同济大学《高等数学》上册答案

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同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)

解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
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练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y

y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
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练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3

同济大学《高等数学》[上册]的答案解析

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练习 2-5
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练习 3-3
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练习 3-4
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练习 4-4
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同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案(可编辑)

同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案习题 1?11. 设 A?∞, ?5∪5, +∞, B[?10, 3, 写出 A∪B, A∩B, A\B及 A\A\B的表达式解 A∪B?∞, 3∪5, +∞, A∩B[?10, ?5, A\B?∞, ?10∪5, +∞, A\A\B[?10, ?5C C C2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: A∩B A ∪B证明因为C C C C Cx∈A∩B ?x?A∩B? x?A或x?B? x∈A 或x∈Bx∈A ∪B ,C C C所以 A∩B A ∪B 3. 设映射 f : X →Y, A?X, B?X证明1fA∪BfA∪fB; 2fA ∩B?fA∩fB 证明因为 y∈fA∪B??x∈A∪B, 使 fxy?因为 x∈A 或 x∈B y∈fA或 y∈fB? y∈ fA∪fB,所以 fA∪BfA∪fB 2因为y∈fA∩Bx∈A∩B, 使fxy?因为 x∈A且 x∈B y∈fA且 y∈fB? y∈ fA∩fB,所以 fA∩B?fA∩fB 4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使 g f I , f g I , 其中I 、I 分别是X、X YX YY上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有I xx; 对于每一个y∈Y, 有I yy. 证明: f是双射, 且gX Y?1是f的逆映射: gf证明因为对于任意的y∈Y, 有xgy∈X, 且fxf[gy]I yy, 即Y中任意元素都是X中某y元素的像, 所以f为X到Y的满射又因为对于任意的x ≠x , 必有fx ≠fx , 否则若fx fx ?g[ fx ]g[fx ]x x1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有gyx∈X, 且满足fxf[gy]I yy, 按逆映射的y定义, g是f的逆映射 5. 设映射 f : X→Y, A?X证明: ?1 1f fA?A; ?1 2当f是单射时, 有f fAA ?1 ?1 证明 1因为x∈Afxy∈fAf yx∈f fA, ?1 所以 f fA?A1 2由1知f fA?A1 ?1 另一方面, 对于任意的x∈f fA?存在y∈fA, 使f yx?fxy因为y∈fA且f是单1 ?1射, 所以x∈A. 这就证明了f fA?A. 因此f fAA6. 求下列函数的自然定义域: 1 y 3x+2 ;2 2 解由 3x+2≥0 得 x 函数的定义域为[? , +∞3 31 2 y ;21?x2 解由 1?x ≠0得x≠±1函数的定义域为?∞, ?1∪?1, 1∪1, +∞12 3 y 1?x ;x2 解由x≠0 且 1?x ≥0得函数的定义域D[?1, 0∪0, 1]1 4 y ;24?x2 解由 4?x 0 得 |x|2函数的定义域为?2, 2 5 y sin x ;解由 x≥0 得函数的定义 D[0, +∞ 6 ytanx+1;ππx≠kπ + ?1解由 x+1≠ k0, ±1, ±2,得函数的定义域为 k0, ±1, ±2,2 2 7 yarcsinx?3; 解由|x?3|≤1 得函数的定义域 D[2, 4]1 8 y 3? x +arctan ;x 解由 3?x≥0 且 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, 3 9 ylnx+1; 解由 x+10 得函数的定义域 D?1, +∞1x 10 ye解由 x≠0 得函数的定义域 D?∞, 0∪0, +∞ 7. 下列各题中, 函数 fx和 gx是否相同?为什么? 2 1fxlg x , gx2lg x;2 2 fxx, gx x ;3 34 3 3 f x xx , gx x x?12 2 4fx1, gxsec x?tan x解 1不同因为定义域不同 2不同因为对应法则不同, x0时, gx?x 3相同因为定义域、对应法则均相相同 4不同因为定义域不同π|sin x| |x|πππ3 8. 设?x , 求? , ? , ?? , ??2, 并作出函数 y?x的图形π 64 4?0 |x|≥3ππ 1 ππ 2 ππ 2 解 ? |sin | , ? |sin | , ?? |sin? | , ??206 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:x 1 y , ?∞, 1;1? x 2yx+ln x, 0, +∞证明 1对于任意的x , x ∈?∞, 1, 有 1?x 0, 1?x 0. 因为当x x 时,1 2 1 2 1 2x x xx1 2 1 2yy 0,1 21? x 1? x 1? x 1? x1 2 1 2x所以函数 y 在区间?∞, 1内是单调增加的1? x 2对于任意的x , x ∈0, +∞, 当x x 时, 有1 2 1 2x1yy x +ln x ?x +ln x xx +ln 0,1 2 1 1 2 2 1 2x2所以函数 yx+ln x 在区间0, +∞内是单调增加的 10. 设 fx为定义在?l, l内的奇函数, 若 fx在0, l内单调增加, 证明 fx在?l, 0内也单调增加证明对于?x , x ∈?l, 0且x x , 有?x , ?x ∈0, l且?x ?x1 2 1 2 1 2 1 2 因为 fx在0, l内单调增加且为奇函数, 所以f?x f?x ,fx ?fx , fx fx ,2 1 2 1 2 1这就证明了对于?x , x ∈?l, 0, 有fx fx , 所以fx在?l, 0内也单调增加1 2 1 2 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间?l, l上的, 证明: 1两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; 2两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明1设Fxfx+gx. 如果fx和gx都是偶函数, 则F?xf?x+g?xfx+gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数如果 fx 和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x+g?x?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数2设Fxfx?gx. 如果fx和gx都是偶函数, 则F?xf?x?g?xfx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数如果 fx 和 gx都是奇函数, 则 F?xf?x?g?x[?fx][?gx]fx?gxFx,所以 Fx为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数如果fx是偶函数, 而gx是奇函数, 则F?xf?x?g?xfx[?gx]?fx?gx?Fx,所以 Fx为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数?2 21yx 1?x ;2 32y3x ?x ;21?x3 y ;21+x4yxx?1x+1; 5ysin x?cos x+1;x ?xa +a6 y22 2 2 2 解 1因为f?x?x [1??x ]x 1?x fx, 所以fx是偶函数2 3 2 3 2由f?x3?x ??x 3x +x 可见fx既非奇函数又非偶函数221??x1? x 3因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数221+ x1+x 4因为f?x?x?x?1?x+1?xx+1x?1?fx, 所以fx是奇函数5由f?xsin?x?cos?x+1?sin x?cos x+1 可见 fx既非奇函数又非偶函数?x ??x ?x xa +a a +a 6因为 f ?x f x , 所以 fx是偶函数2 2 13. 下列各函数中哪些是周期函数?对于周期函数, 指出其周期: 1ycosx?2; 2ycos 4x; 3y1+sin πx; 4yx cos x;25ysin x 解 1是周期函数, 周期为 l2ππ 2是周期函数, 周期为 l2 3是周期函数, 周期为 l2 4不是周期函数 5是周期函数, 周期为 lπ 14. 求下列函数的反函数:3 1 y x+1 ;1?x 2 y ;1+xax+b 3 y ad?bc≠0;cx+d 4 y2sin3x; 5 y1+lnx+2;x2 6yx2 +13 33 3 解 1由 y x+1得xy ?1, 所以 y x+1的反函数为yx ?11? y1?x 1?x 1?x 2由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 y1+x 1+ y 1+x 1+x?dy+bax+b ax+b ?dx+b 3由 y 得 x , 所以 y 的反函数为 ycy?acx+d cx+d cx?ay1 1 x 4由 y2sin 3x 得 x arcsin, 所以 y2sin 3x的反函数为 y arcsin3 2 3 2y?1 x?1 5由y1+lnx+2得xe ?2, 所以y1+lnx+2的反函数为ye ?2x xy2 2 x 6由 y 得 xlog , 所以 y 的反函数为 ylog2 2x x2 +1 1? y 2 +1 1? x 15. 设函数 fx在数集 X 上有定义, 试证: 函数 fx在 X 上有界的充分必要条件是它在 X上既有上界又有下界证明先证必要性. 设函数 fx在 X 上有界, 则存在正数 M, 使|fx|≤M, 即?M≤fx≤M. 这这就证明了 fx在 X 上有下界?M 和上界 M 再证充分性. 设函数fx在X 上有下界K 和上界K , 即K ≤fx≤ K取M|K |, |K |,1 2 1 2 1 2则M≤ K ≤fx≤ K ≤M ,1 2即 |fx|≤M这就证明了 fx在 X 上有界 16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 和x 的函数值:1 22 ππ 1 yu , usin x, x , x ;1 26 3ππ 2 ysin u, u2x, x , x ;1 28, 42 3 y u, u1+x , x 1, x 2;1 2u 2 4 ye , ux , x 0, x 1;1 22 x 5 yu , ue , x 1, x ?11 22 π 1 1 π3 32 2 2 2 解 1ysin x, y sin , y sin1 26 2 4 3 2 4ππ 2 ππ 2ysin2x, y sin2? sin , y sin2? sin 11 28 4 2 4 22 2 23 y, 1+ x y 1+1 2 , y 1+2 51 22 2 2x 0 1 4 y e , y e 1 , y e e1 22x 2?1 2 2??1 ?2 5ye , y e e , y e e1 2 17. 设 fx的定义域 D[0, 1], 求下列各函数的定义域:2 1 fx ; 2 fsinx; 3 fx+aa0; 4fx+a+fx?aa02 2 解 1由 0≤x ≤1 得|x|≤1, 所以函数fx 的定义域为[?1, 1] 2由0≤sin x≤1 得 2nπ≤x≤2n+1π n0, ±1, ±2 ?, 所以函数 fsin x的定义域为[2nπ, 2n+1π] n0, ±1, ±2 ?3由 0≤x+a≤1 得?a≤x≤1?a, 所以函数fx+a的定义域为[?a, 1?a]1 1 1 4由 0≤x+a≤1 且 0≤x?a≤1 得: 当 0a≤时, a≤x≤1?a; 当 a 时, 无解. 因此当 0a≤时2 2 21函数的定义域为[a, 1?a], 当 a 时函数无意义21 |x|1?x18. 设 f x 0 |x|1, gxe , 求f[gx]和g[fx], 并作出这两个函数的图形1 |x|1x1 |e |1 1 x0x解 f [gx] 0 |e |1 , 即 f [gx] 0 x0x1 |e |1 ?1 x0?1e |x| 1 e |x| 1f x 0 g[ f x ]e e |x|1, 即 g[ f x ] 1 |x|11 ?1?e |x|1 e |x|119. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角?40°图 1?37. 当过水断面ABCD的面积为定值S 时, 求湿周LLAC+CD+DB与水深h之间的函数关系式, 并说明定义域0图 1?37h 解 AbDC , 又从sin401h[BC +BC +2cot40 ?h]S 得2SBC ?cot40 ?h , 所以hS2?cos40L + hh sin 40 自变量 h 的取值范围应由不等式组Sh0, ?cot40 ?h0h确定, 定义域为 0h S cot400 20. 收敛音机每台售价为 90 元, 成本为 60 元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过 100 台以上的, 每多订购 1台, 售价就降低 1 分, 但最低价为每台 75 元 1将每台的实际售价 p 表示为订购量 x 的函数; 2将厂方所获的利润 P表示成订购量 x 的函数; 3某一商行订购了 1000 台, 厂方可获利润多少?解 1当 0≤x≤100时, p90令 0. 01x ?10090?75, 得x 1600. 因此当x≥1600 时, p750 0 当 100x1600 时, p90?x?100×0. 0191?0. 01x 综合上述结果得到90 0≤ x≤100 p 91?0.01x 100 x1600?75x≥1600 30x 0≤ x≤1002P p?60x 31x?0.01x 100 x1600 215xx≥16002 3 P31×1000?0. 01×1000 21000元习题 1 ?21. 观察一般项x 如下的数列x 的变化趋势, 写出它们的极限:n n1 1 x ;nn21n 2 x ?1 ;nn1x 2 + 3 ;n2nn ?1 4 x ;nn +1n 5 x n ?1n1 1x lim 0 解 1 当 n →∞时, →0,nn nn →∞2 21 1n n 2 当 n →∞时, x ?1 →0, lim ?1 0 nn →∞n n1 1 3 当 n →∞时, x2 + →2,lim2 + 2 n2 2n →∞n nn ?1 2 n ?1x 1lim 1 4 当 n →∞时, →0,nn →∞n +1 n +1 n +1n 5 当n→∞时, x n ?1 没有极限nn πcos2 2. 设数列x 的一般项 x 问 lim x ? 求出N, 使当nN 时, x 与其极限之差的n nn nn →∞n绝对值小于正数ε , 当ε 0.001 时, 求出数N 解 lim x 0nn →∞n π|cos |1 1 1 12 |x ?0| ≤? ε 0, 要使|x ?0| ε , 只要ε , 也就是 n 取 N [ ], nnn nn εε则?nN, 有|x ?0| εn1N [ ] 当ε 0.001 时, 1000ε 3. 根据数列极限的定义证明: 1 1 lim 0 ;2n →∞n3n +1 3lim 2 ;n →∞2n +1 22 2n +a 3 lim 1n →∞n 4 lim 0.999 9 1n →∞n 个1 1 1 12| ?0| ε n 1 分析要使 , 只须 , 即 n2 2εn n ε1 11 证明因为ε0,N [ ], 当 nN 时, 有| ?0| ε , 所以 lim 02 2n →∞1 13n +1 3 1 1 2 分析要使|| ε , 只须ε , 即 n2n +1 2 22n +1 4n4n 4 ε3n +1 31 3n +1 3 证明因为ε0,N [ ] , 当 nN 时, 有|| ε , 所以 lim n →∞4 ε 2n +1 2 2n +1 22 2 2 2 2 2 2n +a n +a ?n a a a 3 分析要使|, ?1| ε只须 n2 2n n n εn n +a +n2 2 2 2 2an +a n +a证明因为? ε0,N [ ] , 当?nN 时, 有| ?1| ε , 所以 lim 1n →∞ε n n11 1 4 分析要使|0.99 9 ?1| , 只须ε , 即 n 1 +lgεn ?1 n ?1ε1证明因为? ε0,N [1 +lg ] , 当?nN 时, 有|0.99 9 ?1| ε , 所以 lim 0.999 9 1n →∞εn 个 4. lim u a , 证明 lim |u | |a|并举例说明: 如果数列|x | 有极限, 但数列x 未必有n nn nn →∞ n →∞极限证明因为 lim u a , 所以? ε0, ?N ∈N, 当 nN 时, 有|u ?a| ε , 从而n nn →∞||u | ?|a|| ≤|u ?a| εn n这就证明了 lim|u | |a|nn →∞n n 数列|x | 有极限, 但数列x 未必有极限. 例如 lim| ?1 | 1, 但lim ?1 不存在n nn →∞ n →∞ 5. 设数列x 有界, 又 lim y 0 , 证明: lim x y 0 nn →∞ n →∞证明因为数列x 有界, 所以存在M, 使?n ∈Z, 有|x | ≤Mn nε又 lim y 0 , 所以ε0, ?N ∈N, 当 nN 时, 有| y | 从而当 nN 时, 有n nn →∞Mε |x y ?0| |x y | ≤M | y | M ε ,n n n n nM所以 lim x y 0n nn →∞ 6. 对于数列x 若x →a k →∞, x →a k →∞, 证明: x →a n →∞n 2k 2k +1 n 证明因为x →a k →∞, x →a k →∞, 所以ε0,2k 2k +1?K , 当 2k2K 时, 有| x ?a | ε ;1 1 2kK , ?当 2k+12K +1 时, 有| x ?a | ε2 2 2k+1取N 2K , 2K +1, 只要nN, 就有|x ?a | ε因此x →a n →∞1 2 n n 习题 1 ?31. 