偏序集中的8个特殊元素
第3章 10偏序关系
(1)用小圆圈代表元素 用小圆圈代表元素; 用小圆圈代表元素 (2)若元素 若元素a≠b且a≤b时，则结点 若元素 且 时 则结点a 画在结点b的下方 的下方。 画在结点 的下方。 (3)若b盖住 ， 则在 与 b之间用 若 盖住 盖住a，则在a与 之间用 直线连接.由于所有边的箭头向 直线连接 由于所有边的箭头向 故省去箭头。 上,故省去箭头。例3中的关系 ρ 故省去箭头 中的关系 的哈斯图如右图. 的哈斯图如右图
B中任意元素 ，都满足 中任意元素x， 中任意元素
（1） x ）
，则称 为 的上界 的上界； ≤ a，则称a为B的上界； x ，则称 为B的下界； 则称a为 的下界 的下界；
（2）a ≤ ）
的上界， （3）若a是B的上界，且对 的任意上界 ） 的上界 且对B的任意上界
a′，均有 a ≤ a′ a′ ，均有 a′ ≤ a,
注意: 定理 注意: 定理3.10.1的逆不成立 。 的逆不成立
例如: 整数集 和实数集 上的小于等于关系“≤”是 和实数集R上的小于等于关系 例如: 整数集Z和实数集 上的小于等于关系“
全序关系, 不是良序关系 全序关系,但不是良序关系 。
但是,对于有限的全序集,定理3.10.1的逆也成立. 但是,对于有限的全序集,定理3.10.1的逆也成立.即有 3.10.1的逆也成立
定义3.10.3（极大元，极小元，最大元，最小元） 极大元，极小元，最大元，最小元） 定义 ， 是一个偏序集， 设 A, ≤ 是一个偏序集，且B ⊆ A，如果存在元素 ∈B， ，如果存在元素b
使得 满足x 且 的极大元； ，则称b为 的极大元 （1）不存在 ∈B满足 ≠b且b ≤ x，则称 为B的极大元； ）不存在x 满足 的极小元； ，则称b为 的极小元 满足x 且 （2）不存在 ∈B满足 ≠b且x ≤ b，则称 为B的极小元； ）不存在x 满足 中任意元素x，均有x 的最大元； （3）对B中任意元素 ，均有 ≤ b，则称 为B的最大元； ） 中任意元素 ，则称b为 的最大元 中任意元素x，均有b 的最小元。 （4）对B中任意元素 ，均有 ≤ x，则称 为B的最小元。 ） 中任意元素 ，则称b为 的最小元
偏序
x(( x B) a((a A) (a x))) ，则称 a 为 B 的下界。
(3) 设 C={yy 是 B 的上界} A，C 的最小元称为 B 的最小上界（上确界）。 (4) 设 C={yy 是 B 的下界} A，C 的最大元称为 B 的最大下界（下确界）。
注意：上、下界不唯一，但上、下确界是唯一的。
解答
极小元：a,b,c,g 极大元：a,f,h。
没有最小元与最大元
说 明
哈斯图中的孤立顶点既是极小元也是极大元。
18
上界与下界举例
24 36
12 6 2 3
B
上界
无
12,24,36
下界
无
2,3,6 无 2,3,6
上确界
无
12 6 6
下确界
无
6 无 6
{2,3,6,1
2,24,36}
{6,12}
{2,3,6} 6,12,24,36
{6}
6,12,24,36
考虑右图中的偏序集。令B＝{b ，c，d}，则B的下界和最大下界 都不存在，上界有d和f，最小上 界为d。
19
1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1
6
4
图 5.5.1 关系示意图 显然，偏序关系“”具有自反、反对称和传递性，因此<A，>是偏序集。
4
16
偏序集中的特殊元素
24
36 12 6
B
最大 元
最小 元 无 6 无 6
极大 元 24,26 12 6 6
极小 元 2,3 6 2,3 6
3.4 序关系
则该子集存在最小元， 所以x≤y或y≤x， 所以<X,≤>是一个全序集。 定理 有限的全序集一定是良序集 证明：反证法。 设<X,≤>是一个全序集， 且X为一有限集X={x1,x2,…,xn}， 并假设<X,≤>不是良序集。
由假设X中必存在一个非空子集A 没有最小元。 有限集X的子集A一定也为有限集 A中一定可以找到两个元素不可比 这与<X,≤>是全序集相矛盾， 假设不成立,<X,≤>一定是良序集
则称≤为X上的全序关系， 且称<X,≤>是一个全序集。 自然数集N上的小于等于关系(≤) 是N上的全序关系， 故<N,≤>是全序集。 因小于等于关系自反、反对称、 传递，首先为N上的偏序关系； 而且对任意两个自然数均可比，
所以该≤关系是全序关系。 X={2,4,6,8,10}上的整除关系≤ 是偏序关系，但不是全序关系。 因整除关系满足偏序关系定义， 但X中存在不可比的元素， 例如4既不能整除6， 6也不能整除4，故4和6不可比， 所以该≤关系不是全序关系。
