第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

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李雅普诺夫第一法又称间接法。 它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。 对于线性定常系统，解出特征方程的根即可作出稳定性判断。
对于非线性不很严重的系统，可通过线性化处理，取其一次近 似得到线性化方程，然后根据其特征根来判断系统的稳定性。
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一、线性系统的稳定判据(特征值判据)
当A为非奇异矩阵时，满足Axe0的解xe=0是系统唯一存在的一 个平衡状态。
而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。
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对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。
x 1 x1 x2 x1 x2 x23
0
0
0
xe1 0 ,xe2 1 ,xe1 1
稳定性问题都是相对于某个平衡状态而言的。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
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一个实际的系统必须是稳定的，不稳定的系统是不可能付诸于 工程实施的。
系统的稳定性，表示系统在遭受外界绕扰动偏离原来的平衡状态， 而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种 “顽性”。
可按两种方式来定义系统运动的稳定性：
通过输入―输出关系来表征的外部稳定性 通过零输入状态下的状态运动的响应来表征的内部稳定性
对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近 稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。
对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不 大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。
16个实数>0和任一实数>0，不管这个实数多么小， 由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种 平衡状态xe不稳定。
结论2：线性定常系统是BIBO稳定的，不能保证系统必是渐近稳 定的。
证：由系统结构的规范分解定理可知，通过引入线性非奇异变换， 可将系统分解为能控能观、能控不能观、不能控能观和不能控不 能观四个部分，而输入－输出特性只能反映系统的能控能观部分。 因此，系统的BIBO稳定只是意味着其能控能观部分为渐近稳定， 它既不表明也不要求系统的其它部分是渐近稳定的。
结论3：如果线性定常系统为能控和能观的，则其内部稳定性与 外部稳定性必是等价的。
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举例
x
1
0
0 1 1 x 1u
y 1 0x
分析系统的外部稳定性与内部稳定性
W ( s ) c ( sI A ) 1 b
传递函数的极点s=－1位于s的 左半平面，故系统外部稳定。
1
0
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球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由响
应 x (t;x0,t0)的边界。 如果x(t)为有界，则称xe稳定。
如果x(t)不仅有界而且有：
limx(t)
t
0
则称xe渐近稳定
如果x(t)为无界，则称xe不稳定。 在经典控制理论中，只有渐近稳定的系统才称做稳定系统。
的输入u(t)，所产生的输出y(t)也是有界的，即成立：
y ( t) k 2 , t t0 ,
则称此因果系统是外部稳定的，也即是有界输入－有界输出稳 定的，并简称为BIBO稳定。
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在讨论外部稳定性时，必须假定系统的初始条件为零；
在这种假定下，系统的输入－输出描述才是唯一的和有意义的。
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本章重点讨论李雅普诺夫第二法。
它的特点是不求解系统方程，而是通过一个叫李雅普诺夫函数的 标量函数来直接判定系统的稳定性。
因此，它特别适用于那些难以求解的非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应的质量进行评价以及求解参数最优化问题。
lim (t;0,x0,0)0
t
则称系统是内部稳定的，或称为是渐近稳定的。
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对于该式所描述的线性定常系统，其为渐近稳定的充分必要条 件是矩阵A的所有特征值均具有负实部，即：
Rie (A ) { } 0 ,i 1 ,2 , n
其中n为系统的维数。
当矩阵A给定后，则一旦导出其特征多项式：
对于零初始条件的线性定常系统，G(s)为其传递函数阵，则系统 为BIBO稳定的充要条件是：
当G(s)为真的有理分式函数矩阵时，G(s)的每一个元传递函数的 所有极点均具有负实部。
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二、内部稳定性
y x C Ax x D Bu ux(0)x0 如果外输入u(t)0，初始状态x0为任意，且由x0引起的零输入响 应(t;0, x0,0)满足关系式：
上述方法都是以分析系统特征方程在根平面上根的分布为基础 的。但对于非线性和时变系统，这些判据不适用了。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将判定系统稳定性 的问题归纳为两种方法：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统 的稳定性。它的基本思想和分析方法与经典理论是一致的。
表明系统由初态x0或短暂扰动所引起的自由响应是有界的。
李雅普诺夫根据系统自由响应是否有界把系统的稳定性定义为 四种情况。
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1、李雅普诺夫意义下稳定
如果系统对于任意选定的实数>0，都存在另一实数(，t0)>0， 使当：
x0xe (,t0)
时，从任意初态x0出发的解都满足：
(t;x 0 ,t0 ) x e,t0 t
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4.2 李雅普诺夫关于稳定 性的定义
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线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初 始条件及外界扰动的大小无关。 非线性系统的稳定性则还与初始条件及外界扰动的大小有关。
因此在经典控制理论中没有给出稳定性的一般定义。
李雅普诺夫给出了对任何系统都普遍适用的稳定性的一般定义
只是在满足一定的条件时，系统的内部稳定性和外部稳定性之 间才存在等价关系。
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在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统，应用劳 斯(Routh)判据和赫尔维茨(Hurwitz)判据等代数方法判定系统的 稳定性，非常方便有效。
至于频域中的奈奎斯特(Nyquist)判据则是更为通用的方法，它不 仅用于判定系统是否稳定，而且还指明改善系统稳定性的方向。
( s ) d s e A I ) t s n ( a n 1 s n 1 a 1 s a 0
那么就可利用劳斯－赫尔维茨判据，直接由特征多项式的系数 来判断系统的渐近稳定性。
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三、内部稳定性和外部稳定性间的关系
结论1：线性定常系统是内部稳定的，则其必是BIBO稳定的。
此外，在现代控制理论的许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛的应用。
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4.1 外部稳定性和内部稳 定性
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一、外部稳定性
考虑一个线性因果系统，如果对应于一个有界的输入u(t)，即满足 条件：
u (t) k 1 , t t0 ,
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A的特征值为－1，0，0
举例
s 1 0 01
(sI A)1
0
s
0
0 0 s
s2 s2(s11)00
0 s(s1)
0
0
0
s(s1)
s 0
0
1 s(s1)
0
(s1)
0
0 0 (s1)
其最小多项式为s(s+1)
特征值0仅是最小多项式的一个单根。
根据特征值判据，此系统的每个平衡状态是李雅普诺夫意义下稳 定的，但不是渐近稳定的。
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发的一条状 态运动的轨线，称系统的运动或状态轨线
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平衡状态
若系统存在状态向量xe，对所有t，都使： f(xe,t)0
成立，则称xe为系统的平衡状态。 对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也 未必是唯一的。
x f(x,t)Ax
只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定的系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
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4.3 李雅普诺夫第一法
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则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定。 其中实数与有关，一般情况下也与t0有关。 如果与t0无关，则称这种平衡状态是一致稳定的。
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若对应于每一个s()，都存在一个s()，使当t无限增长使，从 s()出发的状态轨线(系统的响应)总不离开s()，即系统响应的 幅值是有界的，则称平衡状态xe为李雅普诺夫意义下的稳定， 简称为稳定。
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2、渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨线不仅不超 出s()，而且最终收敛于xe，则称这种平衡状态xe渐近稳定。
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从工程意义上说，渐近稳定比稳定更重要。
但渐近稳定是一个局部概念，通常只确定某平衡状态的渐近稳 定性并不意味着整个系统就能正常运行。
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一、系统状态的运动及平衡状态
设所研究的齐次状态方程为：
x f(x,t)
f为与x同维的向量函数，是x的各元素x1,x2,,xn和时间t的函数。