足球中的数学知识知多少？

内容解读
• 随机事件：指不确定事件,可能发生,也可能 不发生。
– 用不确定的观点认识与理解它的发生与不 发生; – 用可能性表述（而不是分类讨论）它发生 的数量规律 （概率）; – 可能发生,不一定发生,更不是已经发生了。
内容解读
• 事件的概率
– 描述定义,表示事件发生的可能性大小的数值 （数值含义）; – 古典定义,表示事件可能发生的结果数占所有等 可能结果数的比值（比值含义）; – 几何定义,表示事件可能发生的点所在区域的面 积占所有等可能点所在区域面积的比值（比值 含义）; – 统计定义,表示在重复实验中事件发生的频率的 稳定性（隐定值含义）。
球的体积与表面积
学习目标
• 掌握球的体积、表面积公式
• 掌握球的表面积公式、体积公式的推到过 程
• 会用球的表面积公式、体积公式解决相关 问题
球的体积
R
球的体积
• 圆面积的导出公式
• 我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后 如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是 边长分别是
启示
分割 求近似 和 华为准 确和
操作与运用
• 有一个抛两枚硬币的游戏,规则是:若出现两 个正面,则甲赢;若出现一正一反,则乙赢;若 出现两个反面,则甲.乙都不赢.
1. 这个游戏是否公平?请说明理由; 2. 如果你认为这个游戏不公平,那么请你改变游 戏规则,设计一个公平的游戏;如果你认为这个 游戏公平,那么请你改变游戏规则,设计一个不 公平的游戏;
足球中的数学知识知多少？
But……
• 怎样才能预测球是 否能射进呢？ • 你有哪些好的想法 呢？
其实，这涉及到一个概率问题
概率是什么？
概率
• 事件与可能性
• 概率的求法与应用
最基础知识
• 事件
– 确定事件：必然事件和不可能事件 – 不确定事件：随机事件
• 可能性
– 事件发生的可能性，即事件的概率
看积分，做分析
• 在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3 分，负队得0分，平局两队各得1分．小组赛结束后，总积分高的 两队出线，进入下一轮比赛．如果总积分相同，还要按进一步的 规则排序． • （1）一个队为了晋级下一轮，至少要积几分才能保证必然出线？ • （2）一个队只积3分，这个队有可能出线吗？为什么？ • 解析： – （1）4个队单循环赛要赛6场，每场比赛最多产生3分，6场 比赛最多产生18分．若某队积6分，则剩下12分，可能有另 两个队也各得6分，这样就要按进一步规则排序，因此该队 有可能不出线；若一个队积7分，则剩下11分，这样另外三 个队中不可能再有两个队积分等于或者超过7分，这样该队 必然出线．因此一个队为了晋级下一轮，至少要积分7分才 能保证必然出线． – （2）有可能．6场比赛都是平局，4个队都只得了3分，按进 一步规则排序，该队如果处于前两位，就有可能出线．
课后思考
• • • • 所有可能发生的“情况”与“结果” 有序结果与无序结果 无放回摸出与有放回摸出。 相同事件概率不等与不同事件概率相 等 （等概率事件）。 • 给出条件相同与不同,随机过程相同与不同。
观察与学习
我们生活在几何的世界里
球 ？
球的概念与性质
课程目标
• • • • 掌握球的定义、表示方法及其有关概念; 掌握球的截面性质; 掌握地球的经度、纬度，理解实际应用; 掌握球面上两点间的距离定义及求法。
– 北京和纽约间的距离是一条线段的长吗? – 北京和纽约间的距离是一条线段的长吗? – 这无数条弧长哪条最短?
球面距离
• 定义：
– 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过 这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度.
– 即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点 之间的劣弧的长度.