和听觉的研究,就理论上说视觉感 知也往往先于听觉，因此对次序 关系的研究，是很重要的。 5.4.1 序关系与偏序关系 定义 设R为定义在集合X上的 二元关系，若R是自反的、反对称 的和传递的，则称R为一个偏序 关系。通常用≤表示偏序关系，
并把序偶<X, ≤>称作偏序集。 例 证明整数集Z上的整除关系R 是偏序关系。 证明： 对任意x∈Z, x|x, 故满足自反性 对任意x, y∈Z，若x|y且y|x， 则据整除性质有x=y， 故满足反对称性。
解： 因为X={2,4,6,8,10},≤是整除关系 故 ≤={<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>, <2,10>, <4,4>,<4,8>,<6,6>,<8,8>, <10,10>} COVX={<2,4>,<2,6>,<2,10>,<4,8>}
偏序关系符号
偏序关系符号引言偏序关系符号是数学中一个重要的概念，用于描述元素之间的偏序关系。
在数学中，偏序关系是一种比较元素之间大小关系的一种方式，它不要求元素之间能够进行完全的比较，只需要能够判断出元素之间的相对大小关系即可。
偏序关系符号可以帮助我们更清晰地表达这种关系，使得数学推理更加精确和简洁。
偏序关系的定义在数学中，偏序关系是集合上的一种二元关系，记作≤。
对于集合中的任意两个元素a和b，如果a≤b成立，则表示a是b的一个前置元素，b是a的一个后置元素。
偏序关系具有以下几个性质：1.自反性：对于集合中的任意元素a，a≤a成立。
2.反对称性：对于集合中的任意两个元素a和b，如果a≤b且b≤a成立，则a和b相等。
3.传递性：对于集合中的任意三个元素a、b和c，如果a≤b且b≤c成立，则a≤c也成立。
偏序关系符号的种类为了方便表示偏序关系，数学中引入了多种偏序关系符号。
下面是常见的几种偏序关系符号及其含义：1.≤：表示小于等于关系。
如果a≤b成立，则a小于等于b。
2.＜：表示小于关系。
如果a＜b成立，则a小于b。
3.≥：表示大于等于关系。
如果a≥b成立，则a大于等于b。
4.＞：表示大于关系。
如果a＞b成立，则a大于b。
5.≺：表示真前置关系。
如果a≺b成立，则a是b的真前置元素。
6.≻：表示真后置关系。
如果a≻b成立，则a是b的真后置元素。
偏序关系符号的应用偏序关系符号在数学中有着广泛的应用，特别是在集合论、代数学、拓扑学等领域。
集合论中的应用在集合论中，偏序关系符号常用于描述集合之间的包含关系。
如果集合A包含于集合B，则可以表示为A≤B。
这种包含关系在集合论的推理和证明中起着重要的作用。
代数学中的应用在代数学中，偏序关系符号常用于描述数值之间的大小关系。
例如，在实数集合中，如果a≤b，则可以表示a小于等于b。
这种大小关系在代数运算和方程求解中经常用到。
拓扑学中的应用在拓扑学中，偏序关系符号常用于描述拓扑空间中点之间的邻近关系。
第七章.特殊关系
第七章 特殊关系重点：等价关系、偏序关系的各种性质的判断和证明；难点：如何正确地掌握等价关系及相应的等价类与集合划分之间的关系；如何正确的理解和判断偏序关系的八种特殊元素。
7.1 等价关系1．等价关系设A 是任意非空的集合，R 是A 上的二元关系，如R 是自反的，对称的，传递的关系，则R 称为A 上的等价关系。
下面是一些特殊的等价关系：（1） 任一结合A 上的恒等关系I A 是等价关系； （2） 任一集合A 上的全关系A ×A 是等价关系；（3） 整数集合I 上的模m 同余关系R ＝{<x,y>|(x,y ∈I)∧(x-y)被m 所整除}是等价关系； 2． 等价类设A 是任一非空集合，R 是A 上的等价关系。
对∀x ∈A ，称[x]R = {y|(y ∈A)∧(<x,y>∈R)}为由x 所生成的关于R 的等价类，x 为生成元。
关于等价类，有如下性质：a) 对∀x ∈A ，x ∈[x]R ；b) 对∀x ，y ∈A ，（x≠y ），如y ∈[x]R ，则 [x]R ＝[y]R ，如y ∉[x]R ，则 [x]R∩[y]R ＝∅。
c)[]R x Ax A ∈=1． 划分设A 是非空集合，如存在一个A 的子集族π（π⊆P （A ）），满足以下条件： （1）∅∉π；（2）π中任两个不同的元素交集为空； （3）π中所有元素的并集等于A 。
则称π为A 的一个划分，且称π中元素为划分块。
2．商集从划分和等价类的等一知，A商关于R的一切等价类恰好可以构成集合A的一个划分，该划分为集合A在R下的商集，为此有：A/R ＝{[x]R |（一切x∈A）}称为集合A在R下的商集。
根据划分和商集的敌对你给一，在划分和等价关系之间存在着一一对应关系。
即给定集合A上的一个等价关系R，由R可以唯一产生集合A的一个划分π＝A/R，反之，对集合A的任一划分π＝{A1,A2,…,A k}，可唯一对应集合A上的一等价关系R ＝（A1×A1）∪（A2×A2）∪…∪（A k×A k）。
