习题答案

n n
()
( )
n −1
+ L + a n −1 z + a n
= a 0 z n + a1 z n −1 + L + a n z + a n = a 0 z n + a1 z n −1 + L + a n −1 z + a n =0 所以，若 z = a + bi 是上述方程的根，则其 共轭复数 z = a − bi 也是方程的根。
x x
∂u ∂v ∂v ∂u ∂v ∂v = − = , = = − ;∴ u = C 1 , v = C 2 . ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x
(C 为任意复数，
z∈ D A，
)
f ( z ) 在 D 内为常数 = 0 , 2 uu = 0 , 2 uu + 2 vv + 2 vu
u 2 + v 2 = A , f ( z ) 在 D 内解析，则
x +iy
1 π ∴ x = ln 2, y = 2k + π ,∴ z = ln 2 + 2kπ + i, k = (你懂的 …) … 3 3 1 解3： 2z −1 = Ln1 = ln1 + 2kπi,∴ z = + kπi, k = 0,1,2L Q 2 12 . 证明当 n = 0 , ± 1 , ± 2 , L 时 解2：e = 2e
2 πi −10 3
(
)
10.证明 ≤ e 。 e 证： = e e
z2 x2 − y2 +2xyi
=e
x2 − y2
Qe = e
zБайду номын сангаас
2
x2 + y2
∴e ≤ e
z2
z
2
11.求z的值。)e z = −2; (2)e z = 1 + i 3; (3)e2 z −1 = 1. (1
π
i + 2kπi
解1: e( x+iy ) = 2e(2k +1)πi ∴ x = ln 2, y = (2k + 1)π ,∴ z = ln 2 + (2k + 1)πi, k = 0,1,2(你懂的 _^) Q ^
1 =e n
1 Ln n
π
i+ 2 nπi 4 2 k +1 πi n
= e
π − + 2 nπ 4
( −1 )
= e
1 ( 2 k + 1 )π i n
= e
13 .求 (1 ) : (1 − i ) 4 i ; ( 2 ) : [
e (−1 − i 2
4 i ln 3 π iLn 2−
，若可导，求 ) f ' (z 18讨论下面函数的可导性 . z (1) : f (z) = x2 +iy2;(2) : f (z) = z Im( ). ∂u ∂u ∂v ∂v 解： = 2x, = 0, = 0, = 2y 1Q ∂x ∂y x ∂y 且这四个偏导数连续，x时， − R方程成立。 当= y C ∴ f (z)在 = x时可导，且z) = ux +ivy = 2x y f '( 解2： (z) = (x +iy) y = xy+ y2i , ux = y,uy = x, vx = 0, vy = 2y f ∴ f (z)在 = 0处可导，且 ) = 0 z f (0 四个偏导连续，且 = 0时， − R方程成立。 y=x C
9.(1) : (−1+ i)7 ; 解：原式 2 e =
3 7 7 π +2kπi 4
= 2e
3 7 − π 4
= −8(1+ i)
(2) : (1+ i 3)−10。 解：原式 2 e =
z2 z
2
π i+2kπi ( −10) −10 3
= 2 e = 2−11 −1+ 3i
19 . f ( z ) 在 D 内解析，且满足下列条 f ( z ) 在 D 内为常数。 (1 ) : f ( z )在 D 内解析 ; ( 2 ) : f ( z ) 在 D 内为常数。 f 证 1： ( z ) = u − vi 在 D 内解析， ∴
件之一，试证明
即 f (z ) = C 证 2 ：设 f (z) = 2 uu 2 uu
z→z0
z→z0
z z limRe( ) = Re( 0 ).
