江苏省徐州市王杰中学高二数学《任意角的三角函数》学案二
(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版
(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版《任意角的三角函数》教案邓赞武第 1 章（单元) 第 2 节第 2 课时一、教学内容：1.2.2任意角的三角函数（二）二、教学目标:知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2。
利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;3。
利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;三、教学重点与难点：重点：正弦、余弦、正切线的概念.难点：正弦、余弦、正切线的利用。
四、教学程序：（目标导航、自主学习、合作探究、精讲点拨、演练反馈、总结提高、当堂检测）五、教学过程：4．精讲点拨时量:8分钟左右例1．已知42ππα<<，试比较,tan,sin,cosαααα的大小.以合作互动方式一起完成体会三角函数线的用处和实质5．演练反馈时量：8分钟左右练习19P第1,2,3，4题当堂练习，巩固知识检验对知识、方法的掌握程度6．总结提高时量：4分钟左右学习小结（1)了解有向线段的概念。
（2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.1．作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1）sin15︒、tan15︒（2）'cos15018︒、cos121︒（3）5π、tan5π2．练习三角函数线的作图。
再次总结回忆本节课的重点内容概括、整合、拓展，体验收获,反思提高；课后预习与作业任务布置）六、提纲：风,没有衣裳；时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。
你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切. 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康. 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美,在于它必然的流逝。
高中数学必修4教案1.2.1任意角的三角函数(教、学案)
1. 2.1任意角的三角函数【教学目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； （2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 【教学过程】 一、【创设情境】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那 (,)P a b ,它与原么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点点的距离220r a b =+>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.P 在α的终边思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.二、【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?yP （a ，b ）rαO Ma 的终边P(x,y)Oxy如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； （3）y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离22r x y =+,那么22sin y x yα=+,22cos x x yα=+,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：三角函数定义域第一象限 第二象限 第三象限 第四象限角度制弧度制 sin αcos αtan α5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=6.三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .oxy MP A xyo M TPA由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有sin 1y y y MP r α====MP cos 1x x x OM r α====OM tan y MP ATx OM OAα====AT我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
高中数学必修四导学案-任意角的三角函数2
1.2.1 任意角的三角函数< 第二课时>班级姓名学习目标1.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.2.正确利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来,即用正弦线、余弦线、正切线表示出来.重点难点教学重点终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示.教学过程（一）复习提问1、三角函数（正弦，余弦，正切函数）的概念。
（两个定义）2、三角函数（正弦，余弦，正切函数）的定义域。
3、三角函数（正弦，余弦，正切函数）值在各象限的符号。
4、<小结>常见常用角的三角函数值（二）新知探究1、问题 ：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？2、求下列三角函数值 (1)sin420°; (2) sin60°3、结论 由三角函数的定义,可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一):（作用）利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值.这个公式称为三角函数的“诱导公式一”.4.例题讲解例1、确定下列三角函数值的符号：（1）sin(-392°) (2)tan(-611π) 练习(1)、确定下列三角函数值的符号： （1）tan(-672°) (2)sin1480°10¹ (3)cos49π例2、求下列三角函数值 (1)sin390°; (2)cos613π; (3)tan(-690°). 练习(2)、求下列三角函数值 (1)sin420°; (2)cos 625π; (3)tan(-330°).5、由三角函数的定义我们知道,对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的,或者说是用数来表示的,今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法.三角函数线（定义）：（1） （2） （3） （4）设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交点P (,)x y 。
高中数学必修四4-1.2.1任意角的三角函数(二教案新人教A版必修4
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向
的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指
向垂
足；正切线由切点指向与
的终边的交点。
（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与
x 轴或 y 轴同向的为正值，与 x 轴或 y 轴反
向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
sin
y MP ， cos
x OM ， tan
r1
r1
x OM
AT AT
OA
我们就分别称有向线段 MP , OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为
的终边与单位圆的交点到 x 轴的垂直线段；余弦线
在 x 轴上；正切线在过单位圆与 x 轴正方向的交点的切线上，
4．例题分析： 例 1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（ 1） ； （ 2） 5 ；
3
6
解：图略。
（ 3）
2
；
3
13
（ 4）
．
6
例 2. 若 0
，证明 sin cos 1. 2
例 3.比较大小：
(1) sin 2 与sin 4
3
5
(3) tan 2 与 tan 4
3
5
(2) cos 2 与 cos 4
3
3
练习 2. 若 sin θcosθ 0, 则θ在 ________. B
A . 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第一、四象限
D. 第二、四象限
练习 3.
