10指数函数(学生)
高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第1
第10课指数式与指数函数(本课时对应学生用书第页) 自主学习回归教材1.(必修1P60例1改编)计算：2(π-4)+π= .【答案】42(π-4)+π=|π-4|+π=4-π+π=4.2.(必修1P61例2改编)计算：1294⎛⎫⎪⎝⎭+(-9.6)0-2-3278⎛⎫⎪⎝⎭×232⎛⎫⎪⎝⎭= .【答案】3 2【解析】原式=32+1-49×94=32.3.(必修1P67练习1改编)若函数y=(a2-3a+3)·a x是指数函数，则实数a= .【答案】2【解析】由题意得a2-3a+3=1且a>0，a≠1，所以a=2.4.(必修1P52习题1改编)当x>0时，指数函数f(x)=(a-1)x，且(a-1)x<1恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】(1，2)【解析】因为x>0时，(a-1)x<1恒成立，所以0<a-1<1，所以1<a<2.5.(必修1P52习题1改编)已知函数f(x)=a x+b(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a+b= .(第5题)【答案】-2【解析】由图可知，此函数过点(2，0)和(0，-3)，则有a2+b=0，且1+b=-3，解得a=2，b=-4，所以a+b=-2.1.指数中的相关概念(1)n次方根正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.(2)方根的性质①当nna=a；②当nna=|a|=-0a aa a≥⎧⎨<⎩，，，.(3)分数指数幂的意义①mna n m a a>0，m，n都是正整数，n>1)；②-mna=1mna n m a(a>0，m，n都是正整数，n>1).2.指数函数的定义一般地，形如y=a x(a>0且a≠1)的函数叫作指数函数.3.指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R R值域(0，+∞) (0，+∞)过定点过点(0，1)，即x=0时，y=1 过点(0，1)，即x=0时，y=1单调性在R上是增函数在R上是减函数(1)在解决指数函数有关问题时，如果底数a大小不确定，则必须分“a>1”和“0<a<1”两种情况讨论.(2)画指数函数y=a x的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1-1a⎛⎫⎪⎝⎭，.(3)由于指数函数y=a x(a>0且a≠1)的图象均在x轴上方，故y>0，图象无限接近x轴，但不会相交，因此，x轴是指数函数的“渐近线”.【要点导学】要点导学各个击破指数幂的运算例1求下列各式的值.(1)(0.02723)+1-327125⎛⎫⎪⎝⎭-0.5729⎛⎫⎪⎝⎭+10-2；(2)214⎛⎫⎪⎝⎭+1-366323-2(1.03)0·36⎛⎝⎭.【思维引导】按照幂指数运算法则运算，分母含根式的进行分母有理化.【解答】(1)原式=9100+53-53+1100=110. (2)原式=116+(13--326)+222(32)(3)-(2)+-66-⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=116+6+5+26+36=81606+.【精要点评】指数幂化简与求值的原则及要求：(1)化简原则：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序.(2)结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂.变式 化简下列各式(a>0，b>0).(1)(2132a b )(-31132a b )÷156613a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 34332323-8?24a a ba ab b ++÷31-2b a ⎛ ⎝3a 【思维引导】按照分数指数幂的运算性质求解，含根式的化成分数指数幂后再计算或化简.【解答】(1)原式=-9211115--326236ab++=-9a.(2)原式=413322333-842ab a a bb a +÷113313a -2b a×13a=1321123333a (a-8b)4b 2a b a ++÷113313a -2b a×13a=13a (13a -213b )131133aa -2b ×13a =a.【精要点评】若式子中既有分数指数幂、又有根式，则可先把根式化成分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算.在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运用乘法公式.指数函数图象的应用例2已知函数f(x)=|2x-1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x+1)与f(x)的大小.【思维引导】(1)对于y=|2x-1|的图象，我们通过y=2x的图象翻折得到，在翻折指数函数图象时一定要注意渐近线也要随之翻折，作出f(x)的图象，数形结合求解.(2)在同一坐标系中分别作出f(x)，f(x+1)的图象，数形结合求解.【解答】(1)由f(x)=|2x-1|=2-101-20.xxxx⎧≥⎨<⎩，，，作出函数的图象如图(1)所示.因此函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增.(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)，f(x+1)的图象，如图(2)所示.由图象知，当|012x+-1|=|02x-1|时，x0=log223，根据图象可知，当x<log223时，f(x)>f(x+1)；当x=log223时，f(x)=f(x+1)；当x>log223时，f(x)<f(x+1).图(1)图(2)(例2)【精要点评】(1)指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.(3)函数y=a x，y=a|x|的关系：函数y=a x与y=|a x|是同一个函数的不同表现形式，函数y=a|x|与y=a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同.变式画出函数y=2|x|的图象，其图象有什么特征?根据图象指出其值域和单调区间.(变式)【解答】当x≥0时，y=2|x|=2x；当x<0时，y=2|x|=2-x=12x ⎛⎫⎪⎝⎭，所以函数y=2|x|的图象如图所示.由图象可知，y=2|x|的图象关于y轴对称，且值域是[1，+∞)，单调减区间是(-∞，0]，单调增区间是[0，+∞).指数函数的性质例3已知函数f(x)=2-4313ax x+⎛⎫⎪⎝⎭.(1)若a=-1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有最大值3，求实数a的值；(3)若函数f(x)的值域为(0，+∞)，求实数a的值.【思维引导】(1)形如y=a g(x)的复合函数，由于底数为13，所以函数y=a g(x)的单调性和y=g(x)的单调性相反.(2)要借助“同增异减”这一性质分析，将问题归结为内层函数h(x)=ax2-4x+3有最小值-1，然后利用二次函数的知识加以解决.(3)由指数函数的值域知，h(x)=ax2-4x+3的值域为R.【解答】(1)当a=-1时，f(x)=2--4313x x+⎛⎫⎪⎝⎭，令g(x)=-x2-4x+3，由于g(x)在(-∞，-2)上单调递增，在(-2，+∞)上单调递减，而y=13t⎛⎫⎪⎝⎭在R上单调递减，所以f (x)在(-∞，-2)上单调递减，在(-2，+∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间是(-2，+∞)，单调减区间是(-∞，-2).(2)令h(x)=ax2-4x+3，f(x)=()13h x⎛⎫⎪⎝⎭，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值-1，因此必有3-4-1aaa>⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得a=1，即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.(3)由指数函数的性质知，要使y=()13h x⎛⎫⎪⎝⎭的值域为(0，+∞).应使h(x)=ax2-4x+3的值域为R，因此只能a=0(若a≠0，则h(x)为二次函数，其值域不可能为R)，故a的值为0.【精要点评】求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决.对于形如y=a g(x)的复合函数，关于单调区间有以下结论：当a>1时，函数y=a g(x)的单调性和y=g(x)的单调性相同；当0<a<1时，函数y=a g(x)的单调性和y=g(x)的单调性相反.变式若不等式2-23ax ax>13对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围.【思维引导】将不等式2-23ax ax>2-2133ax ax转化为>3-1，然后利用指数函数的单调性，最后利用一元二次不等式恒成立的知识求解.【解答】原不等式即为2-23ax ax>3-1，则有ax2-2ax>-1，即ax2-2ax+1>0对一切实数恒成立.当a=0时，满足题意；当a>0时，Δ=(-2a)2-4a<0，即a2-a<0，解得0<a<1.综上，实数a的取值范围是[0，1).【精要点评】本题将13转化为3-1，从而将问题转化为同底数幂的大小问题.解决指数不等式的关键是根据指数函数的单调性进行转化，转化为代数不等式.指数函数的综合应用例4已知函数f(x)=11-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭·x3(a>0且a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求实数a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立.【思维引导】对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形，恒成立问题可通过求最值解决.【解答】(1)由a x-1≠0，得a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.(2)对于定义域内任意x，有f(-x)=-11-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭(-x)3=11-2xxaa⎛⎫+⎪⎝⎭(-x)3=111-12xa⎛⎫--+⎪⎝⎭(-x)3=11-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭x3=f(x)，所以f(x)是偶函数.(3)当a>1时，若x>0，由指数函数的性质知a x>1，所以a x-1>0，1-1xa+12>0.又x>0时，x3>0，所以x311-12xa⎛⎫+⎪⎝⎭>0，即当x>0时，f (x )>0.又由(2)知f (x )为偶函数，即f (-x )=f (x )， 则当x<0时，-x>0， 有f (-x )=f (x )>0成立.综上可知，当a>1时，f (x )>0在定义域上恒成立.当0<a<1时，f (x )=3(1)2(-1)x x a x a +. 当x>0时，1>a x>0，a x+1>0，a x -1<0，x 3>0，此时f (x )<0，不满足题意；当x<0时，-x>0，f (-x )=f (x )<0，也不满足题意. 综上，实数a 的取值范围是(1，+∞).【精要点评】(1)判断此类函数的奇偶性，常常需要对所给式子变形，以达到所需要的形式，另外，还可利用f (-x )±f (x )，()(-)f x f x 来判断奇偶性.(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域的问题，是解决恒成立问题的常用方法.变式 已知定义域为R 的函数f (x )=1-22x x b a +++是奇函数.(1)求实数a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求实数k 的取值范围. 