第5课时函数的单调性PPT课件
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人教版高中数学选择性必修第二册5.3.1函数的单调性【课件】
′ = − <
所以，函数 = − 在 ∈ (, ) 上单调递减，如图（2）所示.
合作探究
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
（3） =
解：
−
（3）因为
= − ， ∈ (−∞, ) ∪ +∞
所以
′
= >
新知讲解
观察图象可以发现：
（1）从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时
间t的增加而增加，即h(t) 单调递增. 相应地， = ′ >
（2）从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时
间t的增加而减少，即h(t) 单调递减. 相应地， = ′ < .
3
所以， f(x)在（−∞，-1）和（2，+∞）上都单调
递增，在（-1，2）上单调递减，如图5.3-6所示.
合作探究
规律方法：一般情况下，通过如下步骤判断函数 y=f(x)的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数 ′ 的零点；
第3步，用 ′ 的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 ′
1
所以，函数 = 1 − 在区间 −∞, 0 和(0, +∞)上单调递增，如图（3）所示.
合作探究
例2 已知导函数′ 的下列信息：
当1<x<4时，′ > ；
当x<1, 或x>4时，′ <
当x=1,或 x=4时，′ = .
试画出函数f(x)图象的大致形状.
′ = + = + >
5.函数的单调性公开课PPT全文课件-【新】人教A版高中数学选择性必修第二册PPT全文课件
追问2：如果函数f(பைடு நூலகம்)的图象在区间I是从左到右上升的，且x0∈I，那么我们说 函数f(x)在 x=x0 处是单调递增的，这种说法正确吗？
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围的性质。
问题2:判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法： 2.图像法： 3.性质法: 增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
例2 已知导函数 f ' x 的下列信息，试画出函数 f x 的图象的大致形状.
注意： (1)一般可令 f’(x)>0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步 骤）。 (2)若 f’(x)>0 的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若 f’(x)>0 的解集 为空集，那么 f(x)是定义域上的减函数。
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
x
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
判断函数单调性的一般步骤：
(1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
函数的单调性不是函数在某个点处的性质，而是在一定范围的性质。
问题2:判断函数单调性的方法有哪些?
1.定义法： 2.图像法： 3.性质法: 增+增→增，减+减→减， 增→减，复合函数单调性同增异减
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
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例2 已知导函数 f ' x 的下列信息，试画出函数 f x 的图象的大致形状.
注意： (1)一般可令 f’(x)>0，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常 值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步 骤）。 (2)若 f’(x)>0 的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若 f’(x)>0 的解集 为空集，那么 f(x)是定义域上的减函数。
f
(x)
x
1
,
x
(-
,0)
(
0,
)
x
所以
f
(x)
1 x2
0
因此, 函数 f (x) x 1 在区间 (- ,0)和 ( 0, ) 上单调递增.
x
5 . 函数的单调性公开课P P T 全文课件- 【新】人教A 版高中数学选择性必修第二册P P T 全文课件【完美课件】
判断函数单调性的一般步骤：
(1)求函数的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;
函数单调性教案-ppt课件
定义：
y y f(x)
f (x1) f(x2)
O
x1
x2
x
探求新知
y y f(x)
注意：
f(x1) f(x2)
O x1 x2
x
在给定的区间上任
取x1，x2； x1 x2
f(x 1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区 间上为增函数。这
个给定的区间就为
单调增区间。
在给定的区间上任
x x 取x1，x2； 1
1 证明函数f（x）=-x2在0, 上是减函数.
2、预习下节课我们要学习的内容——最大(小)值.
函数单调性
复习思考
1 函数的概念？
设A，B为非空数集，如果按某一确定的对应关系f，使对于 集合A中任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对 应，那么就称对应f：A→B为从集合A到B的映射；即f：A→B的 一个函数.记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.