若 cosθ 0，且 sin2 0则 θ的终边在 ____ C
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数(第二课时)导学案
高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数（第二课时）导学案1.2.1任意角的三角函数（第二课时）【学习目标】1．进一步理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；2.了解角的正弦线、余弦线、正切线，认识三角函数的定义域；3.掌握并能初步运用定义、公式一分析和解决与三角函数值有关的一些问题.【新知自学】知识回顾：1.三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：(1)____叫做的正弦，记作____，即____；（2）___叫做的余弦，记作____，即____；（3）___叫做的正切，记作___，即_____.2．三角函数的符号正弦值对于第一、二象限为____（y>0,r>0），对于第三、四象限为____(y0) 余弦值对于第一、四象限为_____(x>0,r>0),对于第二、三象限为___(x0) 正切值对于第一、三象限为____（x,y同号），对于第二、四象限为____（x,y异号）．新知梳理：1.诱导公式终边相同的角的_________________相等.公式一:_______=sin，____________=cos，_________=tan.（其中，）2．正弦线、余弦线、正切线：如上图，分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线.对点练习：1、比较sin1155°与sin(－1654°)的大小．2．用三角函数线比较sin1和cos1的大小，结果是_______________．3．利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“(1)sin23π________sin34π；(2)cos23π________cos34π；(3)tan23π________tan34π.【合作探究】典例精析：题型一：诱导公式的应用例1.求下列三角函数值：（1）；（2）；（3）变式练习（1）sin(-13950)cos11100+cos(-10200)sin7500; 变式练习（2）sin(.题型二：三角函数线的应用例2.在单位圆中，画出满足的角的终边.变式练习（3）已知，确定的大小关系.变式练习（4）：如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是() A．cosα＜sinα＜tanαB．tanα＜sinα＜cosαC．sinα＜cosα＜tanαD．cosα＜tanα＜sinα【课堂小结】【当堂达标】1．=（）A.B.C.D.2．若，则的大小关系是3.求值：.4、利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)sin2π3与sin4π5；(2)tan2π3与tan4π5；(3)cos2π3与cos4π5.【课时作业】1.若，则角一定是（）A.第三象限角B.第四象限角C.第三象限角或第四象限角D.不确定2.的值为（）A.2B.2或0C.2或0或D.不确定3.求下列各式的值：（1）（2）.*4.用三角函数线，比较sin1与cos1的大小.*5.在单位圆中，用阴影部分表示出满足的角的集合，并写出该集合. 6．用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1【延伸探究】利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．(1)sinθ≥32；(2)－12≤cosθ规律提示：用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π间满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间．。
江苏省徐州市高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数2教案 苏教版必修4
教学目标
了解有向线段的意义，了解三角函数线定义及画法。
教学重难点
会用三角函数线表示任意角的三角函数值
教学参考
书、教参
授课方法
讲练结合
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
复习： 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与原点的距离
课外作业
教学小结
新课：
1、什么是有向线段？什么是有向直线？、什么是有向线段的数量？
2、正弦、余弦、正切这三种三角函数值的几何表示：
如图角 与单位圆的交点为 ,用图中有向线段表示 ， ，
当 r=1Байду номын сангаас，
1、作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线：
（1） （2）
教学过程设计
教
学
二次备课
3、利用单位圆三角函数线写出符合下列条件的角 的集合：
（1） （2）
归纳总结：1、三角函数线定义，画法。
2、三角函数线的应用。
3、三角函数值的几何表示，数形结合的思想
（3） （4）
2、（1）根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函数值有怎样的变化规律？
（2）根据单位圆中的余弦线，你能发现余弦函数值有怎样的变化规律？
（3）根据单位圆中的正切线，你能发现正切函数值有怎样的变化规律？
江苏省徐州市王杰中学高中数学苏教版必修四学案：1.1.1任意角
