新版北师大版八年级下册第一章三角形的证明导学案学生版
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 1.2.1 直角三角形导学案 (新版)北师大版
八年级数学下册第一章三角形的证明 1.2.1 直角三角形导学案 (新版)北师大版1、2、1直角三角形学习目标1、证明直角三角形的有关性质与判定定理、2、了解逆命题、逆定理的概念；识别互逆命题；知道互逆命题与互逆定理之间的联系与区别、一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题、二、合作探究探究点一问题：直角三角形两锐角有怎样的关系，说明理由、直角三角形两锐角的关系：理由:探究点二问题：如果一个三角形有两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？为什么？结论：理由：1、证明：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90，BC＝a，AC＝b，AB＝c、求证：a +b ＝c 、2、证明：在一个三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形、已知：如图：在△ABC中，AB +AC ＝BC 求证：△ABC是直角三角形、3、写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题、(1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数、三、随堂检测1、如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )A、30B、60C、90D、1202、由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )A、∠A＝37，∠C＝53B、∠A＝34，∠B＝56C、∠B＝42，∠C＝38D、∠A＝72，∠B＝183、如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合、若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )A、1B、2C、3D、44、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，0)，(0，8)、以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为、5、下列命题中，其逆命题成立的是、(只填写序号)①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a ＋b ＝c2，那么这个三角形是直角三角形、6、如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米、7、如图，在四边形ABCD中，AB ＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积、8、如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13 ，求△ABC 的面积、某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程、【作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD】【根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x】【利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积】参考答案探究点一直角三角形的两锐角互余；已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90、求证：∠A+∠B=90、∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180又∵∠C=90（已知）∴∠A+∠B=90（等式的性质）∴∠A与∠B互余即：直角三角形的两锐角互余、探究点二有两个角互余的三角形是直角三角形、已知：在△ABC中，∠A+∠B=90求证：△ABC是直角三角形证明：∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180(三角形内角和等于180)，又∵∠A＋∠B＝90(已知)，∴ ∠C＝180－(∠A＋∠B)＝180－90＝90(等式的性质)、∴ △ABC是直角三角形、即：有两个角互余的三角形是直角三角形、1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90，BC＝a，AC＝b，AB＝c、求证：a2+b2＝c2、证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED、∴∠BDE＝90，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)、∴四边形ACDE是直角梯形、∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2、∴∠ABE＝180－(∠ABC＋∠EBD)＝180－90＝90，AB＝BE、∴S△ABE＝c2∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，∴(a+b)2＝ c2 + ab + ab, 即a2 + ab + b2＝c2 + ab,∴a2+b2＝c2即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方、2、已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2求证：△ABC是直角三角形、证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90，A′B′＝AB，A′C′=AC(如图)，则A′B′2＋A′C′2= BC2 (勾股定理)、∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′=AC∴BC ＝B′C′∴BC＝B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）∴∠A＝∠A′＝90(全等三角形的对应角相等)、因此，△ABC是直角三角形、即：在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形、3、解：(1)同位角相等，两直线平行、真命题、(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数、假命题、随堂检测：1、C2、C3、D4、（4,0）5、①④6、107、解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，∴AC＝＝＝5、又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2、∴∠B＝90 、∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ABBC＋ACCD＝34＋512＝6＋30＝36、8、解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x、由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，故152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9、∴AD＝＝＝12、∴S△ABC＝BCAD＝1412＝84、。
