) e t u (t ) X (s)
1 s 1
... 1
9
如果：X（S）不包含 j 轴， j 轴是 ROC 的边界 时， X ( ) 可以利用冲激函数表示为：
X ( j ) X ( s) s j ak ( k )
0 0
0
t0
x(t ) e dt x(t ) e
t t0
0t ( 0 )t
e
dt e
X ( ) 1 1 j 1 s 1
s j
X (s) (t )e st dt 1
当 x(s)的 ROC 不包含 j 轴时， X ( ) 可能不存 在， 也可能存在， 一般地说， 如果不包含 j 轴， j 也不是 ROC 的边界时， X ( ) 不存在，例：
st
e
st
h( )e s d
2
一般地，对于信号 x(t ) 有
X ( s ) x(t )e st dt
x (t )e e
t jt
dt
X ( ) x(t )e jt dt
t
F [ x(t )e t ]
7
例三:
x(t ) e
0
a t
e u(t ) e u(t )
at
0
at
j
X ( s ) e e dt e at e st dt
at st
1 1 sa sa ( a, a)
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
1
x(t ) e t u (t ) X (s)
1 s 1
... 1
9
如果：X（S）不包含 j 轴， j 轴是 ROC 的边界 时， X ( ) 可以利用冲激函数表示为：
X ( j ) X ( s) s j ak ( k )
0 0
0
t0
x(t ) e dt x(t ) e
t t0
0t ( 0 )t
e
dt e
第三章连续时间系统的复频域分析
，
其拉氏变换的收敛区如图3-2 (b)所示； 幅度是随时
间增长的， ，例如 区如图3-2 (c)所示。
收敛区
其拉氏变换的收敛
收敛区
0
0
(b)
(c)
图3-2 收敛区示意图
当
时，收敛区包含虚轴 ，函数的傅氏变换
存在；
当
时收敛区不包含虚轴
不存在；
，函数的傅氏变换
当
时，收敛区不包含虚轴
存在，但有冲激项。
，函数的傅氏变换
，求象函数。
方法2
4、尺度变换 若
证L 令
，则
其中
L
代入上式得
例3-6 已知
，求
解 方法1先频移后尺度
方法2 先尺度再频移
的象函数。
例3-7 求 、 的象函数。 解
5、时域微分 若
，则
式中
是在
时的值。
可以将上式推广到高阶导数
式中 以及 时的值。
分别为 时 以及
式中
以及
分别为
时的值。
证明 L
或L L 可以用直角坐标的复平面（s平面）表示，
如图3-1所示。
0
比较傅氏变换、拉氏变换的推导，可知傅氏变换的基本 信号元是 ，拉氏变换的基本信号元是 。不难表明 傅氏变换与拉氏变换的关系：傅氏变换是在虚轴上 的拉氏变换；拉氏变换是傅氏变换在s平面的推广。
虽然单边拉普拉斯变换存在条件比傅氏变换宽，但对具体 函数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题， 由单边拉氏变换收敛区可以解决这些问题。
范围。
通过实例讨论双边拉氏变换存在的条件，即双边拉氏
变换的收敛区。
例3.1-8已知函数
边L变换的收敛区 解：将积分分为两项
信号的拉普拉斯变换和z变换
⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
※象函数相同，但收敛域不同。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。
从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
第三章拉普拉斯变换
f (0+ ) = f0 (0+ ) = limsF (s) 0
s→∞
下面证明上式的 正确性 设对于F(s)长除后有
F(s) = Kmsm + Km−1sm−1 +⋯+ K0 + F (s) 0
式中F0(s)是真分式.对上式取逆变换
f (t) = Kmδ (t) + Km−1δ
m
m−1
(t) +⋯+ K0δ (t) + f0 (t)
第三章 拉普拉斯变换
§3.1 拉普拉斯变换
一 拉普拉斯变换的定义及收敛域 ①定义 双边拉普拉斯变换对
∞ F(s) = ∫ f (t)e−st dt −∞ σ + j∞ 1 F(s)est ds f (t) = 2 j ∫ − j∞ π σ
其中， = σ + jω 称为复频率，s平面为复平面。 s
−a < Re(s) < a
由上式可以看出，X(s)没有零点，在 s=a 和 s=-a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如果 a<0， 1）式和（2）式的收敛域不重叠，没有公共的 （ 收敛域，因此，x(t)的拉氏变换不存在。