根据函数极限的定义证明: 1 lim3x ?1 8;x →3 2 lim5x +2 12;x →22x ?4 3 lim ?4;x → ?2x +231 ?4x 4 lim 21x →2x +121 证明 1 分析 |3x ?1 ?8| |3x ?9| 3|x ?3|, 要使|3x ?1 ?8| ε , 只须|x ?3| ε31 证明因为ε 0,δε , 当 0 |x ?3| δ时, 有|3x ?1 ?8| ε , 所以 lim3x ?1 8x →331 2 分析 |5x +2 ?12| |5x ?10| 5|x ?2|, 要使|5x +2 ?12| ε , 只须|x ?2| ε51δε证明因为ε 0,, 当 0 |x ?2| δ时, 有|5x +2 ?12| ε , 所以 lim5x +2 12x →252 2 2x ?4 x +4x +4 x ?4 3 分析 ? ?4 |x +2| |x ? ?2| , 要使 ? ?4 ε , 只须x +2 x +2 x +2|x ? ?2| ε2 2x ?4 x ?4 证明因为ε 0,δε , 当 0 |x ? ?2| δ时, 有 ? ?4 ε ,所以 lim ?4x → ?2x +2 x +2331 ?4x 1 1 ?4x 1 1 4 分析 , 要使 ?2 ε , 只须|x ?| ε 2 |1 ?2x ?2| 2|x ?|2x +1 2 2x +1 2 23 31 1 1 ?4x 1 ?4x 证明因为ε 0,δε , 当 0 |x ?| δ时, 有 ?2 ε , 所以 lim 212 2 2x +1 2x +1x →2 2. 根据函数极限的定义证明:31 + x 1 1 ;lim3x →∞22xsin x 2 lim 0x → +∞x33 3 31 + x 1 1 + xx 1 1 + x 1 1 证明 1 分析 , 要使ε , 只须ε , 即3 3 3 3 32 22x 2x 2|x| 2x 2|x|1|x| 32 ε 331 1 + x 11 + x 1 证明因为ε 0,X , 当|x| X 时, 有ε , 所以 lim3 33x →∞2 22x 2x2 εsin x |sin x| 1 sin x 1 1 2 分析 ?0 ≤ , 要使 ?0 ε , 只须ε , 即 x 2εx x x x x1sin x sin x 证明因为ε 0,X , 当 x X 时, 有 ?0 ε , 所以 lim 0 2x → +∞εx x2 3. 当x →2 时, y x →4. 问δ等于多少, 使当|x ?2| δ时, |y ?4|0. 001 ?2 解由于x →2, |x ?2| →0, 不妨设|x ?2| 1, 即 1 x 3. 要使|x ?4| |x +2||x ?2| 5|x ?2| 0. 001, 只要0.0012|x ?2| 0.0002, 取δ 0. 0002, 则当 0 |x ?2| δ时, 就有|x ?4| 0. 00152x ?1 4. 当x →∞时, y →1, 问X 等于多少, 使当|x|X 时, |y ?1|0.012x +32x ?1 44 解要使 ?1 0.01, 只 ,|x| ?3 397 X 3972 20.01x +3 x +3 5. 证明函数 fx |x| 当 x →0 时极限为零x |x| 6. 求 f x , ?x 当 x →0 时的左?右极限, 并说明它们在 x →0 时的极限是否存在x x 证明因为xlim f x lim lim 1 1,x →0 x →0 x x →0xlim f x lim lim 1 1,+ + +x →0 x →0 x x →0lim f x lim f x,? +x →0 x →0所以极限 lim f x 存在x →0 因为|x| ?xlim ?x lim lim ?1,x →0 x →0 x →0x x|x| xlim ?x lim lim 1,+ + +x →0 x →0 x →0x xlim ?x ≠ lim ?x,? +x →0 x →0所以极限 lim ?x 不存在x →0 7. 证明: 若 x →+ ∞及 x →?∞时, 函数 fx 的极限都存在且都等于 A, 则 lim f x Ax →∞证明因为 lim f x A , lim f x A , 所以? ε0,x → ?∞ x →+∞?X 0, 使当x ?X 时, 有|fx ?A| ε ;1 1?X 0, 使当x X 时, 有|fx ?A| ε2 2取XX , X , 则当|x| X时, 有|fx ?A| ε , 即 lim f x A1 2x →∞ 8. 根据极限的定义证明: 函数fx 当x →x 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性. 设fx →Ax →x , 则? ε0,δ 0, 使当 0|x ?x | δ时, 有0 0|fx ?A| ε因此当xδxx 和x xx + δ时都有0 0 0 0|fx ?A| ε这说明fx 当x →x 时左右极限都存在并且都等于A0 再证明充分性. 设fx ?0 fx +0 A, 则? ε0,0 0? δ 0, 使当xδ xx 时, 有| fx ?A ε ;1 0 1 0? δ 0, 使当x xx + δ时, 有| fx ?A| ε2 0 0 2取δ min δ , δ , 则当0|x ?x | δ时, 有xδ xx 及x xx + δ , 从而有1 2 0 0 1 0 0 0 2| fx ?A| ε ,即fx →Ax →x0 9. 试给出 x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理 : 如果 fx 当 x→∞时的极限存在 , 则存在 X0 及M 0 , 使当|x|X 时, |fx| M证明设 fx →Ax →∞ , 则对于ε 1 , ?X0 , 当|x| X 时, 有|fx ?A| ε 1所以|fx| |fx ?A+A| ≤|fx ?A| +|A| 1 +|A| 这就是说存在 X0 及 M 0 , 使当|x| X 时, |fx| M , 其中 M 1 +|A|习题1 ?41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小?举例说明之解不一定αx 2 αx 例如, 当 x →0 时, αx 2x, βx 3x 都是无穷小, 但 lim , 不是无穷小x →0β x 3 β x 2. 根据定义证明:2x ?9 1 y 当 x →3 时为无穷小;x +31 2 y xsin 当 x →0 时为无穷小x2x ?9 证明 1 当 x ≠3 时| y| |x ?3|因为ε 0,δε , 当 0 |x ?3| δ时, 有x +32x ?9| y| |x ?3| δε ,x +32x ?9所以当 x →3 时 y 为无穷小x +31 2 当 x ≠0 时| y| |x||sin | ≤|x ?0|因为? ε 0,δε , 当 0 |x ?0| δ时, 有x1| y| |x||sin | ≤|x ?0| δε ,x1所以当 x →0 时 y xsin 为无穷小x1 +2x 3. 根据定义证明: 函数 y 为当x →0 时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使x4|y|10 ?1 +2x 1 1 1 1 证明分析| y|2 + ≥ ?2 , 要使|y| M, 只须 ?2 M , 即|x|x x |x| |x| M +21 1 + 2x 证明因为 ?M 0,δ , 使当 0 |x ?0| δ时, 有 M ,M +2 x1 +2x所以当 x →0 时, 函数 y 是无穷大x1 14 4 取M 10 , 则δ当 0 |x ?0| 时, |y|104 410 +2 10 +2 4. 求下列极限并说明理由:2x +1 1 lim ;n →∞x21x 2 limx →01x2x +1 1 1 2x +1 解 1 因为 2 + , 而当 x→∞时是无穷小, 所以 lim 2n →∞x x x x2 21x 1x 2 因为 1 + x x ≠1, 而当 x →0 时 x 为无穷小, 所以 lim 1 x →01x 1x 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表: 6. 函数 y xcos x 在?∞, +∞内是否有界?这个函数是否为当 x →+∞时的无穷大?为什么?解函数 y xcos x 在?∞, +∞内无界这是因为?M 0, 在 ?∞, +∞内总能找到这样的 x, 使得|yx| M. 例如y2k π 2k π cos2k π 2k π k 0, 1, 2,,当 k 充分大时, 就有| y2k π| M 当 x →+ ∞时, 函数 y xcos x 不是无穷大这是因为?M 0, 找不到这样一个时刻 N, 使对一切大于 N 的 x, 都有|yx| M. 例如πππy2k π + 2k π + cos2k π + 0 k 0, 1, 2,,2 2 2π对任何大的 N, 当 k 充分大时, 总有 x 2k π + N , 但|yx| 0 M21 1+ 7. 证明: 函数 y sin 在区间0, 1] 上无界, 但这函数不是当x →0 时的无穷大x x1 1 证明函数 y sin 在区间0, 1] 上无界. 这是因为x xM 0, 在0, 1] 中总可以找到点x , 使yx M. 例如当k k1x k 0, 1, 2,kπ2k π +2时, 有πyx 2k π + ,k2当k 充分大时, yx Mk+当x →0 时, 函数 y sin 不是无穷大. 这是因为x xM 0, 对所有的δ 0, 总可以找到这样的点x , 使 0 x δ, 但yx M. 例如可取k k k1x k 0, 1, 2,,k2k π当k 充分大时, x δ, 但yx 2k πsin2k π 0 Mk k习题 1 ?51. 计算下列极限:2x +5 1 lim ;x →2x ?32 2x +5 2 +5 解 lim ?9x →2x ?3 2 ?32x ?3 2 lim ;2x → 3 x +1223 ?3x ?3 解 lim 02x → 3 x +13 +12x ?2x +1 3 lim ;2x →1x ?122x ?2x +1 x ?1 x ?1 0 解 lim lim lim 0 2x →1 x →1 x →1x ?1 x ?1x +1 x +1 23 24x ?2x +x 4 lim ;2x →03x +2x3 2 24x ?2x +x 4x ?2x +1 1 解 lim lim2x →0 x →03x + 2x 3x + 2 22 2x +h ?x 5 lim ;h →0h2 22 2 2x +h ?xx +2hx +h ?x 解 lim lim lim2x +h 2x h →0 h →0 h →0h h1 1 6 lim2+ ;2x →∞x x1 1 1 1 解 lim2+ 2lim + lim 22 2x →∞ x →∞ x →∞x x x x2x ?1 7 lim ;2x →∞2x ?x ?11122x 解 lim lim2x →∞ x ?xx →∞ 1 1 22 12?2x x2x +x 8 lim ;4 2x →∞x ?3x ?12x +x 解 lim 0 分子次数低于分母次数, 极限为零4 2x →∞x ?3x ?11 1+22 3x +xx x 或 lim lim 04 2x →∞ x →∞ 2 11?2 4x x2x6x + 8 9 lim ;2x →4x5x + 42x ?2x ?4x ?6x +8 x ?2 4 ?2 2lim lim lim 解2x →4 x →4 x →4x ?5x +4 x ?1x ?4 x ?1 4 ?1 31 1 10 lim1 +2 ;2x →∞x x1 1 1 1 解 lim1 +2 lim1 + lim2 1 ×2 22 2x →∞ x →∞ x →∞x x x x1 1 1 11 lim1 + + + + ;nn →∞2 4 21n +11 ?1 1 12 解 lim1 + + + + lim 2 nn →∞ n →∞ 12 4 2121 +2 +3 + +n ?1 12 lim ; 2n →∞nn ?1n1 +2 +3 + +n ?1 1 n ?1 12 解lim lim lim2 2n →∞ n →∞ n →∞n n 2 n 2n +1n +2n +3 13 lim ;3n →∞5nn +1n +2n +3 1 解 lim 分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比3n →∞ 5n 5n +1n +2n +31 123 1 或 lim lim1 + 1 + 1 +3n →∞ n →∞5n 5 n n n 51 3 14 lim ;3x →11 ?x 1 ?x21 ?xx +21 3 1 +x +x ?3 x +2lim lim ?lim ?lim ?1 解3 2 2 2x →1 x →1 x →1 x →11 ?x 1 ?x 1 ?x1 +x +x 1 ?x1 +x +x 1 +x +x 2. 计算下列极限:3 2x +2x 1 lim ;2x →223 2x ?20 x +2x 解因为 lim 0 , 所以 lim ∞3 2 2x →2 x →2x +2x 16 x ?22x 2 lim ;x →∞2x +12x 解 lim ∞因为分子次数高于分母次数x →∞2x +13 3 lim2x ?x +1x →∞3 解 lim2x ?x +1 ∞因为分子次数高于分母次数x →∞ 3. 计算下列极限:12 1 limx sin ;x →0x1 2 12 解 limx sin 0 当x →0 时, x 是无穷小, 而 sin 是有界变量x →0arctanx 2 limx →∞xarctanx 1 1 解 lim lim ?arctanx 0 当 x →∞时, 是无穷小, 而arctan x 是有界变量x →∞ x →∞x x x 4. 证明本节定理 3 中的2. 习题 1 ?61. 计算下列极限:sin ωx 1 lim ;x →0xsin ωx sin ωx 解 lim ω lim ωx →0 x →0x ωxtan3x 2 lim ;x →0xtan3x sin3x 1 解 lim 3lim3x →0 x →0x 3x cos3xsin2x 3 lim ;x →0sin5xsin2x sin2x 5x 2 2 解 lim lim?x →0 x →0sin5x 2x sin5x 5 5 4 lim x cot x ;x →0x x 解 lim xcot x lim ?cosx lim ?limcosx 1x →0 x →0 x →0 x →0sin x sin x1 ?cos2x 5 lim ;x →0xsin x21 ?cos2x 1 ?cos2x 2sin x sin x2 解法一 lim lim lim 2lim 22 2x →0 x →0 x →0 x →0xsin x x x x21 ?cos2x 2sin x sin x 解法二 lim lim 2lim 2x →0 x →0 x →0xsin x xsin x xxn 6 lim 2 sin x 为不等于零的常数nn →∞2xsinnxn2 解 lim2 sin lim ?x xnxn →∞ n →∞2n2 2. 计算下列极限:1x 1 lim1 ?x ;x →01 11?1?1?1?x ?xx 解 lim1x lim[1 + ?x] lim[1 + ?x] e x →0 x →0 x →01x 2 lim1 +2x ;x →01 1 1?222x 2x 2x 解 lim1 +2x lim1 +2x [ lim1 +2x ] ex →0 x →0 x →01 + x2x 3 lim ;x →∞x1 + x 1 22x x 2[ ] 解 lim lim1 + ex →∞ x →∞x x1kx 4 lim1 k 为正整数x →∞x1 1kx ?x ?k ?k 解 lim1 lim1 + ex →∞ x →∞xx 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则 I ′解 4. 利用极限存在准则证明:1 1 lim 1 + 1;n →∞ n1 1 证明因为1 1 + 1 + ,n n1而lim1 1 且 lim1 + 1,n →∞ n →∞ n1由极限存在准则 I, lim 1 + 1n →∞n1 1 12 limn + + + 1;2 2 2n →∞n + π n +2 π n +n π证明因为2 2n 1 1 1 nn + + + ,2 2 2 2 2n +n π n + π n +2 π n +n π n + π2 2n n而lim 1, lim 1,2 2n →∞ n →∞n +n π n + π1 1 1所以 limn + + + 12 2 2n →∞ n + π n +2 π n +n π 3 数列 2 , 2 + 2 , 2 + 2 + 2 , 的极限存在; 证明 x 2 , x 2 + x n 1, 2, 3,1 n +1 n 先证明数列x 有界. 当n 1 时 x2 2 , 假定n k 时x 2, 当n k +1 时,n k1x 2 + x 2 +2 2,k +1 k所以x 2n 1, 2, 3,, 即数列x 有界n n 再证明数列单调增22 + xx ?x ?2x +1n n n nxx 2 + xx ,n +1 n n n2 + x + x 2 + x + xn n n n而x ?2 0, x +1 0, 所以x ?x 0, 即数列x 单调增n n n +1 n n 因为数列x 单调增加有上界, 所以此数列是有极限的nnlim 1 + x 1 4 ;x →0 证明当|x| ≤1 时, 则有n 1 +x ≤1 +|x| ≤1 +|x| ,n 1 +x ≥1 ?|x| ≥1 ?|x| ,n从而有 1 ?|x| ≤ 1 + x ≤1 +|x|因为 lim1 ?|x| lim1 +|x| 1,x →0 x →0根据夹逼准则, 有nlim 1 + x 1x →01 5 lim x [ ] 1+x →0 x1 1 1 1 证明因为 ?1 [ ] ≤ , 所以1x x [ ] ≤1x x x x1 又因为 lim 1x lim 1 1 , 根据夹逼准则, 有 lim x [ ] 1+ + +x →0 x →0 x →0x习题 1?72 23 1. 当x→0 时, 2x?x 与x ?x 相比, 哪一个是高阶无穷小?2 3 2x ?x x?x 解因为 lim lim 0,2x→0 x→02?x2x?x2 3 2 3 2所以当x→0 时, x ?x 是高阶无穷小, 即x ?x o2x?x13 2 2. 当x→1 时, 无穷小 1?x 和11?x , 2 1x 是否同阶?是否等价? 23 21?x 1?x1+x+x2 解 1 因为 lim lim lim1+x+x 3,x→1 x→1 x→11?x 1?x3所以当x→1 时, 1?x 和 1?x 是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小121?x12 2 因为 lim lim1+x1,x→1 x→11?x 212所以当x→1 时, 1?x 和 1?x 是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小2 3. 证明: 当x→0 时, 有: 1 arctanx~x;2x 2 secx?1~2arctanx y 证明 1 因为 lim lim 1 提示: 令yarctan x, 则当x→0 时, y →0,x→0 y→0x tany所以当x→0 时, arctanx~xx x22sin 2sin2secx?1 1?cosx2 2 2 因为 lim 2lim lim lim 1,2 2x→0 x→0 x→0 x→01 x2 x cosx xx2 222x所以当x→0 时, secx?1~2 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:tan3x 1 lim ;x→02xnsinx 2 lim n, m 为正整数;mx→0sinxtanx?sinx 3 lim ;3x→0sin xsinx?tanx 4 limx→0 3 21+x ?1 1+sinx ?1tan3x 3x 3 解 1 lim lim x→0 x→02x 2x 21 nmnnsinx x 2 lim lim 0 nmm mx→0 x→0sinx x∞nm1 12sinx ?1 xtanx?sinx 1?cosx 1cosx2 3 lim lim lim lim3 3 2 2x→0 sin x x→0 sin x x→0 cosxsin x x→0x cosx 2 4 因为。