【解答】(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)=0，即-12ba ++=0，解得b=1，从而有f (x )=1-212x x a +++. 又由f (1)=-f (-1)，知-214a ++=-1-121a ++，解得a=2.经检验a=2符合题意，故a=2，b=1.(2)由(1)知f (x )=1-2122x x +++=-12+121x+.由上式易知f (x )在(-∞，+∞)上为减函数.又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0，等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因为f(x)是减函数，所以t2-2t>-2t2+k，即对一切t∈R有3t2-2t-k>0，从而Δ=4+12k<0，解得k<-1 3.因此所求k的取值范围为1,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【精要点评】(1)解决恒成立问题时常转化为求最值来解决.(2)指数不等式的解法：对于不等式a f(x)>a g(x)(a>0且a≠1)，可利用指数函数的单调性求解.当0<a<1时，a f(x)>a g(x)⇔f(x)<g(x)；当a>1时，a f(x)>a g(x)⇔f(x)>g(x).1.(2015·海门中学模考改编)设函数f1(x)=12x，f2(x)=x-1，f3(x)=x2，则f1(f2(f3(2017)))= .【答案】1 2017【解析】f1(f2(f3(2 017)))=f1(f2(2 0172))=f1((2 0172)-1)=((2 0172)-112)=2 017-1.2.(2015·东北师大附中)设函数f(x)=|3x-1|，c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，在关系式①3c>3b；②3b>3a；③3c+3a>2；④3c+3a<2中，一定成立的是.(填序号)(第2题)【答案】④【解析】如图，作出y=|3x-1|的图象如图中实线部分所示，由c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)，知3c<3b<3a且|3c-1|>|3a-1|>|3b-1|，转化为1-3c>3a-1>0，3c+3a<2，故填④.3.(2015·山东卷)已知函数f(x)=a x+b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[-1，0]，则a+b= .【答案】-3 2【解析】当a>1时，-1-1a ba b⎧+=⎨+=⎩，，无解；当0<a<1时，-1-1a ba b⎧+=⎨+=⎩，，解得b=-2，a=12，则a+b=12-2=-32.4.已知奇函数f(x)=-()1()m g xg x+的定义域为R，其中y=g(x)为指数函数且图象过点(2，9).(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立，求实数k的取值范围. 【解答】(1)设g(x)=a x(a>0且a≠1)，则a2=9，所以a=3或a=-3(舍去)，所以g(x)=3x，f(x)=-313xxm+.又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，即-111m+=0，所以m=1，所以f(x)=1-313xx +.(2)因为f(x)=1-313xx+=-31-231xx++=-1+231x+，所以f(x)为减函数.要使对任意的t∈[0，5]，f(t2+2t+k)+f(-2t2+2t-5)>0恒成立，即对任意的t∈[0，5]，f(t2+2t+k)>-f(-2t2+2t-5)恒成立.因为f(x)为奇函数，只需f(t2+2t+k)>f(2t2-2t+5)恒成立.又因为y=f(x)在R上单调递减，所以t2+2t+k<2t2-2t+5在t∈[0，5]时恒成立，所以k<t2-4t+5=(t-2)2+1在t∈[0，5]时恒成立.而当t∈[0，5]时，1≤(t-2)2+1≤10，所以k<1，即实数k的取值范围为(-∞，1).趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第19~20页.【检测与评估】第10课指数式与指数函数一、填空题1.(2015·海安中学期中)化简：()3232443·a··a b bba ba a>0，b>0)= .2.函数y=22-12x x⎛⎫⎪⎝⎭的值域是.3.若23-2x<0.53x-4，则x的取值范围是.4.若把y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得函数y=2x的图象，则f(x)= .5.若102x=25，则10-x= .6.函数f(x)=1-e|x|的大致图象是.(填序号)①②③④(第6题)7.(2014·佛山模拟)已知不论a为何值，函数y=(a-1)2x-2a的图象恒过定点，则这个定点的坐标是.8.(2014·广州联考)已知函数f(x)=xα+1(α∈Q)的定义域为[-b，-a]∪[a，b]，其中0<a<b，且f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，则f(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值的和是.二、解答题9.(2014·合肥联考)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x∈(0，1)时，f(x)=2-121xx .(1)求f(x)在区间[-1，1]上的解析式；(2)若存在x∈(0，1)，满足f(x)>m，求实数m的取值范围.10.若方程2a =|a x-1|(a >0，a ≠1)有两个实数解，求实数a 的取值范围.11.(2014·洛阳一模)已知函数f (x )=2-1a a (a x -a -x)(a >0且a ≠1).(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[-1，1]时，f (x )≥b 恒成立，求实数b 的取值范围.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知函数f (x )=3x，且f (a +2)=18，g (x )=3ax-4x的定义域为[0，1]. (1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )的单调区间，并判定函数的单调性； (3)求g (x )的值域.【检测与评估答案】第10课 指数式与指数函数1.ab 【解析】原式=1312322132·[()]·a b ab b ab a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1136322733·a b a ba b=a b .2. 12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， 【解析】g (x )=2x-x 2=-(x-1)2+1≤1，所以函数y=22-12x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值域为12∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，.3. (-∞，1) 【解析】原不等式等价于23-2x<24-3x ，所以3-2x<4-3x ，解得x<1.4.2x-2+2【解析】把y=f(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度，得函数y=2x的图象，即把y=2x的图象向右、向上分别平移2个单位长度，得函数y=f(x)的图象，即y=f(x)=2x-2+2.5.15【解析】由102x=25⇒(10x)2=25⇒10x=5⇒10-x=15.6.①【解析】函数f(x)=1-e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(0)=0，故填①.7.1-1-2⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】y=a12-2x⎛⎫⎪⎝⎭-2x，令2x-12=0，则y+2x=0，得x=-1，y=-12，所以这个定点的坐标为1-1-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，.8.-5或9【解析】设h(x)=f(x)-1=xα，则由题意可知h(x)为奇函数或偶函数.当h(x)为奇函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是-2，-5，从而f(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是-1，-4，其和为-5.当h(x)为偶函数时，由f(x)在区间[a，b]上的最大值为6，最小值为3，得h(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是5，2，从而f(x)在区间[-b，-a]上的最大值与最小值分别是6和3，其和为9.9.(1)当x∈(-1，0)时，-x∈(0，1).由f(x)为R上的奇函数，得f(-x)=--2-121xx+=1-221xx+=-f(x)，所以f(x)=2-121xx+，x∈(-1，0).又由f(x)为奇函数，得f(0)=0，f(-1)=-f(1)，在f(x+1)=f(x-1)中，令x=0，则f(-1)=f(1)，所以f(-1)=f(1)=0.故f (x )=2-1(-11)2101.x x x x ∈⎧⎪+⎨⎪=±⎩，，，，(2)因为x ∈(0，1)，所以f (x )=2-121x x +=21-221x x ++=1-221x+.又因为2x∈(1，2)，所以1-210213x⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，. 若存在x ∈(0，1)，满足f (x )>m ，则m<13.故实数m 的取值范围为1-3∞⎛⎫ ⎪⎝⎭，.10.当a>1时，函数y=|a x-1|的图象如图(1)所示，显然直线y=2a 与该图象只有一个交点，故a>1不合适；当0<a<1时，函数y=|a x -1|的图象如图(2)所示，要使直线y=2a 与该图象有两个交点，则0<2a<1，即0<a<12.图(1)图(2) (第10题)综上所述，实数a 的取值范围为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，.11.(1)函数的定义域为R ，关于原点对称.又因为f (-x )=2-1a a (a -x -a x)=-f (x )，所以f (x )为奇函数.(2)当a>1时，2-1a a >0，y=a x 为增函数，y=a -x为减函数，从而y=a x-a -x为增函数， 所以f (x )为增函数.当0<a<1时，2-1a a <0，y=a x 为减函数，y=a -x为增函数，从而y=a x-a -x为减函数， 所以f (x )为增函数.故当a>0且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增. (3)由(2)知f (x )在区间[-1，1]上为增函数， 所以f (-1)≤f (x )≤f (1)，所以f (x )min =f (-1)=2-1a a (a -1-a )=-1，所以要使f (x )≥b 在[-1，1]上恒成立，只需b ≤-1. 故实数b 的取值范围是(-∞，-1].12.(1) 因为f (x )=3x，f (a+2)=18， 所以3a+2=18，得3a=2， 所以g (x )=2x-4x，x ∈[0，1]. (2) g (x )=2x-4x=2x-(2x )2， 设t=2x，因为x ∈[0，1]，所以t ∈[1，2]，所以g (t )=t-t 2=-21-2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭+14，所以g (t )在[1，2]上单调递减. 因为t=2x为[0，1]上的增函数， 所以g (x )在[0，1]上为减函数.(3) 因为g(x)在[0，1]上为减函数，所以g(1)≤g(x)≤g(0)，即g(x)∈[-2，0]. 故g(x)的值域为[-2，0].。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册