§3.2 拉氏变换的基本性质
• 线性
a1 f1(t) + a2 f2 (t) ⇒ a1F (s) + a2F2 (s) 1
• 尺寸变换 • 时间平移 • 频率平移
f (t)es0t ⇒ F(s − s0 )
1 f (at) ⇒ F(s / a) a
f (t − t0 )u(t − t0 ) ⇒ F(s)e−st0
• 时域微分
df (t)/ dt ⇒ sF(s) − f (0− )
第三章 拉氏变换(2)
k11 − 6k12 = 1
− 6 k 11 = − 4
{
1 18 2 k11 = 3 k1 =
k12 = −
1 18
1 1 2 1 1 1 F ( s) = ⋅ + ⋅ 2 − ⋅ 18 s − 6 3 s 18 s
1 e 6t 2 f (t ) = + t− 18 3 18
⑵ 留数法求解
对于单极点对应的系数有 k i = F ( s )( s − si )
F (s) = ∑
n
(s − sk )n +1− p p =1
k1 p
s−4 k1 k11 k12 k1 s 2 + k11 s − 6k11 + k12 s 2 − 6k12 s F ( s) = 2 = = + 2 + s ( s − 6) s − 6 s s 2 ( s − 6) s
{
k1 + k12 = 0
求函数 f1(t)=t 和 f2(t)=sint 的卷积，即求 )=sin t * sint
解，依卷积的定义得 t ∗ sin t =
t
∫ τ sin(t − τ )dτ
0
t
t
利用分部积分可得 = τ cos(t − τ ) 0 − ∫0 cos(t − τ )dτ 卷积的交换性质：g(t)*h(t)=h(t)*g(t) 2. 卷积定理
用微分定理求常数k的拉氏变换
k l[kt ] = 2 s
6. 积分定理
k k l[k ] = s ⋅ 2 = s s
— 函数积分的拉氏变换 设函数 f (t)及其各重积分均符合拉氏变换定义， 且ℓ[ f (t)]=F(s)，则 函数一重积分的拉氏变换： ，
− 6 k 11 = − 4
{
1 18 2 k11 = 3 k1 =
k12 = −
1 18
1 1 2 1 1 1 F ( s) = ⋅ + ⋅ 2 − ⋅ 18 s − 6 3 s 18 s
1 e 6t 2 f (t ) = + t− 18 3 18
⑵ 留数法求解
对于单极点对应的系数有 k i = F ( s )( s − si )
F (s) = ∑
n
(s − sk )n +1− p p =1
k1 p
s−4 k1 k11 k12 k1 s 2 + k11 s − 6k11 + k12 s 2 − 6k12 s F ( s) = 2 = = + 2 + s ( s − 6) s − 6 s s 2 ( s − 6) s
{
k1 + k12 = 0
求函数 f1(t)=t 和 f2(t)=sint 的卷积，即求 )=sin t * sint
解，依卷积的定义得 t ∗ sin t =
t
∫ τ sin(t − τ )dτ
0
t
t
利用分部积分可得 = τ cos(t − τ ) 0 − ∫0 cos(t − τ )dτ 卷积的交换性质：g(t)*h(t)=h(t)*g(t) 2. 卷积定理
用微分定理求常数k的拉氏变换
k l[kt ] = 2 s
6. 积分定理
k k l[k ] = s ⋅ 2 = s s
— 函数积分的拉氏变换 设函数 f (t)及其各重积分均符合拉氏变换定义， 且ℓ[ f (t)]=F(s)，则 函数一重积分的拉氏变换： ，
第三章拉普拉斯变换
--
综述几种情况： ① 凡 是 有 始 有 终 ， 能 量 有 限 的 信 号 ,收 敛 坐
标落于 ，全部平面都属于收敛区。例如：单
个脉冲信号。 ②信号的幅值既不增长也不衰减而等于恒
定 值 ， 或 随 时 间 t，t n 成 比 例 增 长 的 信 号 ， 则 其
收敛坐标落于原点，s 平面右半平面属于收敛
② 时 移 性 质 应 用 条 件 ： f(t)波 形 由 起 始 点 延 迟 t0， 则 它 的 拉 普 拉 斯 变 换 应 等 于
F(s)乘 以 est 。
--
③时移和尺度变换都有时：
f (at b)
1
s
b a
aa
④ f(t)时 间 微 分 ， 积 分 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 不 仅与 F(s)有关，还与 t=0 点函数值 f(0)，函数的
X (s) 1 1 2a a Re(s) a s a s a s2 a2