同济大学第六版高等数学上册课后答案全集08037

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11.设A=(-∞,-5)⋃(5,+∞), B=[-10, 3),写出A⋃B, A⋂B, A\B及A\(A\B)的表达式.解A⋃B=(-∞, 3)⋃(5,+∞),A⋂B=[-10,-5),A\B=(-∞,-10)⋃(5,+∞),A\(A\B)=[-10,-5).2.设A、B是任意两个集合,证明对偶律: (A⋂B)C=A C ⋃B C .证明因为x∈(A⋂B)C⇔x∉A⋂B⇔ x∉A或x∉B⇔ x∈A C或x∈B C ⇔ x∈A C ⋃B C,所以(A⋂B)C=A C ⋃B C .3.设映射f : X →Y, A⊂X, B⊂X .证明(1)f(A⋃B)=f(A)⋃f(B);(2)f(A⋂B)⊂f(A)⋂f(B).证明因为y∈f(A⋃B)⇔∃x∈A⋃B,使f(x)=y⇔(因为x∈A或x∈B) y∈f(A)或y∈f(B)⇔ y∈f(A)⋃f(B),所以f(A⋃B)=f(A)⋃f(B).(2)因为y ∈f(A ⋂B)⇒∃x ∈A ⋂B , 使f(x)=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B) y ∈f(A)且y ∈f(B)⇒ y ∈ f(A)⋂f(B),所以 f(A ⋂B)⊂f(A)⋂f(B).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g(y)∈X , 且f(x)=f[g(y)]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f(x 1)≠f(x 2), 否则若f(x 1)=f(x 2)⇒g[ f(x 1)]=g[f(x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g(y)=x ∈X , 且满足f(x)=f[g(y)]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f(A))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f(A))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f(x)=y ∈f(A) ⇒ f -1(y)=x ∈f -1(f(A)), 所以 f -1(f(A))⊃A .(2)由(1)知f -1(f(A))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f(A))⇒存在y ∈f(A), 使f -1(y)=x ⇒f(x)=y . 因为y ∈f(A)且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f(A))⊂A . 因此f -1(f(A))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211x y -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1,1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241xy -=; 解由4-x 2>0得 |x|<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅). (7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)=lg x 2, g(x)=2lg x ;(2) f(x)=x , g(x)=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f(x)=1, g(x)=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g(x)=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x)的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f(x)为定义在(-l , l)内的奇函数, 若f(x)在(0, l)内单调增加,证明f(x)在(-l, 0)内也单调增加.证明对于∀x1, x2∈(-l, 0)且x1<x2,有-x1,-x2∈(0, l)且-x1>-x2.因为f(x)在(0, l)内单调增加且为奇函数,所以f(-x2)<f(-x1),-f(x2)<-f(x1), f(x2)>f(x1),这就证明了对于∀x1, x2∈(-l, 0),有f(x1)< f(x2),所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)⋅g(x).如果f(x)和g(x)都是偶函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数,则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)⋅g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)⋅g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)⋅g(x)=-F(x), 所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数. 12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x(x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2xx a a y -+=.解 (1)因为f(-x)=(-x)2[1-(-x)2]=x 2(1-x 2)=f(x), 所以f(x)是偶函数.(2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x 2+x 3可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f(x)是偶函数.(4)因为f(-x)=(-x)(-x -1)(-x +1)=-x(x +1)(x -1)=-f(x), 所以f(x)是奇函数.(5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x -cos x +1可见f(x)既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f(x)是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =xcos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

同济大学第六版高数练习册答案上册

高等数学习题解答第一章（7-11）第六节极限存在准则两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim n x =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n n n n11limlim22=+=+∞→∞→n nn n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明：令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→ttx x t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。

4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x（5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x=1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim →x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n第八节函数的连续性与间断点1. 0 ；2. 充要；3. 2；4. D5. B6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt t t t x x f1)(lim 0-=-→x f x ∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。

高等数学同济大学第七版上册答案

高等数学同济大学第七版上册答案题型：选择题1. 下列哪个函数是奇函数？A. y=x^2B. y=2x-1C. y=|x|D. y=\sin x答案：C2. 已知函数f(x)在区间[a,b]内单调递增，那么在以下哪个区间内f^{-1}(x)单调递减？A. [f(a),f(b)]B. [a,b]C. [f(b),f(a)]D. (-\infty,+\infty)答案：A3. 设\alpha为第二象限的角，则\cos\alpha等于A. -√2/2B. √2/2C. -√3/2D. -√6/2答案：B4. 若y=\log_3{(x+√1+x^2)}，则(1/y)等于A. 3√1+x^2B. \dfrac{3x}{√1+x^2}C. \dfrac{x}{√1+x^2}D. \dfrac{√1+x^2}{x}答案：B5. 函数f(x)=(1/2)(2x-1)\ln{(x+1)}在(0,+\infty)有单峰。

对于f(x)的单峰值点x_0，下列说法正确的是？A. f'(x_0)>0，且f''(x_0)>0B. f'(x_0)<0，且f''(x_0)<0C. f'(x_0)>0，且f''(x_0)<0D. f'(x_0)<0，且f''(x_0)>0答案：C题型：填空题6. 已知f(x)=x^3-3x^2+bx+c在x=1处取极小值-2，则b=____}，c=____}。

答案：b=-3，c=0。

7. 设a,b均为正数，若a\ln{3}+b\ln{5}=0，则\log_{15}{√a}+\log_{45}{√b}=____}。

答案：0。

8. 设函数f(x)具有二阶导数，f(0)=0，f'(0)=1，f''(0)=-2，则f(x)+f(-x)的极小值为____}。

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高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。

