一道高观点下的数学高考压轴题----李普希茨条件

一道高观点下的数学高考压轴题

518102 广东深圳宝安西乡中学 李兴无

今年北京高考理科数学最后一道大题（第20题）是有关抽象函数的不等式的证明题，认真分析研究该题中的（Ⅱ），发现这是一道具有高等数学知识背景的试题。本文给出这个问题的两个推广，其中后一个推广是用微积分学中的李普希茨（R.Lipschitz ）条件表述。

第20题：设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （ⅰ）0)1()1(==-f f ；（ⅱ）对任意的]1,1[,-∈v u ，都有

v u v f u f -≤-)()(。

（Ⅰ）证明：对任意的]1,1[-∈x ，都有x x f x -≤≤-1)(1；

（Ⅱ）证明：对任意的]1,1[,-∈v u ，都有1)()(≤-v f u f ；

（Ⅲ）在区间]1,1[-上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，使得

v u v f u f -<-)()(，当]2

1,0[,∈v u ，

v u v f u f -=-)()(，当]1,2

1[,∈v u 。 若存在，请举一例；若不存在，请说明理由。

推广一：函数)(x f 定义在],[b a 上，)()(b f a f =，且满足条件： 对任意的],,[,21b a x x ∈都有2121)()(x x x f x f -≤-，则必有 2

)()(21a b x f x f -≤-。 证明：（ⅰ）当221a b x x -≤

-时，由2

)()(2121a b x x x f x f -≤-≤-知， 显然成立。

（ⅱ）当221a b x x ->-时，不妨设21x x <，则2

21a b x x --<-，从而 )()()()()()(2121x f b f a f x f x f x f -+-=-

)()()()(21x f b f a f x f -+-≤

2121x b a x x b a x -+-=-+-≤

2

221a b a b a b x x a b -=---<-+-=. 综合可知，总有2

)()(21a b x f x f -≤-成立。 由试题中函数)(x f 满足的条件（ⅱ）可联想到高等数学中的李普希茨（R.Lipschitz ）条件,其定义如下：

对于],[b a 上定义的函数)(x f 和正数)10(≤<αα，若存在正常数M 使不等式α2121)()(x x M x f x f -≤-对],[,21b a x x ∈都成立，则称函数)(x f 在],[b a 上满足α阶的李普希茨条件。

显然试题中的函数)(x f 满足1阶的李普希茨条件。下面我们进一步将其推广到)(x f 满足α阶的李普希茨条件。

推广二：函数)(x f 定义在],[b a 上，)()(b f a f =，且)(x f 满足α阶的李普希茨条件，即存在正常数M ，使得对于任意的],[,21b a x x ∈，都有),10()()(2121≤<-≤-ααx x M x f x f ，则必有

αα)(2)()(2121a b M x f x f -≤-- ①

证明：（ⅰ）当2

21a b x x -≤-时，若21x x =，则不等式①显然成立；下设21x x ≠，则由 .11010<-≤⇒≤<αα从而2211<≤-α， 于是αααα)2

(2)2()()(12121a b M a b M x x M x f x f -≤-≤-≤--

αα)(221a b M -=- （ⅱ）当221a b x x ->-时，不妨设21x x <，则2

21a b x x --<-. 由10<<α知函数αx y =在区间),0[+∞上是上凸函数，于是

ααααα)(2]2

)()([2)()(212121x x a b x b a x x b a x -+-=-+-≤-+-- αααααα)(2)2

(2)2(22a b a b a b a b -=-=---<--- αααα)(2)()(2121a b x b a x -<-+-∴- ②

显然当1=α时，不等式②也成立。 于是)()()()()()(2121x f b f a f x f x f x f -+-=-

)()()()(21x f b f a f x f -+-≤

αα21x b M a x M -+-≤

.)(2

])()[(2121ααααa b M x b a x M -<-+-=- 综上可知，总有αα)(2)()(2121a b M x f x f -≤--成立。

若把试题中的不等号“≤”改为严格不等号“<”其相应的推广也成立，在此从略。此外，还需指出的是该试题中的第（Ⅲ）问的第一个条件似应改为“v u v f u f -<-)()(，当]2

1,0[,∈v u 且.v u ≠”

参考文献 徐利治，王兴华编著. 数学分析的方法及例题选讲（修订版）. 高等教育出版社1983年5月第2版.

(本文已发表在《高中数学教与学》2004年第2期上)