最新北师大版八年级下册数学 第1讲：等腰三角形与直角三角形-学案
一、提请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）；在此基础上回忆全等三角形的另一判别条件：1.（推论）两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS），并要求学生利用前面所提到的公理进行证明；2.回忆全等三角形的性质。
二、等腰三角形两个底角的平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等．通过问题串回顾等腰三角形的性质定理以及证明的思路，要求学生独立思考后再进交流。
问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？问题2.我们是如何证明上述定理的？问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？三、顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；底角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形。
二、1、定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．2、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半3、课堂练习：考点一：等腰三角形【例题】1．如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．50°2．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100° B．120° C．20°或120° D．36°3．如图所示，△ABC≌△AEF，AB=AE，∠B=∠E，有以下结论：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2014秋•西城区校级期中）已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF ⊥AC于F，求证：BE=CF．5．（2015•北京）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．6．（2015•应城市二模）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．7．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM ⊥BE ，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM=EM ．8．（1）如图1，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，判断BE 与CD 的大小关系为：BE_____CD ．（不需说明理由）（2）如图2，已知△ABC ，以AB 、AC 为边向外作等腰△ABD 和等腰△ACE ，且顶角∠BAD ＝∠CAE ，连接BE 、CD ，BE 与CD 有什么数量关系？请说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B 、E 的距离．已经测得∠ABC ＝45°，∠CAE ＝90°，AB ＝BC ＝100米，AC ＝AE ，求BE 的长．9．如图，在ABC △中，AC =AB ，120=B AC ∠°，B E =A E ，D 为EC 中点．C D E B A（1）求CAE ∠的度数；（2）求证：A DE △是等边三角形【习题】1．（1）如图，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．求证：AD=BE ．（2）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM 为△DCE边DE上的高，连接BE．①求证：2CM+BE=AE；②若将图2中的△DCE绕点C旋转至图3所示位置，①中的结论还成立吗？若不成立，写出它们之间的数量关系．2．如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE．（1）判断△CDE的形状，并说明理由．（2）若AO=12，求OE的长．3．（2014秋•嘉鱼县校级月考）如图所示，∠1=∠2，BD=CD，试证明△ABC是等腰三角形．4（2014秋•衡阳县校级月考）已知：如图所示，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=EC，求证：△ABC是等腰三角形．5．（2013秋•滨湖区校级期中）把一张对边平行的纸条，如图所示折叠，重合部分是什么形状？说明理由．6．（2012•温州模拟）在下列四个条件中：①AB=DC；②BE=CE；③∠B=∠C；④∠BAE=∠CDE．请选出两个作为条件，得出△AED是等腰三角形（写出一个即可），并加以证明．已知：；求证：△AED是等腰三角形．7．（2012秋•文登市校级期中）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点，CP=CD．求证：△DBP是等腰三角形．8．（2011秋•西城区校级期中）如图所示，已知Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD 延长线于E，BA、CE延长线相交于F点．求证：（1）△BCF是等腰三角形；（2）BD=2CE．9．（2010春•福安市期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．10．（2009春•东山县校级期末）△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是角平分线，ED⊥BC．①请你写出图中所有的等腰三角形；②若BC=10，求AB+AE的长．11．（2015春•龙口市期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．考点二：直角三角形【例题】1．（2007春•南阳期末）如图：△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AD上，△ADC和△BDE是等腰三角形，EC=5cm，求AB的长．2．（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．3．如图，△ABC的高BD与CE相交于点O，OD=OE，AO的延长线交BC于点M，请你从图中找出几对全等的直角三角形，并说明理由．4．（2014•南岗区模拟）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE中点，连接MD，若BD=2，CD=1．则MD的长为．5．（2015春•白城校级期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC的面积．6．（2015秋•岳池县期中）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，求PD的长．【习题】1．（2010•大连校级自主招生）在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是度．2．（2007•包头）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为．3．（2015春•秦淮区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：CD⊥AB．4．（2015秋•武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．