一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
10指数运算和指数函数
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习10指数运算和指数函数【考点解读】 指数：B 级指数函数的图象与性质：B 级 【复习目标】1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；2．理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函数的图象。
活动一：基础知识 1．指数幂的概念（1）根式：如果一个数的n 次方等于a （1,)n n N >∈*,那么这个数叫做a 的n 次方根，也就是，若nx a =，则x 叫做 ，其中1,n n N >∈*，式子n a 叫做 ，这里n 叫做 ，a 叫做 。
（2）根式的性质：① 当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号 表示；② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正n 次方根用符号 表示，负的n 次方根用符号 表示。
正负两个n 次方根可以合写为 （a >0）；③ ()nn a = ；④ 当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n na a == ； ⑤ 负数没有偶次方根； ⑥ 0的任何次方根都是0. （3）分数指数幂的意义：① n ma = (0.,,1)a m n N n *>∈> ② nm a-= (0.,,1)a m n N n *>∈>（4）有理数指数幂的运算性质：① r s a a •= (0,,a r Q s Q >∈∈); ② rsa a ÷= (0,,a r Q s Q >∈∈); ③ ()r Sa = (0,,a r Q s Q >∈∈); ④ ()rab = (0,0,a b r Q >>∈) 2．指数函数（1）指数函数的定义： （2）指数函数(0,1)xy a a a =>≠的图像及性质如下表：图像性质 定义域为 值域为过定点单调性当x >0时，y >1,当x >0时，0<y <1,活动二：基础练习1．化简与计算：（1）(1a -（2； （3）10.50.25310.25()62527--+-；（4）44•；（5）1123()(3)a a a x y x •；（6；（7）22110.50.25332234[(3)(5)(0.008)(0.02)(0.32)]0.062589----+÷⨯÷。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解10 指数运算及指数函数
高考数学复习考点知识与结论专题讲解高考数学复习考点知识与结论专题讲解第10讲、指数运算及指数函数指数运算及指数函数通关一通关一、、根式的概念和性质根式的概念和性质通关二通关二、、指数函数(xy a a =>0图像定义域 值域 奇偶性 对称性 过定点 单调性 在函数值的变化情况当0x <时,y 底数对图像的影响 指数函数在同一坐标系图所示,其中①在y 轴右侧,图像从②在y 轴左侧,图像从0,且1)a ≠的图像与性质的图像与性质0＜a ＜1 a ＞R (0，＋∞) 非奇非偶函数函数y ＝a －x 与y ＝a x的图像关于y 轴对称 过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1R 上是减函数在R 上是增1;>当0x >时,01y <<当0x >时,y >坐标系中的图像的相对位置与底数大小关系如01c d <<<a b <<.图像从上到下相应的底数由大变小; 图像从下到上相应的底数由大变小.＞1上是增函数 1;当0x <时,0<y <1结论一结论一、、指数基本运算指数基本运算当0,0a b >>时,有:①(,)m n m na a a m n +⋅=∈R ;②(,)mm n n a a m n a −=∈R ;③()(,)n m mn a a m n =∈R ; ④()()m m m ab a b m =∈R ;⑤1()p p a p a−=∈Q;⑥)*,m n a m n =∈N . 【例1】化简并求值.(1)293425)−×11113342a b a b −【解析】(1)9222933431033422125)255252−−−− ×=××=×=;112232335433111271111233333342a b a b a b a ab b ab a b a b a b a b −−−⋅ ====⋅⋅. 【变式】化简并求值.(1)若2,4a b ==1a b ÷+−的值; (2)若11223x x−+=,求33222232x x x x −−+−+−的值;(3)设()11*201420142nna n −−=∈N,求)na 的值.1a b ÷−=−−==2,4a b====当时,原式12===.(2)先对所给条件等价变形:()21133111212222222327,13618x x x x x x x x x x−−−−−+=+−=−=+=++−=×=, ()2221227247x x x x−−+=+−=−=.故3322223183124723x xx x−−+−−==+−−.(3)因为11201420142n na−−=,所以21122014201412n na−++=a−= 1111112014201420142014220142014222n n n n nn−−−−+−×−==.所以)n a−=1120142014nn−=.结论二结论二、、指数比较大小指数比较大小1.对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断;2.对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断;3.对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,可先化为同底的两个幂,或者通过中间值来比较.【例2】设232555322,,555a b c===,则,,a b c的大小关系是()A.a c b>> B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】A【解析】对于函数25xy=,在其定义域上是减函数.因为3255>,所以32552255 < ,即b c <.在同一平面直角坐标系中画出函数35x y = 和函数25xy=的图像,可知22553255 > ,即a c >.从而a c b >>.故选A. 【变式】若221m n >>,则(). A.11m n> B.1122log log m n >C.ln()0m n −>D.1m n π−>【答案】D【解析】因为221m n >>,所以由指数函数的单调性可得m n >.因为,m n 的符号不确定,所以当0,0m n <<时,可排除A,B 选项;当3,12m n ==时,可排除C 选项;由指数函数的性质可判断1m n π−>正确.故选D.结论三结论三、、指数函数过定点指数函数过定点指数函数(01)x y a a a =>≠且的图像恒过点1(0,1),(1,),(1,a a−，且函数的图像经过第一、二象限.【例3】函数1()2(0,1)x f x a a a +=−>≠的图像必过定点__________. 【答案】(1,1)−−【解析】1()2(0,1)x f x a a a +=−>≠,令10x +=,则1x =−. 当1x =−时，(1)f −112121a −+=−=−=−,所以()f x 必过点(1,1)−−.【变式】已数函数24()1(0x f x a a −=−>且1)a ≠的图像恒过定点(,)P m n ,则m =__________.n =__________.【答案】2,0【解析】令240x −=,求得2,0x y ==,图像经过定点(2,0),即2,0m n ==.结论四结论四、、底数a 对指数函数图像的影响对指数函数图像的影响1．底数a 与1的大小关系决定了指数函数图像的“升降”：当1a >时，指数函数的图像“上升”；当01a <<时，指数函数的图像“下降”.2. 底数的大小决定了图像相对位置的高低:不论是1a >还是01a <<,在第一象限内，自上向下，图像对应的指数函数的底数逐渐变小.3. 作直线1x =所给指数函数图像相交,交点的纵坐标为该指数函数的底数, 由此可判断多个指数函数底数的大小关系.4. (01)x y a a a =>≠且在第一象限的图像, a 越大, 图像越靠近y 轴; a 越小, 图像越靠近x 轴.【例4】右图是指数函数(1) ,(2)x x y a y b ==, (3) x y c =, (4) x y d =的图像,则,,,a b c d 与1的大小关系为（）. A.1a b c d <<<< B.1b a d c <<<<C.1a b c d <<<<D.1a b d c <<<<【答案】B.【解析】有图像可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1，过点(1,0)作直线1x =, 在第一象限内分别与各曲线相交, 由图像可知1,1d c b a <<<<, 从而可得,,,a b c d 与1的大小关系为1b a d c <<<<.【变式】已知函数11()2x f x b −=+的图像不经过第一象限,则实数b 的取值范围是（）.A.1b <−B.1b −…C.2b −…D.2b <− 【答案】C【解析】因为函数()f x 为减函数, 所以若函数11()2x f x b −=+的图像不经过第一象限,则满足(0)20f b =+…, 即2b −….故选C .结论五结论五、、指数数数单调指数数数单调若1,x a y a >=在R 上是增函数;若01,x a y a <<=在R 上是増函数.要点诠释：指数增减要看清,抓着底数不放松，反正底数大于零，不等于1已表明. 底数若是大于1 , 图像从下向上增；底数0 到1之间，图像从上往下减. 无论函数增和减，图像都过(0,1)点. 【例5】函数(0x y a a =>且1)a ≠在[1,2]上的最大值比最小值大2a，则a 的值是__________. 【答案】12或32【解析】当01a <<时，函数x y a =在[1,2]上单调递减，故在[1,2]上的最大值为a ，最小值为2a , 则22a a a −=, 得22a a =.又01a <<，所以12a =.当1a >时，函数x y a =在[1,2]上单调递增,故在[1,2]上的最大值为2a , 最小值为a , 那么22a a a −=, 得232a a =.又1a >, 所以32a =.综上，a 的值是12或32.【变式】函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3 , 则a 等于（）.A.12B. 2C. 4D.14【答案】B【解析】解法一：当1a >时, x y a =为单调递增函数, 在[0,1]上的最值分别为maxy min (1),(0)1f a y f ====, 所以13a +=, 解得21a =>.当01a <<时, x y a =为单调递减函数,在[0,1]上的最值分别为max min (0)1,y f y ===(1)f a =, 所以13a +=, 解得21a =>, 这与01a <<矛盾. 综上, 2a =. 故选B .解法二：因为x y a =是单调函数, 所以x y a =必在区间[0,1]的端点处取得最大值和最小值,因此13a +=, 从而2a =. 故选B .。
高考数学复习考点知识讲解课件10 指数与指数函数
围是( C )
A．(2，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(0,2)
D．(0,1)
[解析] 在同一坐标系内分别作出函数 y＝x－1 1和 y＝2x－a 的图象，则由图知，当 a ∈(0,2)时符合要求．故选 C．
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(新教材) 高三总复习•数学
考点三 指数函数的性质及应用——多维探究
角度 1：比较指数式的大小
由(x
1 2
＋x－12
)3＝33，得
3
x2
＋3x
1 2
＋3x－12
＋x－32
3
＝27.∴x2
＋x－32
3
＝18，∴x2
＋x－32
－3＝
15. ∴x32x2＋＋xx－－232－－23＝13.
