人教版高二数学上学期期中考试卷(1)

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2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)(新版)新人教版

2019学年高二数学上学期期中试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 , ,因为,所以“”是“”的充分不必要条件,选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．2. 已知两直线、和平面，若，，则直线、的关系一定成立的是（）A. 与是异面直线B.C. 与是相交直线D．【答案】B【解析】当一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线。

故答案选3. 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为（）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】圆，化成标准方程为，圆心到直线的距离，解得或，故选．4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A. 90B. 92C. 98D. 104【答案】B【解析】又三视图知几何体为一四棱柱，且四棱柱的高为底面为直角梯形，直角梯形的直角腰为，两边底边长分别为，另一腰长为几何体的表面积故答案选5. 椭圆上的一点到左焦点的距离为2，是的中点，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据椭圆定义，为的中点，则为的中位线，所以，故选择B.6. 已知四棱锥中，，，，则点到底面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设是平面的一个法向量，则由题设，即，即，由于，所以，故点到平面ABCD的距离，应选答案D。

7. 已知函数，则下列说法不正确的为（）A. 函数的最小正周期为B. 在单调递减C. 的图象关于直线对称D. 将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象【答案】D【解析】∵∴函数的最小正周期，A错误；的最大值为：，B错误；由，解得的图象的对称轴为：，故C错误；将的图象向右平移，得到图象，再向下平移个单位长度后会得到的图象，而是奇函数．故正确．故选：D．8. 在中，，，是的中点，，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则选B.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.9. 已知，命题函数是的增函数，命题：的值域为，且是假命题，是真命题，则实数的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】真，增函数真，则可以取遍所有正值又是假命题，是真命题，则、一真一假：真假时，，或，解得假真时，，解得综上得或故答案选点睛：遇到或、且的问题时，分别解出两个命题为真命题时变量的取值范围，再分类谈论一真一假时，得到不等式组，从而求出结果。

高二数学上学期期中试题(新版)新人教版.doc

2019高二上学期期中试题数学试题2018.11第I 卷（选择题共60分）评卷人得分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列{}n a 中，n S 表示{}n a 的前n 项和，若363a a +=，则8S 的值为A ．3B ．8 C.12 D ．24 2．设a ，b ∈R ，a ＞b ，则下列不等式一定成立的是A ．a 2＞b 2B ．C ．a 2＞abD ．2a ＞2b3.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m = A ．9 B ．4 C ．2 D ．3 4.已知等比数列{a n }中，a 3=4，a 4a 6=32，则的值为A ．2B ．4C ．8D ．16 5. 2x 2－5x －3<0的一个必要不充分条件是 A ．－21<x <3 B ．－21<x <0 C ．－3<x <21D ．－1<x <6 6.命题“∀x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是A ．不存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0B ．存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0D ．对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1＞0 7.若等式022>++bx ax 的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ,则a －b 值是 A.－10 B.－14 C.10 D.148.若关于x 的不等式10ax ->的解集是(1)+∞，,则关于x 的不等式(1)(2)0ax x -+≥的解集是A ．[)2,+-∞B ．[]2,1-C.（-∞，-2）∪（1，+∞） D ．（-∞，-2］∪［1，+∞） 9．在△ABC 中，“sinB ＝1”是“△ABC 为直角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10.已知数列{}n a 为等比数列，若261=⋅a a ，下列结论成立的是A. 53424a a a a =B ．243=+a aC ．22321=a a aD ．2252≥+a a11．若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有3个整数，则实数a 的取值范围是A. ()4,5B. （-3，-2）∪（4，5）C.(]4,5 D.［-3，-2）∪（4，5］ 12.设0a >，0b >，若5是5a 与5b 的等比中项，则11a b+的最小值为 A ．8 B ．4 C ．1 D ．41第Ⅱ卷（非选择题共90分）评卷人得分二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若方程25－k ＋2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．14.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为__________． 15．已知不等式 012≥--bx ax 的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,21，求不等式02<--a bx x 的解集16.一动圆过定点A （2,0），且与定圆B ：032y x 4x 22=-++内切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（0，-2），（0,2），并且经过（25,23-，），求它的标准方程。

高二上学期期中考试数学试卷含答案

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由；（2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==；圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==；所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行解析：由线面垂直的性质，易知C 正确．答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对；若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对；故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=；综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=．故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3，所以其体积为36π，所以选项C 正确，故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______．【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=，得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，故△ABC 是以角C 为直角的三角形，又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解：作于点G ，连接FG ，四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ，则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由；（2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-，综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分（或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试(含解析)

2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 函数的定义域为A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.A ={x ∈Z||x|<5}B ={x|≥4}2x A ∩B =(2,5)[2,5){2,3,4}{3,4,5}y =12+x −x 2−−−−−−−−−√lg(2x −2)()(1,)∪(,4]3232(1,4][−3,4][−3,)∪(,4]3232434C.D.4. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（）A.B.C.D.5. 命题：，的否定是( )A.，B.，C.，D.，6. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列命题中，真命题是（）A.函数＝的周期为B.，223(1)(2)12cm 9cm 18c 2–√m 36cm7cm8cm9cm∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x ≤0−x −2≤0x 2∃≤0x 0−−2≤0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2∃>0x 0−−2≤0x 20x 0x <2lg(x −1)<0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数 8. 在中，角，，所对的边是，，，若，且，则等于( )A.B.C.D.9. 等比数列中，若，，则其前项的积为( )A.B.C.D.10. 瑞士数学家欧拉（）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心﹑重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )．A.B.C.D.11. ""是"方程表示的曲线为椭圆"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件a +b 0y ln△ABC A B C a b c c ⋅cos B =b ⋅cos C cos A =23sin B 6–√63–√2130−−√6{}a n +=a 1a 294+=18a 4a 556481192243LeonhardEuler 1765△ABC A (−4,0),B (0,4)x −y +2=0C (2,0)(0,2)(−2,0)(0,−2)n >m >0+=1x 2m y 2n()D.既不充分也不必要条件12. 在四棱锥中，已知平面平面, 是以为底边的等腰三角形，是矩形，且，则四棱锥的外接球的表面积为（ A.B.C.D.卷II （非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知异面直线，的方向向量分别为，，若异面直线，所成角的余弦值为，则的值为________.14. 设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15. 已知平面向量，，，若，则________．16. 已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．18. 已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值． 19. 在平面四边形中，，，，．P −ABCD ABCD ⊥PAD △PAD AD ABCD AB =AP =2AD =2P −ABCD O )π12415π3115π25615π6415m n =(2,−1,1)a →=(1,λ,1)b →m n 6–√6λS n {}a n n +a 6a 7=1S 12=<0a 7<0S n n==(2,λ)a →=(−3,6)b →=(4,2)c →//a →b →(−)⋅=a →c →b →△ABC B C +=1x 23y 2A BC △ABC xOy O x −y −4=03–√O P(3,2)P O θλABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC求的大小；求的长度．20. 已知两直线：，，当为何值时，与，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直． 21. 已知命题：函数且在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立.若为真命题,求实数的取值范围；若为真命题,求实数的取值范围.22. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前项和．(1)∠ADC (2)CD L 1(m +3)x +5y =5−3m:2x +(m +6)y =8L 2m L 1L 2p y =(x +1)(a >0，log a a ≠1)q (a −2)+2(a −2)x +1>0x 2x (1)q a (2)“p ∧(¬q)”a {}a n n S n 2a n S n (1){}a n (2){}b n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n {}1b n n Tn参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】据题意，分析可得，，，进而求其交集可得答案．【解答】解：集合，，则．故选．2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据条件可得解不等式可得结果．【解答】解：由已知可根据条件可得解不等式可得.故选.A ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|x ≥2}A ={x ∈Z||x|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|≥4}={x|x ≥2}2x A ∩B ={2,3,4}C 12+x −≥0x 22x −2>02x −2≠112+x −≥0,x 22x −2>0,2x −2≠1,{x |1<x ≤4且x ≠}32A3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，再求体积即可.【解答】解：由已知中几何体的三视图，可得该几何体为正四棱锥，且底面正方形边长为，高为，所以该几何体的体积为.故选.4.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，求出，再利用烧制前后边长的变化，即可得到答案.【解答】解：设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，解得.∵在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．那么烧制前正四面体陶坯棱长为.故选.5.【答案】C【考点】21V =×2×2×1=1343A acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a =612cm 9cm 6×=8cm 129C命题的否定【解析】命题，为特称量词命题，其否定为全称量词命题，写出其否定即可.【解答】解：命题，为特称量词命题，所以其否定为全称量词命题，其否定为，.故选.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由，可得，再利用集合之间的包含关系求充分必要条件即可.【解答】解：由，可得，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.7.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；∃>0x 0−−2>0x 20x 0∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2C lg(x −1)<00<x −1<1lg(x −1)<00<x −1<11<x <2{x|x <2} {x|1<x <2}x <2lg(x −1)<0B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．8.【答案】D【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式半角公式【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理后得到，用表示出，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理化简得：,即，∴，即，则.故选．9.【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得，解得，又，y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D B =C A B △ABC c cos B =b cos C sin C cos B =sin B cos C sin C cos B −sin B cos C =sin(C −B)=0C −B =0C =B sin B =sin =cos =π−A 2A 21+cos A 2−−−−−−−−√=30−−√6D ==8+a 4a 5+a 1a 2q 3q =2+=+2=a 1a 2a 1a 1943所以，所以.故选.10.【答案】A,D【考点】三角形五心【解析】此题暂无解析【解答】解：设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为∴，①由重心为，代入欧拉线方程，得，②由①②可得或.故选.11.【答案】A【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则，，且，故" "是“方程"表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.=a 134==×=243a 1a 2a 3a 4a 5a 51q 10()345210D C (x,y),AB y =−x △ABC x −y +2=0y =−x M (−1,1),MC|=,∴+=1010−−√(x +1)2(y −1)2A (−4,0),B (0,4),△ABC (,)x −43y +43x −y +2=0x −y −z =0x =2,y =0x =0,y =−2AD +=1x 2m y 2n m >0n >0m ≠n n >m >0+=1x 2m y 2nA故选.12.【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，将四棱锥补为一个三棱柱，∵是以为底边的等腰三角形，，∴的外接圆的半径为，∴球的半径的平方，∴球的表面积为.故选.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角A P −ABCD PAD −QBC △PAD AD AP =2AD =2△PAD 415−−√O =+1=R 216153115O S =4π=R 2124π15A 76【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】,【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式和性质可得＝＝，代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．【解答】解：因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：；.15.【答案】【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算【解析】根据，求得，进而求得的坐标，然后利用数量积求解．【解答】解：因为向量，，且，613n S 12<0S 13+=1a 6a 7=6(+)=6S 12a 6a 7<0a 7>0a 6{}a n =6>0S 12=13<0S 13a 7=13n min 613−30//a →b →λ−a →c →=(2,λ)a →=(−3,6)b →//a →b →所以，所以.故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】设另一个焦点为，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长．【解答】解：椭圆中，．设另一个焦点为，则根据椭圆的定义可知，．∴三角形的周长为：．故答案为：．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．【考点】直线与圆相交的性质圆的切线方程−=(−2,−6)a →c →(−)⋅=−30a →c →b →−3043–√F |AB |+|BF |=2a|AC |+|FC |=2a △ABC +=1x 23y 2a =3–√F |AB |+|BF |=2a =23–√|AC |+|FC |=2a =23–√|AB |+|BF |+|AC |+|FC |=43–√43–√+=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0（1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径的值，可得所求的圆的方程．（2）由题意可得点在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率的值，可得所求切线方程．【解答】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．18.【答案】∵向量，∵这两个向量的夹角为，，则＝＝＝，∴＝．若，则（+）-•-，∴＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】..r P k +=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0θθ∈[0cos θθ⋅(λ+(λ−7)λ余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．（2）由（1）知当时，直线与相交；当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由得，所以时直线与垂直．【考点】两条直线平行的判定两条直线垂直的判定【解析】（1）两直线与相交；（2）两直线与平行；（3）两直线与重合；（4）两直线与垂直．【解答】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2m =−6L 1L 2m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔≠(m ≠0,n ≠0)a m b n ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔=≠(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔==(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔am +bn =0m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由得，所以时直线与垂直．21.【答案】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数在定义域上单调递增，所以，因为命题为假,由可知，或，所以即，所以实数的取值范围为 .【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数在定义域上单调递增，所以，因为命题为假,由可知，或，所以即，所以实数的取值范围为 .22.【答案】解：，，成等差数列，可得，m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)2a n S n 2=a n 2+S n化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题意可得＝，运用数列的递推式：当＝时，＝，时，＝，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得＝＝，，，由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：，，成等差数列，可得，当时，，解得，时，，化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．n n n−1n n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +12a n 2+S n n 1a 1S 1n ≥2a n −S n S n−1log 2a n log 22n n =n(n +1)b n 12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1(1)2a n S n 2=a n 2+S n n =1=a 1=S 12−2a 1=a 12n ≥2=a n −=S n S n−12−2−2+2a n a n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +1。