函数的三要素：定义域、值域、对应关系
2
f(x1) f(x 2 )
函数f (x)在给定区
间上为减函数。这
个给定的区间就为
单调减区间。
巩固反思
例1 如右图是定义 在闭区间 [-5，5]上的 函数y=f(x) ，根据图 象说出函数的单调区 间，以及在每一单调 区间上，它是增函数 还是减函数.
解：函数y=f(x) 的单调区间有[-5,-2) , [-2,1) , [1,3) , [3,5).
在定义域区间内，
① 图像从左到右一直上升——x的值增大,函数值y也增大； ② 图像从左到右一直下降——x的值增大,函数值y反而减小. 问题2：那么对于二次函数的变化规律又是怎样描述的呢？
y
第五课函数单调性.ppt
u=g(x)
减函数 增函数 减函数 增函数
y=f[g(x)]
减函数 增函数 增函数 减函数
可按多因式相乘的符号确定法则来记忆， （同增异减）增函数不改变复合函数的单 调性
四、判断函数单调性的方法： 1、定义法； 2、导数法:y’≥0增（不恒为0）； y’≤0（不恒为0）为减 3、图象法; 4、利用复合函数单调性. 5.利用基本函数的单调性 6.利用函数的奇偶性和单调性的关系 注意：证明单调性只能用定义或导数法
七、巩固练习 1.函1、数f(x)=4x2-mx+5在(2,+∞)上是增函数， 则m的取值范围是 m，≤1f6(1)的取值范 围是 .f(1)≥-7
2.奇函数f(x)在[3，7] 上是增函数，且 最小值是5，则f(x)在[-7，-3]的最 大 . 值为 －5 .
3.函数y=x+ 1 2x 的单调性为 增 .
(-1,1)上是增函数还是减函数，并证明 你的结论 增
27. 已知函数 f (x) x 4 a x 在
(-∞,1]上为单调增函数，求a的取值范围 a≥5
28.是否存在实数a，使函数 f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数？ 如果存在，说明a可以取哪些值；如果不 存在，说明理由. a>1
a 2x 1.已知函数 f ( x) 1 x2 是定义在R上
的奇函数，a为常数.（1）求a的值；（2）判 断函数f(x)在区间（－1，1）上的单调性.
2、如果函数f(x) = x2+2(a-1)x+2在区间 （-∞，4）上是减函数，那么实数的取 值范围是
小结：
1、理解掌握函数单调性的定义； 2、理解掌握判断函数单调性的方法：
11.函数f(x)在递增区间是(-4,7)，则
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
函数的单调性 PPT课件 5 人教课标版
1.3 函数的基本性质 函数的单调性
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1、从左至右图象上升还是下降 _上_升__? 2、在区间 (_-_∞__,+__∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值随 着 _增__大___ ．
o x 是增函数
y
在
-
，-
b 2a
增函数
o
x
在
b 2a
,
减函数
y
在 b ,
2a
增函数
o
x 在 - ，- b
2a
减函数
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
•
7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
•
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
•
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
•
10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
观察下列各个函数的图象，并说说它们 分别反映了相应函数的哪些变化规律：
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1、从左至右图象上升还是下降 _上_升__? 2、在区间 (_-_∞__,+__∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值随 着 _增__大___ ．
o x 是增函数
y
在
-
，-
b 2a
增函数
o
x
在
b 2a
,
减函数
y
在 b ,
2a
增函数
o
x 在 - ，- b
2a
减函数
例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间 上，它是增函数还是减函数？
•
7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
•
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
•
9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。
•
10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。
•
11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。
•
46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。
•
47、小事成就大事，细节成就完美。
•
48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。
•
49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。
《函数的单调性》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教版】
（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论．
答案：图象略．
（1）（－∞，0）∪（0，＋∞）．
（2）当k＞0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减； x