球面距离
• 两点的球面距离公式
最基本的概念
• 球的定义
– 球的旋转定义
• 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球 面。球面所围成的几何体叫做球体。
– 球的集合定义
• 与定点(圆心)的距离等于或小于定长(半径) 的点的 集合叫做球体，简称球。
• 球心
– 半圆的圆心，用字母O来表示
• 半径
– 连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径（线 段OP)。
看场地，做判断
• 一个长方形足球场的长为xm，宽为70m．如果它的 周长大于350m，面积小于7560m2，求x的取值范围， 并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛．（注： 用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间， 宽在64m到75m之间）
• 解析：
– 由题意可列不等式组 ，解不等式组得105＜x＜108，而100 ＜105＜x＜108＜110，64＜70＜75，因此这个球场可以用作 国际足球比赛．
看射门，做预测
• 在一场足球赛中，一队员从球门正前方12m处挑射， 当球飞行水平距离3m时，球高为3m；当球飞行水 平距离为8m时球高为4m，且球门框高2.5m，问球 能否射进？
• 解析：
– 以球飞出时为原点建立坐标系（如图3），据已知条件可求 得足球飞行的路线（即抛物线）为 ，∴x＝12代入抛物线得y ＝1.2＜2.5 ∴如此射门能进球．
看带球，做决策
• 在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球 门MN进攻.当甲带球部到A点时，乙随后冲到B点， 如图所示，此时甲是自己直接射门好，还是迅速将 球回传给乙，让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因 素) • 解析：
– 迅速回传乙，让乙射门较好，在不考虑其他因素的情 况下，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较 好的射门位置，关键看这两个点各自对球门MN的张角 的大小，当张角越大时，射中的机会就越大，如图2所 示，则∠A＜∠MCN＝∠B，即∠B＞∠A，从而B处对 MN的张角较大，在B处射门射中的机会大些.
• 纬度
– 与赤道所在平面平行的截面圆 – 纬线上的度数叫做纬度 – 纬度是纬线上的点与球心连线和赤道所在平面所成的角的度 数，即线面角的度数 – 若点P在北半球，就是北纬多少度； – 若点P在南半球，就是南纬多少度
练习
• 设地球的半径为R，在北纬30 °纬线上有甲 乙两地，它们的经度相差120 ° ，那么这 两地的纬线的长为（）。
写 下 你 的 下探 节究 课过 分程 享，
与足球相关的数学知识分享
我知道你曾经思考过？
• 由足球的几何结构引发的问题
– 足球上美丽的构图是如何形成的？ – 在足球上一共有几个正五边形？有几个正六边形？ 它们是如何放置的？ – 每个正五边形和正六边形的边长是多少？顶角各 是多少度？面积是多少？
• 由足球比赛引发的问题
– 足球运动员怎样才能把球射进球门 – 怎样才能知道一个运动场是否适合做足球场地 – ……
你曾经遇到过吗？
• • • • • 看足球，解方程 看场地，做判断 看带球，做决策 看射门，做预测 看积分，做分析
看足球，解方程
• 有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮 为正五边形，白皮为正六边形，（如图1），如果缝制 好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（ ）块 • （A）16 （B）18 （C）20 （D）22 • 解析：
最基本的研究思想
• 随机思想
– 事件的发生不以人们的主观意识为转移，事件 发生的不确定性、随机性、可能性
• 不确定的观点
– 用不确定的观点认识和理解世界
概率的主要内容
• • • • 随机事件与事件的概率 列表和画树状图列出所有可能的结 果 求概率的方法 求概率方法的应用
课程目标
• 在具体情境中了解概率的意义,运用列举法 (包括列表、画树状图)计算简单事件的概率 • 通过实验,获得事件发生的概率;知道大量重 复实验时频数可作为事件发生概率的估计 值 • 通过实例进一步丰富对概率的认识,并能解 决一些实际问题.
