二次积分模型的时间最优控制

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1. 若g( x( t f )) = x 12 ( t f ) − a 2 < 0，则 ν = 0，这时 & ( t ) = 0， λ & ( t ) = − λ ( t )，及横截条件 由协态方程 λ 1 2 1
λ1 ( t f ) = 2 x1 ( t f )ν＝0可得 λ1 ( t ) = 0 ⎫ ⎬ ∀t ∈ [0, t f ] λ2 ( t ) = const = λ2 ⎭
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由协态方程及横截条件可得
λ1 (t ) = 0 ⎫ ⎬ ∀t ∈ [0, t f ] λ2 (t ) = const ⎭
* 根据H ( x* (t ), u * (t )，λ (t )) = 1 + λ1 (t ) x2 (t ) + λ2 (t )u * (t ) = 0，
因此u * (t ) = − sgn{λ2 (t )}为下列两种控制序列之一：
∂H & λ2 (t )＝ − = −λ1 (t ) ∂x2 其中H ( x, u , λ ) = 1 + λ1 (t ) x2 (t ) + λ2 (t )u (t ) 2）边界条件 3）极值条件 即 x1 (0) = x10，x2 (0) = x20
λ1 (t f ) = 0，x2 (t f ) = 0
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由协态方程可得
λ1 (t ) = c1 = const λ2 (t ) = −c1t + c2
* 根据H ( x* (t ), u * (t )，λ (t )) = 1 + λ1 (t ) x2 (t ) + λ2 (t )u * (t ) = 0，
可知c1、c2不同时为零。则λ2 (t )是一线性函数。
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问题 4.4. 4
& 1 = x 2， x & 2 = u ，求满足 已知受控系统 x
约束 u( t ) ≤ 1的最优控制规律 u * ( t )，使系统由任意 初态 ( x10 , x 20 )转移到目标集 x 2 ( t f ) = 0的时间最短。
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应用极小值原理，最优解的必要条件为： &1 (t ) = x2 1 ）正则方程 x & 2 (t ) = u x & (t )＝ − λ 1 ∂H =0 ∂x1
利用相平面分析法，由 状态方程解得 1 2 x1 ( t ) = x10 + x 20 t + ut 2 x 2 ( t ) = x 20 + ut 消去t，可得相轨迹方程 1 2 1 2 x1 = x 2 + x10 − x 20 2u 2u 当初态 ( x10，x 20 )可为任意值时，相轨迹 为一簇抛物线。
可知λ2为非零常数。
{1}、 {− 1}
不发生切换。
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利用相平面分析法，由 状态方程解得 1 2 x1 ( t ) = x10 + x 20 t + ut 2 x 2 ( t ) = x 20 + ut 消去t，可得相轨迹方程 1 2 1 2 x1 = x 2 + x10 − x 20 2u 2u 当初态 ( x10，x 20 )可为任意值时，相轨迹 为一簇抛物线。
u ( t )∈V
u * (t ) = − sgn{λ2 (t )}
4) H ( x* (t ), u * (t )，λ (t )) = H ( x* (t *f ), u * (t *f )，λ (t *f )) = 0 即 1 + λ1 (t ) x2 (t ) + λ2 (t )u (t ) = 1 + λ1 (t f ) x2 (t f ) + λ2 (t f )u (t f ) = 0
* 根据 H ( x * ( t ), u* ( t )，λ ( t )) = 1 + λ1 ( t ) x 2 ( t ) + λ 2 ( t )u* ( t ) = 0，
因此由 u* ( t ) = − sgn{λ 2 ( t )} ，可知最优控制序列为 下列两种 形式之一： 不发生切换。
H ( x * (t ), u * (t )，λ (t )) = min H ( x* (t ), u (t )，λ (t ))
u ( t )∈V
u * (t ) = − sgn{λ2 (t )}
4) H ( x* (t ), u * (t )，λ (t )) = H ( x* (t *f ), u * (t *f )，λ (t *f )) = 0 即 1 + λ1 (t ) x2 (t ) + λ2 (t )u (t ) = 1 + λ1 (t f ) x2 (t f ) + λ2 (t f )u (t f ) = 0
{(
)
}
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应用极小值原理，最优解的必要条件为： &1 (t ) = x2 ）正则方程 1 x & 2 (t ) = u x & (t )＝ − λ 1 & (t )＝ − λ 2 ∂H =0 ∂x1 ∂H = −λ1 (t ) ∂x2