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高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11.设A =(-∞,-5)⋃(5,+∞),B =[-10,3),写出A ⋃B ,A ⋂B ,A \B 及A \(A \B )的表达式. 解A ⋃B =(-∞,3)⋃(5,+∞),A ⋂B =[-10,-5),A \B =(-∞,-10)⋃(5,+∞),A \(A \B )=[-10,-5).2.设A 、B 是任意两个集合,证明对偶律:(A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔x ∉A 或x ∉B ⇔x ∈A C 或x ∈B C ⇔x ∈A C ⋃B C ,所以(A ⋂B )C =A C ⋃B C .3.设映射f :X →Y ,A ⊂X ,B ⊂X .证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B ,使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B )y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔y ∈f (A )⋃f (B ),所以f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B ,使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B )y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒y ∈f (A )⋂f (B ), 所以f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4.设映射f :X →Y ,若存在一个映射g :Y →X ,使X I f g = ,Y I g f = ,其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射,即对于每一个x ∈X ,有I X x =x ;对于每一个y ∈Y ,有I Y y =y .证明:f 是双射,且g 是f 的逆映射:g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y ,有x =g (y )∈X ,且f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,即Y 中任意元素都是X 中某元素的像,所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2,必有f (x 1)≠f (x 2),否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [f (x 1)]=g [f (x 2)]⇒x 1=x 2.因此f 既是单射,又是满射,即f 是双射.对于映射g :Y →X ,因为对每个y ∈Y ,有g (y )=x ∈X ,且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y ,按逆映射的定义,g 是f 的逆映射.5.设映射f :X →Y ,A ⊂X .证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时,有f -1(f (A ))=A .证明(1)因为x ∈A ⇒f (x )=y ∈f (A )⇒f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面,对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ),使f -1(y )=x ⇒f (x )=y .因为y ∈f (A )且f 是单射,所以x ∈A .这就证明了f -1(f (A ))⊂A .因此f -1(f (A ))=A .6.求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x .函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 2≠0得x ≠±1.函数的定义域为(-∞,-1)⋃(-1,1)⋃(1,+∞). (3)211x xy --=; 解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1,0)⋃(0,1]. (4)241xy -=; 解由4-x 2>0得|x |<2.函数的定义域为(-2,2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0,+∞).(6)y =tan(x +1); 解由21π≠+x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅).(7)y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2,4]. (8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞,0)⋃(0,3).(9)y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1,+∞). (10)x e y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞,0)⋃(0,+∞).7.下列各题中,函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2,g (x )=2lg x ;(2)f (x )=x ,g (x )=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1,g (x )=sec 2x -tan 2x .解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x <0时,g (x )=-x .(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.8.设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x ,求)6(πϕ,)4(πϕ,)4(πϕ-,ϕ(-2),并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解21|6sin |)6(==ππϕ,22|4sin |)4(==ππϕ,22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ,0)2(=-ϕ. 9.试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)xx y -=1,(-∞,1); (2)y =x +ln x ,(0,+∞).证明(1)对于任意的x 1,x 2∈(-∞,1),有1-x 1>0,1-x 2>0.因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ,所以函数xx y -=1在区间(-∞,1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0,+∞)内是单调增加的.10.设f (x )为定义在(-l ,l )内的奇函数,若f (x )在(0,l )内单调增加,证明f (x )在(-l ,0)内也单调增加.证明对于∀x 1,x 2∈(-l ,0)且x 1<x 2,有-x 1,-x 2∈(0,l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0,l )内单调增加且为奇函数,所以f (-x 2)<f (-x 1),-f (x 2)<-f (x 1),f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1,x 2∈(-l ,0),有f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-l ,0)内也单调增加. 11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l ,l )上的,证明:(1)两个偶函数的和是偶函数,两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数,两个奇函数的乘积是偶函数,偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F (x )=f (x )+g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数,即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ).如果f (x )和g (x )都是偶函数,则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数,则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数,即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数,而g (x )是奇函数,则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数,即偶函数与奇函数的积是奇函数.12.下列函数中哪些是偶函数,哪些是奇函数,哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3; (3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1; (6)2x x a a y -+=. 解(1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ),所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-,所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ),所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----,所以f (x )是偶函数. 13.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数,指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数,周期为l =2π.(2)y =cos4x ;解是周期函数,周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解是周期函数,周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数,周期为l =π.14.求下列函数的反函数: (1)31+=x y ; 解由31+=x y 得x =y 3-1,所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11; 解由x x y +-=11得y y x +-=11,所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11. (3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0); 解由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=,所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4)y =2sin3x ;解由y =2sin3x 得2arcsin 31y x =,所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =. (5)y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2,所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2. (6)122+=x x y . 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2,所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15.设函数f (x )在数集X 上有定义,试证:函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数f (x )在X 上有界,则存在正数M ,使|f (x )|≤M ,即-M ≤f (x )≤M .这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性.设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2,即K 1≤f (x )≤K 2.取M =max{|K 1|,|K 2|},则-M ≤K 1≤f (x )≤K 2≤M ,即|f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16.在下列各题中,求由所给函数复合而成的函数,并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1)y =u 2,u =sin x ,61π=x ,32π=x ;解y =sin 2x ,41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2)y =sin u ,u =2x ,81π=x ,42π=x ; 解y =sin2x ,224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =,u =1+x 2,x 1=1,x 2=2; 解21x y +=,21121=+=y ,52122=+=y .(4)y =e u ,u =x 2,x 1=0,x 2=1;解2x e y =,1201==e y ,e e y ==212.(5)y =u 2,u =e x ,x 1=1,x 2=-1.解y =e 2x ,y 1=e 2⋅1=e 2,y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17.设f (x )的定义域D =[0,1],求下列各函数的定义域:(1)f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1,所以函数f (x 2)的定义域为[-1,1].(2)f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π(n =0,±1,±2⋅⋅⋅),所以函数f (sin x )的定义域为[2n π,(2n +1)π](n =0,±1,±2⋅⋅⋅).(3)f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a ,所以函数f (x +a )的定义域为[-a ,1-a ].(4)f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得:当210≤<a 时,a ≤x ≤1-a ;当21>a 时,无解.因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ,1-a ],当21>a 时函数无意义. 18.设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01|| 1)(x x x x f ,g (x )=e x ,求f [g (x )]和g [f (x )],并作出这两个函数的图形. 解⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||01|| 1)]([x x x e e e x g f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ,即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1||11|| )]([1x e x x e x f g . 19.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40︒(图1-37).当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-37 解 40sin h DC AB ==,又从0)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ 得h h S BC ⋅-= 40cot 0,所以 h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS 确定,定义域为 40cot 00S h <<.20.收敛音机每台售价为90元,成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的,每多订购1台,售价就降低1分,但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数;(2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数;(3)某一商行订购了1000台,厂方可获利润多少？解(1)当0≤x ≤100时,p =90.令0.01(x 0-100)=90-75,得x 0=1600.因此当x ≥1600时,p =75.当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0.01x .综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p .(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3)P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21.观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势,写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解当n →∞时,nn x 21=→0,021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=; 解当n →∞时,n x n n 1)1(-=→0,01)1(lim =-∞→nn n . (3)212n x n +=; 解当n →∞时,212n x n +=→2,2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ; 解当n →∞时,12111+-=+-=n n n x n →0,111lim =+-∞→n n n . (5)x n =n (-1)n .解当n →∞时,x n =n (-1)n 没有极限.2.设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=.问n n x ∞→lim =?求出N ,使当n >N 时,x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε,当ε=0.001时,求出数N .解0lim =∞→n n x . n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π.∀ε>0,要使|x n -0|<ε,只要ε<n 1,也就是ε1>n .取]1[ε=N , 则∀n >N ,有|x n -0|<ε.当ε=0.001时,]1[ε=N =1000. 3.根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ; 分析要使ε<=-221|01|n n ,只须ε12>n ,即ε1>n . 证明因为∀ε>0,∃]1[ε=N ,当n >N 时,有ε<-|01|2n ,所以01lim 2=∞→n n . (2)231213lim =++∞→n n n ; 分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|,只须ε<n41,即ε41>n . 证明因为∀ε>0,∃]41[ε=N ,当n >N 时,有ε<-++|231213|n n ,所以231213lim =++∞→n n n . (3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|,只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0,∃][2εa N =,当∀n >N 时,有ε<-+|1|22n a n ,所以1lim 22=+∞→na n n . (4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99⋅⋅⋅9-1|ε<=-1101n ,只须1101-n <ε,即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0,∃]1lg 1[ε+=N ,当∀n >N 时,有|0.99⋅⋅⋅9-1|<ε,所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4.a u n n =∞→lim ,证明||||lim a u n n =∞→.并举例说明:如果数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有ε<-||a u n ,从而 ||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε.这就证明了||||lim a u n n =∞→. 数列{|x n |}有极限,但数列{x n }未必有极限.例如1|)1(|lim =-∞→n n ,但n n )1(lim -∞→不存在. 5.设数列{x n }有界,又0lim =∞→n n y ,证明:0lim =∞→n n n y x . 证明因为数列{x n }有界,所以存在M ,使∀n ∈Z ,有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y ,所以∀ε>0,∃N ∈N ,当n >N 时,有My n ε<||.从而当n >N 时,有 εε=⋅<≤=-MM y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6.对于数列{x n },若x 2k -1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞), 证明:x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞),x 2k →a (k →∞),所以∀ε>0, ∃K 1,当2k -1>2K 1-1时,有|x 2k -1-a |<ε; ∃K 2,当2k >2K 2时,有|x 2k -a |<ε.取N =max{2K 1-1,2K 2},只要n >N ,就有|x n -a |<ε. 因此x n →a (n →∞). 习题1-31.根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε,只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0,∃εδ31=,当0<|x -3|<δ时,有|(3x -1)-8|<ε, 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|,所以要使|(5x +2)-12|<ε,只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε>0,∃εδ51=,当0<|x -2|<δ时,有 |(5x +2)-12|<ε,所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 所以要使ε<--+-)4(242x x ,只须ε<--|)2(|x .证明因为∀ε>0,∃εδ=,当0<|x -(-2)|<δ时,有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x . (4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 所以要使ε<-+-212413x x ,只须ε21|)21(|<--x . 证明因为∀ε>0,∃εδ21=,当δ<--<|)21(|0x 时,有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x .2.根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x x x ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x ,只须ε<3||21x ,即321||ε>x . 证明因为∀ε>0,∃321ε=X ,当|x |>X 时,有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→xx x . 分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-. 所以要使ε<-0sin x x ,只须ε<x1,即21ε>x . 证明因为∀ε>0,∃21ε=X ,当x >X 时,有ε<-0sin xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .3.当x →2时,y =x 2→4.问δ等于多少,使当|x -2|<δ时,|y -4|<0.001？解由于当x →2时,|x -2|→0,故可设|x -2|<1,即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002,则当0<|x -2|<δ时,就有|x 2-4|<0.001.4.当x →∞时,13122→+-=x x y ,问X 等于多少,使当|x |>X 时,|y -1|<0.01? 解要使01.034131222<+=-+-x x x ,只要397301.04||=->x ,故397=X .5.证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε,只须|x |<ε.因为对∀ε>0,∃δ=ε,使当0<|x -0|<δ,时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε,所以0||lim 0=→x x .6.求,)(x x x f =xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限,并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在. 因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7.证明:若x →+∞及x →-∞时,函数f (x )的极限都存在且都等于A ,则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim ,A x f x =+∞→)(lim ,所以∀ε>0,∃X 1>0,使当x <-X 1时,有|f (x )-A |<ε; ∃X 2>0,使当x >X 2时,有|f (x )-A |<ε.取X =max{X 1,X 2},则当|x |>X 时,有|f (x )-A |<ε,即A x f x =∞→)(lim .8.根据极限的定义证明:函数f (x )当x →x 0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性.设f (x )→A (x →x 0),则∀ε>0,∃δ>0,使当0<|x -x 0|<δ时,有 |f (x )-A |<ε.因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ时都有 |f (x )-A |<ε.这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A .再证明充分性.设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A ,则∀ε>0, ∃δ1>0,使当x 0-δ1<x <x 0时,有|f (x )-A <ε; ∃δ2>0,使当x 0<x <x 0+δ2时,有|f (x )-A |<ε.取δ=min{δ1,δ2},则当0<|x -x 0|<δ时,有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2,从而有 |f (x )-A |<ε, 即f (x )→A (x →x 0).9.试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理,并加以证明.解x →∞时函数极限的局部有界性的定理:如果f (x )当x →∞时的极限存在,则存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞),则对于ε=1,∃X >0,当|x |>X 时,有|f (x )-A |<ε=1.所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0,使当|x |>X 时,|f (x )|<M ,其中M =1+|A |. 习题1-41.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如,当x →0时,α(x )=2x ,β(x )=3x 都是无穷小,但32)()(lim 0=→x x x βα,)()(x x βα不是无穷小.2.根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明(1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x -3|<δ时,有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y , 所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y .因为∀ε>0,∃δ=ε,当0<|x -0|<δ时,有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3.根据定义证明:函数xx y 21+=为当x →0时的无穷大.问x 应满足什么条件,能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ,要使|y |>M ,只须M x >-2||1,即21||+<M x .证明因为∀M >0,∃21+=M δ,使当0<|x -0|<δ时,有M x x >+21,所以当x →0时,函数xx y 21+=是无穷大.取M =104,则21014+=δ.当2101|0|04+<-<x 时,|y |>104. 4.求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→; (2)xx x --→11lim 20. 解(1)因为xx x 1212+=+,而当x →∞时x 1是无穷小,所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1),而当x →0时x 为无穷小,所以111lim 20=--→x x x .5.根据函数极限或无穷大定义,填写下表:解6.函数y=x cos x在(-∞,+∞)内是否有界？这个函数是否为当x→+∞时的无穷大？为什么？解函数y=x cos x在(-∞,+∞)内无界.这是因为∀M>0,在(-∞,+∞)内总能找到这样的x,使得|y(x)|>M.例如y(2kπ)=2kπcos2kπ=2kπ(k=0,1,2,⋅⋅⋅),当k充分大时,就有|y(2kπ)|>M.当x→+∞时,函数y=x cos x不是无穷大.这是因为∀M >0,找不到这样一个时刻N ,使对一切大于N 的x ,都有|y (x )|>M .例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0,1,2,⋅⋅⋅),对任何大的N ,当k 充分大时,总有N k x >+=22ππ,但|y (x )|=0<M .7.证明:函数xx y 1sin 1=在区间(0,1]上无界,但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数x x y 1sin 1=在区间(0,1]上无界.这是因为∀M >0,在(0,1]中总可以找到点x k ,使y (x k )>M .例如当221ππ+=k x k(k =0,1,2,⋅⋅⋅)时,有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时,y (x k )>M .当x →0+时,函数xx y 1sin 1=不是无穷大.这是因为∀M >0,对所有的δ>0,总可以找到这样的点x k ,使0<x k <δ,但y (x k )<M .例如可取πk x k 21=(k =0,1,2,⋅⋅⋅),当k 充分大时,x k <δ,但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-5 1.计算下列极限:(1)35lim 22-+→x xx ; 解9325235lim 222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ; 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx x x x x 2324lim 2230++-→; 解2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→; 解x h x h x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→.(6))112(lim 2x x x +-∞→; 解21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零). 或012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x . (10))12)(11(lim 2xx x -+∞→; 解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解2211)21(1lim )2141211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比).或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n nn n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim 21-=+++-=→x x x x . 2.计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ,所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ; 解∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3.计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→; 解01sin lim 20=→x x x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→.解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时,x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-51.计算下列极限: (1)35lim 22-+→x x x ; 解9325235lim 222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ; 解02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx x x x x 2324lim 2230++-→; 解2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→; 解x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→; 解21lim 1lim 2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ; 解2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x .(8)13lim 242--+∞→x x x x x ; 解013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数,极限为零). 或012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x . (10))12)(11(lim 2x x x -+∞→; 解221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→; 解2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321lim nn n -+⋅⋅⋅+++∞→; 解211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→; 解515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同,极限为最高次项系数之比). 或51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n nn n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→; 解)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim 21-=+++-=→xx x x .2.计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ,所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x x x ; 解∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x . 解∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数). 3.计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→; 解01sin lim 20=→xx x (当x →0时,x 2是无穷小,而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时,x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3中的(2).习题1-71.当x →0时,2x -x 2与x 2-x 3相比,哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时,x 2-x 3是高阶无穷小,即x 2-x 3=o (2x -x 2).2.当x →1时,无穷小1-x 和(1)1-x 3,(2))1(212x -是否同阶？是否等价？解(1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时,1-x 和1-x 3是同阶的无穷小,但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时,1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小,而且是等价无穷小. 3.证明:当x →0时,有:(1)arctan x ~x ; (2)2~1sec 2x x -. 证明(1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y y xx y x (提示:令y =arctan x ,则当x →0时,y →0), 所以当x →0时,arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x , 所以当x →0时,2~1sec 2x x -. 4.利用等价无穷小的性质,求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→; (2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n ,m 为正整数); (3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x x x x . 解(1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x . (2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x m n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0), 所以33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x . 5.证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1)α~α(自反性);(2)若α~β,则β~α(对称性);(3)若α~β,β~γ,则α~γ(传递性).证明(1)1lim =αα,所以α~α; (2)若α~β,则1lim=βα,从而1lim =αβ.因此β~α; (3)若α~β,β~γ,1lim lim lim =⋅=βαγβγα.因此α~γ. 习题1-81.研究下列函数的连续性,并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ; 解已知多项式函数是连续函数,所以函数f (x )在[0,1)和(1,2]内是连续的. 在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ,1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x ,从而函数f (x )在x =1处是连续的. 综上所述，函数f (x )在[0,2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f . 解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性.在x =-1处,因为f (-1)=-1,并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x , 所以函数在x =-1处间断,但右连续.在x =1处,因为f (1)=1,并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1),11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论,函数在(-∞,-1)和(-1,+∞)内连续,在x =-1处间断,但右连续.2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点属于哪一类,如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y ,x =1,x =2; 解)1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y .因为函数在x =2和x =1处无定义,所以x =2和x =1是函数的间断点. 因为∞=+--=→→231limlim 2222x x x y x x ,所以x =2是函数的第二类间断点; 因为2)2()1(lim lim 11-=-+=→→x x y x x ,所以x =1是函数的第一类间断点,并且是可去间断点.在x =1处,令y =-2,则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =,x =k ,2ππ+=k x (k =0,±1,±2,⋅⋅⋅); 解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义,因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xx k x tan lim π(k ≠0),故x =k π(k ≠0)是第二类间断点; 因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim 2=+→x x k x ππ(k ∈Z),所以x =0和2 ππ+=k x (k ∈Z)是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1,则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时,y =0,则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=,x =0; 解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义,所以x =0是函数x y 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在,所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1 31 1x x x x y ,x =1. 解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ,所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3.讨论函数x xxx f n n n 2211lim )(+-=∞→的连续性,若有间断点,判别其类型. 解⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f n n n . 在分段点x =-1处,因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ,1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ,所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处,因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ,1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ,所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4.证明:若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0.因为f (x )在x 0连续,所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ,由极限的局部保号性定理,存在x 0的某一去心邻域)(0x U,使当x ∈)(0x U 时f (x )>0,从而当x ∈U (x 0)时,f (x )>0.这就是说,则存在x 0的某一邻域U (x 0),当x ∈U (x 0)时,f (x )≠0. 5.试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅是f (x )的所有间断点,且它们都是无穷间断点; 解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0,±1,±2,21±,⋅⋅⋅,±n ,n1±,⋅⋅⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续,但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Q x x x f 1 1)(在R 上处处不连续,但|f (x )|=1在R 上处处连续. (3)f (x )在R 上处处有定义,但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f )(在R 上处处有定义,它只在x =0处连续. 习题1-91.求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间,并求极限)(lim 0x f x →,)(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →. 解)2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ,函数在(-∞,+∞)内除点x =2和x =-3外是连续的,所以函数f (x )的连续区间为(-∞,-3)、(-3,2)、(2,+∞). 在函数的连续点x =0处,21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处,∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x ,582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2.设函数f (x )与g (x )在点x 0连续,证明函数ϕ(x )=max{f (x ),g (x )},ψ(x )=min{f (x ),g (x )}在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→. 可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ. 因此] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ. 因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0), 所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3.求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ; (2)34)2(sin lim x x π→; (3))2cos 2ln(lim 6x x π→; (4)xx x 11lim 0-+→; (5)145lim 1---→x x x x ; (6)ax a x a x --→sin sin lim ; (7))(lim 22x x x x x --++∞→. 解(1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数,f (x )在点x =0有定义,所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x . (2)因为函数f (x )=(sin2x )3是初等函数,f (x )在点4π=x 有定义,所以 1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x . (3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数,f (x )在点6π=x 有定义,所以 0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x . (4))11(lim )11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim 0=++=++=→x x . (5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x . (6)ax ax a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2lim sin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim 2cos lim =⋅+=--⋅+=→→. (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→ 1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→x x x x x x x x x . 4.求下列极限: (1)x x e 1lim ∞→; (2)xx x sin ln lim 0→; (3)2)11(lim x x x+∞→; (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→; (5)21)63(lim -∞→++x x xx ; (6)xx x x x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim . 解(1)1lim 01lim 1===∞→∞→e e e x x x x . (2)01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x xx x x . (3)[]e e xx xx x x ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim . (4)[]33tan 3120cot 2022)tan 31(lim )tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→. (5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x x x x .因为 e x x x =+-+-+∞→36)631(lim ,232163lim -=-⋅+-∞→x x x ,所以2321)63(lim --∞→=++e xx x x . (6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(lim sin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→ xx x x x x x x x x x x x 220220sin 2sin 2tan lim )sin 1tan 1(sin )1sin 1)(sin (tan lim ⋅=+++++-=→→ 21)2(2lim 320=⋅=→x x x x . 5.设函数⎩⎨⎧≥+<=00 )(x x a x e x f x 应当如何选择数a ,使得f (x )成为在(-∞,+∞)内的连续函数？解要使函数f (x )在(-∞,+∞)内连续,只须f (x )在x =0处连续,即只须a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 00. 因为1lim )(lim 00==-→-→x x x e x f ,a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00,所以只须取a =1. 习题1-101.证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间.证明设f (x )=x 5-3x -1,则f (x )是闭区间[1,2]上的连续函数.因为f (1)=-3,f (2)=25,f (1)f (2)<0,所以由零点定理,在(1,2)内至少有一点ξ (1<ξ<2),使f (ξ)=0,即x =ξ是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根.因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间.2.证明方程x =a sin x +b ,其中a >0,b >0,至少有一个正根,并且它不超过a +b . 证明设f (x )=a sin x +b -x ,则f (x )是[0,a +b ]上的连续函数.f (0)=b ,f (a +b )=a sin(a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0,则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0,则f (0)f (a +b )<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a +b ),使f (ξ)=0,这说明x =ξ也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根.总之,方程x =a sin x +b 至少有一个正根,并且它不超过a +b .3.设函数f (x )对于闭区间[a ,b ]上的任意两点x 、y ,恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |,其中L 为正常数,且f (a )⋅f (b )<0.证明:至少有一点ξ∈(a ,b ),使得f (ξ)=0.证明设x 0为(a ,b )内任意一点.因为0||lim |)()(|lim 00000=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以0|)()(|lim 00=-→x f x f x x , 即)()(lim 00x f x f x x =→. 因此f (x )在(a ,b )内连续.同理可证f (x )在点a 处左连续,在点b 处右连续,所以f (x )在[a ,b ]上连续.因为f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )⋅f (b )<0,由零点定理,至少有一点ξ∈(a ,b ),使得f (ξ)=0. 4.若f (x )在[a ,b ]上连续,a <x 1<x 2<⋅⋅⋅<x n <b ,则在[x 1,x n ]上至少有一点ξ,使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 证明显然f (x )在[x 1,x n ]上也连续.设M 和m 分别是f (x )在[x 1,x n ]上的最大值和最小值. 因为x i ∈[x 1,x n ](1≤i ≤n ),所以有m ≤f (x i )≤M ,从而有M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,M nx f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤)( )()(21. 由介值定理推论,在[x 1,x n ]上至少有一点ξ使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ. 5.证明:若f (x )在(-∞,+∞)内连续,且)(lim x f x ∞→存在,则f (x )必在(-∞,+∞)内有界. 证明令A x f x =∞→)(lim ,则对于给定的ε>0,存在X >0,只要|x |>X ,就有 |f (x )-A |<ε,即A -ε<f (x )<A +ε.又由于f (x )在闭区间[-X ,X ]上连续,根据有界性定理,存在M >0,使|f (x )|≤M ,x ∈[-X ,X ]. 取N =max{M ,|A -ε|,|A +ε|},则|f (x )|≤N ,x ∈(-∞,+∞),即f (x )在(-∞,+∞)内有界.。

