奥数讲义数论专题：3 质数与合数

华杯赛数论专题：3 质数与合数
基础知识：
1.质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）.
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.
1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数.
除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9.
2.判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很
大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的
质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数.
3.唯一分解定理
每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式.
例题
例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？
【答案】23，37，53，73.
【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7，
所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73.
例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数.
【答案】23，37，53，73，373
【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373.
例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？
【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个
【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质
数了.
所以个位数只能是 7.这个三位数可以是167、257、347、527或617中间的任意一个.
例4.连续的九个自然数中至多有几个质数？为什么？
【答案】4个
【解答】如果连续的9个自然数在1到20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1~9中有4个质数2、3、5、7）.
如果这连续的9个数中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中的奇数
的个数最多有5个.这5个奇数中必定有一个个位数是5，因而该数为合数.这样，至多另
外4个奇数都是质数.
综上，连续9个数中最多有4个质数.
例5.三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.
【答案】2，11，13或3，7，11
【解答】设三个不同质数是a、b、c
因为，所以a、b、c中，必定有一个质数是11，
不妨设a＝11，则
故可得<I>b</I>=2，c=13，或<I>b</I>=3，c=7，
所以三个质数是2，11，13或3，7，11.
例6.质数A、B、C、D满足A＋B＝C，A＋C＝D，那么A×C＋B×D是 .
【答案】31
【解答】如果A、B都是奇数，则C＝A＋B是大于2的偶数，不可能是质数，所以A、
B有一个是偶数.同理A、C也有一个是偶数，因此只能是A＝2.那么B＋2＝C，C＋2＝D，
即B、C、D是三个连续奇数，必定有一个是3的倍数，那么只能是B＝3，C＝5，D＝7.
因此A×C＋B×D＝2×5＋3×7＝31.
例7. 将135拆成4个互不相同的质数之和，使得其中两个质数的个位数字分别为1
和7. 请写出两种满足要求拆分的方法：135＝________＝________.
【答案】135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67
【解答】四个质数不可能同为奇数，至少有一个偶质数，即为2，
因此个位数字为1、2、7，所以第四个数字的个位数字是5且是质数，只能是5，
所以原题变为把128拆成个位数字为1和7的两个质数之和，128＝31＋97=61＋67，所以135＝2＋5＋31＋97＝2＋5＋61＋67.
例8.已知两个质数与一个合数的和是293，乘积是10336，那么这三个数中最大的
是.
【答案】272
【解答】因为，其中三个数分别为2、19、272满足要求，
故最大的数是 272.
例9.请在下列算式中的每个方框内填入一个质数数字，使得等式成立，共有______种.
□□＋□＝□□×□－□＝□□－□□＝□□÷□＋□
【答案】4种
【解答】
第一个算式：32＋7或37＋2
第二个算式：22×2－5或23×2－7
第三个算式：72－33
第四个算式：72÷2＋3
例10.4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个合数，那么在这4个数字所能组成的四位数中，最大的是多少？
【答案】8533
【解答】将360分解质因数得，它是6个质因数的乘积.因为题述
的四个数中只有一个合数，所以该合数必至少为个质因数之积.而只有3个2相乘才小于10，所以这四个数为3、3、5、8，所能组成的最大四位数是8533.
例11.把下面八个数分成两组，使这两组数的乘积相等.
14、55、21、30、75、39、143、169
【答案】（55、30、169、21）；（143、75、14、39）
【解答】先把每个数都分解质因数如下：
14＝2×7 21＝3×7 30＝2×3×5 39＝3×13 55＝5×11 75＝3×5×5 143＝11×13 169＝13×13，
观察因子得到分组为：（55、30、169、21）；（143、75、14、39）.
例12.5个连续质数的乘积是一个形如□△□□△□的六位数，其中□和△各代表一个数字，那么这个六位数是多少？
【答案】323323
【解答】因为□△□□△□＝□△□×1001＝□△□×7×11×13，
又□△□为两个质数的乘积，所以□△□＝17×19=323，
故六位数为323323.
例13.幼儿园王老师带216元去买皮球，预计正好花光. 可实际上所购皮球价格比预计的便宜2元，个数比原计划的多9个，仍然恰好花光。

所购皮球的单价是多少元，个数是多少个？
【答案】6个；36个
【解答】分析：这道题用列方程方法解是：
设所购皮球的单价是х元，所列方程是，用现在的知识解这个方程
是不容易的.
,得所购皮球的单价是6元，个数是36个.
例14.三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560.求这三个自然数.
【答案】32、35和38.
【解答】先大概估计一下，3030×30＝27000，远小于42560，40×40×40＝64000，远大于42560，因此，要求的三个自然数在30～40之间.
（合题意）要求的三个自然数分别是32、35和38.
例15.将37分为甲、乙、丙三个数的和，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？
【答案】8、9、20
【解答】把1440分解质因数：1440＝12×12×10＝2×2×3×2×2×3×2×5,
1440＝甲×乙×丙＝（3×丙＋12）×丙，所以480＝（丙＋4）×丙，
所以丙＝20.
又甲×乙＝72，甲＋乙＝17，
所以甲、乙二数分别是8、9，丙数是20.
例16.一个星期天的早晨，母亲对不超过20岁的孩子们说：“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？”儿子们齐声回答说：“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10. ”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？
【答案】34（岁）
【解答】由题意可知，母亲有三个儿子. 母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：27×1000＋9×10＝27090
把27090分解质因数：
2
根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：
43×14×9×5
这个因式中14就是9与5之和.
所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁.
43－9＝34（岁）
答：母亲在34岁时生下第二个儿子.
例17. 150÷□＋126÷□＝□
在上面的等式中，有三个数被方框纸片盖住了. 已知盖住的三个数都是质数，那么等式右边的结果是多少？
【答案】113
【解答】第一个□应该为3，第二□为2，故等式右边＝150÷3＋126÷2＝113.。