1.1.1 任意角））体会运动变化的观点和数形结合以及分问题1：回忆初中所学的角是如何定义？角的范围是多少？问题2：时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？二、探究新知问题1：角的概念？问题2：角的分类？问题3：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合，那么对于一个任意角，角的终边（除端点外）可能落在哪些位置？什么叫象限角？问题4：（1）在直角坐标系中画出下列角并指出是第几象限角？-。
-；60-；15060；420；300（2）以上各角有终边相同的角吗？它们是 ，它们之间有什么关系？（3）归纳总结：与任意角α终边相同的角的集合为 ．三、应用新知【例1】在0︒到360︒的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。
（1）650︒； （2）150-︒； （3）99015'-︒．【例2】已知α与240︒角的终边相同，判断2α是第几象限角。
【思考】①终边在x 轴正半轴上的角α的集合是 ．②终边在y 轴上的角α的集合是 ． ③终边在第一象限的角的集合是 ．④若α是第一象限角，则2α是第几象限角？四、巩固新知1．下列角中哪些角与030角的终边相同？ （1）0210； （2）0330-； （3）0390； （4）0750。
2.在直角坐标系中作出下列各角的终边并指出它们是第几象限角？（1）0330； （2）0200-；3.在00到0360的范围内，找出与下列各角终边相同的角并判断它们是第几象限角；（1）055-； （2）01563。
五、课后反思。
数学1.2.1任意角的三角函数2学案苏教必修4
1、回顾三角函数的定义2、问题：（1）怎样确定一个角的三角函数值？（2）怎样用三角函数线表示三角函数值？（3）各象限内三角函数值的符号如何确定？ 3、练习：（1）已知角α的终边经过点(1,2)-，则cos α的值为_______________。
（2）已知角α的终边经过点(4,3)P a a -(0)a ≠，则=+ααsin 2cos （ ）A 、52 B 、52或－52 C 、53 D 、－52（3）函数|tan |tan cos |cos |x xx x y +=的值域为________________。
（4）在单位圆中作出符合下列条件的角的终边：1cos =x1tan -=x 75.0sin =x例例1、已知角α的终边过点(39,2)P a a -+，且cos α≤0，0sin >α，求a 的取值范围。
例2、已知点(4,)M x 在角α的终边上，且满足x <0，cos α=54，求tan α的值。
例3、求函数y =x x cos sin -+的定义域。
例4、（1）若－32π≤θ≤6π，试确定sin θ的取值范围。
（2）若︒30≤θ≤︒120且︒≠90θ，试确定θtan 的取值范围。
例5、分别写出满足下列条件的θ的集合（1）1tan ->θ （2）21-≤sin θ23<巩固练习1、求函数y=xx sin 2311sin 2-++的定义域。
课堂小结借助三角函数求角的值；判断三角函数在象限内的符号；三角函数的值域。
课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、若角α(πα20<<)的正弦线与余弦线的数量互为相反数，那么α的值为 ( ) A 、4π B 、43π C 、47π D 、43π或47π 2、若三角形的两内角α、β满足0cos sin <βα，则此三角形形状是 ( ) A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定 3、函数|tan |tan cos |cos |sin |sin |x xx x x x y ++-=的值域为________________。
高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二学案含解析新人教A版必修
学习资料内容标准学科素养1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域．2。
了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题。
应用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第10页[基础认识］知识点三角函数线阅读教材P15~17,思考并完成以下问题在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0）作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP,OM，AT的关系吗?当α的终边不在坐标轴上时（1）以M为起点，P为终点，规定当线段MP与y轴同向时,MP的方向为正方向且表示正值,当MP与y轴反向时,MP的方向为负方向且表示负值，那么,sin α可否用线段MP表示？提示：MP＝y＝sin α.(2)如果以O为起点，M为终点，规定OM方向与x轴同向时，表示正值,OM方向与x轴方向反向时，表示负值，那么,cos α与OM有什么关系?提示：OM＝x＝cos α.（3)如果以A为起点，T为终点，AT方向与y轴方向相同时表示正值，AT方向与y轴方向相反时表示负值，那么tan α与AT有什么关系?提示：tan α＝AT＝错误!.知识梳理如图为角α的三种三角函数,则sin α＝MP,cos α＝OM,tan α＝AT.有向线段MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线．思考有向线段MP与线段MP有什么不同？提示：有向线段MP就是由M指向P,规定了起点和终点，有方向．线段MP只是两点M、P间的线段，无方向．[自我检测］1．如图,在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线为PM,正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案：C2．当x∈［0，2π]时,不等式sin x≥错误!的解集为______．答案:错误!