当k＜0时，y＝ k 在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递增． x
目标检测
44．画出反比例函数y＝
k x
的图象．
（1）这个函数的定义域I是什么？
新知探究
追问5 函数f（x）＝|x|，f（x）＝－x2各有怎样的单调性？
f（x）＝|x|在区间（－∞，0]上单调递减， 在区间[0，＋∞）上单调递增； f（x）＝－x2在区间（－∞，0]上单调递增， 在区间[0，＋∞）上是单调递减．
新知探究
问题4 如何用符号语言准确刻画函数值随自变量的增大而增大 （减小）呢？
证明：由x1，x2∈（1，＋∞），得x1＞1，x2＞1，
所以x1x2＞1，x1x2－1＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
于是（x1－x2）（
x1x2 1 x1 x2
）＜0，即y1＜y2．
所以，函数y＝x＋ 1 在区间（1，＋∞）上的单调递增． x
新知探究
追问 你能用单调性定义探究y＝x＋ 1 在整个定义域内的单调性吗？ x
图1
图2
图3
图1的特点是：从左至右始终保持上升；
图2与图3的特点是：从左至右有升也有降．
新知探究
★资源名称： 【数学探究】函数值的变化情况 ★使用说明：本资源通过操作展示动画，使学生观察函数值随着自变量值的变化而变化的情 况．通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教 学效率． 注：此图片为动画缩略图，如需使用资源，请于资源库调用
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
第五章5.3.1函数的单调性课件(人教版)
课堂小结
1.知识清单： (1)函数的单调性与其导数的关系. (2)利用导数判断函数的单调性. (3)利用导数求函数的单调区间. (4)由导数的信息画函数的大致图象. 2.方法归纳：方程思想、分类讨论. 3.常见误区：忽略定义域的限制.
随堂演练
1.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为
f′(x)＝6x－2x，令 f′(x)＝0，解得 x1＝ 33，x2＝－ 33(舍去)，
用x1分割定义域，得下表：
x
0，
3
3
3 3
33，＋∞
f′(x) －
0
＋
f(x)
单调递减
f
3
3
单调递增
∴函数
f(x)的单调递减区间为0，
33，单调递增区间为
33，＋∞.
(2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.(多选)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是 A.在区间(－2,1)上，f(x)单调递增
√B.在(1,2)上，f(x)单调递增 √C.在(4,5)上，f(x)单调递增
D.在(－3，－2)上，f(x)单调递增
(3)f(x)＝x－ex(x>0).
解 因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)， 所以f′(x)＝1－ex<0， 所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上单调递减.
反思感悟 利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域； 求导数f′(x)；确定f′(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导 函数进行通分、因式分解等变形；得出结论.
解 当x<0或x>7时，f′(x)>0，可知函数f(x)在区间(－∞，0)和(7，＋∞) 上都是单调递增的； 当0<x<7时，f′(x)<0，可知函数f(x)在区间(0,7)上单调递减； 当x＝0或x＝7时，f′(x)＝0， 这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 故如图，
《函数的单调性》函数 PPT教学课件
的单调性时,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表区间内的每一个数,
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
所以在证明时,不能用特殊值来代替它们);
2.作差变形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并将差向有利于判断差值的符号
的方向变形(作差后,尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完
全平方式的和的形式,这是值得学习的解题技巧,在判断因式的正
则 f(x2)-f(x1)= 2+1 − 1+1 =
2
1
3(2 -1 )
.
(2 +1)(1 +1)
(22 -1)(1 +1)-(21 -1)(2+1)
(2 +1)(1 +1)
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0.
又因为 x1,x2∈[1,+∞),所以 x2+1>0,x1+1>0,
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
方法点睛1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的
单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1)-f(x2)的正负,
从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.
2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形
式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.
-Δ·(1 +2 )
=
=
,
21 ·22
21 ·22
∵12 ·22 >0,x1+x2<0,-Δx<0,∴Δy>0.
∴函数
1
f(x)=2 在(-∞,0)内是增函数.