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(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
(1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注 意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
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(新教材) 高三总复习•数学
诊断自测 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
4 (1)
a2＋2ab＋b2＝
a＋b.( ×
)
(2)(－2)13＝6 －22.( × ) (3)若函数 f(x)是指数函数，且 f(1)>1，则 f(x)是增函数．( √ ) (4)若 a>1，则当 f(x)有最大值时，g(x)＝af(x)也有最大值．( √ )
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(新教材) 高三总复习•数学
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(3)y＝|ax－1|的图象是由 y＝ax 先向下平移 1 个单位，再将 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 过来得到的．
第10讲 指数与指数函数
第10讲 指数与指数函数【备选理由】 例1考查指数幂的运算法则与性质,考查学生的计算能力;例2考查比较大小,根据α的取值范围,明确三角函数sin α,cos α的取值范围,再利用指数函数和幂函数的单调性,可得答案;例3、例4、例5都是考查指数型函数的性质,其中例5涉及奇偶性、单调性及不等式恒成立问题,综合性较强,难度较大.例1 [配探究点一使用] 化简:a 43-8a 13b a 23+2√ab 3+4b 23÷(1-2√b a 3)×√a 3(a>0,b>0)= a . [解析]a 43-8a 13b a 23+2√ab 3+4b 23÷(1-2√b a 3)×√a 3=a 13(a -8b )(a 13)2+2a 13b 13+(2b 13)2÷(1-2·b 13a 13)·a 13=a 13(a -8b )(a 13)2+2a 13b 13+(2b 13)2·a 13a 13-2b 13·a 13=a 13+13+13(a -8b )(a 13)3-(2b 13)3=a.例2 [配例2使用] [2024·广东深圳人大附中月考] 已知α∈(π4,π2),a=(cos α)sin α,b=(sin α)cos α,c=(cos α)cos α,则 ( A )A .b>c>aB .c>b>aC .c>a>bD .a>b>c[解析] 因为α∈(π4,π2),所以0<cos α<sin α<1.因为y=(cos α)x 在(0,1)上单调递减,所以c=(cos α)cos α>(cos α)sin α=a.因为幂函数y=x cos α在(0,1)上单调递增,所以c=(cos α)cos α<(sin α)cos α=b ,故b>c>a.故选A .例3 [配例4使用] 已知函数f (x )=(3x -3-x )x+x 13,则f (8)-f (-8)= 4 .[解析] 设g (x )=(3x -3-x )x ,因为g (-x )=(3-x -3x )(-x )=g (x ),所以g (x )为偶函数,所以f (8)-f (-8)=g (8)+813-g (-8)-(-8)13=2-(-2)=4.例4 [配例4使用] 函数y=(12)2x -8·(12)x +17的单调递增区间为 [-2,+∞) ,单调递减区间为 (-∞,-2) .[解析]设t=(12)x >0,则y=t 2-8t+17=(t -4)2+1在(0,4]上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.令(12)x ≤4,得x ≥-2,令(12)x >4,得x<-2.因为函数t=(12)x 在R 上单调递减,所以函数y=(12)2x -8·(12)x +17的单调递增区间为[-2,+∞),单调递减区间为(-∞,-2).例5 [配例4使用] [2023·重庆质检] 已知函数f (x )=2x -a 2x +1是定义在R 上的奇函数,若不等式f [mf (x )]+f (2x -1-a )≤0对任意的x ∈(-∞,1]恒成立,则实数m 的取值范围是 [-2,0] .[解析] 因为函数f (x )=2x -a 2x +1是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=1-a 2=0,解得a=1,此时f (x )=2x -12x +1.因为f (-x )=2-x -12-x +1=1-2x 1+2x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,满足题意,所以f (x )=2x -12x +1=2x +1-22x +1=1-22x +1,因为y=2x 在R 上单调递增,所以y=22x +1在R 上单调递减,所以f (x )=1-22x +1在R 上单调递增.由f [mf (x )]+f (2x -1-a )≤0,可得f [mf (x )]≤-f (2x -2),可得f [mf (x )]≤f (2-2x ),又f (x )在R 上单调递增,所以mf (x )≤2-2x ,则m ·2x -12x +1≤2-2x对任意的x ∈(-∞,1]恒成立.令t=2x -1,则m ·t t+2≤1-t (*).当0<x ≤1时,t=2x -1∈(0,1],不等式(*)可化为m ≤(1-t )(t+2)t =-t+2t -1,令g (t )=-t+2t-1,t ∈(0,1],则g (t )在(0,1)上单调递减,所以g (t )min =g (1)=0,所以m ≤0;当x=0时,t=2x -1=0,不等式m ·t t+2≤1-t 显然成立;当x<0时,t=2x -1∈(-1,0),不等式(*)可化为m ≥(1-t )(t+2)t =-t+2t -1,令h (t )=-t+2t-1,t ∈(-1,0),则h (t )在(-1,0)上单调递减,又h (-1)=-2,所以m ≥-2.综上,m 的取值范围为[-2,0].。
4.2 指数函数(共2课时课件)(人教A版2019高一数学必修第一册)
第四章 指数函数与对数函数
4.2.2 指数函数的图象与性质
高中数学/人教A版/必修一
……
4.2.2 指数函数的图象与性质
思维篇
素养篇
知识篇
让我们回顾一下前面研究幂函数性质的过程和
方法：
定义域？
值
图象
域？
单调性？
奇偶性？
过定点？
1 指数函数的图象
首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函
令x=0.5n, 则n=2x
所以f(x)=3×4x
方法总结：连续两项数值之比为常数，可通过连乘得
到指数增长（衰减）模型.
课堂小结
一、本节课学习的新知识
指数函数的概念
指数增长（衰减）模型
课堂小结
二、本节课提升的核心素养
数学抽象
数学建模
数据分析
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
转化与化归
方程思想
观察表格中的数据
比较两地景区游客人次每
年的变化情况
发现了怎样的变化规律？
时间/
A地景区
年份 人次/
B地景区
2001
2002
万次
600
609
人次/
万次
278
309
2003
620
344
2004
631
383
2005
641
427
2006
650
475
2007
2008
661
671
528
588
2009
681
655
范围是
答案：(1)4
.