授课提示：对应学生用书第11页探究一三角函数线及其作法[例1]分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．（1）－错误!；（2）错误!.[解析］正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.方法技巧三角函数线的画法（1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足,从而得正弦线和余弦线．（2）作正切线时，应从A（1，0）点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角）或α终边的反向延长线（α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.跟踪探究 （1)作出－π3的正弦线；（2）作出4π3的正切线．解析：(1）作出－π3的正弦线MP ，如图所示．(2）作出错误!π的正切线AT 如图所示．探究二 利用函数线比较大小 [教材P 69第11题]比较大小:sin 378°21′，tan1 111°。
江苏省徐州市高中数学第1章三角函数1.1.1任意角教案苏教版必修4
小结： 课外 作业 教 学 小 结
例 2、已知 与 240 角的终边相同， 判断
0
是第几象 2
（2） 写出终边在 y 轴 正半轴上、 负半轴上、 y 轴上的角的集合.
限角？ （3） 若 是第三象限 角，判断
是第几象 2
变式： 2 ,
3
限角？
, ,180 0 ,180 0 呢？
例 3、讨论四个象限角的范围：
（1）推广角的概念、引入大于 360 角和负角； （2）理解并掌握正角、负角、零角的定义； （3） 理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与 角终边相同的角（包括 角）的表示方法； 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示.
教材、教参
1.1.1 任意角
教学 目标 教学 重难 点 教学 参考 授课 方法 教 【创设情境】 通过创设情境： “转体 720 ，逆（顺）时针旋转” ，角 有大于 360 角、零角和旋转方向不同所形成的角等， 引入正角、负角和零角的概念； 【自主学习】 阅读课本，回答下列问题： 1、角是如何定义的？ 2、角是如何分类的，其标准是什么？ 3、象限角是如何定义的？ 教学 过程 设计 其中哪些角的终边相 同？ 【建构数学】 1、 角的定义
自学、讨论、归纳、巩固训练
教学辅助手段
多 媒 体 专用教室 学 二次备课
回忆：初中学过哪些 角？
合作探究： 0 0 -300 ， 150 ， 0 0 0 0 -60 ,60 ,210 ,300 ,4 0 20 角 分 别是 第 几象 限角？
2、 角的分类
3、象限角的定义
教学
教
学
二次备课
(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版
(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版《任意角的三角函数》教案邓赞武第 1 章（单元) 第 2 节第 2 课时一、教学内容：1.2.2任意角的三角函数（二）二、教学目标:知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2。
利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;3。
利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;三、教学重点与难点：重点：正弦、余弦、正切线的概念.难点：正弦、余弦、正切线的利用。
四、教学程序：（目标导航、自主学习、合作探究、精讲点拨、演练反馈、总结提高、当堂检测）五、教学过程：4．精讲点拨时量:8分钟左右例1．已知42ππα<<，试比较,tan,sin,cosαααα的大小.以合作互动方式一起完成体会三角函数线的用处和实质5．演练反馈时量：8分钟左右练习19P第1,2,3，4题当堂练习，巩固知识检验对知识、方法的掌握程度6．总结提高时量：4分钟左右学习小结（1)了解有向线段的概念。
（2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.1．作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1）sin15︒、tan15︒（2）'cos15018︒、cos121︒（3）5π、tan5π2．练习三角函数线的作图。
再次总结回忆本节课的重点内容概括、整合、拓展，体验收获,反思提高；课后预习与作业任务布置）六、提纲：风,没有衣裳；时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。
你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切. 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康. 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美,在于它必然的流逝。
高中数学 1.2.1《任意角的三角函数(二)》教案 苏教版必修4
第 4 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（二）【三维目标】：一、知识与技能1. 会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角α的正弦、余弦、正切函数值2.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题（利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围）。