课堂篇
探究学习
函数函数的单调性课件
判定方法
定义法、导数法（对于可导函数） 。
复合函数的单调性例题解析
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复合函数单调性的概念、性质及判定方法
02 03
详细描述
复合函数单调性取决于内外层函数单调性的关系。若外层函数单调递增 （减），内层函数单调递增（减），则复合函数为单调递增（减）函数 。
判定方法
根据复合函数单调性的性质进行判断。
易错点提醒
在求解函数的单调性问题时，容易忽略函数的定义域、导数的正负与函数单调性的关系以及如何根据 题目要求进行分类讨论。同时需要注意极值点不一定是拐点，要根据题目要求进行求解。
THANKS
感谢观看
05
总结与回顾
函数单调性的定义与性质回顾
函数单调性的定义
函数在某区间上的单调性是指函 数在该区间内随着自变量的增加 ，函数值随之增加（或减少）。
函数单调性的性质
函数的单调性可以通过导数来刻 画，如果导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的应用与解题技巧总结
详细描述
函数单调性可以用于优化问题、经济问题、交通问题等多个领域。例如，在投资决策中，通过观察股票价格的波 动和单调性，可以更好地把握投资机会。在交通规划中，通过观察交通流量的变化和单调性，可以更好地规划交 通路线。
04
函数单调性的例题解析
单调递增函数的例题解析
总结词
单调递增函数的概念、性质及判 定方法
03
函数单调性的应用
利用函数单调性求函数的值域
总结词
函数单调性是求解函数值域的重要工具。
详细描述
通过观察函数在定义域内的单调性，可以容易地求出函数的值域。例如，对于一 次函数，其在定义域内是单调的，可以直接根据定义域和单调性求出值域。对于 二次函数，可以通过观察其对称轴和顶点位置，结合单调性来求解值域。
定义法、导数法（对于可导函数） 。
复合函数的单调性例题解析
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复合函数单调性的概念、性质及判定方法
02 03
详细描述
复合函数单调性取决于内外层函数单调性的关系。若外层函数单调递增 （减），内层函数单调递增（减），则复合函数为单调递增（减）函数 。
判定方法
根据复合函数单调性的性质进行判断。
易错点提醒
在求解函数的单调性问题时，容易忽略函数的定义域、导数的正负与函数单调性的关系以及如何根据 题目要求进行分类讨论。同时需要注意极值点不一定是拐点，要根据题目要求进行求解。
THANKS
感谢观看
05
总结与回顾
函数单调性的定义与性质回顾
函数单调性的定义
函数在某区间上的单调性是指函 数在该区间内随着自变量的增加 ，函数值随之增加（或减少）。
函数单调性的性质
函数的单调性可以通过导数来刻 画，如果导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0 ，则函数在该区间内单调递减。
函数单调性的应用与解题技巧总结
详细描述
函数单调性可以用于优化问题、经济问题、交通问题等多个领域。例如，在投资决策中，通过观察股票价格的波 动和单调性，可以更好地把握投资机会。在交通规划中，通过观察交通流量的变化和单调性，可以更好地规划交 通路线。
04
函数单调性的例题解析
单调递增函数的例题解析
总结词
单调递增函数的概念、性质及判 定方法
03
函数单调性的应用
利用函数单调性求函数的值域
总结词
函数单调性是求解函数值域的重要工具。
详细描述
通过观察函数在定义域内的单调性，可以容易地求出函数的值域。例如，对于一 次函数，其在定义域内是单调的，可以直接根据定义域和单调性求出值域。对于 二次函数，可以通过观察其对称轴和顶点位置，结合单调性来求解值域。
函数的单调性公开课课件
在函数值比较中的应用
1 2
利用单调性比较函数值大小
对于同一区间内的两个函数值，如果函数在该区 间内单调，则可以直接比较它们的大小。
确定函数值的范围
通过判断函数的单调性，可以确定函数在某个区 间内的取值范围。
3
举例
比较sin(π/4)和sin(π/6)的大小。由于正弦函数 在[0, π/2]区间内单调递增，因此sin(π/4) > sin(π/6)。
06
复合函数的单调性
复合函数的定义和性质
复合函数的定义
设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$， 函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$， 且$g(D_g) subseteq D_f$，则称函 数$y=f[g(x)]$为$x$的复合函数。
复合函数的性质
复合函数保持原函数的定义域、值域 、周期性、奇偶性等基本性质。
以直观地判断函数在各个 区间内的单调性。
判断单调区间
根据图像的形状和走势， 确定函数在各个区间内的 单调性。
图像的绘制
通过描点法、图像变换法 等方法，绘制出函数的图 像。
04
常见函数的单调性
一次函数
一次函数单调性