--
由 上 式 可 以 看 出 ， X (s)没 有 零 点 ， 在 s=a 和 s= -a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如 果 a < 0 ，（ 1 ） 式 和 （ 2 ） 式 的 收 敛 域 不 重 叠 ， 没 有 公 共 的
区 。 例 如 ： 正 弦 信 号 ， t ，t n 信 号 。
--
③ 按 指 数 规 律 增 长 的 信 号e a t ， 只 有 当 a 时
才收敛，所以收敛坐标为0 a 。
④ 右 边 信 号 的 收 敛 域 在 收 敛 轴 以 右 的 s 平 面 ,既
a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面，
第三章 拉普拉斯变换
--
§3.1 拉普拉斯变换
综述几种情况： ① 凡 是 有 始 有 终 ， 能 量 有 限 的 信 号 ,收 敛 坐
标落于 ，全部平面都属于收敛区。例如：单
个脉冲信号。 ②信号的幅值既不增长也不衰减而等于恒
定 值 ， 或 随 时 间 t，t n 成 比 例 增 长 的 信 号 ， 则 其
收敛坐标落于原点，s 平面右半平面属于收敛
② 时 移 性 质 应 用 条 件 ： f(t)波 形 由 起 始 点 延 迟 t0， 则 它 的 拉 普 拉 斯 变 换 应 等 于
F(s)乘 以 est 。
--
③时移和尺度变换都有时：
f (at b)
1
s
b a
aa
④ f(t)时 间 微 分 ， 积 分 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 不 仅与 F(s)有关，还与 t=0 点函数值 f(0)，函数的
X (s) 1 1 2a a Re(s) a s a s a s2 a2
--
由 上 式 可 以 看 出 ， X (s)没 有 零 点 ， 在 s=a 和 s= -a 处 有两个极点，如下图
-a
a
如 果 a < 0 ，（ 1 ） 式 和 （ 2 ） 式 的 收 敛 域 不 重 叠 ， 没 有 公 共 的
区 。 例 如 ： 正 弦 信 号 ， t ，t n 信 号 。
--
③ 按 指 数 规 律 增 长 的 信 号e a t ， 只 有 当 a 时
才收敛，所以收敛坐标为0 a 。
④ 右 边 信 号 的 收 敛 域 在 收 敛 轴 以 右 的 s 平 面 ,既
a
⑤左边信号的收敛域在收敛轴以左的 s 平面，
第三章 拉普拉斯变换
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§3.1 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换及反变换ppt课件
补充 拉普拉斯变换及反变换 重点 知识
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
一、拉氏变换及其特性 1、 拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（ 、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式， 即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展 开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法 由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用 方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)
第三章拉氏变化
L ∫ f ( t − λ )g ( λ )d λ = F (s)G (s) 0
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理
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对 0 没有要求，收敛域为整个s平面
11
3.3 拉普拉斯变换的收敛域
2. 单位阶跃信号u(t) 对于>0的任何值，都有
lim u(t)e t 0
t
所以其收敛域为s平面的右半面
3. 线性增长信号 tn 对于>0的任何值，都有
lim tne t 0
t
所以其收敛域为s平面的右半面
12
3.3 拉普拉斯变换的收敛域
e 4. 指数函数 t
只有当 时，才有
lim eate t 0
t
所以其收敛域为s平面上 的部分.