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。

人教版高二上学期期中测试卷

人教版高中数学测试卷（考试题）期中测试卷04（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：人教A 版必修5全册+选修1-1第一章、第二章一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知命题p ：20,x x e x ∀<≥，则p ⌝为（）A ．00x ∃<，020x e x <B ．00x ∃≥，020x e x <C ．0x ∀<，2x e x <D ．0x ∀≥，2x e x <2．关于x 的不等式2450x x -++>的解集为（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(5,)-∞-+∞3．在等差数列{}n a 中，824a =，168a =，则24a =（）A ．24-B ．16-C ．8-D ．04．“平面内一动点P 到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P 的轨迹为椭圆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在ABC 中，9,10,60a b A ===︒，则此三角形解的情况是（）A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解6．已知等比数列{}n a ，10a ，30a 是方程210160x x -+=的两实根，则20a 等于（）A ．4B ．4±C ．8D ．8±7．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为（）A ．6π B ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π 8．双曲线222:1(0)36x y C a a -=>左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线与直线430x y +=垂直，点M 在C 上，且214MF =，则1||MF =（）A ．6或30B ．6C ．30D ．6或209．已知实数x ，y 满足不等式组40,0,1,x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则23z x y =+的最小值为（）A ．0B ．2-C ．3-D ．5-10．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（） A ．2B ．13C ．12-D ．3-11．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222a c b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（）A．32⎫⎪⎪⎝⎭B．2⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D．)212．已知椭圆的方程为()22211x y a a+=>，上顶点为A ，左顶点为B ，设P 为椭圆上一点，则PAB ∆面积1.若已知()),M N ，点Q 为椭圆上任意一点，则14QN QM+的最小值为（）A ．2B．3+C ．3D ．94二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设ABC 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知(4)cos cos a c B b C -=，则cos B =______． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n S n n+=+，则17a a +=_______. 15．若正实数,x y 满足39log log 1x y +=，则2x y +的最小值为_______. 16．以下四个关于圆锥曲线命题：①“曲线221ax by +=为椭圆”的充分不必要条件是“0,0a b >>”；②若双曲线的离心率2e =，且与椭圆221148y x +=有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为y =；③抛物线22x y =-的准线方程为18x； ④长为6的线段AB 的端点,A B 分别在x 、y 轴上移动，动点(,)M x y 满足2AM MB =，则动点M 的轨迹方程为221416x y +=．其中正确命题的序号为_________．三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知:p 22a -<<，q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根.（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，q ⌝为真命题，求实数a 的取值范围. 18．已知不等式2320x x -+≤的解集为{}|x a x b ≤≤.（1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：()()0x c ax b -->（c 为常数，且2c ≠）.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：12y x m =+交椭圆C 于A ，B 两点，且AB m 的值． 20．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值.21．如图，在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．附赠材料必须掌握的试题训练法题干分析法怎样从“做题”提升到“研究”题干分析法,是指做完题目后,通过读题干进行反思总结:这些题目都从哪几个角度考查知识点的?角度不同,容易出错的地方是不是变化了?只有这样,我们才能从单纯的“做题目”上升到“研究”,我们的思维能力和做题效率才能不断提高。

高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

高二数学第一学期期中考试本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一：选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的。

）1.若1a b >>，则下列结论不一定成立的是（）A ．11a b< B > C ．b a a b > D ．l o g l o g ba ab >2.已知数列1，，，，…，，…，则3是它的（）A ．第22项B ．第23项C ．第24项D ．第28项3．已知129,,,1a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则b 2(a 2-a 1)= （）A.8B.-8C.±8D.984.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足95S S =，且01>a ，则n S 中最大的是（）A ．S 6B ．S 7C ．S 8D ．S 95.已知点P 是抛物线y 2=2x 上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A.B. 3C.D.926.设0a >，0b >5a 与5b 的等比中项，则11a b+的最小值为 ( )A ．8B ．4C ．1D ．417.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）A ．B ．C ．D ．8.若关于x 的不等式10ax ->的解集是(1)+∞，,则关于x 的不等式(1)(2)0ax x -+≥的解集是（）A ．[)2,+-∞B ． []2,1- C. (,2)(1,+)-∞-⋃∞ D ．(][),21,+-∞-⋃∞ 9.设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF 则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段10．已知方程220(0,,0)ax by ab ax by c ab a b c +=++=≠≠>和其中，它们所表示的曲线可能是 ( )A B C D11. 已知2212221(0,0)x y F F a b a b-=>>、分别是双曲线的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则当△PF 1F 2的面积为2a 时，双曲线的离心率为（）A.B. C. D.212.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|F M |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)第II 卷（非选择题）（共90分）二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分,请将正确答案写在答题纸指定位置上。

人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)