高等数学同济第七版上册课后答案

高等数学同济第七版上册课后习题答案L 求下列函数的自然定义域： ⑴ y = J3K +2; ⑶ y =—Vi- x 2；X (5) y=sin(7)y = arcsin(x-3); (9)jV = ln(x + l);解：(1)3AI + 2>0=>X >-23(2)1 -厂工 0 = JCH ±1, 即定义域为(-8, -1) U (-1/)D (1, +8) (3)/ = 0且1一/之0=4工0且产仔1 即定义域为[-1R)D(0,1](2)y = 1 - JC (4);y -1 , A /4-JT (6)y = tan(x +1); (8)J=V3-x + arctanJL; x(10)y = e e\,即定义域为「一 2,+0?(4)4-犬＞。

二＞卜|＜2即定义域为(—2,2)(5)x2 0,即定义域为［0, +oc)71(6)x +1 / kjr + 一 (% £Z), \ 2 1即定义域为x xe R^x^(k+ )兀一1k eZ(7)|x-3|< 1= 2 WxW 4,即定义域为[2,4](8)3—冗2 0且4工0,即定义域为(一8,0) u(0,3](9)x + 1 >0=>x> -1 即定义域为(-1,+8) (10)工工0,即定义域为(一双0) u (0, +oo)2,下列各题中，函数/(x)和g(x)是否相同？为什么？(1)/U) = 1g g(x) =21gx(2)/U) = x, g(x)=岳(3)/(%) = #(f-丁), g(x) =(4)/(x) = l,g(x) =sec'x — tarrx解；(1)不同，因为定义域不同((2)不同，因为对应法则不同，g(M= 1—= x.x>0< 0(3)相同，因为定义域，对应法则均相同(4)不同，因为定义域不同匹斗|斗＜3 .设a“)=\ 兀3州花一11 3求0(二),夕(巴)，旗一土),0(-2),并指出函数y = Q(x)的图形6 4 41 /乃、, 7T yfl二？，以 4)= sin 耳=~^,0(_Z)= sin(--)l = =0,44 | 2(l)y=(2)y = x + In x,(0, +oo)证明：,匹、 .匹%)=sm%解:4 .试证下列函数在指定区间内的单调X \-xx 1⑴尸/W = ---- -- = T+ -- --- ,(一00』)1-x 1-x设X] <工2 < 1，因为/%)—/区)=“七方 ,〉0 (—Xi) >U1 2所以/(X2 )> /(&),即/(X)在(一8,1)内单调增加(2) y - /(x) = x + In x,(0, +8)设0<»<彳2，因为 /U） -/u） = X - x+ In 当二。