5．（2015秋•周口校级月考）如图所示，将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在BA边上，得到点C′，若∠C′EB=40°，求∠EDC′的度数．6．如图，△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD=152°，求∠EDF．7．（2015秋•威海期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，求BE的长．8．（2013秋•龙口市期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，若AD=6cm，求DC 的长．9．（2012•淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．10．（2015秋•建湖县期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是BD、AC的中点（1）求证：MN⊥AC；（2）若∠ADC=120°，求∠1的度数．11．（2015秋•东台市期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：（1）MD=MB；（2）MN⊥BD．12．（2015秋•绍兴校级期中）已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．（1）求证：△MED为等腰三角形；（2）若∠EMD=40°，求∠DAC的度数．13．（2014秋•无锡校级期末）已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．14．（2014秋•黄浦区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．（1）求证：MN⊥BD；（2）当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．11。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-直角三角形的斜边上的中线性质及其在解决问题中的应用。
-实际问题中直角三角形的识别和运用勾股定理解决方法。
举例：讲解直角三角形的判定方法时，可以列举一些常见的直角三角形图形，如等腰直角三角形、含30°或60°角的直角三角形等，强调如何快速识别直角三角形。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的理解和应用，直角三角形的斜边上的高的计算。
-难点解析：
-勾股定理的理解：学生需要理解定理背后的几何关系和代数表达，以及如何在实际问题中灵活运用。
-直角三角形的斜边上的高的计算：学生需要掌握如何利用直角三角形的性质和勾股定理来求解斜边上的高。
-问题解决中的难点：将实际问题抽象为直角三角形问题，以及如何选择合适的数学方法解决问题。
举例：
-勾股定理的应用难点：可以设计一些复杂的实际问题，如测量距离、计算斜边长度等，指导学生如何将问题转化为直角三角形的边长计算。
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，我们常见的红领巾，它的形状就是一个直角三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的奥秘。
在实践活动中，学生们通过测量和计算，亲自验证了勾股定理，这样的教学方式有助于加深学生对定理的理解。但同时，我也注意到操作过程中部分学生存在粗心大意的问题，导致计算结果出现偏差。在以后的教学中，我要加强学生对细节的关注，培养他们的耐心和细致。
第一章 三角形的证明 1.1等腰三角形 2课时 导学案(最新北师大版)
1.1 等腰三角形第一课时一、课前准备：1、有 的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做 ，腰与底边的夹角叫做 ； 的三角形是等边三角形。
2、公理、定理、证明公理：公认的 称为公理。
定理：经过证明的 称为定理。
证明： 的过程称为证明。
3、证明的一般步骤是：根据题意 ；根据条件、结论，结合图形 ；经过分析，找出由已知推出求证的途径， 。
对假命题的判断，只要举 来证明即可。
二、学习目标：1、了解作为证明基础的几条公理、定理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、掌握等腰三角形的性质。
3、结合实例体会反正法的含义。
三、自学提示： 1、你知道吗？全等三角形的判定及性质（见课本P2想一想） 2、你发现了吗？ （1）把探究1中剪出的△ABC 沿折痕AD 对折，根据得到的信息，填入右表：（2）从上表中你能发现等腰三角形的角有什么样的特点吗？底边上的中线，高线，顶角平分线有什么样的特点吗？ （3）你能证明你所得到的结论吗？求证：等腰三角形的两个底角相等。
已知： ΔABC 中，AB=AC.求证： ∠B= ∠C.证明：.等腰三角形的性质：性质1 等腰三角形的两个底角 （简写成“ ” ）；性质2 等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 相互 。
【我是小翻译】请将等腰三角形性质（文字语言）“翻译”成图形和符号语言。
B五、夯实基础：1.等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.2.等腰三角形的顶角为100°，它的底角为______.3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________.4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为__________________.5.在△ABC 中，AB=AC ，∠1=∠2=55°，则BD=5，CD=____。
6.在△ABC 中，AB=AC ，BM=CM ，∠BAM=35°，则∠CAM=_____°，∠AMB=_____°。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.4.2角平分线学案(无答案)北师大版(2021年整理)
辽宁省法库县八年级数学下册第一章三角形的证明1.4.2 角平分线学案（无答案）（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省法库县八年级数学下册第一章三角形的证明1.4.2 角平分线学案（无答案）（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
4 角平分线1、角平分线上的点到。
2、在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点，在。
3、阅读教材：P30—P31第4节《角平分线》E问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？4、已知:点P 是△ABC 的两条角平分线BM 、CN 求证：∠A 的平分线经过点P ，且PD=PE=PF 。
证明：过点P 作PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，PD 于D ， ∵CN 是△ABC 的角分线，点P 为CN ∴PE=_____（ ）∵BM 是△ABC 的角分线，点P 为BM 上一点，∴PE=_____( ）∴∴∴归纳：三角形三条角平分线相交于一___,并且这一点到三角形三条____的距离______。
推理格式：∵点P 是△ABC 的三条角平分线的交点，且PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，PD ⊥AB ， ∴PD=_____=_______.5.下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理问题2如图:直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处?你如何发现的？l 3l 21l CBA6。