其中H ( x, u , λ ) = 1 + λ1 (t ) x2 (t ) + λ2 (t )u (t ) 2）边界条件 : x1 (0) = x10，x2 (0) = x20 x2 (t f ) = 0，g ( x(t f )) = x12 (t f ) − a 2 ≤ 0 ∂g ( x(t f )) ∂x1 (t f )
4.4. 3 二次积分模型的时间最 优控制 问题 4.4. 3 & 1 = x 2， x & 2 = u，求满足 已知受控系统 x
约束 u( t ) ≤ 1的最优控制规律 u * ( t )，使系统由任意 初态 ( x10 , x 20 )转移到状态空间原点的 时间最短。 应用定理 4.4. 1 ～4.4. 6，可知系统是正常的， 时间最 优控制存在，且唯一， 最优控制是最多切换一 次的 Bang − Bang 控制。
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应用极小值原理，最优解的必要条件为： &1 (t ) = x2 1 ）正则方程 x & 2 (t ) = u x & (t )＝ − λ 1 ∂H =0 ∂x1
∂H & = −λ1 (t ) λ2 (t )＝ − ∂x2 其中H ( x, u , λ ) = 1 + λ1 (t ) x2 (t ) + λ2 (t )u (t ) 2）边界条件 3）极值条件 即 x1 (0) = x10，x2 (0) = x20 x1 (t f ) = 0，x2 (t f ) = 0 H ( x * (t ), u * (t )，λ (t )) = min H ( x* (t ), u (t )，λ (t ))
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& ( t ) = 0， λ & ( t ) = − λ ( t )，及横截条件 由协态方程 λ 1 2 1
λ 2 ( t f ) = 0可得 λ1 ( t ) = const ＝ λ1 ⎫ ⎬ ∀t ∈ [0, t f ] λ 2 ( t ) = λ1 ( t f − t ) ⎭
* ( t ) + λ 2 ( t )u* ( t ) = 0， 根据 H ( x * ( t ), u* ( t )， λ ( t )) = 1 + λ1 ( t ) x 2
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因此u * (t )有四种可能的控制序列： {1 }、 {− 1}、 {1，− 1}、 {− 1， 1}
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利用相平面分析法，建 立u* ( t )与x ( t )的关系。 由状态方程解得 1 2 x1 ( t ) = x10 + x 20 t + ut 2 x 2 ( t ) = x 20 + ut 消去t，可得相轨迹方程 1 2 1 2 x1 = x 2 + x10 − x 20 2u 2u 当初态 ( x10，x 20 )可为任意值时，相轨迹 为一簇抛物线。
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1 2 ⎧ ⎫ r+ = ⎨( x1 , x2 )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ: x1 = x2，x2 ≤ 0⎬ 2 ⎩ ⎭ 1 2 ⎧ ⎫ r− = ⎨(x1 , x2 ) : x1 = − x2，x2 ≥ 0⎬ 2 ⎩ ⎭
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最优轨线的最后一段必为r+或r−的一部分。 u * (t )的切换必然在r+或r−上发生。 1 ⎫ ⎧ 开关曲线 r = r+ U r− = ⎨( x1 , x2 ) : x1 = − x2 x2 ⎬ 2 ⎭ ⎩ 将相平面分为两部分，记为R−和R+，则 1 ⎫ ⎧ ( ) R−＝⎨ x1 , x2 : x1 > − x2 x2 ⎬ 2 ⎭ ⎩ 1 ⎫ ⎧ R+＝⎨( x1 , x2 ) : x1 < − x2 x2 ⎬ 2 ⎭ ⎩
λ1 (t f ) =
ν = 2 x1 (t f )ν
其中ν ≥ 0，ν ( x12 (t f ) − a 2 ) = 0 3）极值条件
u * (t ) = − sgn{λ2 (t )}
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4) 1 + λ1 (t ) x2 (t ) + λ2 (t )u (t ) = 1 + λ1 (t f ) x2 (t f ) + λ2 (t f )u (t f ) = 0
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问题 4.4.3的最优控制规律为 ⎧ + 1， u ( x) = ⎨ ⎩ − 1，
*
对∀( x1 , x 2 ) ∈ r+ U R+ 对∀( x1 , x 2 ) ∈ r− U R−
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定义开关函数 1 h( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 x 2 2 则问题 4.4.3的最优控制也可表示为 ⎧ + 1， ⎪ − 1， * u ( x) = ⎨ ⎪ ⎩ − sgn( x 2 )， 当h( x1 , x 2 ) < 0 当h( x1 , x 2 ) > 0 当h( x1 , x 2 ) = 0