《离散数学》偏序关集与格
第六章 偏序关集与格
• §6.1 偏序关系和偏序集
– §6.1.1 偏序关系和偏序集的定义与性质 – §6.1.2 积偏序和字典序 – §6.1.3 哈斯图
• §6.2 偏序集中的特殊元素
– §6.2.1 偏序集中的特殊元素 – §6.2.2 拓扑排序 – §6.2.3 有限偏序集的高度与宽度
• §6.3 格与布尔代数
– §6.3.1 格的定义 – §6.3.2 特殊的格 – *§6.3.3 布尔代数
18
积偏序和字典序
• 定理 假设 (A, ≤1) 和 (B, ≤2) 是两个偏序集，
则可以定义在 AB 上的偏序关系 ≤ 为： (a, b) ≤ (a’, b’) 当且仅当 a≤1a’ 且 b≤2b’，
42
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
43
极大元与极小元
h
f
g
d
e
a
b
c
44
最大元与最小元
12 8
9
6
4
10
11 3
2
57
1
45
极大元与极小元
{a, b}
{a, b, c}
{b, c} {a, c}
{a}
46
{b} {c}
极大元与极小元
• 有时候，极大元/极小元只有一个； • 有时，极大元/极小元也可能存在多个； • 孤立结点既是极小元，也是极大元； • 有时，极小元和极大元可能不存在，
• 偏序集 (A, R1) 称做偏序集 (A, R) 的对偶。
12
偏序集
• 例如：
– 小于等于关系 和
– 大于等于关系
离散数学-第四章 关系-内容提要
{}
传递。
(5)如 果 VJ
:IT{∶ ∶ ∶ ∶ 蚕 ⒈11∶⒈ ∶ Ll ;, 翕 罐 ∶ ∶ ∶ 置 R在 A上
:I∶
:: 1∷
Vj V石
(Π
、 、 y,z)∈ R→ 〈 R∧ 〈 J,z〉 ∈ R),则 称 Π ,y,z∈ A∧ 〈 ,j〉 ∈
1亠
判别法
:
利用关系表达式判别 (1)R在 A上 白反 ㈡rA∈ R。
,
系:简 称全胛 蜮 线序 曳
柙
\宀
:'艹
° Γ ˉ叽
抖 ¨ ‰ 艹 渺 冖妒 ”
^讷
p¨ ¨
¨
i
∶
^¨
Ⅱ… ¨
=艹
)。
`呻
/
‘ :° f耷
一
^A’
工 < ′
工 < ′
Ι ⒕
,
、
\′
I纟
:
轱
/廴
跃
:
h,如 果 J≤ y∨ y※ J,贝 刂 ∈ 称
J与 j可 比。
称 y覆 盖 J。
偏序集中的特殊元素
得 ⒎ 则
:
y,z〉 ∈ S))。 ∈ R∧ 〈
有关基本运算的定理 ・ 定理 4.1 设 F是 任意的关系 ,则
(1)(Fˉ l)ˉ ^l=F。
・
(2)domFˉ ˉ ∴ =ranF,ranF~l=domF。
定理 4.2 设 F,G,Ⅳ 是任意的关系 ,则 (1)(F° G)° H=Fo(G° H), (2)(FoG)ˉ l=G^loF_ˉ
:
(2)R在 (3)R在 (4)R在 (5)R在 (1)R在 (2)R在 (3)R在 (4)R在
A上 反 自反 ⑶R∩ rA=¤ 。 A上 对称 山R=Rl。 ; A上 反对称 ㈡R∩ R~l∈ A上 传递 ㈡R。 R∈ R。
离散数学公式
离散数学公式基本等值式1.双重否定律 A ⇔┐┐A2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A3.交换律A∨B ⇔ B∨A，A∧B ⇔ B∧A4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A，A∧(A∨B) ⇔ A8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 09.同一律A∨0 ⇔ A，A∧1 ⇔ A10.排中律A∨┐A ⇔ 111.矛盾律A∧┐A ⇔ 012.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ⇔┐B→┐A15.等价否定等值式 A↔B ⇔┐A↔┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ⇔┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、↔(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式(1) A ⇒ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) ⇒ A 化简律(3) (A→B)∧A ⇒ B 假言推理(4) (A→B)∧┐B ⇒┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B ⇒ A 析取三段论(6) (A→B) ∧(B→C) ⇒ (A→C) 假言三段论(7) (A↔B) ∧(B↔C) ⇒ (A ↔ C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ⇒ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ⇒(┐A∨┐C)破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）∀xA(x) ⇔ A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）∃xA(x) ⇔ A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐∀xA(x) ⇔∃x┐A(x)（2）┐∃xA(x) ⇔∀x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）∀x(A(x)∨B) ⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B) ⇔∀xA(x)∧B∀x(A(x)→B) ⇔∃xA(x)→B∀x(B→A(x)) ⇔ B→∀xA(x)（2）∃x(A(x)∨B) ⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ⇔∃xA(x)∧B∃x(A(x)→B) ⇔∀xA(x)→B∃x(B→A(x)) ⇔ B→∃xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀xB(x)（2）∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x)全称量词“∀”对“∨”无分配律。
偏序关系中特殊元素判定(源程序代码)
{
printf("输入错误.\n");exit(0);
}
i=LocateVex(G,v1); j=LocateVex(G,v2);
p=(ArcBox*)malloc(sizeof(ArcBox));
p->tailvex=i;
#include<stdio.h>
#include<malloc.h>
#include<stdlib.h>
#define NULL 0
#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef struct ArcBox // 弧的结构表示
}
void xjie(OLGraph G,char *p,int m) //求下界
{
int i,j=0,t;
for(i=0;i<G.vexnum;i++)
{
t=panduan(G,G.xlist[i].data,p,m,1);
{
int i,t;
for(i=0;i<m;i++)
{
t=panduan(G,p[i],p,m,0);
if(t==1)
{
printf("最大元是%c.\n",p[i]);
break;
}
}
if(t==0)
printf("没有最大元.\n");
}
void xqjie(OLGraph G,int m) //求下确界
{
偏序关系
“道是无序却有序”
自然数1,2,3,…,n2+1的任何一种排列中，必然含一
个长度不小于n+1的严格递增链或严格递减链。
建立问题的偏序模型
给定1, 2 …n2+1(=m)的一种排列 v1v2…vm，定义集合：
A={ (i,vi) |i=1,2,…,n2+1} (i, vi)R1(j, vj) iff. （i<j并且vi<vj）或者 (i, vi)=(j, vj)
采用循环证明 a≼b ab=a ab=a ab=b ab=b a≼b
格的性质
设(S, ≼)是格，则(S, , )有下列性质:
结合律：(ab) c = a (bc), (ab) c = a (bc) 交换律：ab = ba, ab = ba
注：覆盖P的链数 P中任一反链的元素个数.
等价结论:有限偏序集中存在一个链覆盖和一个反链，它们 大小相等
Dilworth定理的归纳证明
证明. 按照P中元素个数（|P|=1, 2 …）进行归纳证明. 设a为P中的一个极大元素, P’ =P-{a} 设(P’,≼)有一个大小为k的反链{a1, a2, …, ak}，并有一个规模 为k的链覆盖{C1, C2, …, Ck}. 对任意Ci , P’中大小为k的任一反链均有唯一的元素属于Ci， 这些元素有一个最大元，记为xi. A={x1, x2, …, xk}必是反链。否则，不妨假设A中有两个元素 xi≼ xj. 根据xj的定义，P’中必有一个大小为k的反链Aj, xj是Aj 和Cj的公共元素，假设y是Aj和Ci的公共元素，则y≼ xi. 从而 y≼ xj.与Aj是反链矛盾.