一次函数$f(x) = ax + b$（$a neq 0$）在其定 义域内单调增加或减少，取决于系数$a$的正负。
总结与展望
课程总结
函数的单调性定义
详细解释了函数单调性的定义，包括增函数、减函数以及常数函 数的特性。
判断函数单调性的方法
介绍了如何通过导数、二阶导数以及函数的图像来判断函数的单调 性。
函数单调性的应用
举例说明了函数单调性在解决实际问题中的应用，如优化问题、经 济学中的边际分析等。
函数单调性说课稿PPT(共25张PPT)
19
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
13
2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
14
2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
21
5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
教材分 析
3.例题讲解，巩固新知
学情分 析
例2
教法学法 分析
河教南学跨过程境 E设贸计易
设计意图：使学生掌握利用定义证明函数的单调性，并进一步加深学生对函 数单调性的理解。
板书设 计
20
教材分 析
4.课堂练习，升华新知
学情分 析
教法学法 分析
课堂练习
教河学南过跨境程 E设贸计易
板书设 计
设计意图
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2.探索新知，讲授新课
教材分 析
学情分 析
问题2
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
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设计意图
实现学生用“数字语言”表述函数的单调性，实现“形”到“数” 的转换。使学生体会到用数量大小关系表述函数单调性。
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2.探索新知，讲授新课
启发学生利用图象和单调性概念解决相 关实际的问题。目的是加深学生对定义的理 解，巩固定义法证明函数单调性的步骤。同 时为导数的教学作准备。
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5.归纳总结，布置作业
教材分 析
学情分 析
教法学法 分析
河教南学跨过境程 E设贸计易
板书设 计
1学会了……的知识
2掌握了……的方
法
回顾探 究过程 形成自 主反思
掌握判别函数单调性的方法。
（1）函数单调性概念的形成；
设（计3）意探图究教：过引学程起中过学用生程到的的认思知想冲方突法，和把思学维生方的法注，意如力数从形图结表合上，转等到价解转析换式，上类，比让等学。生体会从解析式上研（究2）函判数断单函数调单性调的性必的要方性法。（图象、
5.3.1 函数的单调性课件ppt
利用导数求函数的单调区间
角度1 求不含参数的函数的单调区间
例3求下列函数的单调区间:
(1)f(x)=x2-ln
x;(2)f(x)=cos
1
x+ 2 x,x∈(0,π).
分析根据函数解析式求出函数的导函数,根据导函数的符号确定函数单调
区间.
解 (1)∵函数定义域为(0,+∞),且
∴令 f'(x)>0,即
.
f'(x)>0,得 x>1,由 f'(x)<0,得 0<x<1.
f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
+1
)(-1)
(+
(2)当 a>0 时,f'(x)=
,
+1
∵a>0,∴- <0.
由f'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1.
∴f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
变式训练 2(2021江西南昌二中高二期末)若函数y=xcos x-sin x在某区间内
单调递增,则该区间可能为(
A.
π 3π
,
2 2
C.(π,2π)
B.
π π
- ,
2 2
D.(0,π)
)
答案 C
解析 ∵y=xcos x-sin x,
∴y'=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.
综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
方法技巧解析式中含参数的函数的单调区间的求法
人教版高中数学必修第一册3.2 函数的单调性 课时5 函数的单调性【课件】
−( − ) +, < ≤ ,
作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,
在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和
(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).