同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)

1可取直线的方向向量为s312故过点234的直线方程为2所求直线平行两已知平面且两平面的法向量n1与n2不平行故所求直线平行于两平面的交线于是直线方向向量故过点024的直线方程为3所求直线与已知直线平行故其方向向量可取为s213故过点121的直线方程为
练习1-1
练习1-2
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练习1-6
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练习1-8
练习1-9
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总习题一
练习2-1
练习2-2
练习2-3
练习2-4
练习2-5
总习题二
练习3-1
练习3-2
练习3-3
练习3-4
练习3-5
练习3-6
x
(2)
2
(21)
1
(11)
1
43;
+
0
+
y
+
+
+
0
0
+
yf(x)
↘
17/5
极小值
↗
6/5
拐点
↗
2
拐点
↗
x
0
(01)
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
>>
<<>>
<<
练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
1

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A=(-, -5)(5, +), B=[-10, 3), 写出A B, A B, A\B及A\(A\B)的表达式.解A B=(-, 3)(5, +),A B=[-10, -5),A\B=(-, -10)(5, +),A\(A\B)=[-10, -5).2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A B)C=A C B C.证明因为x(A B)C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C,所以(A B)C=A C B C.3. 设映射f : X Y, A X, B X . 证明(1)f(A B)=f(A)f(B);(2)f(A B)f(A)f(B).证明因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y(因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B )y f (A )f (B ), 所以 f (AB )=f (A )f (B ). (2)因为y f (A B )x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A )f (B ), 所以 f (A B )f (A )f (B ).4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的yY , 有x =g (y )X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)g [ f (x 1)]=g [f (x 2)]x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y X , 因为对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X Y , A X . 证明:(1)f -1(f (A ))A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x A f (x )=y f (A ) f -1(y )=x f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))A . (2)由(1)知f -1(f (A ))A .另一方面, 对于任意的xf -1(f (A ))存在y f (A ), 使f -1(y )=x f (x )=y . 因为y f (A )且f 是单射, 所以x A . 这就证明了f -1(f (A ))A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ; 解由3x +20得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解由1-x 20得x 1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3)211x xy --=; 解由x0且1-x 20得函数的定义域D =[-1, 0)(0, 1].(4)241x y -=; 解由4-x 20得 |x | 2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解由x 0得函数的定义D =[0, +¥).(6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, 1, 2, )得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, 1, 2, ). (7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解由3-x 0且x 0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +10得函数的定义域D =(-1, +¥). (10)x e y 1=.解由x0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x 0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, j (-2), 并作出函数y =j (x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-, 1); (2)y =x +ln x , (0, +).证明 (1)对于任意的x 1, x 2(-, 1), 有1-x 10, 1-x 20. 因为当x 1x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2(0, +), 当x 1x 2时, 有0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于"x 1, x 2Î(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2Î(0, l )且-x 1-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以 f (-x 2)f (-x 1), -f (x 2)-f (x 1), f (x 2)f (x 1),这就证明了对于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明(1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2p .(2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin px ;解是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解不是周期函数.(5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =p .14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。