偏序集中的特殊元素
偏序集中的特殊元素偏序是有顺序特点的关系。
偏序集中的特殊元素有极⼤元、极⼩元、最⼤元、最⼩元，以及上界、下界、上确界和下确界⼋种。
定义如下:设偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈B1. 若∀x(x∈B → y≤x)，则y为B的最⼩元2. 若∀x(x∈B → x≤y)，则y为B的最⼤元3. 若∀x（x∈B ∧ x≤y → y=x），则y为B的极⼩元4. 若∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x），则y为B的极⼤元设偏序集< A，≤ >，B⊆A，y∈A1. 若∀x（x∈B → x≤y），则y为B的上界2. 若∀x（x∈B → y≤x），则y为B的下界3. 令C={y|y是B的上界}，则C中最⼩元就是B上确界4. 令C={y|y是B的上界}，则C中最⼩元就是B上确界［理解］最⼤元:∀x(x∈B → x≤y)由定义知道，x必须是B中的任何的⼀个元素，也同时y必须和x有关系，也就是说y必须和B内的任何⼀个元素有关系，如果都有x≤y，那么说明y是在排在最后的。
上⾯的题⽬第⼀个B中，关键是（2和3）还有（24和36）之间没有关系，⽽12，6⼜不是最⼤元最⼩元，所以没有最⼤元和最⼩元。
注意！哈斯图中没有相连的两个元素不⼀定就没有关系！根据哈斯图的定义，只有覆盖的才相连。
所以上⾯那⼀幅图中，2和6，12，24，36是有关系的，3也和他们（除了2）有关系，因为2≤6，6≤12，12≤24，12≤36，根据偏序的传递性，2和6，12，24，36都有关系，⽽且都在他们前⾯，同理3也是和他们有关，同理6除了和2，3，12有关，也和24，36有关。
也就是说除了2和3以及24和36两组没有任何关系，其他都有关。
必须和任何元素有关系，才能突出“最”。
同理，最⼩元也是。
极⼤元: ∀x（x∈B ∧ y≤x → y=x）由定义知道，x∈B ∧ y≤x这是极⼤元的两个条件，也就是说x必须属于B，⽽且y和x必须有关系（这⾥说明了并不需要和任何元素都有关系，和特定元素有关系即可，因为如果没有关系，那么就是前假后必真，也属于极⼤元），如果y≤x，那么就是极⼤元，为什么？因为如果y≤x，则y=x的话，说明如果y≠x的时候，y不可能⼩于x，只能⼤于x，故为极⼤元。
第十七讲偏序集
第十七讲偏序集17.1. 定义：设≤为非空集A上的二元关系，≤为A上偏序关系，指(1)(∀x∈A)(x≤x) 自反(2)(∀x,y∈A)(x≤y≤x→x=y) 反对称(3)(∀x,y,z∈A)(x≤y≤z→x≤z) 传递由A及其偏序组成的二元组(A, ≤)被称为偏序结构或偏序集(poset)。
17.2. 记号：(1)x<y定义为x≤y∧x≠y (x小于y)(2)x y定义为x≤y∨y≤x (x与y可比较)17.3. 例：(1)|为Z+上的整除关系，(Z+,|)为poset，注意非2 3。
(2)(P(A),⊆)为poset。
17.4. 定义：设(A, ≤)为poset，B⊆A,y∈B(1)y为B的最小元(least element)指(∀x∈B)(y≤x)(2)y为B的极小元(minimum element)指(∀x∈B)(x≤y→x=y)(3)y为B的最大元(greatest element)指(∀x∈B)(x≤y)(4)y为B的极大元(maximum element)指(∀x∈B)(y≤x→x=y)17.5. Fact:(1)最小元必为极小元(2)最大元必为极大元(3)最大小)元是唯一的，但未必存在(4)极大(小)可有任意个(包括零和无穷)(5)若B有穷，则B之极大(小)元存在在(Z+,|)中，Z+无极大元，无最大元，但有最小元在(Z,≤)中，Z极大、极小元，无最大、最小元在(Z+,|)中，{1,2,…,6}有极大元6,5,4在(Z,Id Z)中，Z无最大(小)元，但有无穷个极大(小)元，其集为Z17.6. 定义：设(A, ≤)为poset，≤为A上的全序指(∀x,y∈A)(x≤y∨y≤x)。