内容解读
• 求概率的方法
– 列举法
• 判断每个结果发生的可能性是否相等——如果都相 等,可采用列举法；如果不都相等,则不能用列举法。
– 几何法
• 所有可能发生的点（结果）不能一一列出——通过 计算区域的面积求面积比值。
– 频率估计法
• 一个重复实验获得事件的一个频率值,就直接用这个 频率作为概率的估计值；几个重复实验获得一组频 率数据,就用频率的平均值作为概率的估计值。
– – – – – – 解：设足球中有x块白皮，则有y块黑皮。则 可列方程组为 x+y=32 6x=2×5y 解之得 x=20 y=12 即：缝制一个足球需要20块白皮，12块黑皮。
解法三：从五边形与六边形的排列 特点出发
• 分析：一个五边形周围有5个六边形，而一 个六边形周围有3个五边形，若设有x个五边 形，则有 y个六边形。因此，根据五边形和 六边形的个数和等于32列方程。
• 即先把半球分割成n部分，再求出每一部分 的近似体积，并将这些近似值相加，得出 半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的 情形，由半球的近似体积推出准确体积
……球的表面积和体积公式
S=4πr^2 •V=(4/3)πr^3
怎样你遇到的球形的S&V呢？
• • • •
不知道半径怎么办？ 可以间接地求出体积吗？ 我还可以用其它的方法吗？ ……
– 观察图形，每块黑皮是五边形，而每块白皮是六边形，每个 黑皮的五边形分别与白皮的边缝合，而每块白皮的三条边与 黑皮缝合，另外三条边分别与白皮缝合，设白皮有x块，则 共有6x条边，这6x条边里与黑皮缝合的有3x条边，已知黑皮 有12块，每块有5条边，因此黑皮共有5×12＝60（条边）， 这60条黑边与3x条白边缝合，从而3x＝60，x＝20（块）， 故这个足球有白皮20块．
• 最简单的事件
– – – – 掷一枚（或一次）均匀的硬币与正多面体 摸一个大小和质量相同的球 旋转一个（或一次）均匀等分的转盘 类似于上述实验的生产、生活中的事件
最基本的方法
• 实验观察法
– 重复实验找规律
• 事物分析法
– 分析事物的均匀性过程的随机性、均等性
• 统计推断法
– 统计事件发生的频率推断稳定性
课后练习
• 有一种足球由32块黑白相同的牛皮缝制而 成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形， 一块白皮周围如图有3块三块黑皮，每块黑 皮周围有5块白皮，请问缝制一个足球需要 多少块白皮，多少块黑皮？
源自文库
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行
• 想想你有多少中解法
解法一：从五边形和六边形的边数 着手
• 分析：一个正五边形有5条边，一个正六边形 有6条边，从图中可以发现每个正六边形中恰 好有3条边与五边形的边重合，而正五边形的 每条边都与正六边形的边重合。因此，六边形 的总边数为五边形的总边数的2倍。
• 直径
– 球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径（线段AB)。
• 球体与球面的区别
– 球面：半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面。 – 球(即球体):球面所围成的几何体，它包括球面和球面所 包围的空间
想一想
• 怎样画球？ • 什么是球的截面？
球面距离
想一想
• 假如你要乘坐从北京直飞纽约的飞机,设想 一下,它需要沿着怎样的航线飞行呢?航程大 约是多少呢?
设球心角AOB , 球半径为R, 则 弧长AB R .
地球的经纬线
• 地球的经度
– 地球的经线就是球面上从 北极到南极的半个大圆. – 某点的经度是经过这点的 经线和地轴确定的半平面 与0度经线(本初子午线) 和 地轴确定的半平面所成二 面角的度数. – 由地理知识知： AOB为 P点所在经线的经度.
地球的经纬线
• 地球的纬度
– 赤道是一个大圆，其它 的纬线都是小圆
– 某点的纬度就是经过这 点的球半径与赤道面所 成角的度数。 – 由地理知识知： AOP 的度数为P点纬度
地球的经纬线
• 经度
– – – – – 经线上的度数叫做经度 经度的概念与二面角的度数有关 经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面的二面角大小 若旋转是向东进行的，则点P的经度就是东经多少度 若旋转是向西进行的，则点P的经度就是西经多少度
– – – – – 解：设足球中有x块白皮，则有(32-x)块黑皮。则 可列方程为 6x=2×5(32-x) 解之得 x=20 当x=20时， 32-x=12 即：缝制一个足球需要20块白皮，12块黑皮。
解法二：从五边形和六边形的顶点 个数出发
• 分析：从图形中可以发现，顶点的相交处总是 两个六边形的顶点和一个五边形的顶点，因此， 六边形的顶点总数为五边形的顶点总数的2倍。