同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1?11? 设A ?(??? ?5)?(5? ??)? B ?[?10? 3)? 写出A ?B ? A ?B ? A \B 及A \(A \B )的表达式? 解 A ?B ?(??? 3)?(5? ??)? A ?B ?[?10? ?5)?A \B ?(??? ?10)?(5? ??)? A \(A \B )?[?10? ?5)?2? 设A 、B 是任意两个集合? 证明对偶律? (A ?B )C ?A C ?B C ? 证明因为x ?(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ?A C 或x ?B C ? x ?A C ?B C ? 所以 (A ?B )C ?A C ?B C ?3? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? B ?X ? 证明(1)f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)f (A ?B )?f (A )?f (B )? 证明因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y?(因为x ?A 或x ?B ) y ?f (A )或y ?f (B ) ? y ?f (A )?f (B )?所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )? (2)因为y ?f (A ?B )??x ?A ?B ? 使f (x )?y ?(因为x ?A 且x ?B ) y ?f (A )且y ?f (B )? y ? f (A )?f (B )? 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B )?4? 设映射f ? X ?Y ? 若存在一个映射g ? Y ?X ? 使X I f g =ο? Y I g f =ο? 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射? 即对于每一个x ?X ? 有I X x ?x ? 对于每一个y ?Y ? 有I Y y ?y ? 证明? f 是双射? 且g 是f 的逆映射? g ?f ?1?证明因为对于任意的y ?Y ? 有x ?g (y )?X ? 且f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像? 所以f 为X 到Y 的满射?又因为对于任意的x 1?x 2? 必有f (x 1)?f (x 2)? 否则若f (x 1)?f (x 2)?g [ f (x 1)]?g [f (x 2)] ? x 1?x 2? 因此f 既是单射? 又是满射? 即f 是双射?对于映射g ? Y ?X ? 因为对每个y ?Y ? 有g (y )?x ?X ? 且满足f (x )?f [g (y )]?I y y ?y ? 按逆映射的定义? g 是f 的逆映射?5? 设映射f ? X ?Y ? A ?X ? 证明? (1)f ?1(f (A ))?A ?(2)当f 是单射时? 有f ?1(f (A ))?A ?证明 (1)因为x ?A ? f (x )?y ?f (A ) ? f ?1(y )?x ?f ?1(f (A ))? 所以 f ?1(f (A ))?A ?(2)由(1)知f ?1(f (A ))?A ?另一方面? 对于任意的x ?f ?1(f (A ))?存在y ?f (A )? 使f ?1(y )?x ?f (x )?y ? 因为y ?f (A )且f 是单射? 所以x ?A ? 这就证明了f ?1(f (A ))?A ? 因此f ?1(f (A ))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)23+=x y ?解由3x ?2?0得32->x ? 函数的定义域为) ,32[∞+-?(2)211xy -=?解由1?x 2?0得x ??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)211x x y --=?解由x ?0且1?x 2?0得函数的定义域D ?[?1? 0)?(0? 1]? (4)241x y -=? 解由4?x 2?0得 |x |?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)x y sin =?解由x ?0得函数的定义D ?[0? ??)? (6) y ?tan(x ?1)?解由21π≠+x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?(7) y ?arcsin(x ?3)?解由|x ?3|?1得函数的定义域D ?[2? 4]?(8)xx y 1arctan 3+-=?解由3?x ?0且x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? 3)? (9) y ?ln(x ?1)?解由x ?1?0得函数的定义域D ?(?1? ??)? (10)x e y 1=?解由x ?0得函数的定义域D ?(??? 0)?(0? ??)?7? 下列各题中? 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )?lg x 2? g (x )?2lg x ? (2) f (x )?x ? g (x )?2x ? (3)334)(x x x f -=?31)(-=x x x g ?(4)f (x )?1? g (x )?sec 2x ?tan 2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?(2)不同? 因为对应法则不同? x ?0时? g (x )??x ? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?8? 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x ? 求)6(πϕ? )4(πϕ? )4(πϕ-? ?(?2)? 并作出函数y ??(x )的图形? 解 21|6sin |)6(==ππϕ? 22|4sin |)4(==ππϕ? 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ? 0)2(=-ϕ? 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性? (1)x x y -=1? (??? 1)?(2)y ?x ?ln x ? (0? ??)?证明 (1)对于任意的x 1? x 2?(??? 1)? 有1?x 1?0? 1?x 2?0? 因为当x 1?x 2时? 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y ? 所以函数x x y -=1在区间(??? 1)内是单调增加的?(2)对于任意的x 1? x 2?(0? ??)? 当x 1?x 2时? 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y ? 所以函数y ?x ?ln x 在区间(0? ??)内是单调增加的?10? 设 f (x )为定义在(?l ? l )内的奇函数? 若f (x )在(0? l )内单调增加? 证明f (x )在(?l ? 0)内也单调增加?证明对于?x 1? x 2?(?l ? 0)且x 1?x 2? 有?x 1? ?x 2?(0? l )且?x 1??x 2?因为f (x )在(0? l )内单调增加且为奇函数? 所以f (?x 2)?f (?x 1)? ?f (x 2)??f (x 1)? f (x 2)?f (x 1)?这就证明了对于?x 1? x 2?(?l ? 0)? 有f (x 1)? f (x 2)? 所以f (x )在(?l ? 0)内也单调增加? 11? 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(?l ? l )上的? 证明? (1)两个偶函数的和是偶函数? 两个奇函数的和是奇函数?(2)两个偶函数的乘积是偶函数? 两个奇函数的乘积是偶函数? 偶函数与奇函数的乘积是奇函数?证明 (1)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则 F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的和是偶函数?如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即两个奇函数的和是奇函数?(2)设F (x )?f (x )?g (x )? 如果f (x )和g (x )都是偶函数? 则 F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个偶函数的积是偶函数? 如果f (x )和g (x )都是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?[?f (x )][?g (x )]?f (x )?g (x )?F (x )? 所以F (x )为偶函数? 即两个奇函数的积是偶函数? 如果f (x )是偶函数? 而g (x )是奇函数? 则F (?x )?f (?x )?g (?x )?f (x )[?g (x )]??f (x )?g (x )??F (x )? 所以F (x )为奇函数? 即偶函数与奇函数的积是奇函数?12? 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y ?x 2(1?x 2)? (2)y ?3x 2?x 3?(3)2211x x y +-=? (4)y ?x (x ?1)(x ?1)? (5)y ?sin x ?cos x ?1?(6)2x x a a y -+=? 解 (1)因为f (?x )?(?x )2[1?(?x )2]?x 2(1?x 2)?f (x )? 所以f (x )是偶函数? (2)由f (?x )?3(?x )2?(?x )3?3x 2?x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-? 所以f (x )是偶函数? (4)因为f (?x )?(?x )(?x ?1)(?x ?1)??x (x ?1)(x ?1)??f (x )? 所以f (x )是奇函数? (5)由f (?x )?sin(?x )?cos(?x )?1??sin x ?cos x ?1可见f (x )既非奇函数又非偶函数?(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----? 所以f (x )是偶函数?13? 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数? 指出其周期? (1)y ?cos(x ?2)?解是周期函数? 周期为l ?2?? (2)y ?cos 4x ?解是周期函数? 周期为2π=l ?(3)y ?1?sin ?x ?解是周期函数? 周期为l ?2? (4)y ?x cos x ?解不是周期函数? (5)y ?sin 2x ?解是周期函数? 周期为l ??? 14? 求下列函数的反函数? (1)31+=x y ?解由31+=x y 得x ?y 3?1? 所以31+=x y 的反函数为y ?x 3?1? (2)xx y +-=11?解由x x y +-=11得y yx +-=11? 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11?(3)dcx b ax y ++=(ad ?bc ?0)?解由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=? 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=?(4) y ?2sin3x ?解由y ?2sin 3x 得2arcsin 31yx =? 所以y ?2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =?(5) y ?1?ln(x ?2)?解由y ?1?ln(x ?2)得x ?e y ?1?2? 所以y ?1?ln(x ?2)的反函数为y ?e x ?1?2?(6)122+=xxy ? 解由122+=x x y 得y y x -=1log 2? 所以122+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2?15? 设函数f (x )在数集X 上有定义? 试证? 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界?证明先证必要性? 设函数f (x )在X 上有界? 则存在正数M ? 使|f (x )|?M ? 即?M ?f (x )?M ? 这就证明了f (x )在X 上有下界?M 和上界M ?再证充分性? 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2? 即K 1?f (x )? K 2 ? 取M ?max{|K 1|? |K 2|}? 则 ?M ? K 1?f (x )? K 2?M ? 即 |f (x )|?M ?这就证明了f (x )在X 上有界?16? 在下列各题中? 求由所给函数复合而成的函数? 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值?(1) y ?u 2? u ?sin x ? 61π=x ? 32π=x ?解 y ?sin 2x ? 41)21(6sin 221===πy ?43)23(3sin 222===πy ?(2) y ?sin u ? u ?2x ? 81π=x ?42π=x ?解 y ?sin2x ? 224sin )82sin(1==⋅=ππy ?12sin )42sin(2==⋅=ππy ? (3)u y =? u ?1?x 2? x 1?1? x 2? 2?解 21x y +=? 21121=+=y ? 52122=+=y ? (4) y ?e u ? u ?x 2? x 1 ?0? x 2?1? 解 2x e y =? 1201==e y ? e e y ==212?(5) y ?u 2 ? u ?e x ? x 1?1? x 2??1?解 y ?e 2x ? y 1?e 2?1?e 2? y 2?e 2?(?1)?e ?2?17? 设f (x )的定义域D ?[0? 1]? 求下列各函数的定义域? (1) f (x 2)?解由0?x 2?1得|x |?1? 所以函数f (x 2)的定义域为[?1? 1]? (2) f (sin x )?解由0?sin x ?1得2n ??x ?(2n ?1)? (n ?0? ?1? ?2? ? ?)? 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n ?? (2n ?1)?] (n ?0? ?1? ?2? ? ?) ? (3) f (x ?a )(a >0)?解由0?x ?a ?1得?a ?x ?1?a ? 所以函数f (x ?a )的定义域为[?a ? 1?a ]? (4) f (x ?a )?f (x ?a )(a ?0)?解由0?x ?a ?1且0?x ?a ?1得? 当210≤<a 时? a ?x ?1?a ? 当21>a 时? 无解? 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a ? 1?a ]? 当21>a 时函数无意义?18? 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f ? g (x )?e x ? 求f [g (x )]和g [f (x )]? 并作出这两个函数的图形? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10001)]([x x x x g f ? ⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f ? 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g ?19? 已知水渠的横断面为等腰梯形? 斜角??40?(图1?37)? 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时? 求湿周L (L ?AB ?BC ?CD )与水深h 之间的函数关系式? 并指明其定义域? 图1?37解 ο40sin h DC AB ==? 又从)]40cot 2([21S h BC BC h =⋅++ο得h hS BC ⋅-=ο40cot 0? 所以h h S L οο40sin 40cos 20-+=? 自变量h 的取值范围应由不等式组h ?0?040cot 0>⋅-h hS ο确定? 定义域为ο40cot 00S h <<?20? 收敛音机每台售价为90元? 成本为60元? 厂方为鼓励销售商大量采购? 决定凡是订购量超过100台以上的? 每多订购1台? 售价就降低1分? 但最低价为每台75元? (1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数? (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数? (3)某一商行订购了1000台? 厂方可获利润多少？解 (1)当0?x ?100时? p ?90?令0?01(x 0?100)?90?75? 得x 0?1600? 因此当x ?1600时? p ?75? 当100?x ?1600时?p ?90?(x ?100)?0?01?91?0? 01x ? 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p ? (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P ?(3) P ?31?1000?0?01?10002?21000(元)?习题1?21? 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势? 写出它们的极限? (1)nn x 21=?解当n ??时? nn x 21=?0? 021lim =∞→n n ? (2)nx n n 1)1(-=?解当n ??时? n x n n 1)1(-=?0? 01)1(lim =-∞→nn n ?(3)212nx n +=?解当n ??时? 212n x n +=?2? 2)12(lim 2=+∞→n n ? (4)11+-=n n x n ?解当n ??时? 12111+-=+-=n n n x n ?0? 111lim =+-∞→n n n ?(5) x n ?n (?1)n ?解当n ??时? x n ?n (?1)n 没有极限?2? 设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π=? 问n n x ∞→lim ?? 求出N ? 使当n ?N 时? x n 与其极限之差的绝对值小于正数? ? 当? ?0?001时? 求出数N ? 解 0lim =∞→n n x ?n n n x n 1|2cos ||0|≤=-π? ?? ?0? 要使|x n ?0|?? ? 只要ε<n 1? 也就是ε1>n ? 取]1[ε=N ? 则?n ?N ? 有|x n ?0|?? ?当? ?0?001时? ]1[ε=N ?1000?3? 根据数列极限的定义证明?(1)01lim 2=∞→n n ?分析要使ε<=-221|01|n n ? 只须ε12>n ? 即ε1>n ? 证明因为???0? ?]1[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-|01|2n ? 所以01lim 2=∞→n n ?(2)231213lim =++∞→n n n ?分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|? 只须ε<n41? 即ε41>n ? 证明因为???0? ?]41[ε=N ? 当n ?N 时? 有ε<-++|231213|n n ? 所以231213lim =++∞→n n n ?(3)1lim22=+∞→na n n ?分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|? 只须ε2a n >?证明因为???0? ?][2εa N =? 当?n ?N 时? 有ε<-+|1|22n a n ? 所以1lim 22=+∞→n a n n ?(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n ? 分析要使|0?99 ? ? ? 9?1|ε<=-1101n ? 只须1101-n ?? ? 即ε1lg 1+>n ? 证明因为???0? ?]1lg 1[ε+=N ? 当?n ?N 时? 有|0?99 ? ? ? 9?1|?? ? 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→43421个n n ? 4? a u n n =∞→lim ? 证明||||lim a u n n =∞→? 并举例说明? 如果数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限?证明因为a u n n =∞→lim ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有ε<-||a u n ? 从而||u n |?|a ||?|u n ?a |?? ?这就证明了||||lim a u n n =∞→?数列{|x n |}有极限? 但数列{x n }未必有极限? 例如1|)1(|lim =-∞→n n ? 但n n )1(lim -∞→不存在?5? 设数列{x n }有界? 又0lim =∞→n n y ? 证明? 0lim =∞→n n n y x ?证明因为数列{x n }有界? 所以存在M ? 使?n ?Z ? 有|x n |?M ?又0lim =∞→n n y ? 所以???0? ?N ?N ? 当n ?N 时? 有M y n ε<||? 从而当n ?N 时? 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|?所以0lim =∞→n n n y x ?6? 对于数列{x n }? 若x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 证明? x n ?a (n ??)?证明因为x 2k ?1?a (k ??)? x 2k ?a (k ??)? 所以???0? ?K 1? 当2k ?1?2K 1?1时? 有| x 2k ?1?a |?? ? ?K 2? 当2k ?2K 2时? 有|x 2k ?a |?? ?取N ?max{2K 1?1? 2K 2}? 只要n ?N ? 就有|x n ?a |?? ? 因此x n ?a (n ??)?习题1?31? 根据函数极限的定义证明? (1)8)13(lim 3=-→x x ?分析因为|(3x ?1)?8|?|3x ?9|?3|x ?3|? 所以要使|(3x ?1)?8|?? ? 只须ε31|3|<-x ?证明因为???0? ?εδ31=? 当0?|x ?3|??时? 有|(3x ?1)?8|?? ? 所以8)13(lim 3=-→x x ?(2)12)25(lim 2=+→x x ?分析因为|(5x ?2)?12|?|5x ?10|?5|x ?2|? 所以要使|(5x ?2)?12|?? ? 只须ε51|2|<-x ?证明因为?? ?0? ?εδ51=? 当0?|x ?2|??时? 有 |(5x ?2)?12|?? ? 所以12)25(lim 2=+→x x ?(3)424lim22-=+--→x x x ? 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ? 所以要使ε<--+-)4(242x x ? 只须ε<--|)2(|x ? 证明因为?? ?0? ?εδ=? 当0?|x ?(?2)|??时? 有ε<--+-)4(242x x ? 所以424lim22-=+--→x x x ? (4)21241lim 321=+--→x x x ? 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ? 所以要使ε<-+-212413x x ? 只须ε21|)21(|<--x ? 证明因为?? ?0? ?εδ21=? 当δ<--<|)21(|0x 时? 有ε<-+-212413x x ?所以21241lim 321=+--→x x x ?2? 根据函数极限的定义证明?(1)2121lim 33=+∞→x x x ? 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+? 所以要使ε<-+212133x x ? 只须ε<3||21x ? 即321||ε>x ? 证明因为?? ?0? ?321ε=X ? 当|x |?X 时? 有ε<-+212133x x ? 所以2121lim 33=+∞→x x x ? (2)0sin lim =+∞→xx x ?分析因为xx x x x 1|sin |0sin ≤=-?所以要使ε<-0sin x x ? 只须ε<x1? 即21ε>x ?证明因为???0? ?21ε=X ? 当x ?X 时? 有ε<-0sin xx ?所以0sin lim =+∞→xx x ?3? 当x ?2时? y ?x 2?4? 问?等于多少? 使当|x ?2|<?时? |y ?4|<0?001？解由于当x ?2时? |x ?2|?0? 故可设|x ?2|?1? 即1?x ?3? 要使|x 2?4|?|x ?2||x ?2|?5|x ?2|?0?001? 只要0002.05001.0|2|=<-x ?取??0?0002? 则当0?|x ?2|??时? 就有|x 2?4|?0? 001?4? 当x ??时? 13122→+-=x x y ? 问X 等于多少? 使当|x |?X 时? |y ?1|?0?01? 解要使01.034131222<+=-+-x x x ? 只要397301.04||=->x ? 故397=X ?5? 证明函数f (x )?|x |当x ?0时极限为零?证明因为|f (x )?0|?||x |?0|?|x |?|x ?0|? 所以要使|f (x )?0|??? 只须|x |???因为对???0? ????? 使当0?|x ?0|??? 时有 |f (x )?0|?||x |?0|??? 所以0||lim 0=→x x ?6? 求,)(xx x f = x x x ||)(=ϕ当x ?0时的左﹑右极限? 并说明它们在x ?0时的极限是否存在?证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ?11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ?)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-?所以极限)(lim 0x f x →存在?因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ?1lim ||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ?)(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-?所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在?7? 证明? 若x ???及x ???时? 函数f (x )的极限都存在且都等于A ? 则A x f x =∞→)(lim ?证明因为A x f x =-∞→)(lim ? A x f x =+∞→)(lim ? 所以??>0??X 1?0? 使当x ??X 1时? 有|f (x )?A |?? ??X 2?0? 使当x ?X 2时? 有|f (x )?A |?? ?取X ?max{X 1? X 2}? 则当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ? 即A x f x =∞→)(lim ?8? 根据极限的定义证明? 函数f (x )当x ?x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等?证明先证明必要性? 设f (x )?A (x ?x 0)? 则??>0? ???0? 使当0<|x ?x 0|<? 时? 有 |f (x )?A |<? ?因此当x 0??<x <x 0和x 0<x <x 0?? 时都有 |f (x )?A |<? ?这说明f (x )当x ?x 0时左右极限都存在并且都等于A ? 再证明充分性? 设f (x 0?0)?f (x 0?0)?A ? 则??>0? ??1>0? 使当x 0??1<x <x 0时? 有| f (x )?A <? ? ??2>0? 使当x 0<x <x 0+?2时? 有| f (x )?A |<? ?取??min{?1? ?2}? 则当0<|x ?x 0|<? 时? 有x 0??1<x <x 0及x 0<x <x 0+?2 ? 从而有 | f (x )?A |<? ? 即f (x )?A (x ?x 0)?9? 试给出x ??时函数极限的局部有界性的定理? 并加以证明?解 x ??时函数极限的局部有界性的定理? 如果f (x )当x ??时的极限存在? 则存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ?证明设f (x )?A (x ??)? 则对于? ?1? ?X ?0? 当|x |?X 时? 有|f (x )?A |?? ?1? 所以 |f (x )|?|f (x )?A ?A |?|f (x )?A |?|A |?1?|A |?这就是说存在X ?0及M ?0? 使当|x |?X 时? |f (x )|?M ? 其中M ?1?|A |? 习题1?41? 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之? 解不一定?例如? 当x ?0时? ?(x )?2x ? ?(x )?3x 都是无穷小? 但32)()(lim0=→x x x βα? )()(x x βα不是无穷小?2? 根据定义证明?(1)392+-=x x y 当x ?3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x ?0时为无穷小?证明 (1)当x ?3时|3|39||2-=+-=x x x y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?3|??时? 有 εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ?所以当x ?3时392+-=x x y 为无穷小? (2)当x ?0时|0||1sin |||||-≤=x xx y ? 因为???0? ???? ? 当0?|x ?0|??时? 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ?所以当x ?0时xx y 1sin =为无穷小?3? 根据定义证明? 函数xx y 21+=为当x ?0时的无穷大? 问x 应满足什么条件? 能使|y |?104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y ? 要使|y |?M ? 只须M x >-2||1? 即21||+<M x ?证明因为?M ?0? ?21+=M δ? 使当0?|x ?0|??时? 有M xx >+21?所以当x ?0时? 函数xx y 21+=是无穷大?取M ?104? 则21014+=δ? 当2101|0|04+<-<x 时? |y |?104? 4? 求下列极限并说明理由? (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20? 解 (1)因为xx x 1212+=+? 而当x ?? 时x 1是无穷小? 所以212lim =+∞→x x x ?(2)因为x xx +=--1112(x ?1)? 而当x ?0时x 为无穷小? 所以111lim 20=--→x x x ?解函数y ?x cos x 在(??? ??)内无界?这是因为?M ?0? 在(??? ??)内总能找到这样的x ? 使得|y (x )|?M ? 例如y (2k ?)?2k ? cos2k ??2k ? (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? 就有| y (2k ?)|?M ?当x ??? 时? 函数y ?x cos x 不是无穷大?这是因为?M ?0? 找不到这样一个时刻N ? 使对一切大于N 的x ? 都有|y (x )|?M ? 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k ?0? 1? 2? ? ? ?)?对任何大的N ? 当k 充分大时? 总有N k x >+=22ππ? 但|y (x )|?0?M ?7? 证明? 函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 但这函数不是当x ?0+时的无穷大?证明函数xx y 1sin 1=在区间(0? 1]上无界? 这是因为?M ?0? 在(0? 1]中总可以找到点x k ? 使y (x k )?M ? 例如当221ππ+=k x k (k ?0? 1? 2? ? ? ?)时? 有22)(ππ+=k x y k ?当k 充分大时? y (x k )?M ?当x ?0+ 时? 函数xx y 1sin 1=不是无穷大? 这是因为?M ?0? 对所有的??0? 总可以找到这样的点x k ? 使0?x k ??? 但y (x k )?M ? 例如可取πk x k 21=(k ?0? 1? 2? ? ? ?)?当k 充分大时? x k ??? 但y (x k )?2k ?sin2k ??0?M ? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ?(3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→?(6))112(lim 2xx x +-∞→? 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x xx x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ? 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→?解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→? 解 2211)21(1lim )2141211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ?(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→?解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同? 极限为最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ? 解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题1?51? 计算下列极限?(1)35lim 22-+→x x x ? 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x ? (2)13lim 223+-→x x x ? 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x ? (3)112lim 221-+-→x x x x ? 解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x ? (4)xx x x x x 2324lim2230++-→? 解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x ? (5)hx h x h 220)(lim -+→?解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→? (6))112(lim 2x x x +-∞→?解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x ? (7)121lim 22---∞→x x x x ? 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x ? (8)13lim 242--+∞→x x x x x ? 解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数? 极限为零)? 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x ? (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ?解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x ?(10))12)(11(lim 2xx x -+∞→? 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x ? (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→?解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n ? (12)2)1( 321limnn n -+⋅⋅⋅+++∞→? 解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n ? (13)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→?解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同? 极限为最高次项系数之比)?或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n ? (14))1311(lim 31x x x ---→?解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim21-=+++-=→x x x x ? 2? 计算下列极限? (1)2232)2(2lim -+→x x x x ? 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x ? 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x ? (2)12lim 2+∞→x x x ?解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数)? (3))12(lim 3+-∞→x x x ?解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数)?3? 计算下列极限? (1)xx x 1sin lim 20→?解 01sin lim 20=→xx x (当x ?0时? x 2是无穷小? 而x 1sin 是有界变量)?(2)xx x arctan lim ∞→?解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x ??时? x 1是无穷小?而arctan x 是有界变量)?4? 证明本节定理3中的(2)? 习题 1?71? 当x ?0时? 2x ?x 2 与x 2?x 3相比? 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ?所以当x ?0时? x 2?x 3是高阶无穷小? 即x 2?x 3?o (2x ?x 2)?2? 当x ?1时? 无穷小1?x 和(1)1?x 3? (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和1?x 3是同阶的无穷小? 但不是等价无穷小?(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x ? 所以当x ?1时? 1?x 和)1(212x -是同阶的无穷小? 而且是等价无穷小?3? 证明? 当x ?0时? 有? (1) arctan x ~x ?(2)2~1sec 2x x -? 证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示? 令y ?arctan x ? 则当x ?0时? y ?0)? 所以当x ?0时? arctan x ~x ?(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x ? 所以当x ?0时? 2~1sec 2x x -? 4? 利用等价无穷小的性质? 求下列极限? (1)xx x 23tan lim 0→?(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n ? m 为正整数)?(3)x x x x 30sin sin tan lim -→? (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x ?解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x ?(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00? (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x ? (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x ?0)?23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x ?0)? x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x ?0)? 所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x ?5? 证明无穷小的等价关系具有下列性质? (1) ? ~? (自反性)?(2) 若? ~?? 则?~?(对称性)? (3)若? ~?? ?~?? 则?~?(传递性)? 证明 (1)1lim =αα? 所以? ~? ?(2) 若? ~?? 则1lim =βα? 从而1lim=αβ? 因此?~? ? (3) 若? ~?? ?~?? 1lim limlim =⋅=βαγβγα? 因此?~?? 习题1?81? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形?(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ?解已知多项式函数是连续函数? 所以函数f (x )在[0? 1)和(1? 2]内是连续的? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x ? 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ?所以1)(lim 1=→x f x ? 从而函数f (x )在x ?1处是连续的?综上所述，函数f (x )在[0? 2]上是连续函数?(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f ?解只需考察函数在x ??1和x ?1处的连续性? 在x ??1处? 因为f (?1)??1? 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ?)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ?所以函数在x ??1处间断? 但右连续? 在x ?1处? 因为f (1)?1? 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x ?f (1)? 11lim )(lim 11==++→→x x x f ?f (1)?所以函数在x ?1处连续?综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在x ??1处间断? 但右连续?2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间断点? 则补充或改变函数的定义使它连续?(1)23122+--=x x x y ? x ?1? x ?2? 解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y ? 因为函数在x ?2和x ?1处无定义? 所以x ?2和x ?1是函数的间断点?因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x ? 所以x ?2是函数的第二类间断点?因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x ? 所以x ?1是函数的第一类间断点? 并且是可去间断点? 在x ?1处?令y ??2? 则函数在x ?1处成为连续的?(2)x x y tan =? x ?k ? 2ππ+=k x (k ?0? ?1? ?2? ? ? ?)?解函数在点x ?k ?(k ?Z)和2ππ+=k x (k ?Z)处无定义? 因而这些点都是函数的间断点?因∞=→x x k x tan lim π(k ?0)? 故x ?k ?(k ?0)是第二类间断点?因为1tan lim0=→x x x ? 0tan lim2=+→xx k x ππ(k ?Z)? 所以x ?0和2 ππ+=k x (k ?Z) 是第一类间断点且是可去间断点?令y |x ?0?1? 则函数在x ?0处成为连续的?令2 ππ+=k x 时? y ?0? 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的?(3)xy 1cos 2=? x ?0?解因为函数x y 1cos 2=在x ?0处无定义? 所以x ?0是函数x y 1cos 2=的间断点? 又因为xx 1cos lim 20→不存在? 所以x ?0是函数的第二类间断点?(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y ? x ?1?解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x ?2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1是函数的第一类不可去间断点?3? 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性? 若有间断点? 判别其类型? 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||1|| 01|| 11lim)(22x x x x x x x x x f nn n ? 在分段点x ??1处? 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x ? 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x ? 所以x ??1为函数的第一类不可去间断点?在分段点x ?1处? 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x ? 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x ? 所以x ?1为函数的第一类不可去间断点?4? 证明? 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)?0? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0?证明不妨设f (x 0)>0? 因为f (x )在x 0连续? 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x ? 由极限的局部保号性定理? 存在x 0的某一去心邻域)(0x U ο? 使当x ?)(0x U ο时f (x )>0? 从而当x ?U (x 0)时? f (x )>0? 这就是说? 则存在x 0的某一邻域U (x 0)? 当x ?U (x 0)时? f (x )?0? 5? 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子?(1)x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?是f (x )的所有间断点? 且它们都是无穷间断点?解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x ?0? ?1? ?2? 21±? ? ? ?? ?n ? n1±? ? ? ?处是间断的?且这些点是函数的无穷间断点?(2)f (x )在R 上处处不连续? 但|f (x )|在R 上处处连续?解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续? 但|f (x )|?1在R 上处处连续?(3)f (x )在R 上处处有定义? 但仅在一点连续?解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义? 它只在x ?0处连续?习题1?91? 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间? 并求极限)(lim 0x f x →? )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →? 解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f ? 函数在(??? ??)内除点x ?2和x ??3外是连续的? 所以函数f (x )的连续区间为(??? ?3)、(?3? 2)、(2? ??)?在函数的连续点x ?0处? 21)0()(lim 0==→f x f x ?在函数的间断点x ?2和x ??3处? ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x ? 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x ?2? 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续? 证明函数?(x )?max{f (x )? g (x )}? ?(x )?min{f (x )? g (x )} 在点x 0也连续?证明已知)()(lim 00x f x f x x =→? )()(lim 00x g x g x x =→?可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ?因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ?] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ?因为] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++=??(x 0)?所以?(x )在点x 0也连续?同理可证明?(x )在点x 0也连续? 3? 求下列极限? (1)52lim 20+-→x x x ?(2)34)2(sin lim x x π→?(3))2cos 2ln(lim 6x x π→?(4)xx x 11lim 0-+→?(5)145lim 1---→x x x x ?(6)a x a x a x --→sin sin lim ?(7))(lim 22x x x x x --++∞→?解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数? f (x )在点x ?0有定义? 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x ?(2)因为函数f (x )?(sin 2x )3是初等函数? f (x )在点4π=x 有定义? 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x ?(3)因为函数f (x )?ln(2cos2x )是初等函数? f (x )在点6π=x 有定义? 所以0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x ?(4))11(lim)11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x 211101111lim=++=++=→x x ?(5))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x ? (6)ax ax a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2limsin sin lim a a a a x ax a x a x a x cos 12cos 22sin lim2cos lim =⋅+=--⋅+=→→? (7))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim 22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x x x x ?4? 求下列极限? (1)xx e 1lim∞→?(2)x x x sin ln lim 0→?(3)2)11(lim xx x +∞→? (4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→?(5)21)63(lim -∞→++x x xx ? (6)xx x xx x -++-+→2sin 1sin 1tan 1lim?解 (1) 1lim 01lim 1===∞→∞→e ee xx x x ?(2) 01ln )sin lim ln(sin ln lim 00===→→x x xx x x ?(3) []e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim)11(lim ?(4) []33tan 3120cot 2022)tan 31(lim)tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→?(5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xx x ? 因为 e x x x =+-+-+∞→36)631(lim ? 232163lim -=-⋅+-∞→x x x ?所以2321)63(lim --∞→=++e xx x x ?(6))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(limsin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→ 21)2(2lim 320=⋅=→xx x x ? 5? 设函数⎩⎨⎧≥+<=0 0)(x x a x e x f x ? 应当如何选择数a ? 使得f (x )成为在(??? ??)内的连续函数？解要使函数f (x )在(??? ??)内连续? 只须f (x )在x ?0处连续? 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0?因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f ? a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00? 所以只须取a ?1?习题1?101? 证明方程x 5?3x ?1至少有一个根介于1和2之间?证明设f (x )?x 5?3x ?1? 则f (x )是闭区间[1? 2]上的连续函数?因为f (1)??3? f (2)?25? f (1)f (2)?0? 所以由零点定理? 在(1? 2)内至少有一点? (1???2)? 使f (?)?0? 即x ?? 是方程x 5?3x ?1的介于1和2之间的根? 因此方程x 5?3x ?1至少有一个根介于1和2之间?2? 证明方程x ?a sin x ?b ? 其中a ?0? b ?0? 至少有一个正根? 并且它不超过a ?b ? 证明设f (x )?a sin x ?b ?x ? 则f (x )是[0? a ?b ]上的连续函数? f (0)?b ? f (a ?b )?a sin (a ?b )?b ?(a ?b )?a [sin(a ?b )?1]?0?若f (a ?b )?0? 则说明x ?a ?b 就是方程x ?a sin x ?b 的一个不超过a ?b 的根?若f (a ?b )?0? 则f (0)f (a ?b )?0? 由零点定理? 至少存在一点??(0? a ?b )? 使f (?)?0? 这说明x ?? 也是方程x =a sin x ?b 的一个不超过a ?b 的根?。