返回
13
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换
| 1、单位阶跃信号u(t)
L u(t) estdt 0
est s
0
1 s
即 u(t) 1
s
L 2、指数函数et eat
将F(s)化为s的多项式与真分式之和
F(s)
g0
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当地选取 的值
就有可以使f(t)e-t 变得绝对可积，即
lim f (t)e t 0 其中 et称为收敛因子
t
F f (t)e t
Fb ( )
f (t)e te j tdt
f (t)e( j )tdt 令s=+j f (t)est dt
同理
L
cos
t
s2
s
2
17
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
5、冲激函数(t)
L (t) (t)estdt 1 0
即 L (t) 1 同理 L (t t0 ) est0
返回18
3.5 拉普拉斯反变换
利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函 数F(s)求出原函数f(t)。
f(t)为有始函数，即t<0时，f(t)=0
F (s) f (t)estdt 0
f
(t)
1
2j
j
F
j
(
s)es
t
dsu(t
)
记作： F(s) L[ f (t)]
f (t) L1[F (s)]
本课程主要所讨论单边拉普拉斯变换
8
3、复平面(s平面)
以复频率s=+j的实部 和虚部 j 为相
2、单变拉氏变换的收敛条件
若f(t)为有始函数，且存在下列关系
lim f (t)e t 0
t
0
则收敛条件为 0 0称为收敛坐标
j
0 0
10
3.3 拉普拉斯变换的收敛域
3、指数阶函数 凡是满足
lim f (t)e t 0
t
的函数称为指数阶函数
0在时间轴上有始有终，其能量是有限的。
因为上式中t为积分变量,故积分结果必为s的函数
Fb (s)
f (t)estdt
(1) 5
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换
f (t)et 1
2
Fb
(s)e
jt d
两边同乘et
f (t) 1
2
Fb
( s )e
te
j
t d
令s=+j，,因为常数，所以d = 1/j ds，且当 时，s j 进行积分换元
f (t) 1 F (s)estds
2j
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广
返回3
3.2 拉普拉斯变换
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换 1、傅立叶变换定义
当函数f(t)满足狄里赫利条件时
F ( ) f (t)e j tdt
f (t) 1 F( )e j td
2
4
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
互垂直的坐标轴而构成的平面. j
当s=+j确定时，
左
右
半
半
指数函数 est 也确定了
est e t e j t
开 平0
面
开 平 面
反映指数函数est的幅度变化速度
>0,幅度发散 <0,幅度收敛
反映指数函数est的因子ejt作周期变化的频率
返回9
3.3 拉普拉斯变换的收敛域(ROC) 1、定义：把使f(t)e-t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。
2、有些重要函数如eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。
2
3.1 引言
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷多 项虚指数信号ejt之和。
f (t) 1 F( )e j td
2
2、拉普拉斯变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项复 指数信号est之和。其中s=+j s称为复频率
s2
15
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
4、正弦函数
sin t 1 (e j t e j t )
2j
则 L sin t 1 (L e j t L e j t ) 2j
1( 1 1 )
2 j s j s j
s2 2
16
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
即
L
s in
t
s2
2
第三章 拉普拉斯变换
3.1 引言 3.2 拉普拉斯变换 3.3 拉普拉斯变换的收敛域 3.4 常用函数的拉普拉斯变换 3.5 拉普拉斯反变换 3.6 拉普拉斯变换的基本性质
小结
1
3.1 引言
傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系 统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变 换有不足之处。
1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信 号不满足该条件。
一、部分分式法
F(s)
N(s) D(s)
bmsm ansn
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
其中，ai ,bj均为实数，m，n为正整数
部分分式法的实质：将F(s)展开为简单分式之和， 再逐项求出其拉氏反变换。
19
一、当mn时
一、部分分式法
设N(s)比D(s)高r阶
eatestdt 1
0
sa
即 L eat
1
sa
14
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
3、 tn n为正整数
L tn
t nestdt
0
| t n est e st nt e n1 stdt
s
0
s 0
n t e n1 stdt s 0
即
Ltn n!
s n1
L t 1
f (t) 1
2j
j j
Fb
(
s)e
s
t
ds
(2)
(1)式和(2)式为双边拉普拉斯变换对 6
二、拉普拉斯变换定义 1、双边拉普拉斯变换
Fb (s)
f (t)estdt
(1)
f (t) 1
2j
j
F j b
(
s
)e
s
t
ds
(2)
s称复频率，Fb(s)称信号的复频谱
7
2、单边拉普拉斯变换
11
3.3 拉普拉斯变换的收敛域
2. 单位阶跃信号u(t) 对于>0的任何值，都有
lim u(t)e t 0
t
所以其收敛域为s平面的右半面
3. 线性增长信号 tn 对于>0的任何值，都有
lim tne t 0
t
所以其收敛域为s平面的右半面
12
3.3 拉普拉斯变换的收敛域
e 4. 指数函数 t
只有当 时，才有
lim eate t 0
t
所以其收敛域为s平面上 的部分.