(2)(3,4)∪(4,+∞)
高三数学知识点总结10：指数函数与对数函数
1.n 次根式（1）概念：如果一个实数x 满足),,1*∈>=N n n a x n（则称x 叫做a 的n 次方根.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.（2）性质：正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0； 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （3）两个重要公式①⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-≥==.,)0()0(,为偶数为奇数，n a a a a a n a a n n 特别地：a a =2. ②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）2.有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正分数指数幂：n m nm a a =（,,,0*∈>N n m a 且).1>n②负分数指数幂：nmnm nm a aa11==-（,,,0*∈>N n m a 且).1>n③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. （2）有理数指数幂的性质（可推广到实数） ①sr s r aa a += ),,0(Q s r a ∈>②rss r a a =)(),,0(Q s r a ∈>③rrrb a ab =)( ),0,0(Q r b a ∈>>.④=s r aa sr a -),,0(Q s r a ∈>4.重要模型(1)1212+-=x y 的定义域为,R 值域为),1,1(-奇函数(证明：定义域为R 关于原点对称，)(21211212)(x f x f x x x x -=+-=+-=---，在R 上单调增（)0)12(2ln 2)(21'>+=+x x x f (2)1212-+=x x y 的定义域为},0|{≠x x 值域为),,1()1(+∞--∞ ，奇函数，单调减区间为 )0,∞-（和），（∞+0.1.对数的概念（1）对数的定义：如果0(>=a N a b且),1≠a 那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作,log N b a =其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，当10=a 时时叫常用对数，记作 ,lg N b =当718.2≈=e a 时叫自然对数，记作.ln N b = （2）对数的常用关系式（d c b a ,,,均大于0且不等式1） ①01log =a ；②1log =a a ；③15lg 2lg =+；④对数恒等式：N aNa =log ，b a b a =log ； ⑤换底公式：.log log log a b bc c a =推广：.log log log log ,log 1log d d c b ab ac b a b a =⋅⋅= 2.对数的运算性质如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 那么：（1）N M N M a a a log log )(log +=⋅；（2）N M NMa a alog log log -= ； （3）M n M a na log log =)(R n ∈；（4）M mnM a n a mlog log =.3.对数函数的概念（1）把)1,0(log ≠>=a a x y a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是），（∞+0. （2）函数)1,0(log ≠>=a a x y a 是指数函数x a y =的反函数，函数xa y =与x y a log =的图象关于x y =对称. 4.对数函数的图象与性质 x y a log = 1>a10<<a图象定义域 ），（∞+0 值域 )∞+∞-，（定点 ），（01 单调性在），（∞+0上单调增函数 在），（∞+0上单调减函数 大小 当1>x 时，∈y ），（∞+0 当10<<x 时，∈y )0,∞-（ 当1>x 时，∈y )0,∞-（ 当10<<x 时，∈y ），（∞+0 5.重要模型：（1）x xx f -+=11log )(2定义域),1,1-（值域为R ，奇函数，在)1,1-（上单调增函数.（2）x x f 21)1(9log )(x9-+=定义域为,R 值域为),2[log 9+∞，偶函数，在）（0,∞-上单调减，在），（∞+0上单调增. 6.两个特征图： （1） （2）（1）b a d c >>>； （2）c d a b >>>.。
高一数学指数函数的概念、图象与性质(解析版)
专题32 指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R. 温馨提示：指数函数解析式的3个特征： (1)底数a 为大于0且不等于1的常数． (2)自变量x 的位置在指数上，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2．指数函数的图象和性质a 的范围a ＞10＜a ＜1图象性质定义域 R 值域(0，＋∞)过定点 (0,1)，即当x ＝0时，y ＝1单调性 在R 上是增函数在R 上是减函数奇偶性 非奇非偶函数对称性函数y ＝a x 与y ＝a －x 的图象关于y 轴对称(1)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a >1，还是0<a <1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y 轴．当a >b >1时，①若x >0，则a x >b x >1；②若x <0，则1>b x >a x >0. 当1>a >b >0时，①若x >0，则1>a x >b x >0；②若x <0，则b x >a x >1. (2)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x 轴上方．(3)当a >1时，x →－∞，y →0；当0<a <1时，x →＋∞，y →0.(其中“x →＋∞”的意义是“x 趋近于正无穷大”)题型一 指数函数的概念1．下列各函数中，是指数函数的是( )A ．y ＝(－3)xB ．y ＝－3xC ． y ＝3x －1 D ．y ＝⎝⎛⎭⎫13x [解析]由指数函数的定义知a >0且a ≠1，故选D. 2．下列函数一定是指数函数的是( )A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝x 3 C ．y ＝3·2xD ．y ＝3－x[解析]由指数函数的定义可知D 正确． 3．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1. A ．0个 B ．1个 C ．3个D ．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案] B 4．下列函数：①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析]形如“y ＝a x (a >0，且a ≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B. 5．下列函数中，是指数函数的个数是( )①y ＝(－8)x；②y ＝2x 2－1；③y ＝a x ；④y ＝2·3x .A ．1B ．2C ．3D ．0[解析] (1)①中底数－8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量x ，而是x 的函数，所以不是指数函数； ③中底数a ，只有规定a >0且a ≠1时，才是指数函数； ④中3x 前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数，故选D. 6．指出下列哪些是指数函数．(1)y ＝4x ；(2)y ＝x 4；(3)y ＝－4x ；(4)y ＝(－4)x ；(5)y ＝πx ；(6)y ＝4x 2；(7)y ＝x x ；(8)y ＝(2a －1)x ⎝⎛⎭⎫a ＞12，且a ≠1. [解析] (2)是四次函数；(3)是－1与4x 的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x 不是常数． 它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数． 7．已知函数f (x )＝(2a －1)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________．[解析]由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，解得a >12，且a ≠1，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)． 8．函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( )A ．a ＝1或a ＝3B ．a ＝1C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析]由指数函数的概念可知，⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2＝1，a >0，a ≠1，得a ＝3.9．函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x (a >0，且a ≠1)是指数函数，则m ＝________. [解析]∵函数f (x )＝(m 2－m ＋1)a x 是指数函数，∴m 2－m ＋1＝1，解得m ＝0或1. 10．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x 是指数函数，则a 的值是( )A ．4B ．1或3C ．3D ．1[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.11．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x 是指数函数，则a ＝________. [解析]由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝1.12．指数函数f (x )＝a x 的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． [解析]由题意知4＝a 2，所以a ＝2，因此f (x )＝2x ，故f (－3)＝2－3＝18.13．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________．[解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x＋3，所以f (－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2＋3＝4＋3＝7. 14．已知函数f (x )为指数函数，且f ⎝⎛⎭⎫－32＝39，则f (－2)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，由f ⎝⎛⎭⎫－32＝39得a －32＝39，所以a ＝3，又f (－2)＝a －2， 所以f (－2)＝3－2＝19.15．若函数f (x )是指数函数，且f (2)＝9，则f (－2)＝________，f (1)＝________. [解析]设f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，∵f (2)＝9，∴a 2＝9，a ＝3，即f (x )＝3x . ∴f (－2)＝3－2＝19，f (1)＝3.16．若点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，则a 的值为( )A. 6 B ．1 C ．2 2D ．0[解析]选A 点(a,27)在函数y ＝(3)x 的图象上，∴27＝(3)a ， 即33＝3a 2，∴a2＝3，解得a ＝6，∴a ＝ 6.故选A.17．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax ，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)，则a ＝________，若g (x )＝4－x－2， 且g (x )＝f (x )，则x ＝________.[解析]因为函数的图象过点(－1,2)，所以⎝⎛⎭⎫12－a＝2，所以a ＝1，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， g (x )＝f (x )可变形为4－x －2－x －2＝0，解得2－x ＝2，所以x ＝－1. 18．已知f (x )＝2x ＋12x ，若f (a )＝5，则f (2a )＝________.[解析]因为f (x )＝2x ＋12x ，f (a )＝5，则f (a )＝2a ＋12a ＝5.所以f (2a )＝22a ＋122a ＝(2a )2＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝⎝⎛⎭⎫2a ＋12a 2－2＝23. 19．若f (x )满足对任意的实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2020)f (2019)＝( )A ．1010B ．2020C ．2019D ．1009[解析]不妨设f (x )＝2x ，则f (2)f (1)＝f (4)f (3)＝…＝f (2020)f (2019)＝2，所以原式＝1010×2＝2020.题型二 指数函数的图象及其应用1．y ＝⎝⎛⎭⎫34x的图象可能是( )[解析]0<34<1且过点(0,1)，故选C.2．函数y ＝3－x 的图象是( )A B C D[解析]∵y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，∴B 选项正确．3．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )[解析]y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0.2x ，x <0，画出图象，可知选C. 4．