人教版高二上学期期中考试数学试题（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。

A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。

A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。

A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。

A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。

A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。

A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。

人教版2020学年高二数学上学期期中试题(新版)人教版

2019学年第一学期期中考试高二数学试题试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本，若编号为42的产品在样本中，则该样本中产品的最小编号为（）A.8B.10C. 12D. 162．已知水平放置的ΔABC是按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中3''''1,''2B OC O A O===，那么原ΔABC是一个（）A．等边三角形 B．直角三角形C．三角形有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形3．用一个平面去截四棱锥，不可能得到( )A．棱锥 B．棱柱 C．棱台 D．四面体4．(文)某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A．45B．95C．56D．116(理) 直三棱柱111ABC A B C-中，1AC BC AA==，90ACB∠=o，则直线1AC与平面11A BC所成的角的大小为（）A．30o B．45o C. 60o D．90o5．由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据的立方和为（） A ．70 B ．60C ．50D ．566.已知直线⊥l 平面α，直线∥m 平面β，则下列命题正确的是（）A ．若βα⊥，则m l ∥B ．若m l ⊥，则βα∥C ．若β∥l ，则α⊥mD ．若βα∥，则m l ⊥7.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（） A ．4 B ．24 C ．34 D ．88．如右上图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：①//BD 平面11D CB ；②BD AC ⊥1； ③⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是( ) A. 0 B ．1 C ．2 D ．39．棱台的两底面面积为1S 、2S ，中截面（过各棱中点的面积）面积为0S ，那么（） A.0122S S S =+ B.20122S S S = C.0122S S S =+ D.012S S S =10．四面体ABCD 中,截面PQMN 是正方形，则在下列结论中，下列说法错误．．的是（）A ．AC BD =B ．AC BD ⊥C.AC PQMN P 平面 D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45o11．若三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，23SA =,1AB =，2AC =，60BAC ︒∠=，则球O 的表面积为（ )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π12．如图，三棱锥P ABC -的高8,3,30PO AC BC ACB ===∠=o，,M N 分别在BC 和PO 上，且(),203CM x PN x x ==∈（，),下列四个图象大致描绘了三棱锥N AMC -的体积y 与x 的变化关系，其中正确的是（）A BCD P QMNA ．B ． C. D ．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．在空间直角坐标系中，点()3,4,0A -与点()2,1,6B -的距离是 .14．若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为 .15．圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,则该圆台的母线长 .16．如图，在棱长为1的正方体 1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1A P 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是 _________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：A 1B 1C 1D 1A B C DE F零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时) 2.5344.5(1)求出y 关于x 的线性回归方程y a bx =+； (2)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：1122222212n n nx y x y x y nx y b x x x nx++⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-，a y bx =-)18．（本小题满分12分）某高校在2016年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：组号分组频数频率第1组 [160,165) 5 0.05 第2组 [165,170) ① 0.35 第3组 [170,175) 30 ② 第4组 [175,180) 20 0.20 第5组 [180,185]10 0.10 合计1001.00(1)(2)由(1)中的频率分布直方图估计中位数，平均数.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .（1）求证：//PQ 平面SAD ；（2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .20．（本小题满分12分）(文) 如图1,直角梯形ABCD 中,AB CD P ，AB AD ⊥且112AB AD CD ===,现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ,然后沿AD 将正方形翻折,使平面ADEF 与平面ABCD 互相垂直.(1)求证:平面BDE ⊥平面BEC ; (2)求三棱锥D BEF -的体积V ．(理) 四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，且1AB AA =，1160A AB A AD ∠=∠=o ．（1）求证：平面1A BD ⊥平面1A AC ；（2）若122BD A D ==，求平面1A BD 与平面1B BD 的夹角．21．（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PAC ABC ⊥平面平面，2ABC π∠=，点,D E 在线段AC 上，且2AD DE EC ===，4PD PC ==，点F 在线段AB 上，且EF BC P . (1)证明：AB PEF ⊥平面; (2)若四棱锥P DFBC -的体积为7，求线段BC 的长.D 1C 1B 1A 1DCBAPD E22．（本小题满分12分）如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C ⊥AB ；（2）若AC ⊥1AB ，160CBB ︒∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．2015-2016下学期高一数学期中考试答案一．选择题1-5 BABBD 6-10 DBDCA 11-12 CA 二．填空题13. 86 14. 16 15. ③④ 16. 32,542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，三．解答题17.（1）所求线性回归方程为 y ＝0.7x ＋1.05. （2）预测加工10个零件需要8.05小时．18. 解：(1)由题可知，第2组的频数①为0.35×100＝35人，第3组的频率②为30100＝0.30，..............3分频率分布直方图如下：..............6分（2）中位数为：0.15151700.063+=..............9分平均数为：1(162.55167.535172.530177.520182.510)172.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=２..19.证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,.∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 21=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，∴CD AQ //，且CD AQ 21=，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .（2）连结BD ，∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，∵Q E 、分别是棱AB AD 、的中点，∴BD EQ //，∴EQ AC ⊥， ∵⊥SE 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，∴SE AC ⊥， ∵E EQ SE =I ，⊂EQ SE 、平面SEQ ，∴⊥AC 平面SEQ ， ∵⊂AC 平面SAC ，∴平面⊥SAC 平面SEQ .20. 解：（Ⅰ）因为1AA AB AD ==，1160A AB A AD ∠=∠=o，所以1A AB ∆和1A AD ∆均为正三角形，于是11A B A D =……………………………………………………1分设AC与的交点为，则………………………2分又是菱形，所以……………………………3分而平面，故平面⊥平面……………………………………5分（Ⅱ）由及知…………………………………6分…………7分于是，从而如图，建立空间直角坐标系，则，，…………………………………………………9分……………………………………………………………………10分平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，则…………………………………………………………………11分故……21.22.（1）证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1=O，∴B1C⊥平面ABO，∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB；（2）解：作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD=D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为等边三角形，∵BC=1，∴OD=，∵AC⊥AB1，∴OA=B1C=，由OH•AD=OD•OA，可得AD==，∴OH=，∵O为B1C的中点，∴B1到平面ABC的距离为，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．- 31 -。

高二上学期期中考试数学试题(带答案)

高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。

）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。

吉林省辽源市高二数学上学期期中试题理-人教版高二全册数学试题

2017——2018学年度高二上学期期中考试数学（理）考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）. 1．若,,a b c R ∈， a b >，则下列不等式恒成立的是( )A.11a b < B. 22a b > C. a c b c > D. 2211a bc c >++ 2．为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为300的样本，已知每个学生被抽取的概率为0.25，且男女生的比例是3:2，则该校高一年级男生的人数是（）A. 600B. 1200C. 720D. 900 3．在ABC ∆中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若cos 30sin a Bb A+=，则B =（）A. 30︒B. 45︒C. 150︒D. 135︒4．已知，则不等式的解集为（）A.B.C.D. ()5,1-5．各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（）A. 84B. 52C. 26D. 136．若实数,x y 满足不等式组20{40 2x y x y y -+≥+-≤≥，则2z x y =-的最小值等于（）A. 1-B. 1C. 2-D. 27．等差数列1239,,......x x x x 的公差为1，若以上述数据1239,,......x x x x 为样本，则此样本的方差为A.203 B. 103C. 60D. 30 8．已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1•a 20=100，那么a 7+a 14的最小值为（） A.20 B ．25 C ．30 D ．50 9．执行如图的程序框图，则输出S 的值为（）A.13B. 12- C. 2 D. 3- 10．在ABC ∆中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，则b=（）A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．要测量顶部不能到达的电视塔AB 的高度, 在C 点测得塔顶A 的仰角是45,在D 点测得塔顶A 的仰角是30,并测得水平面上的120,40m BCD CD ∠==，则电视塔的高度为（）A. 102mB. 20mC. 203mD. 40m12．已知在(],1-∞上递减的函数()221f x x tx =-+，且对任意的[]12,0,1x x t ∈+，总有()()122f x f x -≤，则实数t 的取值范围为（）A. 2,2⎡⎤-⎣⎦B. 1,2⎡⎤⎣⎦C. []2,3D. []1,2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．高三（2）班现有64名学生，随机编号为0，1，2，，63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1，2，3，，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为________. 14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =-， 132k a +=， 15k S =- ，则正整数k =________．15．设表示不超过的最大整数，如，，则方程的解集为__________．16．设,,a b c 是正实数，满足b c a +≤，则()2bca b +的最大值为_______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17．（本小题满分10分）辽源市市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[)1000,1500）.（1）求居民月收入在[)3000,3500的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，问月收入在[)2500,3000的这段应抽多少人？ 18．（本小题满分12分）设函数.(1)若不等式的解集为，求的值；(2)若，，，求的最小值.19．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足24cos cos24cos cos 2CC C C +=．（1）求角C 的大小；（2）若122CA CB -=，求ABC ∆面积的最大值． 20．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的各项均为正数，观察程序框图，若31=a ，3=k 时，有91=S （1）求数列}{n a 的通项；（2）令n an b 2=，求m b b b +++ 21的值． 21．（本小题满分12分）已知()22cos sin 3sin cos sin 6f x x x x x x π⎛⎫=⋅++⋅- ⎪⎝⎭，（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）设ABC ∆的内角A 满足()2f A =，而3AB AC ⋅=，求证： 1BC ≥. 22．（本小题满分12分）已知数列{}n a 、{}n b ，其中， 112a =，数列{}n a 满足()()111n n n a n a -+=-,()*2,n n N ≥∈，数列{}n b 满足112,2n n b b b +==．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有12111814n m b b b -++++<恒成立？若存在,求出m 的最小值；（3）若数列{}n c 满足1,{ ,n n n n na c b n =为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ．辽源五中2017——2018学年度高二上学期期中考试数学（理）考试试题参考答案一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分）.1．D2．C3．C4．B5．A6．C7．A8．A9．A10．D11．D12．B 二、填空题（每题5分，满分20分） 13．4514．1715．[)[)1,02,3-⋃16．18三、解答题（本大题共6小题，共70分.） 17．：（本小题满分10分）（Ⅰ)月收入在的频率为（Ⅱ)，，，所以，样本数据的中位数（元)；（3)居民月收入在的频率为，所以人中月收入在的人数为（人)，再从人用分层抽样方法抽出人，则月收入在的这段应抽取人．18．（本小题满分12分）(1) ;(2) .19．（本小题满分12分）（1）C 3π=（2）231）由2C4cosC cos2C 4cosCcos2+=得 ()24cosC 2cos C 12cosC 1cosC +-=+解得1cosC 2=，由0C π<<，所以C 3π= （2）取C B 中点D，则1C C 2D 2A -B ==A在DC ∆A 中，222D C CD 2C CDcosC A =A +-A ⋅ （注：也可将1C C 2D 2A -B ==A 两边平方）即22422a ab b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭222422a b ab ab ≥=，所以8ab ≤，当且仅当4a =， 2b =时取等号此时C 1sinC 2S ab ∆AB ==，其最大值为20．（本小题满分12分）（1）21n a n =+；（2）23283m +-．：（1）由程序框图可知：13221111++++=k k a a a a a a S 且}{n a 是等差数列，公差为d ，则有)11(1111++-=k k k k a a d a a ∴122311111111()k k S d a a a a a a +=-+-++-11111()k d a a +=- 若31=a ，k=3时，有91=S ∴91)11(141=-a a d 得2=d 故122)1(3+=⨯-+=n n a n（2） n a n b 2=， 12+=n a n b ∴122+=n n b∴12m b b b +++3521222m +=+++321222214m +-⨯=-23283m +-=21（本小题满分12分）（1）()212cos cos cos sin 2f x xx x x x x⎫=++⋅-⎪⎪⎝⎭22cos cos sin cos22sin 26x x x x x x x π⎛⎫=⋅+-=+=+ ⎪⎝⎭由222262k x k πππππ-≤+≤+得36k x k ππππ-≤≤+，故所求单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由()2sin 22,06f A AA ππ⎛⎫=+=<< ⎪⎝⎭得6Aπ=， 3AB AC ⋅=，即cos bcA ， 2bc∴=，又ABC ∆中，(222222cos 22a b c bcA b c bc bc=+-=+≥=-(224=⨯=-， 1BC ∴≥=22．（本小题满分12分）．试题解析：（1）由()()111n n n a n a -+=-，即111n n a n a n --=+．又112a =，所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅12321111432n n n n n n ---=⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅⋅+-()11n n =+. 当1n =时，上式成立，因为112,2n n b b b +==，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，故2n n b =. (2) 由（1）知2n n b =，则21211111111122222n n n b b b +++⋯+=+++⋯+=-. 假设存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有12111814n m b b b -++++<恒成立，即18224n m --<恒成立，由824m -≥，解得16m ≥．所以存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有12111814n m b b b -++++<恒成立，此时， m 的最小值为16. （3）当n 为奇数时，()241131113n n n T b b b a a na -⎛⎫=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()()241241222n n -⎡⎤=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+⎣⎦124142112214n n n -⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=⋅+-()214342143n n n -++=+-；当n 为偶数时，()()2413111131n n n T b b b a a n a -⎡⎤=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()2424222n n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+241422214nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=⋅+-()2242143n n n +=+-.因此()()21243421,43{ 2421,43n n nn n n T n n n -+++-=++-为奇数为偶数．。