例：(1)(P(A), ⊆)为全序↔|A|=1(2)令B=P(A)-{∅,A},当|A|≥2时，求B的极小元和极大元证明：(1)“←”：Case 1:|A|=0,P(A)={∅},(P(A),≤)为全序Case 2:|A|=1,设A={a},P(A)={∅,{a}},(P(A),⊆)为全序“→”：只需证|A|≥2时，(P(A),⊆)非全序∵|A|≥2 ∴可取a,b∈A,a≠b∵非{a} {b} ∴(P(A),⊆)非全序(2)|A|≥2,B既无最大元又无最小元B的极大元呈形A-{a}这里a∈AB的极小元呈形{a}17.7. 定义：设(A,≤)为poset，B⊆A，y∈A(1)y为B的上界(记为B≤y)指(∀x∈B)(x≤y)(2)y为B的下界(记为y≤B)指(∀x∈B)(y≤x)(3)y为B的上确界指B≤y∧∀z(B≤z→y≤z)(4)y为B的下确界指y≤B∧∀z(z≤B→z≤y)上确界亦称最小上界，B的上确界记为sup(B)下确界亦称最大下界，B的下确界记为inf(B)17.8. (1)Sup(B)与Inf(B)未必存在，若存在，则唯一。
第3章 10偏序关系
3.10.4 两种特殊的偏序集
1.全序
设“≤”是集合A上的一个偏序关系，对于任意a,b∈A， 当a≠b时，a≤b和b≤a至多一个成立，这意味着允许a≤b 和b≤a可以都不成立。 例如 在例3的整除关系中，3≤4，4≤3均不成立。
在例4的包含关系中
{b} {a, c},{a, c} {b}
显然
cov A 。
哈斯(Hasse)根据盖住的概念给出了偏序关
系图的一种画法,这种画法画出的图称为哈 斯图,作图规则如下：
(1)用小圆圈代表元素;
(2)若元素a≠b且a≤b时，则结点a 画在结点b的下方。 (3) 若b盖住 a ，则在 a 与b 之间用 直线连接 . 由于所有边的箭头向 上,故省去箭头。例3中的关系 的哈斯图如右图.
（4）若a是B的下界，且对B的任意下界 ，均有 a
则称a为B的最大下界（下确界），记作GLB(B)。
通过以上例子可以看出界有以下性质： （1）一个集合可能没有上界或下界，若有，则不一 定唯一，并且它们可能在B中，也可能在B外；
（2）一个集合若有上下确界，必定是唯一的，并且 若是B的最大（小）元素，则它必是B的上（下）确界。
例如 ρ 1 = ｛〈 0,1 〉，〈 1,2 〉，〈 3,3 〉，〈 3,4 〉｝， ρ 1· ρ 2=｛〈1,3〉，〈1,4〉，〈3,3〉｝，
1
2
则ρ 2=｛〈2,3〉，〈2,4〉，〈4,3〉｝或
ρ 2=｛〈2,3〉，〈2,4〉，〈3,3〉｝都可以。
3 .有人说，集合A上的关系
，如果是对称的且可
对任意 S , S 2U ，若 S S 且 S S ，则 Si S j i j j i i j 所以“ ” 是反对称的。 对任意 S , S , S 2U，若 S S ，S S ，则Si S k 所以“ ”是可传递的。
离散数学40.偏序关系中的特殊元素
e c
b
解：A不存在最大、最小元；极大元素为d,e,极小元素为 a,b；
B的最大元素为c，没有最小元素；极大元素为c, 极小元 素为a,b.
2、定理3-12.1 设<A , ≼ >是一偏序集合，且BA，若B有 最大（最小）元，则是唯一的.
• 证： 设a, b都是B的最称性，得a=b. • 最小元证明情况与此类似.
偏序关系中的 特殊元素
一、偏序集中的特殊元素
1、定义3-12.5,3-12.6 设<A, ≼ >为偏序集，B是A的子集， y∈B， (1)若bB,且B中不存在任何元素x,使bx且b ≼ x，称b是B的 极大元. (2)若bB,且B中不存在任何元素x,使bx且x ≼ b，称b是B的 极小元. (3)若 (x)(x∈B→y ≼ x)成立，则称y为B的最小元. (4)若 (x) (x∈B→x ≼ y)成立，则称y为B的最大元.