返回
13
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换
| 1、单位阶跃信号u(t)
L u(t) estdt 0
est s
0
1 s
即 u(t) 1
s
L 2、指数函数et eat
将F(s)化为s的多项式与真分式之和
F(s)
g0
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当地选取 的值
就有可以使f(t)e-t 变得绝对可积，即
lim f (t)e t 0 其中 et称为收敛因子
t
F f (t)e t
Fb ( )
f (t)e te j tdt
f (t)e( j )tdt 令s=+j f (t)est dt
同理
L
cos
t
s2
s
2
17
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
5、冲激函数(t)
L (t) (t)estdt 1 0
即 L (t) 1 同理 L (t t0 ) est0
返回18
3.5 拉普拉斯反变换
利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函 数F(s)求出原函数f(t)。
f(t)为有始函数，即t<0时，f(t)=0
F (s) f (t)estdt 0
f
(t)
1
2j
j
F
j
(
s)es
t
dsu(t
)
记作： F(s) L[ f (t)]
f (t) L1[F (s)]
本课程主要所讨论单边拉普拉斯变换
8
3、复平面(s平面)
以复频率s=+j的实部 和虚部 j 为相
2、单变拉氏变换的收敛条件
若f(t)为有始函数，且存在下列关系
lim f (t)e t 0
t
0
则收敛条件为 0 0称为收敛坐标
j
0 0
10
3.3 拉普拉斯变换的收敛域
3、指数阶函数 凡是满足
lim f (t)e t 0
t
的函数称为指数阶函数
0在时间轴上有始有终，其能量是有限的。
因为上式中t为积分变量,故积分结果必为s的函数
Fb (s)
f (t)estdt
(1) 5
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换
f (t)et 1
2
Fb
(s)e
jt d
两边同乘et
f (t) 1
2
Fb
( s )e
te
j
t d
令s=+j，,因为常数，所以d = 1/j ds，且当 时，s j 进行积分换元
f (t) 1 F (s)estds
2j
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广
返回3
3.2 拉普拉斯变换
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换 1、傅立叶变换定义
当函数f(t)满足狄里赫利条件时
F ( ) f (t)e j tdt
f (t) 1 F( )e j td
2
4
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
互垂直的坐标轴而构成的平面. j
当s=+j确定时，
左
右
半
半
指数函数 est 也确定了
est e t e j t
开 平0
面
开 平 面
反映指数函数est的幅度变化速度
>0,幅度发散 <0,幅度收敛
反映指数函数est的因子ejt作周期变化的频率
返回9
3.3 拉普拉斯变换的收敛域(ROC) 1、定义：把使f(t)e-t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。
2、有些重要函数如eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。
2
3.1 引言
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷多 项虚指数信号ejt之和。
f (t) 1 F( )e j td
2
2、拉普拉斯变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项复 指数信号est之和。其中s=+j s称为复频率
s2
15
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
4、正弦函数
sin t 1 (e j t e j t )
2j
则 L sin t 1 (L e j t L e j t ) 2j
1( 1 1 )
2 j s j s j
s2 2
16
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
即
L
s in
t
s2
2
第三章 拉普拉斯变换
3.1 引言 3.2 拉普拉斯变换 3.3 拉普拉斯变换的收敛域 3.4 常用函数的拉普拉斯变换 3.5 拉普拉斯反变换 3.6 拉普拉斯变换的基本性质
小结
1
3.1 引言
傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系 统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变 换有不足之处。
1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信 号不满足该条件。
一、部分分式法
F(s)
N(s) D(s)
bmsm ansn
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
其中，ai ,bj均为实数，m，n为正整数
部分分式法的实质：将F(s)展开为简单分式之和， 再逐项求出其拉氏反变换。
19
一、当mn时
一、部分分式法
设N(s)比D(s)高r阶
eatestdt 1
0
sa
即 L eat
1
sa
14
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
3、 tn n为正整数
L tn
t nestdt
0
| t n est e st nt e n1 stdt
s
0
s 0
n t e n1 stdt s 0
即
Ltn n!
s n1
L t 1
f (t) 1
2j
j j
Fb
(
s)e
s
t
ds
(2)
(1)式和(2)式为双边拉普拉斯变换对 6
二、拉普拉斯变换定义 1、双边拉普拉斯变换
Fb (s)
f (t)estdt
(1)
f (t) 1
2j
j
F j b
(
s
)e
s
t
ds
(2)
s称复频率，Fb(s)称信号的复频谱
7
2、单边拉普拉斯变换