二、过程与方法1.借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；2.在论坛上开展研究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.三、情感、态度与价值观1. 激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境.2.通过三角函数的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间【教学重点、难点与关键】：重点：三角函数线的作法及其简单应用（利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来）.难点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值关键：掌握有向线段及其数量的概念是克服难点的关键【学法与教学用具】：1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”——科研式教学.2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展.3．教学手段：本节课教学地点选在多媒体网络教室，学生利用几何画板软件探讨数学问题，做数学实验；借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能.4. 教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值rl =α，其中l 是以角α作为圆心角时所对弧的长，r 是圆的半径。
苏教版高中数学必修四任意角的三角函数教案(2)
1.2.1 任意角的三角函数（1）一、课题：任意角的三角函数（1）二、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
三、教学重、难点：根据定义求三角函数值。
四、教学过程：（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
（二）新课讲解： 1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值xr叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；（4）比值xy叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=；（5）比值rx叫做α的正割，记作sec α，即sec r x α=；（6）比值ry叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=．说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec rxα=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy y α=与csc ryα=无意义；④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 、rx、r y 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
高中数学 1.2.1 任意角的三角函数导学案2 新人教版必修4
江苏省徐州市王杰中学高中数学 1.2.1 任意角的三角函数导学案2 新人教版必修4锁定目标 找准方向预设 生成进一步掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会用角α的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角α的正弦、余弦、正切函数值；进一步掌握正弦、余弦、正切的函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号．课前向学生解释目标自我构建 快乐无限1、回顾三角函数的定义2、问题：（1）怎样确定一个角的三角函数值？（2）怎样用三角函数线表示三角函数值？（3）各象限内三角函数值的符号如何确定？ 3、练习：（1）已知角α的终边经过点(1,2)-，则cos α的值为______________。
（2）已知角α的终边经过点(4,3)P a a -(0)a ≠，则=+ααsin 2cos （ ）A 、52B 、52或－52C 、53D 、－52 （3）函数|tan |tan cos |cos |x xx x y +=的值域为________________。
合作探究 携手共进学生先单位独立思考，然后再以小组为单位合作探究例1、已知角α的终边过点(39,2)P a a -+，且cos α≤0，0sin >α，求a 的取值范围。
例2、已知点(4,)M x 在角α的终边上，且满足x <0，cos α=54，求tan α的值。
例3、求函数y =x x cos sin -+的定义域。
拓展提升 学以致用预设生成1、求函数y=xx sin 2311sin 2-++的定义域。
2、求下列函数定义域 （1）1cos 2-=x y （2）)sin 34lg(2x y -=独立思考，合作探究，小组代表发言反馈检测体验成功课后独立完成。
我的收获。
高中数学第1章三角函数1.2.1任意角的三角函数学案(无答案)苏教版必修4(2021学年)
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1。