设<A, ≼ >为偏序集，BA。 A={ a，b，c，d，e，f，g，h，i，j，k }, B={a，b，c，d，e，f，g } B’={h，i，j，k } <A, ≼ > 的哈斯图如 下所示.
注：
(1) B的最大元(最小元)必定是B的上界(下界)，也是B的最小上界 （最大下界） .
(2) B的上界（下界）和最小上界（最大下界）可以是也可以不是 B的元素.上界和下界可以存在也可以不存在，可以唯一也可以 不唯一.
（1）极小（大）元不一定与集合中元素可比，只要没有比它 “小”（大）的元素，它就是极小（大）元.
最小（大）元是偏序集中最“小”（大）的元素，它与集 合中其它元素都可比. （2）对于非空有限偏序集合，其极大元素和极小元素总是存 在，可以唯一也可以不唯一. （3）最小（大）元可以不存在，如果存在，一定是唯一的. （4）如果偏序集中只有一个极小（大）元，则它一定是集合 的最小（大）元.如果偏序集中存在最小（大）元，则它一定是 集合的唯一极小（大）元.
次序关系
复习
设 R 是 A 上的二元关系，设 S = {<a,b> | c(<a,c>R<c,b>R)}. 证明如果 R 是等价关系，则 S 也是等价关系。
证: R 是 A 上的等价关系. 证 S 在 A 上自反 任取 x, xA <x,x>R （因为 R 在 A 上自反） x (<x,x>R<x,x>R) <x,x>S 证 S 在 A 上对称 任取<x,y>, <x,y>S c(<x,c>R<c,y>R) c (<c,x>R<y,c>R) （因为 R 在 A 上对称） <y,x>S
，R 整除具备自反性、反对称性、传递性，所以整除关系 R 整除是 A 上的偏序关系。
注意，偏序关系的图中每个顶点都有自环，任意两个不同的顶 点要么没边要么单边，任意两个顶点若是可达的必有直接相连。 若有顶点 a 指向 b 的边，则称 a 与 b 可比，并称 a≤b。 因此，偏序关系中任意两个顶点要么可比要么不可比。
R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>,<c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
三、线性次序 及其哈斯图
2.6 次序关系
定义 2.22 R 为非空集合 X 上的偏序关系, x,y∈X, x 与 y 都是可比的，则称 R 为全序（或线序）.
例 6：整数集合{2,4,6,7,9}上的“大于等于关系≧”是 最常见的线性次序关系. 哈斯图如下 2 4 6 7 9
2.6 次序关系
[VIP专享]偏序关系中特殊元素判定-2013
![[VIP专享]偏序关系中特殊元素判定-2013](https://img.taocdn.com/s3/m/7e8e24574028915f814dc24f.png)
2 系统设计 .....................................................................................................................3 2.1 设计说明..................................................................................................................3 2.2 数据结构描述..........................................................................................................3 2.3 MAIN()函数...............................................................................................................4 2.4 十字链表建立函数 .................................................................................................5 2.5 求解判断函数 .........................................................................................................7 2.6 特殊元素求解函数................................................................................................10
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由此得到序列a0,a1,a2,……,且满足ai≠ai+1, ai≤ai+1 。
∵|A|=n， ∴以上序列最多只有n个元素。也即上述步骤 经过最多n步后一定停止。序列最后的一 个元素就是极大元。 同理可证极小元存在。
练习 2
集合A = {2, 3, 6, 12, 24, 36}上的整除关系， 令B1= {6, 12}、B2= {2, 3}、B3= {12, 36}、 B4= {2, 3, 6}、B5= {2, 3, 6, 12}、B6= {2, 3, 6, 12, 24, 36}， 求B1、B2、B3、B4、B5和B6的极大元和极小元。
定理
设<A,≤>是一个偏序集，且BA，如果B有最
大(小)元，那么它一定唯一。（最值元存在就唯一）