函数y ＝a －|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D[解析]y ＝a－|x |＝⎝⎛⎭⎫1a |x|，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A. 5．函数y ＝－2－x 的图象一定过第________象限．[解析]y ＝－2－x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x 关于x 轴对称，一定过第三、四象限． 6．函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0[解析]从曲线的变化趋势，可以得到函数f (x )为减函数，从而有0<a <1；从曲线位置看， 是由函数y ＝a x (0<a <1)的图象向左平移|－b |个单位长度得到，所以－b >0，即b <0. 7．已知0<m <n <1，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )[解析]由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交， 交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.8．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( )A ．第一、二、三象限B ．第一、三、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限[解析]A,∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．]9．若函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )A ．0<a <1，且b >0B ．a >1，且b >0C ．0<a <1，且b <0D ．a >1，且b <0[解析]函数y ＝a x ＋b －1(a >0，且a ≠1)的图象是由函数y ＝a x 的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a ∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y ＝a x (0<a <1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b －1<－1⇒b <0.故选C.10．若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图象经过第一、第三和第四象限，则( )A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析]选B,y ＝a x (a ＞0)的图象在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图象经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图象向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图象向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图象向下移动不超过一个单位时，图象经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图象恰好经过原点和第一、三象限，欲使图象经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B. 11．函数f (x )＝a x 与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )[解析]当a >1时，函数f (x )＝a x 单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A. 12．二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x的图象可能是( )[解析]二次函数y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2－b 24a ，其图象的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，－b 24a ，由指数函数的图象知0<ba<1， 所以－12<－b 2a <0，再观察四个选项，只有A 中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．13．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是()[解析]由函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象可知0<a<1，b<－1，所以函数g(x)＝a x＋b是减函数，排除选项C、D；又因为函数图象过点(0,1＋b)(1＋b<0)，故选A.14．如图是指数函数①y＝a x，②y＝b x，③y＝c x，④y＝d x的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<d B．b<a<1<d<c C．1<a<b<c<d D．a<b<1<d<c[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．15．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．[解析]作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.16．函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝a x－3＋3的图象过定点(3,4)．17．函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2a x＋3＋2(a>0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．18．当a>0，且a≠1时，函数f(x)＝a x＋1－1的图象一定过点()A．(0,1) B．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)[解析] 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)．19．已知函数y ＝2a x －1＋1(a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则m ＋n ＝( )A ．1B ．3C ．4D ．2[解析]选C,由题意知，当x ＝1时，y ＝3，故A (1,3)，m ＋n ＝4. 20．函数y ＝a 2x ＋1＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． [解析]令2x ＋1＝0得x ＝－12，y ＝2，所以函数图象恒过点⎝⎛⎭⎫－12，2. 21．若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则( )A ．－1≤m ＜0B ．0≤m ≤1C ．0＜m ≤1D ．m ≥0[解析]易知y ＝2－|x |－m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m .若函数y ＝2－|x |－m 的图象与x 轴有交点，则方程⎝⎛⎭⎫12|x |－m ＝0有解， 即m ＝⎝⎛⎭⎫12|x |有解．∵0＜⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，∴0＜m ≤1. 22．已知f (x )＝2x 的图象，指出下列函数的图象是由y ＝f (x )的图象通过怎样的变化得到：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝2x －1；(3)y ＝2x ＋1；(4)y ＝2－x ；(5)y ＝2|x |. [解析] (1)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向左平移1个单位得到．(2)y ＝2x－1的图象是由y ＝2x 的图象向右平移1个单位得到．(3)y ＝2x ＋1的图象是由y ＝2x 的图象向上平移1个单位得到．(4)∵y ＝2－x 与y ＝2x 的图象关于y 轴对称，∴作y ＝2x 的图象关于y 轴的对称图形便可得到y ＝2－x的图象．(5)∵y ＝2|x |为偶函数，故其图象关于y 轴对称，故先作出当x ≥0时，y ＝2x 的图象，再作关于y 轴的对称图形，即可得到y ＝2|x |的图象．23．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a ，b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根，求m 的取值范围．[解析] (1)f (x )的图象过点(2,0)，(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，又因为a ＞0，且a ≠1，所以a ＝3，b ＝－3.(2)f (x )单调递减，所以0＜a ＜1，又f (0)＜0.即a 0＋b ＜0，所以b ＜－1. 故a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(－∞，－1)．(3)画出|f (x )|＝|(3)x －3|的图象如图所示，要使|f (x )|＝m 有且仅有一个实数根， 则m ＝0或m ≥3.故m 的取值范围为[3，＋∞)∪{0}．题型三 指数函数的定义域与值域1．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4 ; (3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x | ; (4)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3；(5)y ＝4x ＋2x ＋1＋2. [解析] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30，因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]．因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x <1， 所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4. 所以函数y ＝21x －4的定义域为{x |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4 ≠1，即函数y ＝21x －4 的值域为{y |y >0，且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0.所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．因为x ＝0，所以⎝⎛⎭⎫23－|x | ＝⎝⎛⎭⎫230＝1，即函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}． (4)定义域为R.∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]． (5)因为对于任意的x ∈R ，函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2都有意义，所以函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的定义域为R. 因为2x >0，所以4x ＋2x ＋1＋2＝(2x )2＋2×2x ＋2＝(2x ＋1)2＋1>1＋1＝2， 即函数y ＝4x ＋2x ＋1＋2的值域为(2，＋∞)． 2．(1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x -的定义域与值域；(2)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，x ∈[0,2]的最大值和最小值及相应的x 的值． [解析] (1)由x －2≥0，得x ≥2，所以定义域为{x |x ≥2}．当x ≥2时，x －2≥0， 又因为0＜13＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x －2的值域为{y |0＜y ≤1}．(2)∵y ＝⎝⎛⎭⎫14x －1－4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2，∴y ＝4·⎝⎛⎭⎫14x －4·⎝⎛⎭⎫12x ＋2.令m ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则⎝⎛⎭⎫14x ＝m 2. 由0≤x ≤2，知14≤m ≤1.∴f (m )＝4m 2－4m ＋2＝4⎝⎛⎭⎫m －122＋1. ∴当m ＝12，即当x ＝1时，f (m )有最小值1；当m ＝1，即x ＝0时，f (m )有最大值2.故函数的最大值是2，此时x ＝0，函数的最小值为1，此时x ＝1. 3．函数y ＝2x －1的定义域是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.[答案] C 4．函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________．[解析]由1－⎝⎛⎭⎫12x≥0得⎝⎛⎭⎫12x ≤1＝⎝⎛⎭⎫120，∴x ≥0，∴函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域为[0，＋∞)．5．若函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( )A ．a >0B ．a <1C ．0<a <1D ．a ≠1[解析]由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0<a <1.6．若函数f (x )＝a x －a 的定义域是[1，＋∞)，则a 的取值范围是( ) A ．[0,1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．(2，＋∞)[解析]∵a x －a ≥0，∴a x ≥a ，∴当a ＞1时，x ≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a ＞1. 