d(C f (z) ) 17.设f ' (z)存在，试推导 . dz 证：设 w = c f ( z) ,则w = e f ( z)Lnc dw f ( z)Lnc =e • f (z)Lnc= c f ( z) f ′(z)Lnc dz d(C f (z) ) f ( z) ∴ = c f ′(z)Lnc dz
∴以 z 0 为中心， R为半径的方程可写为 z − 2 Re ( zz 0 ) + z 0 = R 2
8.证明双曲线 − y =1可写成 x
2 2 2 2
z + z = 2。
2
2
2 2 2 2 2 2 z + z z − z z + z + 2zz + z + z − 2zz z + z = 证：x2 − y2 = Q − = 2 2i 4 2 ∴双曲线2 − y2 =1可写成2 + z 2 = 2 x z
3 .证明在圆周
1 1 z > 2 上， 4 ≤ 。 2 z − 4z + 3 3
证：Q z 4 − 4 z 2 + 3 ≥ z 4 − 4 z 2 − 3 ≥ z 4 − 4 z 2 − 3 = 3 1 ∴ 4 ≤ 3 2 z − 4z + 3 4 .( 1 ) : ( 2 + i ) 2 略！ ( 2 ) : ( 2 z + 5 )( 解：原式 = 2 − i) 2 + i 2z + 5 = 3 2z + 5 = 3 2z + 5
2 2
(
)
(
)
证明： − z 0 = ( z − z 0 ) z − z 0 = (z − z 0 )( z − z 0 ) z
2
(
)
= zz − z 0 z − zz 0 + z 0 z 0 = z − z 0 + zz 0 + z
2 2
(
)
2 2 2 2
= z − 2 Re ( zz 0 ) + z 0
习题 1 .设 z1 = − 1 + i 3 , z 2 = − 1 + i , 求 arg( z1 z 2 ) 解： Argz 1 z 2 = A rgz 1 + A rgz 2 + 2 k π 2 3 17 π + 2πvv = π + π + 2k = 3 4 12 而 argz 1 z 2 为辐角主值变化范围 − π < arg z1 z z 2 ≤ π 17 7 从而 arg z1 z 2 = π − 2π = − π 12 12 2 .如果 a + bi 是实系数方程 a 0 z n + a1 z n −1 + L + a n −1 z + a n = 0的根， 那么 a − bi 也是它的根。 证：因为 a 0 z + a1 z n −1 + L + a n −1 z + a n = a 0 ( z ) + a1 ( z )
(
)
3πi
= e
e −1− 2
(
3i
)
= e
= −e
( 2 − 6 k )π
2
14.证明：若 0,α为实数，则 = e z≠ z 证：z∂ = e Q
∂Ln z
α
α ln z
=z .
∂ln z
α
=e
∂(ln z +i∂yz+2kπi )
∴ z∂ = e
=z
∂
15.若f (z)在上半复平面解析，试f (z)在下半复平面解析。 证明 证明：f (z) = u + vi, ( y > 0)解析， Q ∂u ∂v ∂v , ( y > 0) = =− ∂x ∂y ∂(− y) ∂(−v) = , ( y < 0) ∂y ∂v ∂u ∂y ∂u ∂v ∂(−v) − = =− , ( y > 0),∴ = = − , ∂x ∂y ∂(− y) ∂y ∂x ∂x
x y y y y x
ux = vy ,u y = −vx
+ 2 vv − 2 vu
= 0 , 满足 C − R = 0.
即 u x = u y = 0, v x = v y = 0. ∴ u = C1, v = C 2 即 f (z ) = C
(C 为任意复数，
z∈ D
)
5 .证明： 2 z ≥ Re( z ) + Im( z ) 。 证：Q x 2 + y 2 ≥ 2 x y ∴2 z
2
≥
(x
+ y
)即
2
2 z ≥ ℜ e (z ) + Ι m (z )
6.证明：当 z < 1时， (1 − z + z 2 ) < 3。 Im 证明： 1 − z + z 2 = Im 1 − x + yi + x 2 − y 2 + xyi Im = y + 2 xy ≤ y + 2 x y ≤ 3 7.证明以 z 0 为心， R为半径的圆的方程 z1 − z 0 = R 可以写成 z − 2 Re( z z 0 ) + z 0 = R 2。
( y < 0),∴u, v在y < 0上满足- R方程。 c
又Qu，v在y > 0，y < 0上均可微，(z)在下半复平面解析。 ∴f
16.设z0为复常数，用极限定义
证明
证明：Re(z) − Re(z0 ) = x − x0 ∴∀ε > 0,δ = ε,当x − x0 f (z) < z − z0 < δ时 Q z z 有Re(z) − Re(z0 ) < ε成立， limRe( ) = Re( 0 )。 故
3 )] 3 π i ;
i + 2 kπi 4
(1 解 1： − i )
4i
= e 4 Ln (1 − i ) = e 3i
π
= e (π − 8 k π )e i 2 ln 2
2 3πi 1− πi + 2 kπ i 3
e 解 2： − 1 − 2
3
(1 ) : (1 + i ) = e
i i
(−
π
4
+ 2 nπ )
e
ln 2 2 i ln
; ( 2 ) : ( − 1)
2+
1 n
= e
(
1+ 2 k πi) n
. e
1 ln 2 。 2
(1 证 1： + i ) = e i ln (1 + i ) = e ( 证 2 ：− 1 )