证(最小元唯一) 设a,b都是B的最小元，
∵a是B的最小元 ∴a≤b， ∵b是B的最小元 ∴b≤a，
由≤的反对称性知：a=b。 即最小元若存在，一定唯一。
练习1
集合A = {2, 3, 6, 12, 24, 36}上的整除关系， 令B1= {6, 12}、B2= {2, 3}、B3= {12, 36}、 B4= {2, 3, 6}、B5= {2, 3, 6, 12}、B6= {2, 3, 6, 12, 24, 36}， 求B1、B2、B3、B4、B5和B6的最大元和最小元。
练习 3
集合A = {2, 3, 6, 12, 24, 36}上的整除关系， 令B1= {6, 12}、B2= {2, 3}、B3= {12, 36}、 B4= {2, 3, 6}、B5= {2, 3, 6, 12}、B6= {2, 3, 6, 12, 24, 36}， 求B1、B2、B3、B4、B5和B6的上界和下界。
例2
集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系， 令B1= {1, 6}、B2= {1, 2, 3}、B3= {4, 6, 12}、 B4= {2, 4, 6}、B5= {1, 2, 6, 12}、B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}。 分别求出B1、B2、B3、B4、B5和B6的极大元和极小元。
偏序集中的8个特殊元素(上界、下界)
定义3 对于偏序集<A, ≼>和集合A的任意子集B， 如果存在元素aA，使得任意xB都有x≼a， 则称a为子集B的上界； 如果存在元素aA，使得任意xB都有a≼x， 则称a为子集B的下界。 注意：B的上（下）界不一定是B中的元素！
例3
集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系， 令B1= {1, 6}、B2= {1, 2, 3}、B3= {4, 6, 12}、 B4= {2, 4, 6}、B5= {1, 2, 6, 12}、B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}。 分别求出B1、B2、B3、B4、B5和B6的上界和下界。
偏序集中的8个特殊元素(极大元、极小元)
定义2 对于偏序集<A, ≼>和集合A的任意子集 B，
如果存在元素bB，使得B中不存在其它元素x满足b≼x， 则称b为B的极大元素，简x≼b， 则称b为B的极小元素，简称为极小元。 注意：最大（小）元 vs. 极大（小）元 最大（小）元必须与B中每个元素都可比， 极大（小）元无此要求(只要求没有比它更大或更小的元素)。
偏序集中的8个特殊元素
偏序集中的8个特殊元素(最大元、最小元)
定义1 对于偏序集<A, ≼>和集合A的任意子集 B， 如果存在元素bB，使得任意xB都有x≼b， 则称b为B的最大元素，简称为最大元；
如果存在元素bB，使得任意xB都有b≼x， 则称b为B的最小元素，简称为最小元。
例1
集合A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}上的整除关系， 令B1= {1, 6}、B2= {1, 2, 3}、B3= {4, 6, 12}、 B4= {2, 3, 4}、B5= {1, 2, 6, 12}、B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}。 分别求出B1、B2、B3、B4、B5和B6的最大元和最小元。
解: 对于集合B1= {1, 6}，最大元为6，最小元为1； 对于集合B2= {1, 2, 3}，元素2和3不可比， 所以，不存在最大元，最小元为1； 对于集合B3= {4, 6, 12}，元素4和6不可比， 所以，不存在最小元，最大元为12； 对于集合B4= {2, 3, 4}，元素3和2、4都不可比， 所以，不存在最大元，最小元； 对于集合B5= {1, 2, 6, 12}，最大元为12，最小元为1； 对于集合B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}，最大元为12，最小元为1。
定理 如果<A,≤>是非空有限偏序集，则A的极大(小) 元必存在。BA,B的极大(小) 元必存在。 （有限则极元存在） 证(A的极大元存在) 设|A|=n,从A中任取一个元素a0,对A的元素a0 , 用以下步骤建立一个序列: ①x=a0,i=0； ②若x是极大元,则停止,否则转向③； ③若x不是极大元,则可找到异于x的元素y,使x≤y； ④令ai+1=y,x=y,i=i+1,转向②。
解: 对于集合B1= {1, 6}，上界为6和12，下界为1； 对于集合B2= {1, 2, 3}，上界为6和12，下界为1； 对于集合B3= {4, 6, 12}，上界为12，下界为1和2； 对于集合B4= {2, 4, 6}，上界为12，下界为1和2； 对于集合B5= {1, 2, 6, 12}，上界为12，下界为1； 对于集合B6= {1, 2, 3, 4, 6, 12}，上界为12，下界为1。
解: 对于集合B1= 对于集合B2= 对于集合B3= 对于集合B4= 对于集合B5= 对于集合B6=
{1, 6}，极大元为6，极小元为1； {1, 2, 3}，极大元为2和3，极小元为1； {4, 6, 12}，极大元为12，极小元为4和6； {2，4，6}，极大元为4和6，极小元为2； {1, 2, 6, 12}，极大元为12，极小元为1； {1, 2, 3, 4, 6, 12}，极大元为12，极小元为1。