【方法规律】
图象法求函数单调区间的步骤
x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2) 有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维
流程如下:
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(
A. f(x)＝3－x
C. f(x)＝2x
(3) 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为
________.
思路点拨
画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立
关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a
的值或取值范围.
【解】(1) f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区
−
)
( − ) −
)=(x1-x2)+
=
(x1x2-4).由
x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得
作出函数的图象如图.由图象可得:函数在区间(-3,-1)和(0,1)上单调递增,
在区间(-1,0)和(1,3)上单调递减.所以函数的单调递增区间为(-3,-1)和
(0,1);单调递减区间为(-1,0)和(1,3).
【方法规律】
图象法求函数单调区间的步骤
x1<x2⇔f(x1)>f(x2).
(2) 有关函数单调性应用的问题的求解,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维
流程如下:
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
1.下列四个函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(
A. f(x)＝3－x
C. f(x)＝2x
(3) 已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),则实数a的取值范围为
________.
思路点拨
画出二次函数的草图,结合图象分析,根据函数单调性的图象特征,建立
关于参数a的方程、不等式或不等式组,通过解方程、不等式或不等式组求出参数a
的值或取值范围.
【解】(1) f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.得函数单调递增区
−
)
( − ) −
)=(x1-x2)+
=
(x1x2-4).由
x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2,所以x1x2>4,x1x2-4>0.又由x1<x2,得
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在区间[0,+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a＜b＜0，给出
下列不等式：
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)
其中成立的是( D ) (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④
2021
2
2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫 做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的， 减函数的图象是下降的.
3.用定义证明函数单调性的步骤
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(4)根据判定的结果作出相应的2021结论.
3
4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
u=g(x)
增
响，一开始在(0，+∞)内任取x1＜x2，展开证明.这样就不能
保证-x1，-x2在(-∞，0)上的任意性而导致错误.
2021
8
3.设 fx 1 lg1x
x2 1x
①试判断函数f(x)的单调性并给出证明；
②若f(x)的反函数为f-1(x)，证明方程f-1(x)=0有惟一解；
③解关于x的不等式f [x(x-1/2)]＜1/2
【解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致的.函数 的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解 不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义 域.
2021
9
4.是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2，4]上是 增函数?
【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外 函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相 异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减减Biblioteka 减增减减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
2021
返回4
课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( B ) (A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x) 2.定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)
【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分 有用，应予重视.
2021
7
2.已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0，
试问F(x)=1/f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?
【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受已知条件的影
个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任
意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减函 数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是 增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2， 当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数.
1 x
5.函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.（1，32） D.[32，2]
答案： (3) B (4) (-∞，-1)，(-1，+∞) (-1，1]
(5) C
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返回6
能力·思维·方法
1.讨论函数f(x)=x+a/x(a＞0)的单调性
2021
5
3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数a的取值范围是( ) (A)(-∞，-3) (B)(-∞，-3) (C)(-3，+∞) (D)(-∞，3)
4.函数 f x 1 x的减区间是_____________________；函
1 x
数 f x 1 x 的减区间是_____________
2021
返回10
延伸·拓展
5.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：
①②对当任x∈意(-x1,，y∈0)(时-1，，1有)，f(都x)有＞0f.xfyf1xxyy
(1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由. (2)判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明.
(3)求证： f n 2 1 3 n 1 f n 1 1 f n 12 n N
指数函数、对数函数相对应. 本题第四问在前三个问题的基
础上给出则水到渠成.
2021
返回11
误解分析
(1)对抽象函数单调性及奇偶性的判定仍以定义为中心.结合 抽象函数关系式对变量进行适当的赋值不以定义为主线则 一切变形会失去目标.
(2)后一问题的解决、注意联系前一问题、看能否找到办法.