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1任意角的三角函数【学习目标】1、理解并掌握任意角三角函数的定义．２、理解三角函数是以实数为自变量的函数.3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号【重点难点】重点:任意角三角函数的定义；难点:三角函数的定义：【学习过程】一、课前准备１、阅读课本P11—-152、 在初中我们学习了锐角三角函数,它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数:=αsin=αcos=αtan ﻫ【问题１】(A)锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?即用r y x ,,表示：2222>+=+=y x y x r =αsin =αcos=αtan ﻫ二、学习新课:【问题２】、(A)任意角的三角函数定义:在直角坐标系中,设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点)的坐标为(,)x y ,它与原点的 c a αB ry)(x,αP距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>那么O Pαxy(1)比值______＿叫做α的正弦,记作_＿＿_＿_＿,即＿__＿____(2)比值＿______叫做α的余弦，记作＿___＿__，即_＿_______（３）比值＿＿_____叫做α的正切，记作_＿__＿_＿，即__＿___＿_＿;思考:1、凡是终边相同的角的三角函数值相等吗?为什么?2、三个比值以点在α的终边上的位置的改变而改变吗？为什么? ３、当)(2Z k k ∈+=ππα 时，x y =αtan 有意义吗？为什么 ? 2｀三角函数的正负0>r 而ｘ，y 的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由象限确定。
江苏省徐州市王杰中学高中数学必修4导学案 1.1.1任意角(1)[ 高考]
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合作探究 携手共进
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例 1、在 0 到 360 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第 几象限角： （1） 650 （2） 150 （3） 990 15' 学生先 单位独 立 思
考，然 后再以 小组为 单位合 作探究 例 2、已知 与 240 角的终边相同，判断
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年级 课题 主备人
高一
学科
数学
总课时
46 第__ _1__找准方向
上课时间 预设 课前向 学生解 生成
1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角； 2.能写出与任一已知角终边相同的角的集合。
3.能在 0 到 360 范围内，找出与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角； 释目标 自我构建 快乐无限 1、正角、负角、零角的概念 正角: 负角： 零角： 2、象限角、轴线角的概念 。 重难点 终边相 同的角 的集合 和符号 语言表 示
2.设 60 ，则与角 终边相同的角可以表示为（ ） A、 60 k 360(k ) C、 30 k 360(k ) B、 300 k 360(k ) D、 120 k 360(k )
3.若 是第三象限角， 则 是第 4.若角 2 与 100 角的终边相同，则
，最小正角是
． 独立思 考，合 作 探
2.若 是第一象限角，则 180 是第_____象限角． 3.终边在第一、三象限的平分线上的角可表示为
究，小 组代表 发言 反馈检测 体验成功 1.以下四个命题中，是真命题的是（ ） A、小于 90 的角是锐角 C、锐角是第一象限角 B、第二象限角是钝角 D、负角不可能是第一象限角 课后独 立 成。 完
高中数学 第四章 任意角的三角函数(2)教案
任意角的三角函数（二） 教学目的：1.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.2.理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.教学重点：三角函数在各象限内的符号,终边相同的角的同一三角函数值相等 教学难点：正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r 2.比值ry 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值rx 叫做α的余弦 记作： r x =αcos 比值x y 叫做α的正切 记作： x y =αtan 比值yx 叫做α的余切 记作： y x =αcot 比值x r 叫做α的正割 记作： xr =αsec 比值y r 叫做α的余割 记作： y r =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数. ry)(x,αP3.突出探究的几个问题： ①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r 而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定.⑤定义域：ry =αsin R y r =αcsc {}Z k k ∈≠,|παα r x =αcos R xr =αsec ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα x y=αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα yx =αcot {}Z k k ∈≠,|παα : (1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合.(2)OP 是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.(3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin ”与“α”的积.