广东省佛山市2020-2021学年高三教学质量检测(一)数学文科试题
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（1）证明： 平面 ；
（2）若 与平面 所成的角为 ，且 ，求三棱锥 的体积.
20．在平面直角坐标系 中，已知两定点 ， ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）轨迹 上有两点 ， ，它们关于直线 ： 对称，且满足 ，求 的面积.
21．已知函数 ， 是 的导函数，且 .
（1）求 的值，并证明 在 处取得极值；
A． B． C． D．
7．已知 为锐角， ，则 （）
A． B． C．2D．3
8．“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）是现在商家一种常见促销手段.今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
性别
年级
男生
女生
高一年级
4
6
高二年级
2
4
（ⅰ）试估计这2000名学生中“超重”的学生数；
（ⅱ）对于该校的2000名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强.应用卡方检验，可依次得到 的观测值 ， ，试判断 与 的大小关系.（只需写出结论）
19．如图，三棱锥 中， ， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 是 的重心.
A． B． C． D．
3．已知 ，且 ，则（）
A． B．
C． D．
4．函数 的图像向右平移一个单位长度，所得图像与 关于 轴对称，则 （）
A． B． C． D．
5．已知函数 为奇函数，则 （）
A．－1B．0C．1D．
6．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）
三、解答题
17．已知数列 是等比数列，数列 满足 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和．
18．党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长.“少年强则国强”，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面.全面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求.《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体质指数（ ），其计算公式为： ，当 时，认为“超重”，应加强锻炼以改善 .某高中高一、高二年级学生共2000人，人数分布如表（a）.为了解这2000名学生的 指数情况，从中随机抽取容量为160的一个样本.
（2）当 时，函数 的值域为 ，求 的值.
参考答案
1．A
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解： ，
在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选： ．ຫໍສະໝຸດ Baidu
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
2．D
【分析】
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 在点 处的切线方程是__________．
14．若实数变量 ， 满足约束条件 ，且 的最大值和最小值分别为 和 ，则 ______.
15．在 中， ， ， 的面积为 ，则 ______.
16．已知正三棱柱 的侧棱长为 ，底面边长为 ，内有一个体积为 的球，若 的最大值为 ，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
广东省佛山市2020-2021学年高三教学质量检测（一）数学文科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在复平面内，复数 对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合 ， ，则 （）
甲说：“我或乙能中奖”；
乙说：“丁能中奖”；
丙说：“我或乙能中奖”；
丁说：“甲不能中奖”.
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2021年累计装机容量就突破了 ，达到 ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息，正确的统计结论是（）
C． ， ， 到点 的距离成等差数列D． ， ， 到点 的距离成等差数列
11．已知函数 ，现给出如下结论：① 是奇函数；② 是周期函数；③ 在区间 上有三个零点；④ 的最大值为2.其中正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
12．已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为（）
表（a）
性别
年级
男生
女生
合计
高一年级
550
650
1200
高二年级
425
375
800
合计
975
1025
2000
（1）为了使抽取的160个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；
（2）分析这160个学生的 值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b）.
表（b）
（2）证明： 在区间 有唯一零点.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）写出曲线 的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）已知倾斜角互补的两条直线 ， ，其中 与 交于 ， 两点， 与 交于 ， 两点， 与 交于点 ，求证： .
23．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；
A．截止到2021年中国累计装机容量达到峰值
B．10年来全球新增装机容量连年攀升
C．10年来中国新增装机容量平均超过
D．截止到2021年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过
10．已知抛物线 上不同三点 ， ， 的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（）
A． ， ， 的纵坐标成等差数列B． ， ， 到 轴的距离成等差数列
（2）若 与平面 所成的角为 ，且 ，求三棱锥 的体积.
20．在平面直角坐标系 中，已知两定点 ， ，动点 满足 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）轨迹 上有两点 ， ，它们关于直线 ： 对称，且满足 ，求 的面积.
21．已知函数 ， 是 的导函数，且 .
