第五章固体能带理论II5.3

5.3 晶体的能带结构

1 导体、半导体和绝缘体的能带解释

能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。N 为原胞数。考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。

满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即

()()k k -=n n E E (5.3.1) 因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。在同一能带中k 和 - k 态具有相反的速度：

()()k k --=υυ (5.3.2) 在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 - k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。

即使有外加电场或磁场，也不改变k 和 - k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 - k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。因此满带电子不导电。

导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和 - k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。

根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。由于满带不产生电流，尽管晶体中存在很多电子，无论有无外场力存在，晶体中都没有电流。在导体中，部分填满能带（通常也称为导带）中的电子在外场中将产生电流。

本征半导体和绝缘体的能带填充情况是相同的，只有满带和空带，它们之间的差别只是价带和导带之间的能带隙（band gap ）宽度不同，本征半导体的能隙较小，绝缘体的能隙较大。本征半导体由于热激发，少数价带顶的电子可能激发到导带底，在价带顶造成空穴，同时在导带底出现传导电子，产生所谓本征导电。

在金属和本征半导体之间还存在一种中间情况，导带底和价带顶发生交叠或具有相同的能量，有时称为具有负能隙宽度或零能隙宽度。在此情况下，通常在价带顶有一定数量的空穴，同时在导带底有一定数量的电子，但是其导电电子密度比普通金属小几个数量级，导电性很差，通常称为半金属。V 族元素Bi 、Sb 、As 都是半金属。它们具有三角晶格结构，每个原胞中含有两个原子，因此含有偶数个价电子，似乎应该是绝缘体。但是由于能带之间的交叠使它们具有金属的导电性，由于能带交叠比较小，对导电有贡献的载流子浓度远小于普通金属，例如Bi 约为3 ⨯ 1017 cm -3。是普通金属的10-5。Bi 的电阻率比普通金属高10到100倍。

近满带和空穴 假设满带中只有一个量子态k 上缺少一个电子，设I (k ) 表示近满带的总电流，假如放上一个电子使能带变成满带，这个电子贡献的电流为

()k υq - (5.3.3) 而且

()()[]0=-+k k I υq (5.3.4) 或

()()k k I υq = (5.3.5)

表明近满带的总电流如同一个速度为空状态k 的电子速度()k υ、带正电荷q 的粒子引起的电流。

存在外加电磁场时，假如在空态k 放上一个电子使能带变成满带，满带电流仍然保持为零。在任何时刻有：

()()()[]{}()[]{}B k E B k E F k k I ⨯+=⨯+-===*

**υυυq q m q m q m q dt d q dt d 2 (5.3.6) 大括号内恰好是一个正电荷q 在电磁场中受的力。价带顶电子的有效质量*m 为负值，所以在有外加电磁场时，近满带的电流变化，如同一个带正电荷q 、具有正有效质量*m 和速度()k υ粒子的电流。这个假想的粒子称为空穴。空穴的概念对于处理近满带导电问题非常方便。

2 费米面构造法

哈里森费米面构造法 膺势法在某种程度上使近自由电子模型得到推广。费米能级是电子占有态和未占有态的边界面。哈里森（W.A.Harrison ）提出如下自由电子模型构造费米面的方法：这个方法分成两步：第一步先画出自由电子的费米面(1) 利用()k n E 是倒格矢的周期函数，画出布里渊区的广延图形。(2) 用自由电子模型画出费米球。(3) 落在各相同布里渊区的费米球碎片平移一倒格矢到简约布里渊区中的等价位置。第二步由自由电子费米面过渡到近自由电子费米面必须注意下面事实：(1) 布洛赫电子与晶格周期势场的相互作用在布里渊区边界处产生能隙，(2) 可以证明费米面几乎总是与布里渊区边界面垂直交截，

(3) 晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化，(4) 费米面所包围的总体积仅仅依赖于电子浓度，而不依赖晶格相互作用的细节。

(a) (b) (c) (d)

图5.3.1 二维自由电子费米面。(a) 在广延布里渊区中分布在四个布里渊区中。(b)第一布里渊区的量子态全部被电子填满；(c)第二布里渊区中碎块平移到简约区中。(d) 第三布里渊区中碎块平移到简约区中。

图5.3.2 第二布里渊区和第三布里渊区中的费米面。晶格周期势使费米面上的尖锐角隅圆滑化

布里渊区边界处能带的斜率为零 由于能带()k E 在k 空间具有反演对称性，因此：

()()k k -=E E ；

k

k -∂∂-=∂∂k E k E (5.3.7) 又因为()k E 是k 的周期函数。周期为K h ，所以：