2022-2023学年全国高中高二上数学人教A版期中试卷(含解析)

2022-2023学年全国高二上数学期中试卷考试总分：110 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 直线的倾斜角满足：，且过点，则的方程为( )A.B.C.D.2. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，过点作轴垂线，该垂线与直线交点为，若，且的面积为，则的标准方程为( )A.B.C.D.3. 设是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为( )A.B.C.D.l αtan α=2l (1,0)l y =2x −1y =2x −2x +2y −2=0x −2y −2=0C ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F B A F x AB M =3AM −→−BM −→−△AFM 93–√2C +=1x 28y 26+=1x 24y 23+=1x 22y 2+=1x 24y 22P +=4(x −3)2(y +1)2Q 3x −4y +12=0|PQ|12344. 圆与圆的公共弦长为（）A.B.C.D.5. 规定：若双曲线与双曲线的渐近线相同，则称双曲线与双曲线为“等渐双曲线”设为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左顶点和右焦点，为等边三角形，双曲线与双曲线为”等渐双曲线”，且双曲线的焦距为，则双曲线的标准方程是( )A.B.C.D.6. 已知圆＝，直线＝，点在直线上．若存在圆上的点，使得＝（为坐标原点），则的取值范围是（）A.B.C.D.7. 设椭圆的左、右焦点分别为点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是( )A. +=8x 2y 2++4x −16=0x 2y 28421C 1C 2C 1C 2.M :−=1(a >0,b >0)C 1x 2a 2y 2b 2A F C 1△MAF C 1:−=1(>0,>0)C 2x 2a ′2y 2b ′2a ′b ′C 282–√C 2−=1x 230y 22−=1x 22y 230−=1x 260y 24−=1x 24y 260O :+x 2y 22l :x +2y −40P(,)x 0y 0l C Q ∠OPQ 45∘O x 0[0,1][0,]85[−,1]12[−,]1285+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(−c ，0)，(c ，0)，F 1F 2N(c ，)a 2M |M |+|MN|<||F 132F 1F 2e (0，)2–√2，1)–√B. C. D.8. 在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为( )A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 下列说法正确的是 A.“”是“点到直线的距离为”的充要条件B.直线的倾斜角的取值范围为）C.直线与直线平行，且与圆相切D.离心率为的双曲线的渐近线方程为10. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列结论中成立的有( )A.抛物线的准线方程为B.线段长度的最小值为C.D.11. 下列结论正确的是( )A.已知点在圆上，则的最小值是B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为(，1)2–√2(，)2–√256(，1)562ABCD −A 1B 1C 1D 1E F C 1D 1B 1C 1P A 1B 1C 1D 1AP//BDEF P 12–√222–√()c =5(2,1)3x +4y +c =03x sin α−y +1=0[0,]∪[,ππ43π4y =−2x +52x +y +1=0+=5x 2y 23–√y =±x2–√C :=2px (p >0)y 2F 2F P,Q O C y =−1PQ 4≥2S △OPQ ⋅=−3OP −→−OQ −→−P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y +2x 43kx −y −k −1=0M (−3,1),N (3,2)k −≤k ≤1232P (a,b)+=222ax +by =2C.已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交D.若圆上恰有两点到点的距离为，则的取值范围是12. 如图，已知为正方体，，分别是，的中点，则（）A.B.C.向量与向量的夹角是D.异面直线与所成的角为卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知直线：过抛物线：的焦点，交抛物线于、两点，若，则直线的斜率为________．14. 如图，在正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心）中，所有棱长都为，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________．15. 已知圆心在轴上，半径为的圆位于轴右侧，且截直线＝所得弦的长为，则圆的方程为________．16. 直三棱柱中，若，则点到平面的距离为________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）P (a,b)+=x 2y 2r 2l ax +by =r 2l M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2N (1,0)1r (4,6)ABCD −A 1B 1C 1D 1E F BC C A 1⋅(−)=0C A 1−→−A 1B 1−→−−A A 1−→−(++=6B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−)2CD−→−2B A 1−→−AD 1−→−60∘EF DD 145∘l x =my +1C =2px y 2F C A B =2AF −→−FB −→−l P −ABCD 2M PA N PC BN MD x 5–√y x +2y 02ABC −A 1B 1C 1∠BAC =，AB =AC =，A =290∘2–√A 1A B A 1C 117. 求过直线与的交点，且与直线平行的直线方程． 18. 如图，四面体中，、分别、的中点，，．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值的大小；（3）求点到平面的距离．19. 已知：圆与轴交于，两点（为坐标原点），圆经过，两点，且与直线相切．求圆的方程；若点，点为圆上异于点，的动点，直线与圆交于另一点（不同于点），证明： . 20. 已知直三棱柱的底面为正三角形，，分别是，上的点，且满足，．（1）求证：平面平面；（2）设直三棱柱的棱长均相等，求二面角的余弦值．21. 已知动点与点的距离比它到直线的距离小．求动点的轨迹的方程；设为直线上任一点，过点作曲线的切线，，切点分别为，，直线，与轴分别交于，两点，点，的纵坐标分别为，，求证：与的乘积为定值．22. 已知椭圆的长轴长为，且经过点.求椭圆的标准方程.设动直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.问：直线是否经过轴上一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.2x −y +1=0x −y +5=02x +y −5=0ABCD O E BD BC AB =AD =2CA =CB =CD =BD =22–√AO ⊥BCD AD BC D ABC :+=5C 1(x +1)2(y −2)2y O A O C 2O A OC 1(1)C 2(2)P (3,4)M C 1A O MO C 2N O PM =PN ABC −A 1B 1C 1E F A 1C 1B 1C 1E =E A 1C 1F =3F B 1C 1AEF ⊥B C B 1C 1ABC −A 1B 1C 1−AE −B C 1P F (1,0)l :x +2=01(1)P C (2)P x =−1P C PA PB A B PA PB y M N M N m n m n C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b24(1，)32(1)C (2)l :y =k(x −4)C A ，B A D x BD x参考答案与试题解析2022-2023学年全国高二上数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】B【考点】直线的点斜式方程直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：设直线的方程为，，即，将点代入得，.故选.2.【答案】A【考点】椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，且，则，所以，；l (y −)=k(x −)y0x 0tan α=2k =2(1,0)y =2(x −1)=2x −2B =3AM −→−BM −→−OB//FM==aa +cb ||FM −→−23||=b FM −→−32a =2c =−222又因为，所以，则.根据的面积为，从而求得，则，，所以椭圆的标准方程为：.故选.3.【答案】C【考点】点到直线的距离公式【解析】先求出圆心到直线的距离，利用的最小值为进行求解.【解答】解：圆的圆心坐标为，半径，∵圆心到直线的距离为，∴的最小值为.故选.4.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】此题暂无解析=−b 2a 2c 2b =c 3–√||=c FM −→−33–√2△AFM 93–√2c =2–√a =22–√b =6–√C +=1x 28y 26A (3,−1)3x −4y +12=0d |PQ|d −r =5−2=3+=4(x −3)2(y +1)2(3,−1)r =2(3,−1)3x −4y +12=0d ==5|3×3−4×(−1)+12|+3242−−−−−−√|PQ|d −r =5−2=3C【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：据题意可知，，由分析知，点坐标为或，点在双曲线上，∴ .又∴，∴ 解得故双曲线的标准方程是 .故选6.