八年级数学下册第一章三角形的证明3线段的垂直平分线第2课时三角形三边垂直平分线的性质教案新版北师大版
八年级数学下册教案:第2课时三角形三边垂直平分线的性质1．能够证明三角形三边垂直平分线的相关结论．2．能够利用尺规作已经底边及底边上的高的等腰三角形．重点掌握三角形三边垂直平分线的性质．难点会用所学知识按要求作图．一、复习导入活动一：尺规作图作三角形三条边的垂直平分线．师：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？(教师可用多媒体演示作图过程)引导学生得出：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．活动二：下面请同学们剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．师：这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才更有意义．这节课我们来学习探索和线段垂直平分线有关的结论．二、探究新知1．三角形三边垂直平分线的性质(1)教师引导学生分析，寻找证明方法．师：我们要从理论上证明这个结论，也就是证明“三线共点”，但这是我们没有遇到过的．我们不妨再来看一下作图过程，或许你能从中受到启示．通过回顾作图过程，引导学生认同：两直线必交于一点，那么要想证明“三线共点”，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三条直线上即可．(2)师生共同分析，完成证明．处理方式：讨论结束后，学生书写证明过程．教师点评，注意几何符号语言的规范性．已知：在△ABC中，设AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：点P在AC的垂直平分线上．证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)．同理PB＝PC.∴PA＝PC.∴点P在AC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)．∴AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P.师：从证明三角形三边的垂直平分线交于一点，你还能得出什么结论？ (交点P到三角形三个顶点的距离相等)(3)多媒体演示我们得出的结论：定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．2．按要求作图(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？处理方式：学生通过小组讨论得出结论，并尝试作出草图，验证自己的结论．解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个．已知：三角形的一条边a和这边上的高h，求作：△ABC，使BC＝a，BC边上的高为h.从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC上或其所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．(2)如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．说明：不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件，如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边的垂直平分线上排除．(3)如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．已知：线段a，h.求作：△ABC，使AB＝AC，BC＝a，高AD＝h.作法：①作BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；③以点D为圆心，h长为半径作弧交MN于点A；④连接AB，AC.∴△ABC就是所求作的三角形(如图所示)．三、练习巩固1．在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是( ) A．三角形三条角平分线的交点B．三角形三条垂直平分线的交点C．三角形三条中线的交点D．三角形三条高的交点2．已知△ABC的三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．等腰Rt△ABC中，AB＝AC，BC＝a，其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是________．4．如图，有A，B，C三个工厂，现要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求供水站的位置．(要求尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法)四、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？五、课外作业1．教材第26页“随堂练习”．2．教材第26～27页习题1.8第1～4题．本节课主要学习“三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等”和“已知等腰三角形的底边和高作出符合条件的等腰三角形”，在讲解的过程中从尺规作图、逻辑推理等多层次地理解并证明了定理，学生思维活跃，能够积极参与到学习中来，教学效果较好．。
新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案
新北师大版八下数学第一章三角形的证明教案教学目标：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。
2.掌握使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
3.培养学生的逻辑思维和推理能力。
教学重点：1.理解三角形的定义，掌握三角形分类的方法。
2.使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
教学难点：使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
教学过程：一、导入（10分钟）1.师生互动：提问学生对三角形的定义和分类的了解。
2.引入新知：向学生介绍本课的学习内容，即三角形的证明。
二、讲解与示范（20分钟）1.讲解三角形的定义和分类的方法，并通过图示进行解释。
2.讲解三角形的基本性质（如角的度数和等于180度等）。
3.示范使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
三、练习与训练（30分钟）1.学生个别或分组完成教材上的练习题，巩固理论知识。
2.学生在小组内互相出题，进行三角形证明的练习。
四、展示与评价（15分钟）1.学生展示自己的练习成果，分享自己的解题思路。
2.教师评价学生的表现，指出不足之处并给予指导。
五、拓展与应用（15分钟）1.针对一些高阶问题进行拓展，引导学生思考和推理。
2.学生在小组内或以个体形式，解答拓展问题。
六、总结与归纳（10分钟）1.学生和教师一起总结本节课所学的内容，梳理知识点。
2.教师对本节课的教学进行总结，并提醒学生下节课的学习安排。
教学资源：1.新北师大版八年级数学教材。
2.黑板、彩色粉笔、投影仪等教学工具。
教学延伸：本节课主要讲解了三角形的定义和分类，并引导学生使用三角形的基本性质进行三角形的证明。
