第9讲 等效应力及等效应变

dε e = 2 2 2 2 (dε x − dε y )2 + (dε y − dε z )2 + (dε x − dε z )2 + 6(dγ xy + dγ xz + dγ yz ) 9
[
]
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比例加载时， 比例加载时，即 采用全量理论
2 2 2 2 2 2 (ε 1 − ε 2 ) + (ε 2 − ε 3 ) + (ε 3 − ε 1 ) = ε 1 + ε 22 + ε 32 εe = 9 3
(
)
当材料屈服时有
σ e = σ s = 3k
其中σs，为单向应力状态下获得的屈服极限
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2 (dε1 − dε 2 )2 + (dε 2 − dε 3 )2 + (dε 3 − dε1 )2 dε e = 9
[
]
此式表示的应变增量 dε e 等效应变增量， 就是主轴时的等效应变增量 就是主轴时的等效应变增量，非主轴等效应变 增量如下： 增量如下：
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变形抗力曲线
不论是一般应力状态还是简单应力状态作出 的 ε e − σ e 曲线，此曲线也叫变形抗力曲线或 曲线， 加工硬化曲线，或真应力曲线。 加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以 下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗 力曲线。 力曲线。
等效应变与等效应力的意义在于，等效应力将6个应力分量的对变形体的作用， 等效于一个单向拉伸力的作用。而等效应变将6个应变分量，等效于一个单向拉 伸力所产生的应变。利用实验，就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关 系。
2 2 2 2 s
]
2
可以改写为
1 2 2 2 (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = σ s 2
[
]
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若令
1 (σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 3 − σ 1 )2 σe = 2
则金属屈服时有
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等效应力
σs 是单向拉伸的
情况下得到的， 情况下得到的 ， 等于σ1 。那么对 于复杂应力状态， 于复杂应力状态 ， σs与σ1 σ2 σ3 又有 何种关系？ 何种关系？
σ3
σ2
σ1
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由Mises屈服条件 屈服条件
[(σ
1
− σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) = 2σ = 6k
σ e = σ s + Bεen σe σs
εe
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已知一点的应力分量为: 求:（1）等效应力σe值； （2）若该点处于塑性状态，利用 全量理论 λ = 1 ，求解 ε e
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′ ε 1 − ε 2 σ 1′ − σ 2 σ 1 − σ 2 = = ′ ′ ε2 σ2 σ2
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因此
ε2 − ε3 ε 3 − ε1 ε1 − ε 2 =λ = = σ1 −σ 2 σ 2 −σ 3 σ 3 −σ1
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9 等效应力、等效应变 等效应力、
把σs看成经过某一变形程度 下的单向应力状态的屈服极 变形抗力。 限,则可称σs为变形抗力。 则可称
5 0 0 10 0 0 0 σ ij = 0 10 0 ，c = 2 ，则 σ ij = 0 20 0 已知 0 0 15 0 0 30
简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。 简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。 复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。 复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。
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单向拉伸
σ 1 > 0、σ 2 = σ 3 = 0；ε 2 = ε 3 = − ε 1 2
σ e = σ1 = σ s
l1 ε e = ε1 = ln l0
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单向压缩
σ 3 < 0、σ 1 = σ 2 = 0；ε 1 = ε 2 = − ε 3 2
σe =σ3 = σs
h1 ε e = ε 3 = ln h0
可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力； 可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力； 等效应变等于绝对值最大主应变。 等效应变等于绝对值最大主应变。
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薄壁管扭转