【答案】B【考点】直线与圆相交的性质【解析】根据条件若存在圆上的点，使得＝（为坐标原点），等价即可，求出不等式的解集即可得到的范围【解答】=,+=(=32b ′a ′b a a ′2b ′282–√2)2M (,(a +c))−a +c 23–√2(,−(a +c))−a +c 23–√2M C 1−=1(−a +c 2)2a 2(a +c 34)2b 2=+,c 2a 2b 2(=15b a )2==b ′a ′b a 15−−√.=2,=30.a ′2b ′2C 2−=1x 22y 230B.C Q ∠OPQ 45∘O PO ≤2x 0O Q ∠OPQ PQ圆外有一点，圆上有一动点，在与圆相切时取得最大值．如果变长，那么可以获得的最大值将变小．可以得知，当＝，且与圆相切时，＝，而当时，在圆上任意移动，恒成立．因此满足，就能保证一定存在点，使得＝，否则，这样的点是不存在的；∵点在直线＝上，∴＝，即∵＝＝，∴，解得，，∴的取值范围是7.【答案】D【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：∵在椭圆的外部，则，解得，∴，即，由椭圆性质可得：.在中，，∵恒成立，∴.解得即.所以椭圆离心的取值范围是.故选.8.【答案】B O P Q ∠OPQ PQ OP ∠OPQ ∠OPQ 45∘PQ PO 2PO >2Q ∠OPQ <45∘PO ≤2Q ∠OPQ 45∘Q P(,)x 0y 0x +2y −40+2−4x 0y 00=y 04−x 02|OP |2+x 20y 20+(=−2+4≤4x 204−x 02)254x 20x 0−2≤054x 20x 00≤≤x 085x 0[0,]85N(c ，)a 2>a 2b 2a >2a 2b 2>c a 2–√2e >2–√2|M |+|MN|=2a −|M |+|MN|F 1F 2△MNF 2|MN|−|M |≤N =F 2F 2a 2|M |+|MN|<||F 132F 1F 22a +<⋅2c a 232>，c a 56e >56(，1)56D【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算【解析】【解答】解：如图所示，分别取棱，的中点，，连接，，∵，，，为所在棱的中点，∴，．∴，又平面，平面，∴平面，连接，由，，，，可得，，则四边形为平行四边形，则，而平面，平面，则平面．又，∴平面平面．又是上底面内一点，且平面，∴点在线段上，又，∴点的轨迹长为 .故选.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】B,C【考点】A 1B 1A 1D 1M N MN B 1D 1M N E F MN//B 1D 1EF//B 1D 1MN//EF MN ⊂BDEF EF ⊂BDEF MN//BDEF NF NF//A 1B 1NF =A 1B 1//AB A 1B 1=AB A 1B 1NF//AB NF =AB ANFB AN//FB AN ⊂BDEF FB ⊂BDEF AN//BDEF AN ∩NM =N AMN//BDEF P A 1B 1C 1D 1AP//BDEF P MN MN =12B 1D 1P 2–√B双曲线的渐近线命题的真假判断与应用直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：，由题意可得，解得或，故“”是“点到直线的距离为”的充分不必要条件，故错误；，直线方程可化为，因为，所以该直线倾斜角的取值范围为，故正确；，易知，直线与直线平行，圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故正确；，由题意得，且，则，当双曲线焦点在轴时，渐近线方程为，当双曲线焦点在轴时，渐近线方程为，故错误.故选.10.【答案】B,C,D【考点】抛物线的标准方程直线与抛物线结合的最值问题【解析】无【解答】解：焦点到准线的距离为，所以抛物线的焦点为，准线方程为，则选项错误；当垂直于轴时长度最小，此时，，所以，则选项正确；A d ==3|3×2+4×1+c|+3242−−−−−−√c =5c =−25c =5(2,1)3x +4y +c =03A B y =sin αx +1−1≤sin α≤1[0,]∪[,π)π43π4B C y =−2x +52x +y +1=0y =−2x +5d ===r |5|+1222−−−−−−√5–√y =−2x +5+=5x 2y 2C D e ==3–√c a +=a 2b 2c 2b =a 2–√x y =±x 2–√y y =±x 2–√2D BC F p =2C (1,0)x =−1A PQ x P (1,2)Q (1,−2)|PQ|=4B P(，)Q(,)PQ设，，直线的方程为，联立消去，可得，消去，可得，所以，，，所以，当时成立，则选项正确；又，，所以，则选项正确.故选．11.【答案】C,D【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式直线和圆的方程的应用直线与圆相交的性质命题的真假判断与应用斜率的计算公式【解析】选项分情况讨论，直线过原点和不过原点两种情况；选项中直线恒过点，计算即可求解；选项中利用圆心到直线距离及点在圆外即可判断；选项根据以为圆心，为半径的圆与已知圆相交，利用圆心距与两圆的圆的半径间关系即可求解．【解答】解：选项，设，则，因为点在圆上，所以直线与圆有交点，因此圆心到直线的距离，解得或，故错误；选项，由得，所以即直线过点，P(，)x 1y 1Q(,)x 2y 2PQ x =my +1{x =my +1，=2px ，y 2y −(4+2)x +1=0x 2m 2x −4my −4=0y 2+=4+2x 1x 2m 2+=4m y 1y 2=−4y 1y 2=|OF||−|S △OPQ 12y 1y 2=×1×12−4(+)y 1y 22y 1y 2−−−−−−−−−−−−−−√=×≥21216+16m 2−−−−−−−−√m =0C =1x 1x 2=−4y 1y 2⋅=+=−3OP −→−OQ −→−x 1x 2y 1y 2D BCD A B kx −y −1−1=0P (1,−1),k PM k PN C P D N 1A k =y +2xy =kx −2P (x,y)C :+=2(x −1)2(y −1)2y =kx −2C :+=2(x −1)2(y −1)2(1,1)y =kx −2d =≤|k −3|1+k 2−−−−−√2–√k ≤−7k ≥1A B kx −y −k −1=0k (x −1)−(y +1)=0{x =1，y =−1，kx −y −k −1=0P (1,−1)因为直线和以，为端点的线段相交，所以只需或，故错误；选项，圆的圆心到直线的距离，而点是圆外一点，所以，所以，所以直线与圆相交，故正确；选项，与点的距离为的点在圆上，由题意知圆与圆相交，所以圆心距满足，解得，故正确．故选．12.【答案】A,B,D【考点】向量加减混合运算及其几何意义棱柱的结构特征空间向量运算的坐标表示用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果．【解答】解：在正方体中，以点为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，kx −y −k −1=0M (−3,1)N (3,2)k ≥==k PN 2−(−1)3−132k ≤==−k PM 1−(−1)−3−112B C +=x 2y 2r 2(0,0)ax +by =r 2d =r 2+a 2b 2−−−−−−√P (a,b)+=x 2y 2r 2+>a 2b 2r 2d =<=r r 2+a 2b 2−−−−−−√r 2r l C D N (1,0)1+=1(x −1)2y 2M :+=(r >0)(x −4)2(y −4)2r 2+=1(x −1)2y 2d =MN =5r −1<d =5<r +14<r <6D CD ABCD −A 1B 1C 1D 1A AB AD AA 1x y z 2ABCD −A 1B 1C 1D 1A AB AD AA 1x y z，设正方体棱长为，则，，，，，，，所以，，因此，故正确；，又，，所以，，因此，故正确；，因为，，所以，因此向量与向量的夹角是，故错误；，因为，分别是，的中点，所以，，则，又，所以，又异面直线的夹角大于且小于等于，所以异面直线与所成的角为，故正确．故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】A 2A (0,0,0)(0,0,2)A 1B (2,0,0)(2,0,2)B 1C (2,2,0)D (0,2,0)(0,2,2)D 1=(2,2,−2)C A 1−→−−==(2,0,2)A 1B 1−→−−A A 1−→−AB 1−→−⋅(−)=⋅=4−4=0C A 1−→−A 1B 1−→−−A A 1−→−C A 1−→−AB 1−→−A B ++=+B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−A B 1−→−C B 1−→−=(−2,0,−2)+(0,2,−2)=(−2,2,−4)=(−2,0,0)CD −→−(++B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−)2=4+4+16=246=24CD −→−2=6(++)B 1A 1−→−−B B 1−→−C B 1−→−2CD −→−2B C =(2,0,−2)B A 1−→−=(0,2,2)AD −→−1cos , =B A 1−→−AD 1−→−⋅B A 1−→−AD 1−→−|||B A 1−→−A |D 1−→−−==−−4×4+4−−−−√4+4−−−−√12B A 1−→−AD 1−→−120∘C D E F BC C A 1E (2,1,0)F (1,1,1)=(−1,0,1)EF −→−=(0,0,2)DD 1−→−−cos , =EF −→−DD 1−→−−⋅EF −→−DD 1−→−−||||EF −→−DD 1−→−−==2×21+1−−−−√2–√20∘90∘EF DD 145∘D ABD抛物线的标准方程【解析】【解答】14.【答案】【考点】二面角的平面角及求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】＝【考点】圆的标准方程【解析】根据题意，设圆的圆心的坐标为，则圆的方程为＝，，由点到直线的距离公式计算可得圆心到直线＝的距离，由此可得＝，解可得的值，将的值代入圆的方程可得答案．【解答】根据题意，设圆的圆心坐标为，则其标准方程为＝，，则圆心到直线＝的距离，又由该圆截直线＝所得弦的长为，则有＝，解可得＝，又由，则＝，故要求圆的方程为＝，16.(x −2+5–√)2y 25(a,0)(x −a +)2y 25(a >0)x +2y 01+(a 5–√5)25a a (a,0)(x −a +)2y 25(a >0)x +2y 0d ==a |a +2×0|1+22−−−−−√5–√5x +2y 021+(a 5–√5)25a ±25–√a >0a 25–√(x −2+5–√)2y 25点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：由．