在教学过程中，教师可以使用多媒体教学、思维导图等方式，增加学生的参与度和理解能力。
同时，教师还可以设计一些趣味性的活动，激发学生的学习兴趣和求知欲。
新北师大版八年级数学下册《一章 三角形的证明 1. 等腰三角形 等边三角形的判定》教案_3
第一章三角形的证明等边三角形的判定1．知识目标理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。
2．能力目标①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。
3．情感与价值观要求①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点①等边三角形判定定理的发现与证明.②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.4．教学难点①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.②引导学生全面、周到地思考问题.二、教学过程学具准备：两个带30度角的三角板。
本节课设计了六个教学环节：第一环节：提问问题，引入新课；第二环节：自主探索；第三环节：实际操作提出问题；第四环节：变式训练巩固新知；第五环节：畅谈收获课时小结；第六环节：布置作业。
第一环节：提问问题，引入新课活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？从而引入新课。
一个三角形满足什么条件时便成为等边三角形?你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．(教师应给学生自主探索、思考的时间，然后让其展示)第二环节：自主探索活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件。
对于等腰三角形中有一个角为60度的两种情况，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
八年级数学下册第一章三角形的证明1.1等腰三角形1.1.2等边三角形的性质学案(无答案)北师大版(
辽宁省法库县八年级数学下册第一章三角形的证明1.1 等腰三角形1.1.2 等边三角形的性质学案（无答案）（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（辽宁省法库县八年级数学下册第一章三角形的证明1.1 等腰三角形1.1.2 等边三角形的性质学案（无答案）（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2 等边三角形的性质 课题内容 1.2 等边三角形的性质 学习目标 1、能运用综合法证明等腰三角形中一些相等的线段.2、利用等腰三角形的性质证明等边三角形的性质,并且会用等边三角形性质解决相关问题。
学习重点 等腰三角形中重要线段相等推导过程,等边三角形的性质定理的证明.学习难点等腰三角形、等边三角形的相关性质的应用。
学法指导讲练结合法 多媒体演示法 探究法 尝试指导法1、在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝44°，则∠B ＝ 度。
2、等腰三角形两条边的长分别是3和6，则其周长为 。
3、在△ABC 中，AB ＝AC ,∠BAC ＝120°，延长BC 到D ,使CD ＝AC ，则∠C DA ＝ 度。
4.在等腰三角形中，有一种特殊的情况,就是底边与腰相等,这时，三角形三边相等。
这样的三角形是探究一等腰三角形中的 相等线段 1。
在等腰三角形中自主作出一些线段（如角平分线、中线、高等），观察其中有哪些相等的线段,并尝试给出证明。
【归纳结论】一、预习案 二、探究案 列出疑惑2尝试完成“议一议”。
北师大八年级下册数学第一章 《三角形的证明》导学案
【学案】第一章三角形的证明第一节等腰三角形一．等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等（简述为：等边对等角）例1.如图，在△ABC中，D是BC边上一点AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数。
例2.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线。
求证：BD=CE.二．等腰三角形的“三线合一”“三线合一”，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合例1.如图，D.E 在BC 上，AB=AC 且，AD=AE，求证：BD=CE.例2.如图,在△ABC 中,BC=AC,∠ACB=090,D 是AC 上一点,AE⊥BD 交BD 的延长线于点E,且AE=21BD，求证：BD 是∠ABC 的角平分线。
三．等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形（简述为：等角对等边）例1.已知：如图，AB=DC，BD=CA.求证：△AED是等腰三角形.例2.如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，若EF与BC相交于D，求证：DE=DF.第二节等边三角形一．等边三角形的性质：1.等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质2.等边三角形的特殊性质：（1）等边三角形的三条边都相等60（2）等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于03.等边三角形的的推论：030.060的直角三角形的三边关系：定理：在直角三角形中，030所对的边等于斜边的一半。
例1.如图△ABC 中,∠ACB=90∘,CD 是高,∠A=30∘,求证：BD=41AB.例2.在Rt△EBC 中，点D 是EC 上的一点，以DC.BC 为边作长方形ABCD,连接AE。
已知∠EAD=030.∠EBC=060,EC=20，求AB 的长例3.已知△ABC是等边三角形，点D是直线AB上一点，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE，DC，求证：DE=DC二．等边三角形的判定定理一.三个角都相等的三角形是等边三角形60的等腰三角形是等边三角形定理二.有一个角等于0例1.如图所示，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，BM、CN相交于点F.（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形；第三节等腰直角三角形等腰直角三角形的三边的特殊数量关系例1.如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90∘，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由。
北师大版数学八年级下册第一章三角形证明手拉手模型优秀教学案例
1.导入：以手拉手游戏导入新课，让学生感受合作的力量，引发对三角形全等证明的兴趣。
2.新课导入：介绍三角形全等的定义和判定方法，引导学生理解全等三角形的性质。
3.实例分析：分析生活中的实例，让学生体会三角形全等证明在实际问题中的应用。
4.小组讨论：让学生分组讨论，探索三角形全等的证明方法，培养学生的合作精神和沟通能力。
3.教师总结全等三角形的定义，并指出本节课的学习目标：掌握三角形全等的判定方法。
（二）讲授新知
1.介绍三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS，并通过图示和实例进行讲解。
2.引导学生理解全等三角形的性质，如对应边相等、对应角相等。
3.教师举例说明三角形全等证明在实际问题中的应用，如测量身高、构造图形等。
3.教师对学生的作业进行批改和评价，关注学生的思维过程和问题解决能力，给予积极的鼓励和指导。