σ 3 = −σ 1、σ 2 = 0；ε 1 = −ε 3、ε 2 = 0
[
]
(
)
2 2 2 2 (ε x − ε y )2 + (ε y − ε z )2 + (ε x − ε z )2 + 6(γ xy + γ xz + γ yz ) εe = 9
[
]
ε e 为等效应变
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流动法则（ 由Levy—Mises流动法则（增量理论）， 流动法则 增量理论），
3 dε e ′ σ ij dε ij = 2 σe
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同理在塑性大变形时，等效应变与等效应力关系：
2 ε e = λσ e 3
或
3 εe λ= 2 σe
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这样， 这样，由于引入等效应变 ε e 与等效应力 σ e ， 则本构方程中的比例系数 λ 便可以确定， 便可以确定， 从而也就可以求出应变增量的具体数值。 从而也就可以求出应变增量的具体数值。
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Hencky小变形理论 小变形理论
基本观点 应力与应变的位向关系 塑性应变主轴与应力主轴一致 主轴与应力主轴一致。 塑性应变主轴与应力主轴一致。 应力与应变的分配关系 在任意加载瞬间，塑性应变各分量与该 在任意加载瞬间，塑性应变各分量与该 瞬时相应的各偏差应力分量成比例， 瞬时相应的各偏差应力分量成比例，小变形 考虑弹性变形。 考虑弹性变形。
e ij p ij
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小变形理论用于大变形
对于大塑性变形，材料为刚塑性材料， 采用简单加载条件 简单加载条件， 对于大塑性变形 ， 材料为刚塑性材料 ， 采用 简单加载条件 ， 此时应 力与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变。 力与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变。 相应的应力应变关系广义全量表达式为
σ e < σ s 时，金属处于弹性状态 σ e = σ s 时，金属进入塑性状态
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在一般应力状态下， 在一般应力状态下，等效应力为
′ σ e = 3I 2 1 = 2
(σ
2 2 2 − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ z − σ x ) + 6 τ xy + τ yz + τ zx x 2 2 2
[
]
[
]
2 2 2 2 2 = dλ (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) 9
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[
]
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得到
2 dε e = dλσ e 3
3 dε e 或 dλ = 2 σe
此式即为等效应变增量与等效应力的关系 此式即为等效应变增量与等效应力的关系 则Levy—Mises流动法则可以写成 流动法则可以写成
σ e = 3σ 1 = σ s = 3k
2 ε e == ε1 3
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单向拉伸实验所得应力应变关系常有如下几种： 试验所得的真实应力—应变曲线一般都不是简单的函数关系。为了 实际应用，常希望将此曲线描绘成一函数。根据对真实应力—应变 的曲线的研究，可将它归纳成2种类型： 在变形过程中由于加工硬化的结果，随着变形程度的增大，变形抗力增大。 在变形过程中由于加工硬化的结果，随着变形程度的增大，变形抗力增大。一般 可采用下述关系式来确定（幂指数硬化曲线） 可采用下述关系式来确定（幂指数硬化曲线）。
µ = 0.5, 各向同性材料泊松比
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取主轴时： 取主轴时：
′ ε 1 = λσ 1
′ ε 2 = λσ 2
′ ε 3 = λσ 3
σ2 +σ3 2 3σ m − σ 1 2 ε1 = λ (σ 1 − ) = λ (σ 1 − ) 3 2 3 2
或
′ ε1 σ 1 = ′ ε——强化系数，与材料有关的常数 n——硬化指数，
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σ e = Bεe
n
σe
εe
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(2)对于有初始屈服应力σ s 的冷变形金属材料，可较好地表达为 这里略去了弹性变形阶段，因为对大变形来说，略去弹性交 形，不影响其准确性。式中的B 、n两参数根据实验曲线求 出。
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数学表达式
p ε ε ε ε ε zx ε = = = = = =λ σ ′ σ ′ σ ′ τ xy τ yz τ zx x y z p x p y p z p xy p yz
或
′ ε = λ ⋅ σ ij
p ij
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总的变形
1 − 2ν 1 ′ ′ ε ij = ε + ε = ( σ ij + σ mδ ij ) + σ ij λ 2G E
全量理论
全量理论建立了全应变与应力的关系。 全量理论建立了全应变与应力的关系。其中 比较有影响的是Hencky小变形理论。 小变形理论。 比较有影响的是 小变形理论