求得，∴直线与的交点为与直线平行的直线一般式方程为，把点代入可得，故所求的直线方程为．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系直线的点斜式方程两条直线的交点坐标【解析】解方程组求得交点坐标，设与直线平行的直线一般式方程为，把交点代入可得的值，从而求得所求的直线方程．【解答】解：由．求得，∴直线与的交点为与直线平行的直线一般式方程为，把点代入可得，故所求的直线方程为．18.{2x −y +1=0x −y +5=0{x =4y =92x −y +1=0x −y +5=0(4,9)2x +y −5=02x +y +λ=0(4,9)λ=−172x +y −17=0x +2y −3=0x +2y +λ=0λ{2x −y +1=0x −y +5=0{x =4y =92x −y +1=0x −y +5=0(4,9)2x +y −5=02x +y +λ=0(4,9)λ=−172x +y −17=0直线与平面垂直的判定异面直线及其所成的角点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为：．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立解得，联立解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．(1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2M (,)4k −21+k 24−2k k 21+k 2{y =kx,+=20.(x −4)2(y −2)2N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN直线和圆的方程的应用直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】无无【解答】解：，令，得，∴可设圆心为，又点，∴直线的方程为，∴点到直线的距离，即，解得，∴圆的方程为：．证明：①当直线的斜率为零时，易求，，线段中点，则，∴，②当直线的斜率不为零时，设直线的方程为：，联立解得，联立解得，∴线段中点，∴ ，∴，∴．20.【答案】(1)+=5(x +1)2(y −2)2x =0A (0,4)C 2(a,2)(−1,2)C 1OC 12x +y =0C 2OC 1d =|O |C 2|=|2a +2|5–√+4a 2−−−−−√a =4C 2+=20(x −4)2(y −2)2(2)MO M (−2,0)N (8,0)MN Q (3,0)PQ ⊥MN PM =PN MO MO y =kx {y =kx,+=5.(x +1)2(y −2)2M (,)4k −21+k 24−2k k 21+k 2{y =kx,+=20.(x −4)2(y −2)2N (,)4k +81+k 24+8k k 21+k 2MN Q (,)4k +31+k 24+3k k 21+k 2==−k PQ −44+3k k 21+k 2−34k +31+k 21k PQ ⊥MN PM =PN B C G GA证明：（1）取的中点，连结，∵，，∴，在等边中，由是的中点，知，∴，∵三棱柱是直棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．解：（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱均为，则，，，∴，，设是平面的一个法向量，由，取，得，平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法平面与平面垂直的判定【解析】（1）取的中点，连结，推导出，，从而，由三棱柱是直棱柱，得到，从而平面，由此能证明平面平面．（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取的中点，连结，∵，，∴，在等边中，由是的中点，知，∴，∵三棱柱是直棱柱，∴平面，又∵平面，∴，∵，∴平面，又平面，∴平面平面．解：（2）以为坐标原点，以，分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，设直三棱柱的棱均为，则，，，∴，，设是平面的一个法向量，B 1C 1G G A 1F =3F B 1C 1FG =FC 1EF //G A 1△A 1B 1C 1G B 1C 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥B 1A 1B 1C 1EF ⊂A 1B 1C 1B ⊥EF B 1B ∩=B 1B 1C 1B 1EF ⊥B C B 1C 1EF ⊂AEF AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z ABC −A 1B 1C 12A(0,0,0)B(,1,0)3–√E(0,1,2)=(0,1,2)AE −→−=(,1,0)AB −→−3–√=(x,y,z)n →ABE {⋅=x +y =0n →AB −→−3–√˙x =−2=(−2,2,−)n →3–√3–√AEC 1=(1,0,0)m →−AE −B C 1θcos θ===||⋅||m →n →˙219−−√219−−√19−AE −B C 1219−−√19B 1C 1G G A 1EF //G A 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥EF B 1EF ⊥B C B 1C 1AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z −AE −B C 1B 1C 1G G A 1F =3F B 1C 1FG =FC 1EF //G A 1△A 1B 1C 1G B 1C 1G ⊥A 1B 1C 1EF ⊥B 1C 1ABC −A 1B 1C 1B ⊥B 1A 1B 1C 1EF ⊂A 1B 1C 1B ⊥EF B 1B ∩=B 1B 1C 1B 1EF ⊥B C B 1C 1EF ⊂AEF AEF ⊥B C B 1C 1A AA 1AC y z ABC −A 1B 1C 12A(0,0,0)B(,1,0)3–√E(0,1,2)=(0,1,2)AE −→−=(,1,0)AB −→−3–√=(x,y,z)n →ABE ˙由，取，得，平面的一个法向量，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值为．21.【答案】解：∵点与的距离比它到直线的距离小，点与的距离到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故抛物线的标准方程为．设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为．据得．所以，得．同理，得，所以分别令，得，，所以.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题抛物线的标准方程轨迹方程【解析】【解答】解：∵点与的距离比它到直线的距离小，点与的距离到直线的距离相等，点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，{⋅=x +y =0n →AB −→−3–√˙x =−2=(−2,2,−)n →3–√3–√AEC 1=(1,0,0)m →−AE −B C 1θcos θ===||⋅||m →n →˙219−−√219−−√19−AE −B C 1219−−√19(1)P F(1,0)l :x =−21∴P F(1,0)l :x =−1∴P F(1,0)l :x =−1C =4x y 2(2)P (−1,)y 0AP y =(x +1)+k 1y 0BP y =(x +1)+k 2y 0{=4x,y 2y =(x +1)+,k 1y 0−4y +4+4=0k 1y 2k 1y 0Δ=16−4(4+4)=0k 1k 1y 0+−1=0k 21y 0k 1+−1=0k 22y 0k 2{+=−，k 1k 2y 0=−1，k 1k 2x =0m =+k 1y 0n =+k 2y 0mn =(+)(+)k 1y 0k 2y 0=+(+)+y 20k 1k 2y 0k 1k 2=−−1y 20y 20=−1(1)P F(1,0)l :x =−21∴P F(1,0)l :x =−1∴P F(1,0)l :x =−1=4x 2故抛物线的标准方程为．设点的坐标为，直线的方程为，直线的方程为．据得．所以，得．同理，得，所以分别令，得，，所以.22.【答案】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得C =4x y 2(2)P (−1,)y 0AP y =(x +1)+k 1y 0BP y =(x +1)+k 2y 0{=4x,y 2y =(x +1)+,k 1y 0−4y +4+4=0k 1y 2k 1y 0Δ=16−4(4+4)=0k 1k 1y 0+−1=0k 21y 0k 1+−1=0k 22y 0k 2{+=−，k 1k 2y 0=−1，k 1k 2x =0m =+k 1y 0n =+k 2y 0mn =(+)(+)k 1y 0k 2y 0=+(+)+y 20k 1k 2y 0k 1k 2=−−1y 20y 20=−1(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2−24，即直线过轴上的定点.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意得，所以.又椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为设则由，得则.由题可得直线的方程为又所以直线的方程为令，得，即直线过轴上的定点.==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)(1)2a =4a =2C (1，)32+=11494b 2=3b 2C +=1.x 24y 23(2)A (,),B (,),x 1y 1x 2y 2D(，−)x 1y 1{y =k(x −4)3+4=12x 2y 2(3+4)−32x +64−k 2x 2k 2k 212=0,Δ>0,+=,=x 1x 232k 23+4k 2x 1x 264−12k 23+4k 2BD y +=(x −)，y 1+y 2y 1−x 2x 1x 1=k (−4),=k (−4),y 1x 1y 2x 2BD y +k (−4)=(x −).x 1k (−4)+k (−4)x 2x 1−x 2x 1x 1y =0x =+−4−+4x 1x 2x 2x 21x 1+−8x 1x 2x 1=2−4(+)x 1x 2x 1x 2+−8x 1x 2=2×−4×64−12k 23+4k 232k 23+4k 2−832k 23+4k 2==1−243+4k 232−24−32k 2k23+4k 2BD x (1，0)。