五、案例亮点
1.生活实例导入：通过手拉手游戏导入新课，让学生感受合作的力量，引发对三角形全等证明的兴趣。这种贴近生活的实例能够激发学生的学习动机，增加学生的学习兴趣。
2.小组合作探究：在讲授新知后，组织学生进行小组讨论，合作探究三角形全等的证明方法。这种合作学习的方式能够培养学生的团队协作能力和沟通能力，同时促进学生的深入思考和问题解决。
2.学生总结三角形全等的判定方法及其应用，加深对全等三角形性质的理解。
3.教师强调三角形全等证明在实际问题中的重要性，激发学生运用数学知识解决实际问题的兴趣。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，巩固学生对三角形全等证明方法的理解，提高学生的数学解题能力。
2.要求学生在作业中运用所学的三角形全等证明方法解决实际问题，培养学生的应用能力。
最新课标BS北师大版 八年级数学 下册第二学期(导学案)第一章 三角形的证明(第1单元全章 导学案)
1.1 等腰三角形第1课时三角形的全等和等腰三角形的性质等腰三角形的性质定理、等腰三角形性质：等腰三角形的两个相等（简称：等角形的两条边长分别为1.1 等腰三角形第2课时等边三角形的性质学习目标：1、能够证明等腰三角形的判定定理，并会运用其定理进行证明.2、掌握特殊的等腰三角形---等边三角形的性质定理并会证明.学习过程：一、前置准备：1、等腰三角形的性质是什么？2、等腰三角形的一个内角为700，则顶角为。
3、等腰三角形的一个外角为1000，则其顶角为。
二、自主学习：1、在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线、中线、高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？2、等腰三角形的两底角的平分线相等吗？怎样证明。
已知：求证：证明：得出定理：。
问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明它们，并与同伴交流。
三、合作交流；请同学们“想一想”，等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征？定理：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.已知：求证：证明：四、归纳总结：1、我的收获？2、我不明白的问题？五、例题解析：BD=AD，DC=AC，求∠B的度数.温馨提示：先利用等边对等角找出各相等的角，再用方程思想解决，这样可使几何的计算问题化繁为简.六、当堂训练：1.求等边三角形两条中线相交所成锐角的度数.2.如图，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，且△ADE是等边三角形，求∠BAC 的度数.中考真题：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接CE.（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC的长.1.1 等腰三角形第3课时 等腰三角形的判定与反证法一、学习准备：1、等腰三角形的两底角 。
2、等腰三角形 、 及 互相重合。
3、等腰三角形两底角的平分线 。
4、等边三角形的三个内角都 ，并且每个内角 。
北师大版八年级下第一章三角形的证明导学案
1.1等腰三角形]学习目标、重点、难点【学习目标】1、等腰三角形的性质定理及推论；2、等腰三角形的判定定理及推论.【重点难点】1、等腰三角形的性质定理及推论；2、等腰三角形的判定定理及推论.3、反证法知识概览图新课导引如下图所示，很多古代建筑以及我们居住的一些房屋的屋顶都是人字形梁架．【问题探究】上面叙述的人字形梁架是由哪些图形组成的呢?它们有哪些性质?教材精华知识点1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)．用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．定理的证明：取BC 的中点D ，连接AD ．∵(),()()AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△ACD (SSS)．∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)．定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．拓展 等腰三角形还具有其他性质．(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b ＜a ． (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B ，∠C ，则∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－2∠B ＝180°－2∠C ．知识点2 等腰三角形的性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，∴AD ⊥BC ．BD ＝DC ；②在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＝∠2，BD ＝DC ；③在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠1＝∠2，AD ⊥BC ．(2)推论1的证明．①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)．∴BD＝DC，∠ADB＝∠ADC＝90°．∴AD⊥BC．②在△ABC中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．∴∠1＝∠2，BD＝CD．③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．(2)推论2的证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．∴∠A＝∠B＝∠C．又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．知识点3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC判定定理的证明：如图1－6所示．过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB ＝AC ．√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．拓展 如图1－6所示，在△ABC 中，(1)如果AD ⊥BC ，∠1＝∠2，那么AB ＝AC ；(2)如果AD ⊥BC ，BD ＝DC ，那么AB ＝AC ；(3)如果∠1－∠2，BD ＝DC ，那么AB ＝AC ．知识点4 等腰三角形的判定定理的推论推论1．(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠A ＝60°(或∠B ＝60°或∠C ＝60°)，∴AB ＝AC ＝BC ．(3)推论1的证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．又∵∠A ＝60°，∴∠B ＝∠C ＝01802A -∠＝60° ∴AB ＝AC ＝BC ．(或∵∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠B ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．或∵∠C ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠C ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．)√推论2．(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ＝BC ．(3)推论2的证明：在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ，∴BC ＝AC (等角对等边)．又∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC (等角对等边)．∴AB ＝AC ＝BC ．(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；(3)根据推论2，证明三个角都相等．√推论3．(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。