（1）求 的值，并证明 在 处取得极值；
A． B． C． D．
7．已知 为锐角， ，则 （）
A． B． C．2D．3
8．“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）是现在商家一种常见促销手段.今年“双十一”期间，甲、乙、丙、丁四位顾客在商场购物时，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位顾客对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
性别
年级
男生
女生
高一年级
4
6
高二年级
2
4
（ⅰ）试估计这2000名学生中“超重”的学生数；
（ⅱ）对于该校的2000名学生，应用独立性检验的知识，可分析出性别变量与年级变量哪一个与“是否超重”的关联性更强.应用卡方检验，可依次得到 的观测值 ， ，试判断 与 的大小关系.（只需写出结论）
19．如图，三棱锥 中， ， ，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 是 的重心.
A． B． C． D．
3．已知 ，且 ，则（）
A． B．
C． D．
4．函数 的图像向右平移一个单位长度，所得图像与 关于 轴对称，则 （）
A． B． C． D．
5．已知函数 为奇函数，则 （）
A．－1B．0C．1D．
6．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）.在如图第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率为（）
三、解答题
17．已知数列 是等比数列，数列 满足 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 的前 项和．
18．党中央、国务院历来高度重视青少年的健康成长.“少年强则国强”，青少年身心健康、体魄强健、意志坚强、充满活力，是一个民族旺盛生命力的体现，是社会文明进步的标志，是国家综合实力的重要方面.全面实施《国家学生体质健康标准》，把健康素质作为评价学生全面健康发展的重要指标，是新时代的要求.《国家学生体质健康标准》有一项指标是学生体质指数（ ），其计算公式为： ，当 时，认为“超重”，应加强锻炼以改善 .某高中高一、高二年级学生共2000人，人数分布如表（a）.为了解这2000名学生的 指数情况，从中随机抽取容量为160的一个样本.
（2）当 时，函数 的值域为 ，求 的值.
参考答案
1．A
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解： ，
在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，位于第一象限．
故选： ．ຫໍສະໝຸດ Baidu
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
2．D
【分析】
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 在点 处的切线方程是__________．
14．若实数变量 ， 满足约束条件 ，且 的最大值和最小值分别为 和 ，则 ______.
15．在 中， ， ， 的面积为 ，则 ______.
16．已知正三棱柱 的侧棱长为 ，底面边长为 ，内有一个体积为 的球，若 的最大值为 ，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
广东省佛山市2020-2021学年高三教学质量检测（一）数学文科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在复平面内，复数 对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合 ， ，则 （）
甲说：“我或乙能中奖”；
乙说：“丁能中奖”；
丙说：“我或乙能中奖”；
丁说：“甲不能中奖”.
游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
9．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2021年累计装机容量就突破了 ，达到 ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息，正确的统计结论是（）
C． ， ， 到点 的距离成等差数列D． ， ， 到点 的距离成等差数列
11．已知函数 ，现给出如下结论：① 是奇函数；② 是周期函数；③ 在区间 上有三个零点；④ 的最大值为2.其中正确结论的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
12．已知椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线与 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为（）
表（a）
性别
年级
男生
女生
合计
高一年级
550
650
1200
高二年级
425
375
800
合计
975
1025
2000
（1）为了使抽取的160个学生更具代表性，宜采取分层抽样，试给出一个合理的分层抽样方案，并确定每层应抽取出的学生人数；
（2）分析这160个学生的 值，统计出“超重”的学生人数分布如表（b）.
表（b）
（2）证明： 在区间 有唯一零点.
22．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.
（1）写出曲线 的普通方程，并说明它表示什么曲线；
（2）已知倾斜角互补的两条直线 ， ，其中 与 交于 ， 两点， 与 交于 ， 两点， 与 交于点 ，求证： .
23．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；
A．截止到2021年中国累计装机容量达到峰值
B．10年来全球新增装机容量连年攀升
C．10年来中国新增装机容量平均超过
D．截止到2021年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过
10．已知抛物线 上不同三点 ， ， 的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是（）
A． ， ， 的纵坐标成等差数列B． ， ， 到 轴的距离成等差数列