人教版高二上册数学期中数学试卷带答案

2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)1. 已知a>b，c>d>0，则（）A.1 a <1bB.a−c>b−dC.ac>bdD.dc<d+4c+42. 关于x的不等式x+1x−2≥0的解集为（）A.(−∞, −1]∪(2, +∞)B.[−1, 2)C.(−∞, −1]∪[2, +∞)D.[−1, 2]3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＝1，且S6−S2＝10，则a3+a4＝（）A.2B.3C.4D.54. 若不等式ax2+bx−1<0的解集为{x|−1<x<2}，则a+b的值为（）A.−14B.0 C.12D.15. 已知等比数列{a n}中，a2a3a4=1，a6a7a8＝64，则a5＝（）A.±2B.−2C.2D.46. 已知在数列{a n}中，a1=2,a n+1=nn+1a n，则a2020的值为（）A.1 2020B.12019C.11010D.110097. 已知a>0，b>0，a+b＝3，则y=4a +1b+1的最小值为（）A.9 8B.94C.92D.98. 已知数列{b n}满足b n=2λ(−12)n−1−n2，若数列{b n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A.(−1, 103) B.(−12, 103) C.(−1, 1) D.(−12, 1)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.)9. 下列说法正确的有（）A.“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件B.“1a >1b”是“a<b”的既不充分又不必要条件C.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D.“a>b>0”是“a n>b n(n∈N, n≥2)”的充要条件10. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，2a5+a11＝0，则（）A.a8<0B.当且仅当n＝7时，S n取得最大值C.S4＝S9D.满足S n>0的n的最大值为1211. 已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则（）A.a2+b2的最小值为12B.ab+1ab的最小值为2C.√a+√b的最大值为√2D.1a +1b的最大值为412. 对于数列{a n}，定义：b n=a n−1a n(n∈N∗)，称数列{b n}是{a n}的“倒差数列”．下列叙述正确的有（）A.若数列{a n}单调递增，则数列{b n}单调递增B.若数列{b n}是常数列，数列{a n}不是常数列，则数列{a n}是周期数列C.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}没有最小值D.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}有最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.)13. 命题“∃x∈R，x2−2x+m≤0”的否定是________．14. 在等比数列{a n }中，已知a 3⋅a 8=10，则a 53⋅a 7的值为________．15. 已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为________．16. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为________，此数列的通项公式a n ＝ {n 2−12(n)n 22(n)．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在①f(x +1)−f(x)＝2ax ，②f(x)的对称轴为x =12，③f(1)＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +1，若_____，且不等式f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立，试求实数a 的取值范围．18. 已知数列{a n }是公比q >1的等比数列，若a 1+a 2+a 3＝14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，数列{1b n b n+1}的前n 项和为T n ，若T n <m 2−1对n ∈N ∗恒成立，求满足条件的自然数m 的最小值．19. 已知数列{a n }中，a 1＝2，且满足a n+1−2a n ＝2n+1(n ∈N ∗)．（1）求证：数列{a n2n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对于数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．20. 已知函数f(x)=a⋅2x +12x −1,a ∈R ．（1）当a ＝1时，求不等式f(x)>3的解集；（2）若不等式|f(2x)−f(x)|≤1对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数a的取值范围．21. 如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC．为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即△ABC的周长）为l．设EC＝x百米．（1）试用x表示线段BC的长度；（2）求l关于x的函数解析式f(x)，并求f(x)的最小值．22. 已知数列{a n}为等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）若a1＝0，d＝2，求S100的值；,8)内，求d的取值范围；（2）若a1＝−1，{a n}中恰有6项在区间(12（3）若a1＝1，S2＝3，集合A={a n|n∈N∗}，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{b n}，使得此新数列{b n}满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：叫作数a和数b的调和平均数）．数2aba+b参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】D【解析】由不等式的性质逐一判断即可．2.【答案】C【解析】根据题意，原不等式变形可得(x+1)(x−2)>0或x+1＝0，解可得x的取值范围，即可得答案．3.【答案】B【解析】先根据求和公式和等差数列的性质可得a5+a4＝5，即可求出a3+a4．4.【答案】B【解析】不等式ax2+bx−1<0的解集是{x|−1<x<2}，故−1，2是方程ax2+bx−1＝0的两个根，由根与系数的关系求出a，b．5.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4=1，a6a7a8＝64，可得(q4)3＝64，解得q2．又(a1q2)3=1，解得a1．利用通项公式即可得出．6.【答案】C【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．7.【答案】B【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．8.【答案】A【解析】)n−2n−1<0，分类讨论，根据数列的根据函数为递减数列可得b n+1−b n＝6λ(−12函数特征即可求出．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.9.【答案】A,B,C【解析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可判断出正误．10.【答案】A,C,D【解析】2a5+a11＝0利用通项公式可得：a1＝−6d．根据a1>0，可得d<0，利用通项公式和求和公式进而判断出结论．11.【答案】A,C,D【解析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．12.【答案】B,D【解析】对于A，根据函数f(x)＝x−1在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，但在整个定义域上不x是单调递增，即可判断；=t，通过数列的递推关系可得数列{a n}是以2为周期的周期数对于B，设b n＝a n−1a n列，)n，分了n为奇数和偶数，利用数列的单调性即可判断．对于CD，若a n＝1−(−12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.13.【答案】∀x∈R，x2−2x+m>0【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．14.【答案】100【解析】根据等比数列的性质即可求出．15.【答案】6【解析】此题暂无解析16.【答案】180【解析】直接利用数据求出数列的关系式和通项公式．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】选①f(x+1)−f(x)＝2ax，∵f(x)＝ax2+bx+1，∴a(1+x)2+b(1+x)+1−ax2−bx−1＝2ax，整理可得，2ax+a+b＝2ax，∴a+b＝0，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选②：f(x)的对称轴为x=12，∴−b2a =12，∴b＝−a，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选③：f(1)＝2，∴a+b+1＝2即b＝1−a，∵f(x)＝ax2+(1−a)x+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，x+1≥0不恒成立，当a≠0时，{a>0(1−a)2−4a≤0，解得3−2√2≤a≤3+2√2，故3−2√2≤a≤3+2√2．【解析】选①：f(x+1)−f(x)＝2ax，结合已知二次函数代入可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选②：f(x)的对称轴为x=12，结合已知二次函的对称轴方程可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选③：f(1)＝2，直接代入可得b＝1−a，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求．18.【答案】数列{a n}是公比q>1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．所以{a1+a2+a3=142(a2+1)=a1+a3，整理得{a1+qa1+a1⋅q2=142(a1⋅q+1)=a1+a1⋅q2，解得{a1=2q=2，故a n=2n．由于b n＝log2a n＝n，所以1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1<1，若T n<m2−1对n∈N∗恒成立，只需满足m2−1≥1即可，故m≥4，即满足条件的自然数m的最小值为4．【解析】（1）直接利用已知条件和关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法和恒成立问题的应用求出数列的和及m的最小值．19.【答案】数列{a n}中，a1＝2，且满足a n+1−2a n＝2n+1(n∈N∗)．整理得a n+12n+1−a n2n=1（常数），所以数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n2n=1+(n−1)=n，所以a n=n⋅2n．证明：由于a n=n⋅2n，所以b1+2b2+...+nb n＝n⋅2n①，当n＝1时，b1＝2，当n≥2时，b1+2b2+⋯+(n−1)b n−1=(n−1)⋅2n−1②，①-②得：nb n=n⋅2n−(n−1)⋅2n2=(n+1)⋅2n2，所以b n=(n+1)2n−1n，（首项符合通项），所以b n=(n+1)2n−1n，即数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．【解析】（1）直接利用构造新数列的应用求出数列的通项公式；（2）利用数列的递推关系式的应用求出结果． 20. 【答案】当a ＝1时，f(x)=2x +12x −1，由f(x)>3，即2x +12x −1>3，化为2−2x2x −1>0，即1<2x <2，可得0<x <1，则解集为(0, 1)； f(x)=a⋅2x +12x −1=a +a+12x −1，则f(2x)−f(x)=a+122x −1−a+12x −1=(a +1)⋅−2x22x −1，令t ＝2x ，因为x ∈[1, 2]，可得t ∈[2, 4]，由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x=t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t )min ，而g(t)＝t −1t 在[2, 4]递增，可得g(t)min ＝g(2)=32，则|a +1|≤32，解得−52≤a ≤12，则a 的取值范围是[−52, 12]．【解析】（1）由题意可得f(x)=2x +12x −1，由指数不等式的解法和指数函数的单调性，可得所求解集；（2）计算f(2x)−f(x)，令t ＝2x ，t ∈[2, 4]，由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x =t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t)min ，运用g(t)＝t −1t在[2, 4]的单调性，可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围． 21.【答案】∵ AB ⊥AC ，∴ ∠EAC +∠BAD ＝90∘，在Rt △ABD 中，∠ABD +∠BAD ＝90∘，∴ ∠EAC ＝∠ABD ，则Rt △CAE ∽Rt △ABD ， ∴ ACAB =ECAD ．∵ EC ＝x ，AC =√AE 2+EC 2=√1+x 2，AD ＝1，∴AB=1×√1+x2x =√1+x2x，则BC=√AB2+AC2=√1+x2+1+x2x2=√x2+2+1x2=x+1x；f(x)=√1+x2+√1+x2x +x+1x，x>0．∵x>0，∴f(x)≥2√√1+x2⋅√1+x2x +2√x⋅1x=2√1x+x+2≥2√2+2．当且仅当√1+x2=√1+x2x ，且1x=x，即x＝1时取“＝”．∴f(x)min=2√2+2，故景观桥总长的最小值为(2√2+2)百米．【解析】（1）由已知证明Rt△CAE∽Rt△ABD，得ACAB =ECAD，由EC＝x，得AC=√AE2+EC2=√1+x2，AD＝1，再由勾股定理求BC；（2）写出f(x)的表达式，然后利用基本不等式求最值．22.【答案】因为a1＝0，d＝2，又因为S n＝na1+n(n−1)2⋅d，所以S100＝100×0+12×100×99×2＝9900；设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，则{a m>12 a m−1≤12a m+5<8 a m+6≥8，即有{−1+(m−1)d>12−1+(m−2)d≤12−1+(m+4)d<8−1+(m+5)d≥8，解得{32(m−1)<d≤32(m−2)9m+5≤d<9m+4，所以{32(m−1)<9m+49 m+5≤32(m−2)，解得m∈(2, 175]，所以m＝3，所以d∈[98, 97 )；因为a1＝1，S2＝a1+a2＝3，所以a2＝2，d＝a2−a1＝1，所以a n＝n，①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m，若a n=2a m a ma m+a m=a m，矛盾；若a m=2a n a ma n+a m，解得a m＝a n，所以a n，a m是两个不同项，且a m≥1，a n≥1，所以a n≠a m，所以新数列{b n}中有两个相同和一个不同项是不成立的；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，设m＝a m，n＝a n，r＝a r，且m<n<r，b1＝m，b2＝n，则a n=2a m a ra m+a r ，即n=2mrm+r，解得r=mn2m−n ，设第四项为p，则r=2npn+p，即p=nr2n−r =mn22m−n2n−mn2m−n=mn3m−2n，设第五项为t，则p=2rtr+t ，即t=rp2r−p=mn2m−n⋅mn3m−2n2mn2m−n−mn3m−2n=mn4m−3n，由数学归纳法可得b n=b1b2(n−1)b1−(n−2)b2，即(n−1)b1>(n−2)b2，b1b2>n−2n−1，当n非常大时，n−2n−1趋向于1，则b1b2≥1，即b1≥b2（与假设矛盾），故三项不同的数列{b n}也不存在．综上可得，{b n}不存在．【解析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得所求和；（2）设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，运用等差数列的通项公式可得m，d的不等式组，解不等式可得所求范围；（3）分别讨论①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，推理论证即可判断存在性．试卷第11页，总11页。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

四川省成都市高二数学上学期期中试题-人教版高二全册数学试题

某某省某某市2012-2013学年高二数学上学期期中试题参考公式：S Ch 正棱柱或圆柱侧＝；12S Ch '正棱锥或圆锥侧＝；24S R π球面＝；1)2S C C h '+下正棱台或圆台侧上＝（；V Sh 柱体＝；V Sh 锥体1＝3； 343V R π球＝；13V S S S h 下下台体上上＝（＋）。