北师大版 八年级数学 下册第二学期(导学案)第一章 三角形的证明 1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定
1.2 直角三角形第1课时 直角三角形的性质与判定学习目标：1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
学习过程：一、 前置准备角1、直角三角形的两个锐角 ；2、有两个角互余的三角形是 .边1、说出你知道的勾股数2、勾股定理的内容是：_____________________________;它的条件是：______________________________________;结论是：__________________________________________。
二、自主学习：将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：下面试着将上述命题证明：已知在△ABC 中，AB 2+AC 2=BC 2求证：△ABC 是直角三角形。
得出定理：如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形。
三、合作交流：1、观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？然后观察下列每组命题，是否也在类似关系（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。
如果两个角相等，那么它们是对顶角。
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
（3）三角形中相等的边所对的角相等。
三角形中相等的角所对的边相等。
像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________。
2、阅读课本P16“想一想”，回答下列问题：①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？②什么是互逆定理？③是否任何定理都有逆定理？④思考我们学过哪些互逆定理？四、归纳总结：1、勾股定理和逆定理的内容分别是什么？2、什么是互逆定理，什么是互逆命题？五、当堂训练：1、判断A：每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。
北师大版 八年级下 第一章 三角形的证明导学案
1.1.1 《等腰三角形 》导学案八（ ）班 姓名 （ ）号课型：新课 设计： 审核：八年级数学备课组 执行时间：2016年3月 日【导学目标】应用公理证明三角形全等的判定定理“AAS ”和等腰三角的两底角相等。
【课前预习探究】1、我们已知如下的基本事实:①两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行; ②两条平行线被第三条直线所截,________相等;③ _______ _____对应相等的两个三角形全等; （SAS ） ④ _____ _______对应相等的两个三角形全等; （ASA ） ⑤ __ ___对应相等的两个三角形全等。
（SSS ）2、你能证明下面的推论吗？推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.（已知：如图, 求证：3、阅读课本P2至3页。
①全等三角形的性质：全等三角形的 相等， 相等。
②请你证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等．．．．．．．．．．．。
简述为：等边对等角．．．．．。
已知：如图, 求证：③推论：等腰三角形 、 、 互相重合。
“三线合一．．．．”FDECBABC【课堂自主合作探究】 （一）复习小测（3分钟）1、不等式x ≥－2的负整数解有( ) A 、1个B 、2个C 、3个D 、无数多个2、若m ＜n ，则m －3______n －3，m －n_____0，nm 21___21--。
3、甲地离学校4km ，乙地离学校2km ，记甲、乙两之间的距离为s km ，则s 的取值为（ ） A 、2 B 、6 C 、2或6 D 、2≤s ≤64、一个木工有两根长为40cm 和50cm 的木条，要另外找一根木条并钉成一个三角形木架，问第三根木条的长度x 的取值范围是5、如图1，2->x 时，y 0，0>x 时，y 02<<-x 时，y 的取值范围是 。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.4等边三角形判定(教案)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等边三角形的定义、性质以及判定方法。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对等边三角形判定方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对于等边三角形的判定方法掌握得还算不错。他们在小组讨论和实验操作环节表现出了较高的积极性，能够将理论知识运用到实际中。然而，我也注意到，部分学生在判定方法的灵活运用上还存在一定难度，特别是在处理一些复杂问题时，容易混淆判定条件。
在讲授过程中，我尽量用生动的语言和实例来解释等边三角形的性质，让学生们更容易理解。同时，通过设置不同难度的练习题，让学生逐步掌握判定方法。但在教学过程中，我也意识到，对于一些基础较弱的学生，可能还需要在课后进行个别辅导，帮助他们巩固知识点。
此外，实践活动环节，学生们在分组讨论时，有的小组能够迅速找到解决问题的方法，而有的小组则进展较慢。在今后的教学中，我需要更加关注这些小组，及时给予他们指导和鼓励，提高他们的自信心。
在学生小组讨论环节，我发现学生们对于等边三角形在实际生活中的应用有很多独特的见解，这让我感到很欣慰。但同时，我也注意到，有些学生在讨论时过于依赖教材，缺乏自己的思考。因此，在今后的教学中，我要引导学生多关注生活中的几何图形，培养他们的观察能力和创新意识。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.1.4等边三角形判定（教案）
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模块四：课下练习 1、 2、 在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则 如图， 已知∠ABC＝20°， BD＝DE＝EF＝FG， 求∠CGF 和∠AFG 的度数分别是_________．
∠B 等于________度．
3、
如图， 在△ABC 中， ∠B、 ∠C 的平分线交于 E， 过 E 作 DF∥BC 交 AB 于 D， 交 AC 于 F． 若 ）. D．6 A．9 B．7 C．8
3．如图，A、B、F、D 在同一直线上，AB=DF， AE=BC，且 AE∥BC. 求证：⑴△AEF≌△BCD， ⑵EF∥CD.