7．y ＝2x ，x ∈[1，＋∞)的值域是( )A ．[1，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析]y ＝2x 在R 上是增函数，且21＝2，故选B. 8．函数y ＝16－4x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4)[解析]要使函数有意义，须满足16－4x ≥0.又因为4x ＞0，所以0≤16－4x ＜16， 即函数y ＝16－4x 的值域为[0,4)．9．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x(x ≥8)的值域是( )A ．R B.⎝⎛⎦⎤0，1256 C.⎝⎛⎦⎤－∞，1256 D.⎣⎡⎭⎫1256，＋∞[解析]因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝⎛⎭⎫12x≤⎝⎛⎭⎫128＝1256. 10．函数y ＝1－2x ，x ∈[0,1]的值域是( )A ．[0,1]B ．[－1,0] C.⎣⎡⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤－12，0 [解析]∵0≤x ≤1，∴1≤2x ≤2，∴－1≤1－2x ≤0，选B.11．已知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________．[解析]∵y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3，n ＝⎝⎛⎭⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 12．函数y ＝⎝⎛⎭⎫1222x x －＋的值域是________． [解析]设t ＝－x 2＋2x ＝－(x 2－2x )＝－(x －1)2＋1≤1，∴t ≤1.∵⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫121＝12，∴函数值域为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 13．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1的值域是________．[解析]∵x 2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2，又y >0，∴函数值域为(0,2]．14．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，－2－x ，x >0，则函数f (x )的值域是________． [解析]由x <0，得0<2x <1；由x >0，∴－x <0,0<2－x <1，∴－1<－2－x <0，∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．15．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解析](1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，∴a 2－1＝12，则a ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1，于是0<⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0,2]．16．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a <b ，b ，a ≥b ，则函数f (x )＝3x ⊙3－x 的值域是________． [解析]当x >0时，3x >3－x, f (x )＝3－x ，f (x )∈(0,1)；当x ＝0时，f (x )＝3x ＝3－x ＝1； 当x <0时，3x <3－x ，f (x )＝3x ，f (x )∈(0,1)．综上， f (x )的值域是(0,1]．17．函数f (x )＝3x 3x ＋1的值域是________．[解析]数y ＝f (x )＝3x 3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x ＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)． 18．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[解析]当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝2，a 2－1＝0无解． 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝0，a 2－1＝2，解得a ＝ 3. 综上，a 的值为 3.19．已知f (x )＝9x －2×3x ＋4，x ∈[－1,2]．(1)设t ＝3x ，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值；(2)求f (x )的最大值与最小值．[解析](1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x 在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9， 故t 的最大值为9，t 的最小值为13. (2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9， 故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.。
excel以10为底指数函数公式
Excel是一款广泛应用于办公和数据分析领域的电子表格软件，它提供了丰富的数学和统计函数，其中包括指数函数。
在Excel中，我们可以使用指数函数来计算以指数为底的数的幂。
本文将介绍Excel中以10为底的指数函数公式，并通过具体实例来展示其用法和计算方法。
1. 指数函数概述指数函数是数学中常见的一种函数形式，通常写作y = a^x，其中a 为底数，x为指数，y为幂。
在Excel中，我们经常会用到以10为底的指数函数，这种函数形式通常表示为10^x。
2. Excel中以10为底的指数函数公式在Excel中，以10为底的指数函数通常使用函数“10^x”来表示。
具体的公式格式为：```=10^x```其中，x为指数的取值。
这个公式表示计算10的x次幂的结果。
3. 以10为底的指数函数的计算方法要使用Excel中以10为底的指数函数来计算指定指数的数值，我们可以按照如下步骤进行操作：- 在需要计算结果的单元格中输入公式“=10^x”，其中x为指定的指数值。
- 按下回车键，Excel将会立即计算出10的x次幂的结果并显示在该单元格中。
4. 以10为底的指数函数的应用实例为了更好地理解以10为底的指数函数在Excel中的使用方法，我们可以通过一个具体的实例来进行演示。
假设我们需要计算10的平方、立方和四次方的结果，我们可以按照以下步骤在Excel中进行操作：- 在一个空白的工作表中选择三个单元格，分别标记为A1、A2和A3。
- 在A1单元格中输入公式“=10^2”，按下回车键得到结果100。
- 在A2单元格中输入公式“=10^3”，按下回车键得到结果1000。
- 在A3单元格中输入公式“=10^4”，按下回车键得到结果xxx。
通过以上实例，我们可以清楚地看到，以10为底的指数函数公式在Excel中的简单而直观的计算方法。
5. 总结以10为底的指数函数在Excel中是一个非常基础但实用的数学计算工具，它可以帮助用户轻松地进行各种指数运算。
高中数学10个函数图像
高中数学10个函数图像线性函数是最简单的函数，它表示把一个数值转换为另一个数值的公式。
它以一条直线的形式表示，如y=mx+b，其中m表示斜率，b 表示y轴（垂直）截距。
当图像为一条直线时，可以确定是线性函数。
二、二次函数二次函数也被称为抛物线函数，它可以用y=ax2+bx+c表示，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项，当图像为一条抛物线时，则可以确定为二次函数。
三、三次函数三次函数可以表示为y=ax3+bx2+cx+d，其中a为三次项系数，b 为二次项系数，c为一次项系数，d为常数项，当图像为一条S形曲线时，则可以确定为三次函数。
四、正弦函数正弦函数可表示为y=asinx+b，其中a为正弦函数的振幅，b为正弦函数的相位移动量，当图像为一条波形曲线时，则可以确定为正弦函数。
五、余弦函数余弦函数可表示为y=acosx+b，其中a为余弦函数的振幅，b为余弦函数的相位移动量，当图像为一条波形曲线时，则可以确定为余弦函数。
六、指数函数指数函数可表示为y=aex+b，其中a为指数函数的指数，b为指数函数的幂次，当图像为一条指数函数曲线时，则可以确定为指数函数。
七、对数函数对数函数可表示为y=alogx+b，其中a为对数函数的底，b为对数函数的位移量，当图像为一条对数函数曲线时，则可以确定为对数函数。
八、双曲函数双曲函数可表示为y=a/cosx+b，其中a为双曲函数的振幅，b为双曲函数的相位移动量，当图像为一条椭圆形的双曲线时，则可以确定为双曲函数。
九、正切函数正切函数可表示为y=atannx+b，其中a为正切函数的振幅，b为正切函数的位移量，当图像为一条波形状曲线时，则可以确定为正切函数。
十、反正切函数反正切函数可表示为y=atan2x+b，其中a为反正切函数的振幅，b为反正切函数的位移量，当图像为一条波形状曲线时，则可以确定为反正切函数。
高中数学中10个函数图像不仅对数学学习具有极大的意义，而且对我们日常生活也有着重要的指导作用，如物价波动、货币贬值等，它们都可以用函数图像来分析。
高三数学一轮复习(10)指数与指数函数
指数与指数函数 总第10学案复习目标：理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
复习重点：理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的性质。
复习难点：会用指数函数模型解决简单的实际问题。
1. 化简：()02123112972)71()027.0(-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+---- =________ 2．函数)10(32≠<-=-a a a y x 且必过定点_______3.4. 已知2.02=a ，6.02.04.04.0==c b ，，则c b a ，，的大小关系为________二、交流质疑 精讲点拨例1. 若32121=+-x x ，求23222323-+-+--x x x x 的值变式训练：若122-=x a ，求x x xx aa a a --++33的值例2．已知,093109≤+⋅-x x 求函数2214411+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-xx y 的最值变式训练1：设a >1，且函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值变式训练2：要使函数 a y xx 421++=在(]1,∞-∈x 上恒大于零，求实数a 的取值范围三．当堂反馈 拓展迁移1. 已知312.03212,31,log =⎪⎭⎫ ⎝⎛==c b a ，则a ，b ，c 的大小关系为________． 2. 已知2713=x a ，则=++--x x x x a a a a 22________ 3.指数函数xa y =在[]1,1-上的最大值和最小值的差是1，则a =________4. 若函数()1222-=+-a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________总第10教案作业（1）1. 若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为__________2. 若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是___________3.当0>x 时，函数x a x f )1()(2-=的值总大于1，则实数a 的取值范围是 .4.若函数)10(1)(≠>-=a a a x f x ，的定义域和值域都是[]2,0，则实数a 等于 .5.已知实数a 、b 满足等式ba )31()21(=，下列五个关系式：① a b <<0 ②0<<b a ③ b a <<0 ④0<<a b ⑤b a =.其中不可能成立的有 （填序号）6.已知2()3(1)32x xf x k =-+⋅+,当x R ∈时,()f x 恒为正值,则k 的取值范围_______7.若关于x 的方程a a x 21=-)10(≠>a a ，有两个不等实根，则a 的取值范围是_______8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤-=-0,20,122x x x x x f x ，若()()a f a f >-22，则实数a 的取值范围是 .9．设10<<a ，函数()()222log --=x x a aa x f ，试求使()0<x f 的x 的取值范围。
十个常用数学函数公式
十个常用数学函数公式1. 线性函数：y = mx + c，其中 m 是斜率，c 是 y 轴截距。
2.幂函数：y=x^n，其中n是常数。
3.指数函数：y=a^x，其中a是底数，x是指数。
4. 对数函数：y = log_a x，其中 a 是底数，x 是对数。
5. 三角函数：sin(x), cos(x), tan(x)，常用来描述角度和周期性。
6. 反三角函数：arcsin(x), arccos(x), arctan(x)，常用来求解角度。
7. 椭圆函数：y = a cos(bx) 或 y = a sin(bx)，常用来描述周期性。
8.高斯函数：y=e^(-x^2)，常用在概率分布和统计学中。
9.函数逼近：泰勒级数，用一系列多项式逼近函数的方法。
10.分段函数：根据不同的条件，给出不同的函数表达式，常用于物理和工程问题的建模。
这些常用数学函数公式在科学、工程、数学和计算机科学等领域中起着重要的作用。
它们有着广泛的应用，以下是一些实际应用的示例：1.线性函数可用于描述物体的速度、加速度与时间的关系。
在工程中，线性函数也可以用来进行线性回归分析，预测未来的趋势。
2.幂函数在物理学中常用来描述力、质量和距离之间的关系。
例如，牛顿万有引力定律中的F=G(m1m2/r^2)，其中F是引力，m1、m2是质量，r是距离。
3.指数函数常见于自然增长和衰减的过程。
例如，放射性衰变中的核素数量随时间的变化常用指数函数来表示。