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返回12
第5课时 函数的单调性
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
2021
1
要点·疑点·考点
1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的
值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这
(4)求证：f 5 1 f 1 1 1 f n 2 1 3 n 1 f 2 1 【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常
见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如．f(x+g)=
f(x)+f(y)．f(x)f(y)=f(x+g)．f(x·y)=f(x)+f(y)等分别与一次函数、
下列不等式：
①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b); ②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b);
③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a); ④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)
其中成立的是( D ) (A)①与④ (B)②与③ (C)①与③ (D)②与④
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2.单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说 函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫 做y=f(x)的单调区间.在单调区间上增函数的图象是上升的， 减函数的图象是下降的.
3.用定义证明函数单调性的步骤
证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； (3)判定差的正负；
(4)根据判定的结果作出相应的2021结论.
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4.复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
u=g(x)
增
响，一开始在(0，+∞)内任取x1＜x2，展开证明.这样就不能
保证-x1，-x2在(-∞，0)上的任意性而导致错误.
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3.设 fx 1 lg1x
x2 1x
①试判断函数f(x)的单调性并给出证明；
②若f(x)的反函数为f-1(x)，证明方程f-1(x)=0有惟一解；
③解关于x的不等式f [x(x-1/2)]＜1/2
【解题回顾】原函数及其反函数的单调性是一致的.函数 的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、最值、解 不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义 域.
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4.是否存在实数a，使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2，4]上是 增函数?
【解题回顾】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外 函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相 异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减减Biblioteka 减增减减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
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课前热身
1.下列函数中，在区间(-∞，0)上是增函数的是( B ) (A)f(x)=x2-4x+8 (B)g(x)=ax+3(a≥0)
(C)h(x)=-2/(x+1) (D)s(x)=log(1/2)(-x) 2.定义在区间(-∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)
【解题回顾】含参数函数单调性的判定，往往对参数要分 类讨论.本题的结论十分重要，在一些问题的求解中十分 有用，应予重视.
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2.已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)＜0，
试问F(x)=1/f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数?
【解题回顾】本题最容易发生的错误，是受已知条件的影
个区间上是增函数.如果对于属于定义域I内某个区间上的任
意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那
么就说f(x)在这个区间上是减函数.函数是增函数还是减函 数.是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是 增函数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数y=x2， 当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0)时是减函数.
1 x
5.函数f(x)=-log(1/2)(-x2+3x-2)的减区间是( ) A.(-∞，1) B.(2，+∞) C.（1，32） D.[32，2]
答案： (3) B (4) (-∞，-1)，(-1，+∞) (-1，1]
(5) C
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能力·思维·方法
1.讨论函数f(x)=x+a/x(a＞0)的单调性
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3.如果函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4]上是减函数， 那么实数a的取值范围是( ) (A)(-∞，-3) (B)(-∞，-3) (C)(-3，+∞) (D)(-∞，3)
4.函数 f x 1 x的减区间是_____________________；函
1 x
数 f x 1 x 的减区间是_____________
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延伸·拓展
5.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足以下两个条件：
①②对当任x∈意(-x1,，y∈0)(时-1，，1有)，f(都x)有＞0f.xfyf1xxyy
(1)判定f(x)在(-1，1)上的奇偶性，并说明理由. (2)判定f(x)在(-1，0)上的单调性，并给出证明.
(3)求证： f n 2 1 3 n 1 f n 1 1 f n 12 n N
指数函数、对数函数相对应. 本题第四问在前三个问题的基
础上给出则水到渠成.
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误解分析
(1)对抽象函数单调性及奇偶性的判定仍以定义为中心.结合 抽象函数关系式对变量进行适当的赋值不以定义为主线则 一切变形会失去目标.
(2)后一问题的解决、注意联系前一问题、看能否找到办法.
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第5课时 函数的单调性
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
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要点·疑点·考点
1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ： 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的
值x1 , x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这
(4)求证：f 5 1 f 1 1 1 f n 2 1 3 n 1 f 2 1 【解题回顾】抽象函数是高考考查函数的目标之一、几种常
见的抽象函数在做小题时，可与具体函数相对应如．f(x+g)=
f(x)+f(y)．f(x)f(y)=f(x+g)．f(x·y)=f(x)+f(y)等分别与一次函数、