第三章拉普拉斯变换

同理
L
cos
t
s2
s
2
17
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
5、冲激函数(t)
L (t) (t)estdt 1 0
即 L (t) 1 同理 L (t t0 ) est0
返回18
3.5 拉普拉斯反变换
利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函 数F(s)求出原函数f(t)。
f (t) 1 F (s)estds
2j
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广
返回3
3.2 拉普拉斯变换
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换 1、傅立叶变换定义
当函数f(t)满足狄里赫利条件时
F ( ) f (t)e j tdt
f (t) 1 F( )e j td
2
4
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
一、部分分式法
F(s)
N(s) D(s)
bmsm ansn
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
其中，ai ,bj均为实数，m，n为正整数
部分分式法的实质：将F(s)展开为简单分式之和， 再逐项求出其拉氏反变换。
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一、当mn时
一、部分分式法
设N(s)比D(s)高r阶
2、有些重要函数如eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。
2
3.1 引言
拉氏变换与傅氏变换的关系： 1、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷多 项虚指数信号ejt之和。
f (t) 1 F( )e j td
2
2、拉普拉斯变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项复 指数信号est之和。其中s=+j s称为复频率
互垂直的坐标轴而构成的平面. j
当s=+j确定时，
左
右
半
半
指数函数 est 也确定了
est e t e j t
开 平0
面
开 平 面
反映指数函数est的幅度变化速度
>0,幅度发散 <0,幅度收敛
反映指数函数est的因子ejt作周期变化的频率
返回9
3.3 拉普拉斯变换的收敛域(ROC) 1、定义：把使f(t)e-t 满足绝对可积条件的 的取值范围称为拉氏变换的收敛域。
将F(s)化为s的多项式与真分式之和
F(s)
g0
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当地选取 的值
就有可以使f(t)e-t 变得绝对可积，即
lim f (t)e t 0 其中 et称为收敛因子
t
F f (t)e t
Fb ( )
f (t)e te j tdt
f (t)e( j )tdt 令s=+j f (t)est dt
e 4. 指数函数 t
只有当 时，才有
lim eate t 0
t
所以其收敛域为s平面上 的部分.
返回
13
3.4 常用函数的拉普拉斯变换
设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换
| 1、单位阶跃信号u(t)
L u(t) estdt 0
est s
0
1 s
即 u(t) 1
s
L 2、指数函数et eat
f(t)为有始函数，即t<0时，f(t)=0
F (s) f (t)estdt 0
f
(t)
1
2j
j
F
j
(
s)es
t
dsu(t
)
记作： F(s) L[ f (t)]
f (t) L1[F (s)]
本课程主要所讨论单边拉普拉斯变换
8
3、复平面(s平面)
以复频率s=+j的实部 和虚部 j 为相
f (t) 1
2j
j j
Fb
(
s)e
s
t
ds
(2)
(1)式和(2)式为双边拉普拉斯变换对 6
二、拉普拉斯变换定义 1、双边拉普拉斯变换
Fb (s)
f (t)estdt
(1)
f (t) 1
2j
j
F j b
(
s
)e
s
t
ds
(2)
s称复频率，Fb(s)称信号的复频谱
7
2、单边拉普拉斯变换
对 0 没有要求，收敛域为整个s平面
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3.3 拉普拉斯变换的收敛域
2. 单位阶跃信号u(t) 对于>0的任何值，都有
lim u(t)e t 0
t
所以其收敛域为s平面的右半面
3. 线性增长信号 tn 对于>0的任何值，都有
lim tne t 0
t
所以其收敛域为s平面的右半面
12
3.3 拉普拉斯变换的收敛域
s2
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3.4 常用函数的拉普拉斯变换
4、正弦函数
sin t 1 (e j t e j t )
2j
则 L sin t 1 (L e j t L e j t ) 2j
1( 1 1 )
2 j s j s j
s2 2
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3.4 常用函数的拉普拉斯变换
即
L
s in
t
s2
2
因为上式中t为积分变量,故积分结果必为s的函数
Fb (s)
f (t)estdt
(1) 5
一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换
用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换
f (t)et 1
2
Fbபைடு நூலகம்
(s)e
jt d
两边同乘et
f (t) 1
2
Fb
( s )e
te
j
t d
令s=+j，,因为常数，所以d = 1/j ds，且当 时，s j 进行积分换元
2、单变拉氏变换的收敛条件
若f(t)为有始函数，且存在下列关系
lim f (t)e t 0
t
0
则收敛条件为 0 0称为收敛坐标
j
0 0
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3.3 拉普拉斯变换的收敛域
3、指数阶函数 凡是满足
lim f (t)e t 0
t
的函数称为指数阶函数
0
几个简单的函数 1. 时限信号
时限信号在时间轴上有始有终，其能量是有限的。
eatestdt 1
0
sa
即 L eat
1
sa
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3.4 常用函数的拉普拉斯变换
3、 tn n为正整数
L tn
t nestdt
0
| t n est e st nt e n1 stdt
s
0
s 0
n t e n1 stdt s 0
即
Ltn n!
s n1
L t 1
第三章 拉普拉斯变换
3.1 引言 3.2 拉普拉斯变换 3.3 拉普拉斯变换的收敛域 3.4 常用函数的拉普拉斯变换 3.5 拉普拉斯反变换 3.6 拉普拉斯变换的基本性质
小结
1
3.1 引言
傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系 统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变 换有不足之处。
1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信 号不满足该条件。