●中考在线 1、 已知：如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE, DG⊥CE,G 是垂足， 求证： （1）G 是 CE 中点; （2）∠B=2∠BCE.
2.C 是线段 AB 的中点，CD 平分∠ACE，CE 平分∠BCD，CD＝CE． (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若∠D＝50°，求∠B 的度数．
模块一 一．知识点
第一节 预习反馈（P5 例 1—P9）
等腰三角形（二）
达州耀华育才学校八年级下册数学集体备课教案导学案
主备人：喻茂伦
1、等腰三角形两个底角的平分线相等； 2、等腰三角形腰上的高相等； 3、等腰三角形腰上的中线相等； 4、推理论证：等腰三角形腰上的中线相等； （以上定理画图、写出已知、求证、证明过程） 5．等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于 60。 6、两个角相等的三角形是等腰三角形。 （等角对等边） 7、反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有 定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。 模块二 基础训练 1. 在如图的等腰三角形 ABC 中， (1)如果∠ABD= 1 1 ∠ABC，∠ACE= ∠ACB 呢?由此，你能得到一个什么结论? 3 3
第一章 三角形的证明 第一节 等腰三角形（一） 预习反馈（P2—P6）
归纳： 1、等腰三角形的性质定理：____________________________（简称“等边对等角” ） ； 推理格式：因为 AB=AC,所以__________________________（等边对等角） ； 2、推论（三线合一） ：______________________________________________； 推理格式： （1）因为 AB=AC,AD⊥BC,所以 BD=DC,AD 平分_______________； （2）因为 AB=AC,BD=DC,所以______ ⊥ ______，______平分______； （3）因为 AB=AC，______ 平分______，所以__________ ； 实践练习： 1.等腰三角形的两边分别是 7cm 和 3cm，则周长为__________________。 2.如图在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥ AC, ∠BAC=100°。求：∠1、∠B 的度数。
模块三 能力提升 1． 填空： （1）如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD。 请找出所有的等腰三角形 。 （2）等腰三角形的顶角为 50°，则它的底角为 。 （3）等腰三角形的一个角为 40°，则另两个角为 。 （4）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 60°。
(2)如果 AD= 结论?
1 1 1 1 AC，AE= AB，那么 BD=CE 吗?如果 AD= AC，AE= AB 呢?由此你得到什么 2 2 3 3
2．想想出反证法证明问题的一般步骤。把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。 a) 三角形中必有一个内角不少于 60 度； b) 一个三角形中不能有两个角是钝角； c) 垂直于同一条直线的两条直线平行。
Hale Waihona Puke 2． 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点，且 DE⊥AB，DF⊥AC。 求证：∠1 =∠2。
模块四：课下练习 ☆能力提升
达州耀华育才学校八年级下册数学集体备课教案导学案 主备人：喻茂伦
1.△ABC 中，AB＝AC，∠A＝50°，P 是△ABC 内一点，且∠PBC＝∠ACP，求∠BPC 的度数 _________． 2． 已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，BD，CE 是△ABC 的角平分线. 求证：BD＝CE.
模块一 一．知识点 1、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS） 。 （论证） 2、全等三角形的对应边相等,对应角相等。 3、等腰三角形性质定理： （等边对等角） 。 （论 证） 4、 推论 （三线合一） ： 5、等边三角形性质定理： 论证要求（画图、写出已知、求证、证明过程） 二、自学互帮 6、已知：△ABC 是等腰三角形，AB=AC 求证：∠B=∠C（利用三角形全等证明） 。 （论证） 。 （论证）
3、如图， ABC 中，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，BD = CE。求证： ABC 是等腰三角形。
模块三
能力提升
主备人：喻茂伦
达州耀华育才学校八年级下册数学集体备课教案导学案
1、如图，在△ABC 中，AB = AC，DE∥BC，求证：△ADE 是等腰三角形。
2、如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC，连接 AE、BE、CE，且 BE = CE，延长 AE，交 BC 边于点 D。求证：AD⊥BC。
模块二
基础训练
主备人：喻茂伦
达州耀华育才学校八年级下册数学集体备课教案导学案
1.如图，已知∠D =∠C，∠A =∠B，且 AE = BF。求证：AD = BC。
2．如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥AC∠BAC = 100°。 求∠1、∠3、∠B 的度数。
3．如图，在△ABC 中，D 为 AC 上一点，并且 AB = AD，DB = DC，若∠C = 29°，求∠A。
BD＋CF＝8，则线段 DF 的长（
4.在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，CD⊥AB 于 D，AB＝a，则 DB 等于（ A.