一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)1．在空间四点中，如果任意三点都不共线，那么经过其中三点的平面（）A 、必定4个B 、4个或1个C 、3个或1个D 、1个、3个、4个都有可能 2．一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是（）3．已知空间四边形ABCD，连接,AC BD 。

设G 是CD 的中点，则=++)(21BC BD AB （） A 、AGB 、CGC 、BCD 、BC 214．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ。

下面四个命题中，正确的是（）A 、//αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ B 、//m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C 、//////m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D 、//m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭5．已知()()1,1,,2,,a t t t b t t =--=，则b a -的最小值是（）A 、55 B 、555 C 、553 D 、511 6．正方体1111ABCD A B C D -棱长为a ，E 是1CC 的中点，则E 到直线1A B 的距离为（）A 、a 33 B 、a 26 C 、a 25 D 、a 423 7．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值X 围是( )A 、]6,0(πB 、),6[ππC 、]3,0(πD 、),3[ππ8．如果一个圆柱，一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为（）A 、6:5:4B 、5:4:3C 、3:2:1D 、4:2:1C BD A 侧视图正视图9．已知二面角a αβ--的大小为3π，若平面α内一点A 到平面βA 在平面β内的射影1A 到平面α的距离是（）ABC 、1D 、23 10．若三棱锥A BCD -侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC ∆组成的图形可能是（）11．如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11C CDD 上的动点，且F B 1//平面BE A 1，则F B 1与平面11C CDD 所成角的正切值构成的集合是 ( )A 、}2{B 、}552{C 、}222|{≤≤t tD 、}2552|{≤≤t t12．，在该几何体的正视图中，在该几何体的侧视图和俯视图中，这条棱的投影分别是长为x 和y 的线段，则x y +的最大值为（） A、B、C 、4D、二．填空题（本大题4个小题，每题4分，共1613. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如右图所示），45,1,ABC AB AD CD BC ∠===⊥，则这块菜地的面积为_____________。

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高二数学上学期期中考模拟卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（）A B C 144D2在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A 1B 1-C 32D 32-3 设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )Ab a 11<B ba 11>C 2a b >D 22a b > 4在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（）A B 512 C 510 D82255在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（）A A b sinB A b cos 2C B b sinD B b cos6 关于x 的不等式22155(2)(2)22x xk k k k --+<-+的解集是 ( )A 12x >B 12x <C 2x >D 2x < 7若)32lg(),12lg(,2lg +-xx 成等差数列，则x 的值等于（）A 1B 0或32C 32D 5log 28在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = () A 0B 060 C 0135 D 01509．已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22-10等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（）A 12B 10C 31log 5+D 32log 5+11、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>1234,0,0y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 512、预测人口的变化趋势有多种方法，“直线推算法”使用的公式是0(1)(1)nn P P k k =+>-，其中n P 为预测期人口数，0P 为初期人口数k 为预测期内年增长率n 为预测期间隔年数。

如果在某一时期有—1<k<0,那么在这期间人口数（）A 呈上升趋势B 呈下降趋势C 摆动变化D 不变二、填二、空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．．．．．．．．。

13两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则55b a=___________14若在△ABC 中，060,1,3,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______15、设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数z ＝2x +4y 的最大值为（）第17题图16在△ABC 中，若,tan lg tan lg tan lg 2C A B +=则B 的取值范围是_______________三、解答题：本大题共6小题，前5道每题12分,最后一题14分，共74分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、如图所示的四边形ABCD 中已知AD CD ⊥，AD=10，AB=14，0060,135,BDA BCD ∠=∠=求BC 的长18．已知：等差数列{n a }中，4a =14，前10项和18510=S . （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）将{n a }中的第2项，第4项，…，第n2项按原来的顺序排成一个新数列，求此数列的前n 项和n G .19已知函数2243()1mx x ny f x x ++==+的最大值为7，最小值为1-，求此函数式20、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ 21、设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 22．（本题满分14分）对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点.如果函数),()(2N c b c bx a x x f ∈-+=有且只有两个不动点0，2，且,21)2(-<-f（1）求函数)(x f 的解析式；（2）已知各项不为零的数列1)1(4}{=⋅nn n a f S a 满足，求数列通项n a ；（3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时，恒有3<n a 成立.高二数学上学期期中考模拟卷参考答案1B 147369464639,27,339,327,13,9a a a a a a a a a a ++=++=====91946999()()(139)99222S a a a a =+=+=+=2C 00tan 30,tan 302b b a c b c b a=====-=3C 对于A ，B ，倒数法则：11,0a b ab a b>>⇒<，要求,a b 同号，2111,1b b a >>-⇒<>而，对于22a b >的反例：21.1, 1.21,0.8,2 1.6a a b b ====4C 332112131(1)18,()12,,2,22q a q a q q q q q q ++=+====+或而89182(12),2,2,2251012q Z q a S -∈====-=- 5D sin sin 22sin cos ,2cos A B B B a b B === 6B225312(1)1,1,222k k k x x x -+=-+>∴<-< 7D 2lg 2lg(23)2lg(21),2(23)(21)xxxx++=-+=-22(2)4250,25,log 5x x x x -⋅-===8B22()()3,()3,a b c b c a bc b c a bc +++-=+-=222222013,cos ,6022b c a b c a bc A A bc +-+-====9.用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

10.B 5103132310312103453log log ...log log (...)log ()log (3)10a a a a a a a a +++====11.解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个答案：312、答案：B 解析：1n n P P +-=100(1)(1)n n P k P k ++-+=00(1)(11)(1)n nP k k P k k ++-=+，001110,011,(1)0.0,0,(1)0,0.n n n n n nk k k P k P k k P P P P ++-<<∴<+<+>><∴+<-<∴<又即1312651955199"55199199()2792652929312()2a a a a a a Sb b b b S b b ++⨯+======+++ 1433922113sin 3,4,13,13222ABC S bc A c c a a ∆==⨯==== 13239sin sin sin sin 332a b c a A B C A ++===++ 15、13 16)2,3[ππ2tan tan tan tan tan ,tan tan()tan tan 1A CB AC B A C A C +==-+=- 2tan tan tan tan()tan 1A CB AC B +=-+=- 3tan tan tan tan 2tan tan 2tan B B A C A C B -=+≥=3tan 3tan ,tan 0tan 33B B B B B π≥>⇒≥⇒≥17、解：在ABC ∆中，由余弦定理得222BA 2cos .BD AD BD AD BDA =+-∠ 设BD=x ，则22201410210cos60x x =+-⨯ ,得x 2-10x-90=0 1216,6()x x ∴==-舍去即BD=16.在BDC ∆ 中，000CDB 906030ADC BDA ∠=∠-∠=-= 由正弦定理得16,sin 3082sin sin sin 135o oBC BD BC CDB BCD =∴==∠∠∠ y ＝2x －y ＝－1x ＋y ＝418、（Ⅰ）由41014185a S =⎧⎨=⎩∴11314,1101099185,2a d a d +=⎧⎪⎨+⋅⋅⋅=⎪⎩153a d =⎧⎨=⎩……3分由233)1(5+=∴⋅-+=n a n a n n ……………………………6分（Ⅱ）设新数列为{n b }，由已知，223+⋅=nn b ………………… 9分.2)12(62)2222(3321n n G n n n +-=+++++=∴*)(,62231N n n G n n ∈-+⋅=∴+……………………………………12分19、解：222(1),()0y x mx n y m x y n +=++--+-=显然y m =可以成立，当y m ≠时，方程2()0y m x y n --+-=必然有实数根，∴484()()0,y m y n ∆=---≥ 即2()120,17y m n y mn y -++-≤-<<而17∴-和是方程2()120y m n y mn -++-=的两个实数根则6,1,5127m n m n mn +=⎧==⎨-=-⎩2251x y x ++∴=+ 20、解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为 a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为 b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=∑=n k 1400×(45)k －1.=1600×［(45)n －1］(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即：1600×［(45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0，令x =(54)n ，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n ＜52，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.21解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 22A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=．2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． 22解：设x c bx a x =-+2得：,0)1(2=++-a cx x b 由违达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=+,102,102b a b c解得,210⎪⎩⎪⎨⎧+==c b a 代入表达式c x c x x f -+=)21()(2，由,2112)2(-<+-=-c f 得x x f b c N b N c c ===∈∈<)(,1,0,,,3则若又不止有两个不动点，).1(,)1(2)(,2,22≠-===∴x x x x f b c 于是………………………………………5分（2）由题设得,2:1)11(2)1(422n n n nn n a a S a a S -==-⋅得（A ）且21112:1,1----=-≠n n n n a a S n n a 得代以（B ）由（A ）-（B ）得：,0)1)(()()(2112121=+-+---=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即,2:)(1,1211111a a a A n a a a a n n n n -==-=--=∴--得代入以或解得01=a （舍去）或11-=a ；由11-=a ，若,121=-=-a a a n n 得这与1≠n a 矛盾，11-=-∴-n n a a ，即{}n a 是以-1为首项，-1为公差的等差数列，n a n -=∴； ………………………………………………………………10分（3）证法（一）：运用反证法，假设),2(3≥>n a n 则由（1）知22)(21-==+n nn n a a a f a),2(,143)211(21)111(21)1(211N n n a a a a a a a n n n n n n n ∈≥<<=+<-+⋅=-=∴++即 ∴21a a a n n <<<- ，而当,3;338281622,21212<∴<=-=-==n a a a a n 时这与假设矛盾，故假设不成立，∴3n a <.………………………………………14分证法（二）：由2121)211(21,22)(21211≤+--=-==+++n n n n n n n a a a a a a f a 得得1+n a <0或,30,0,2111<<<≥+++n n n a a a 则若结论成立；若1+n a 2≥，此时,2≥n 从而,0)1(2)2(1≤---=-+n n n n n a a a a a 即数列{n a }在2≥n 时单调递减，由3222=a ，可知2,33222≥<=≤n a a n 在上成立.………………………………………………………………………………………14分。