4.对数函数在应用中常用于描述复杂度和增长率。
例如，在算法分析中，对数函数可以描述一些算法的运行时间。
5.三角函数在几何学、物理学和工程学中广泛应用。
例如，通过正弦函数和余弦函数可以描述物体的周期性运动。
6.反三角函数可用于计算角度，例如在三角学和几何学中。
在导航和图像处理中，反三角函数也常用于确定对象在图像中的位置。
7.椭圆函数在电子工程和天体物理学中使用广泛。
例如，通过椭圆函数可以描述地球的形状和轨道。
10.指数与指数函数
§2.8 指数与指数函数【基础知识梳理】1. 正整指数幂的运算法则：=⋅nma a =nm a )( =n maa （m>n,0≠a ）(ab)m = 整数指数幂：规定=0a =-n a 2.根式与分数指数幂：（1）n 次方根：如果存在实数x ，使得 ，则x 叫做a 的n 次方根；0的任何次方根都是 ；=n n a )( )(*N n ∈；当n 为奇数时，=n n a . 当n 为偶数时=n na ；（2）分数指数幂：正数的正分数指数幂的意义是nm a = ；正数的负分数指数幂的意义是：=-nma ；0的正分数指数幂是 ；0的负分数指数幂 .（3）有理指数幂的运算性质：设a>0,b>0,=βαa a ；=βα)(a ；=α)(ab . （4）无理指数幂；当a>0，α为任意实数时，实数指数幂αa 都是有意义的，对任意实数值βα,上述有理指数幂的运算法则 .3.指数函数：（1）定义：一般地，函数x a y =（a>0且a 1≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，【基础知识检测】1.化简=-⋅-⋅---)65)(41(561312112132y x y x yx________. NO.102.化简=+++--212112mmm m ________.3.1.08.0- 2.08.0-（填”<”或”>”）4.若指数函数x a y =的反函数图象经过点（2，-1）,则a= .5.已知0<a<b<1，则b a b a b b a a ,,,中最大的是 ;最小的是 .6.若函数x a y =+b-1（a>0且a 1≠）的图象经过第二，三，四象限，则一定有 ( ) A.0<a<1且b>0 B.a>1且b>0 C. 0<a<1且b<0 D. a>1且b<0【典型例题探究】例1：求值（1）10175.0231)32(10)55.5(|3|256)61()027.0(------+--+--（2）)0(313373329≠⋅÷⋅--a a a a a例2：函数f(x)=x 2-bx+c 满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b x )与f(c x )的大小关系是 （ ） A.)()(x x c f b f ≤ B. )()(x x c f b f ≥ C. )()(x x c f b f > D.大小关系随x 的不同而不同例3: 已知函数xx xx x f --+-=10101010)(，（1）判断f(x)的奇偶性; （2）求f(x)的定义域和值域； （3）判断f(x)的单调性.例4：已知函数x x f 3)(= ，且f(a+2)=18,g(x)=3ax -4x 的定义域为区间[0，1].（1）求g(x)的解析式；（2）判断g(x)的单调性；（3）求g(x)的值域.【巩固练习】A 组1. 若a>1,b>0,且22=+-b b a a ，则b b a a --的值等于 （ ） A.6 B.2或-2 C.-2 D.22.化简44)1(a a -+的结果是 （ ） A.1 B.2a-1 C.1或2a-1 D.03. 下列函数中值域是),0(+∞的是 （ ） A.xy 12= B.12-=x y C. 12+=x y D.x y -=2)21(4.设f(x)=93+x ,则)(1x f -的定义域是 （ ） A.),0(+∞ B.),9(+∞ C.),10(+∞ D.),(+∞-∞5.设5.1348.029.01)21(,8,4-===y y y ，则 （ ）A.213y y y >>B.312y y y >>C.321y y y >>D.231y y y >>6. 函数y ＝a |x|(a ＞1)的图像是 （ ）7. 设|13|)(-=x x f ,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系中一定成立的是（ ） A.3c >3b B.3c <3a C.3c +3a >2 D.3c +3a <28.已知函数)10(11≠>+=-m m m y x 且的图象过定点，则此定点坐标为 .9.函数542)54(+-=x xy 的递减区间是 .10.设a>0，x x eaa e x f +=)(是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证：f(x)在),0(+∞上是增函数.B 组1. 设|1||1|2)(--+=x x x f ，求22)(≥x f 的x 的取值范围.【体验高考】1.（07山东）已知集合{}1,1-=M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<∈=+42211x Zx N ，则=N M （ ）A.{}1,1-B. {}1-C. {}0D.{}0,1- 2. (07重庆)若函数()1222-=--aax xx f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围 .。
常见指数函数倍数表
常见指数函数倍数表
指数函数是数学中常见的一类函数，它具有快速增长的特点。
在此文档中，我们将列出常见指数函数的倍数表，以帮助我们更好
地理解这些函数。
下表列出了常见指数函数的倍数表：
此表格展示了指数函数中，以底数为2、3和10为例的倍数表。
我们可以观察到，随着指数的增加，对应的值快速增加。
这反映了
指数函数的特性，即底数的幂次增加时，结果的增长速度会加快。
本文档的倍数表旨在便于我们迅速查找和理解常见指数函数的变化规律，进一步帮助我们在数学及其他相关领域的研究和实践中使用这些函数。
为了避免法律纠纷，本文档的内容均为掌握的一般性知识，并未引用任何无法确认的内容。
对于具体问题和专业咨询，请咨询相关领域的专业人士。
祝您在研究和应用指数函数中取得成功！。
指数函数基础知识讲解数学
指数函数基础知识讲解数学指数函数是数学中一种非常重要的函数形式，具有广泛的应用。
本文将对指数函数的基础知识进行讲解。
一、指数函数的定义指数函数是以一个正实数为底数，自变量为指数的函数形式，可以表示为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。
其中，底数a通常是一个正实数，并且不等于1。
二、指数函数的特点1. 指数函数的定义域为实数集R，即对于任意实数x，都可以求得f(x)的值。
2. 指数函数的值域为正实数集R+，即对于任意正实数y，都可以找到相应的x使得f(x) = y。
3. 当底数a大于1时，指数函数是递增函数；当底数a小于1时，指数函数是递减函数。
4. 指数函数的图像在x轴上无渐近线，且图像上不存在任何水平缩放的对称轴。
三、常见的指数函数1. 自然指数函数：是以常数e(约等于2.71828)为底数的指数函数，可以表示为f(x) = e^x。
自然指数函数在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
2. 以10为底的常用对数函数：是以10为底数的指数函数，可以表示为f(x) = 10^x。
常用对数函数在计算中经常被使用，例如pH值在化学实验中的计算。
3. 幂函数：是指数函数的一种特殊形式，其底数为正实数a且指数为常数b的情况。
可以表示为f(x) = a^b。
四、指数函数的性质1. 对于任意实数x和y，指数函数具有以下性质：- a^x * a^y = a^(x+y)，即指数函数相乘等于底数不变、指数相加的结果。
- a^x / a^y = a^(x-y)，即指数函数相除等于底数不变、指数相减的结果。
- (a^x)^y = a^(x*y)，即指数函数的幂次运算等于底数不变、指数乘积的结果。
2. 指数函数的导数为其本身的常数倍。
即f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)为以e为底的对数函数。
五、指数函数的应用指数函数在自然科学和社会科学等领域中有广泛的应用，例如：1. 经济学中的复利计算：利率每年按照固定比例增加，并计入本金，这种增长规律可以用指数函数来描述。
10的指数的数学表达式
10的指数的数学表达式10的指数是指以10为底的幂运算。
当一个数的指数为10时，意味着这个数是10的乘积，乘以自身10次。
数学上可以用下标的方式来表示10的指数，即10^10，读作“10的10次方”。
10的指数在数学和科学中发挥着重要的作用。
它有助于表示非常大或非常小的数值。
在计算机科学中，指数表示了数据的量级，用于计算机存储和计算的方便性。
在科学研究中，指数用于表示物理量的变化、增长或衰减的规律性。
在数学领域，指数是一种特殊的数学函数，有许多重要的性质和应用。
在指数运算中，指数是一个正整数，它表示一个数被乘以自身多少次。
以10为底的指数表示，可以更好地描述一个数的大小或数量级。
例如，10的2次方表示10x10=100，10的3次方表示10x10x10=1000，依此类推。
指数的主要特点是指数相等时底数相等，底数相等时指数相等。
即a^m=a^n时，m=n；a^m=b^m时，a=b。
这个性质在指数运算中经常被应用。
指数运算还有一些重要的性质：1.底数为10的指数运算可以用来表示十进制中的位数。
例如，10的1次方表示一个十进制数的十位数，10的2次方表示十进制数的百位数，依此类推。
2.它有助于简化和缩小大数的表示和计算。
例如，1万可以简化为10^4，1亿可以简化为10^8。
这样能够更清晰地表示这些巨大的数值，方便计算。
3.指数运算可以用来表示科学计数法，即将一个数表示为一个小数和一个10的指数的乘积。
例如，1.23 x 10^4表示1.23乘以10的4次方。
这种表示方法常用于表示非常大或非常小的数，如宇宙中的距离、原子的大小等。
指数运算还有许多应用，如复利计算、概率计算、指数函数等。
在复利计算中，指数运算可以用来表示利息的复利计算。
在概率计算中，指数运算可以用来表示独立事件的概率。
在指数函数中，指数是变量，底数为常数，它们之间存在一种特殊的函数关系，称为指数函数。
在数学教育中，指数运算是一个重要的概念。
指数函数及其性质(10数应3班佘耀瑶) 2
2.1.2指数函数及其性质一、教材分析函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。
指数函数是高中数学中引进的第一个基本初等函数，本节课是在学生已掌握了函数的一般性质和在认识指数函数概念的基础上，进一步研究指数函数。
作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用，也为今后研究其他函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础。
指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究。
二、学情分析通过前一阶段的教学，学生对函数和性质的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面：1、知识层面：学生在已初步掌握了函数的基本性质和认识到了指数函数的概念。
2、能力层面：学生已经掌握了用描点法和对称性描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想。
3、情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡。
三、教学目标(1)掌握指数函数的性质及其简单应用。
(2)通过指数函数的图象和性质的教学，培养学生观察、分析、归纳等思维能力和数形结合的数学思想。
通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索指数函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。
(3)认识事物的普遍联系与相互转化，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识。
四、教学重难点重点：指数函数的性质及简单应用;难点：对底数的分类，指数函数图象与底数关系，如何从图象归纳函数性质。
五、教学方法与手段1、教法分析采用引导发现式的教学方法，充分利用多媒体辅助教学。
通过教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受。
2、学法分析学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导。
从学生原有的知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。
数学教案二年级：初识指数函数,小学生也能轻松掌握
在二年级的数学学习中，学习指数函数可以说是一项很有益的任务。
虽然这个概念看起来很高深，但是我们相信小学生也能轻松掌握这个知识。
本文将为大家介绍什么是指数函数、指数函数的性质以及如何计算指数函数。
一、什么是指数函数指数函数是一种常见的数学函数，它的表达式为y=a^x，其中a称为底数，x称为指数。
根据这个定义，我们可以看出指数函数的取值范围是正实数，因为一个负数或者一个复数的正整数幂可能不是一个实数。
二、指数函数的性质指数函数有一些特别的性质，让我们来看看。
1、指数函数的图像指数函数的图像随着底数的不同而有所变化。
当底数a>1时，指数函数的图像是一个上升的曲线，当底数0<a<1时，指数函数的图像是一个下降的曲线。
图1和图2分别是底数为2和1/2的指数函数的图像。
2、指数函数的对称轴指数函数的对称轴是y轴。
因为当x为正数和负数时，指数函数的值是相等的，即a^(-x)=1/a^x。
3、指数函数的单调性指数函数的单调性取决于底数a的大小。
当a>1时，指数函数增长得越来越快，当0<a<1时，指数函数远离y轴，并且它的值越来越小。
4、指数函数的性质以下是指数函数的一些基本性质：(1) a^0=1(2) a^1=a(3) a^(-x)=1/a^x(4) a^(x+y)=a^x*a^y(5) (a^x)^y=a^(xy)(6) (ab)^x=a^x*b^x三、如何计算指数函数对于计算指数函数，我们需要有一些基本的知识。
1、指数函数的底数是正实数，比如2、3、5、10等等。
如果底数是小数或者分数，我们可以将它们转化为分数的幂或者倒数的幂来简化计算。
例如，5^(-3/2) = (1/5)^(3/2) = 1/(5^(3/2))。
2、当指数是0或1时，指数函数的值是非常简单的，因为a^0=1，a^1=a。
3、如果我们想计算一个底数为a和指数为x的指数函数的值，我们可以将它们表示为分数的幂或倒数的幂来计算。