同济大学《高等数学》第七版上、下册答案(详解)

极大值
练习3-7
总习题三
x
(, 0)
0
f(x)
+
不存在
-
0
+
f(x)
↗
2
极大值
↘
极小值
↗
练习4-2
练习4-3
练习4-4
>>>
总习题四
练习5-1
练习5-2
练习5-3
练习5-4
总习题五
练习6-2
练习6-3
总习题六
练习7-1
练习7-2
练习7-3
练习7-4
练习7-5
练习7-6
总习题七
练习8-1
练习8-2
>
练习8-3
练习8-4
练习8-5
练习8-6
练习8-7
练习8-8
总习题八
练习9-1
练习9-2
>>
<<>>
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练习9-3
练习9-4
总习题九
练习10-1
练习10-2
练习10-3
练习10-4
练习10-5
练习10-6
练习10-7
总习题十
练习111
练习112
1
y
+
+
0
-
-
-
y
0
-
-
-
0
+
yf(x)
0
拐点
↗
极大值
↘
拐点
↘
x
1
y
+
+
+
0
-
-
-
y

同济大学《高等数学》第五版上册答案

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练习 6-3
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总习题六
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练习 7-1
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练习 7-2
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练习 12-3
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练习 12-4
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练习 9-1
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练习 9-2
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练习 11-4
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高等数学同济大学第七版上册答案

高等数学同济大学第七版上册答案选择题：1. 在平面直角坐标系中，异于原点的一组直线的斜率之积为 -1，则这组直线的方程分别是（）A. y = x, y = -xB. y = x, y = 1/2xC. y = x, y = 2xD. y = -x, y = -1/2x2. 若函数 y = f(x) 具有二阶导数，且有 f''(x) > 0，则函数 y = f(x)A. 在 x = 0 处取得极大值B. 在 x = 0 处取得最小值C. 在 x = 0 处取得拐点D. 无法确定3. 一阶行列式 |a b| = -3, |c d| = 2，行列式 |A| = |2a c| + |2b d| 的值为A. 1B. 2C. 3D. 44. 某圆锥的高为 12cm，底面直径为 8cm，底面圆的半径为 4cm，则该圆锥的侧面积为A. 48π cm^2B. 32π cm^2C. 16π cm^2D. 8π cm^25. 如果一组 n 个数据的算术平均值为 x¯，它们的总和为 S，那么这组数据中至少有一个数据小于或等于A. x¯-S/nB. x¯-(S/n-1)/nC. x¯-(S/n+1)/nD. x¯+S/n填空题：1. 设函数 y = x^3 - 3x + 2，则它的导数 y' = _________2. 将 x = 1/2e^(t/2) 代入 y = (x + 1)e^x，则 y = _________3. 设 2sin x - 3cos x = 5，则tan(x + π/6) = _________解答题：1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x + 2 的单调增区间和单调减区间。

2. 已知 f(x) = sin x + cos x，求 f'(x) 和 f''(x)。

3. 已知一物体沿直线运动的速度为 v(t) = e^(2t-1) (m/s)，起点位于原点，求物体在 t = 0 到 t = 1 上的位移。

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