其余五个符号也是这样.(4)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关.(5)比值只与角的大小有关.二、讲解新课：1. 三角函数在各象限内的符号规律：第一象限：0,0.>>y x∴sin α>0,cos α>0,tan α>0,cot α>0,sec α>0,csc α>0第二象限：0,0.><y x∴sin α>0,cos α<0,tan α<0,cot α<0,sec α<0,csc α>0第三象限：0,0.<<y x∴sin α<0,cos α<0,tan α>0,cot α>0,sec α<0,csc α<0第四象限：0,0.<>y x∴sin α<0,cos α>0,tan α<0,cot α<0,sec α>0,csc α<0记忆法则：第一象限全为正,二正三切四余弦.ααcsc sin 为正 全正 ααcot tan 为正 ααsec cos 为正2. 终边相同的角的同一三角函数值相等 例如390°和-330°都与30°终边位置相同，由三角函数定义可知它们的三角函数值相同，即sin390°=sin30° cos390°=cos30°sin(-330°)=sin30°cos(-330°)=cos30°诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成 ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+kααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+kααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 三、讲解X 例：例1确定下列三角函数值的符号(1)cos250° （2）)4sin(π- （3）tan （－672°） (4))311tan(π 解：(1)∵250°是第三象限角 ∴cos250°＜0(2)∵4π-是第四象限角，∴0)4sin(<-π (3)tan （－672°）＝tan （48°－2×360°）＝tan48°而48°是第一象限角，∴tan （－672°）＞0(4)35tan )235tan(311tanππππ=+= 而35π是第四象限角，∴0311tan <π. 例2 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ 证明：必要性：∵θ是第三象限角， ∴⎩⎨⎧><0tan 0sin θθ 充分性：∵sin θ＜0，∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上∵tan θ＞0，∴θ是第一或第三象限角.∵sin θ＜0，tan θ＞0都成立.∴θ为第三象限角.例3 求下列三角函数的值(1)sin1480°10′(2)49cos π（3）)611tan(π-. 解:(1)sin1480°10′＝sin （40°10′＋4×360°）＝S in40°10′(2)224cos )24cos(49cos ==+=ππππ (3).336tan )26tan()611tan(==-=-ππππ 例4求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tg4950°． 解：原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)+tg(360°+135°)．=sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135°=21212323⨯+⨯-1=0 四、课堂练习：1.确定下列各式的符号(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5分析:由角所在象限分别判断两个三角函数值的符号,再确定各式的符号. 解(1)∵100°是第二象限的角,240°是第三象限的角.∴sin100°＞0,cos240°＜0,于是有sin100°·cos240°＜0.(2)∵,2523ππ<<∴5是第四象限的角∴sin5＜0,tan5＜0,于是有sin5+tan5＜0.2. .x 取什么值时,xx x tan cos sin +有意义? 分析：因为正弦、余弦函数的定义域为R ，故只要考虑正切函数的定义域和分式的分母不能为零.解:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≠)Z (20tan k k x x ππ解得:⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠∈≠)Z (2)Z (k k x k k x πππ 即:)Z (2∈≠k k x π 所以,当⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≠∈)Z (2k k x x x π时，x x x tan cos sin +有意义. 3．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为……（B ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能4．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（B ） A ：sin α+cos α<0 B ：tan α-sin α<0C ：cos α-cot α<0D ：cot αcsc α<05．已知θ是第三象限角且02cos <ϑ，问2ϑ是第几象限角？ 解：∵2)12()12(ππϑπ++<<+k k )(Z k ∈ ∴4322ππθππ+<<+k k )(Z k ∈ 则2ϑ是第二或第四象限角 又∵02cos <ϑ 则2ϑ是第二或第三象限角 ∴2ϑ必为第二象限角 6．已知1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ，则θ为第几象限角？ 解：由1212sin <⎪⎭⎫ ⎝⎛ϑ∴sin2θ>0∴2k π<2θ<2k π+π)(Z k ∈∴k π<θ<k π+2π ∴θ为第一或第三象限角五、小结 本节课我们重点讨论了两个内容，一是三角函数在各象限内的符号，二是一组公式，两者的作用分别是：前者确定函数值的符号，后者将任意角的三角函数化为0°到360°角的三角函数，这两个内容是我们日后学习的基础.六、课后作业：1. 确定下列三角函数值符号：2.化简ααααα222222sin 1cos 1cos sin cot tan -+--a . 解法一：(定义法)设点P (x ,y )是角α终边上的一点，且|OP |=r,则将sin α=ry ,cos α=r x ,tan α=xy ,cot α=y x 代入得： 原式=222222)()()()()()(y r x r rx r y y x x y -+--22222222244)()()(y x x y r x y y x r x y 2-+--= α222cos 22==x r 解法二：(化弦法)原式=αααααααααα22222222cos sin cos sin cos sin )sin cos ()cos sin (-+--ααααααααα222222222cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin =-++= 解法三：(换元法)设cos 2α=a ,则sin 2α=1-a ,tan 2α=aa -1,代入得 原式)1(21)21)(1()1(111)1(1122a a a a a a a a a a a a a a a a --+----=--+----- α2cos 22)1(21)1(1==--+-=a a a a a a 评注：“切化弦”与“弦化切”是三角变形的基本方法，而通过定义、换元方法，使得三角式的化简问题转化为代数式的化简问题，则体现了数学中的化归思想.七、板书设计（略）八、课后记：已知sin 3α+cos 3α=1,求下列各式的值：(1)sin α+cos α；(2)sin 4α+cos 4α分析：对已知式的左边利用代数公式进行变形，使原式转化为关于sin α+cos α的方程，然后求解.(1)解法一：∵(sin α+cos α)3=sin 3α+3sin 2αcos α+3sin αcos 2α+cos 3α=(sin 3α+cos 3α)+3(1-cos 2α)cos α+3(1-sin 2α)sin α=1+3cos α-3cos 3α+3sin α-3sin 3α=1+3(sin α+cos α)-3(sin 3α+cos 3α)=3(sin α+cos α)-2.∴(sinα+cosα)3-3(sinα+cosα)+2=0.令sinα+cosα=t,则t3-3t+2=0⇒(t-1)2(t+2)=0.∴t=1或t=-2即sinα+cosα=1或sinα+cosα=-2(舍去).解法二：∵sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α-sinαcosα+cos2α)=(sinα+cosα)(1-sinαcosα).∴(sinα+cosα)(1-sinαcosα)=1.注意到sinαcosα可用sinα+cosα表示，并令sinα+cosα=t,则sinαcosα=212-t,故上式化为t(1-212-t)=1⇒t3-3t+2=0.(下同解法一).(2)解：∵sinα+cosα=1，∴(sinα+cosα)2=1⇒sinαcosα=0.故sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1.评注：对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα三个式子，只要已知其中一个的值，都可计算另外两个的值.。
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任意角的三角函数导学案
一，自学准备与知识导学： 1. 三角函数的概念
设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P ()y x ,，它与原点的距离是
()
022>+=y x r r ，则()0tan ,cos ,sin ≠===
x x
y
r x x y ααα。
2.正弦，余弦，正切的符号
3.画出角α终边在不同象限时的三角函数线
4.特殊角的三角函数值
5. 已知α的终边经过点P(2,-3)，求α的三个三角函数值
6.. ⑴ 已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值
⑵已知角α的终边经过P(4a,-3a),(a ≠0)求2sin α+cos α的值
7. 若是第三象限角，则下列各式中不成立的是……………………………（） A ：sin α+cos α<0 B ：tan α-sin α<0 C ：cos α-cot α<0 D ：cot αcsc α<0
二，学习交流与问题研讨： 例1.
已知角α的终边经过P(m ,3-)()0≠m ，且4
2sin m
=α，求ααtan ,cos 的值。
例2.
若αα又x
x --=
43
2cos 是第二、三象限角，则x 的取值范围是
例3. 利用单位圆寻找适合下列条件的0︒到360︒的角
1︒ sin α≥
2
1
2︒ tan α>33
三，练习检测与拓展延伸： 1. 已知角α的终边在直线x y 3=上，求ααtan ,sin 的值
2. 已知角α的终边上有一点()()的值。
求ααcos sin 2,03,4+≠-t t t A
3.若角α满足条件,0cos sin ,02sin <-<ααα则α
的终边在第 象限。
4.若一个三角形的两内角αβ满足0cos sin <βα，则此三角形为 。
5.求函数x
x
x x x x y tan tan cos cos sin sin ++=
的值域。
四，课后反思。