第6章 样本及中心极限定理63 抽样分布

x1, x2 ,, xn 是这一样本的观察值 .
(1) 样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi;
其观察值
x
1 n
n i 1
xi .
(2) 样本方差
S2
1 n1
n i 1
(Xi
X
)2
1 n
1
n i 1
X
2 i
nX
2
.
其观察值
s2
1 n1
n
( xi
i 1
x )2
1 n 1
n i 1
xi2
nx 2
x 的随机变量的个数 ,
定义经验分布函数 Fn( x) 为
Fn (
x)
1 n
S(
x),
( x )
对于一个样本值 , Fn( x) 的观察值容易求得 . ( Fn( x) 的观察值仍以 Fn( x) 表示.)
实例 设总体 F 具有一个样本值 1, 2, 3,
则经验分布函数 F3 ( x) 的观察值为
,
X
k 2
,,
X
k n
独立且与 X
k 同分布,
故有
E
(
Xห้องสมุดไป่ตู้
k 1
)
E
(
X
k 2
)
E
(
X
k n
)
k .
再根据第五章辛钦定理知
辛钦定理
1
n
n i 1
X
k i
P k
,
k 1, 2, ;
由第五章关于依概率收敛的序列的性质知
g( A1, A2 ,, Ak ) P g(1, 2 ,, k ),
其中g 是连续函数 . 由第五章关于依概率收敛的序列的性质知
若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
证明 因为 Xi ~ N (0, 1), 所以 E( Xi2 ) D( Xi ) 1,
设 12 ~ 2(n1 ),
2 2
~
2(n2 ),
并且
12 ,
2 2
独
立,
则 12
2 2
~
2(n1
n2 ).
( 此性质可以推广到多个随机变量的情形. )
设
2 i
~
2(ni ),
并且
2 i
(i
1, 2,,
m) 相互
m
独立, 则
2 i
~
2(n1
n2
nm ).
i 1
性质2 ( 2分布的数学期望和方差 )
Plim sup n x
Fn( x)
F(x)
0
1.
对于任一实数 x当 n 充分大 时, 经验分布函 数的任一个观察值 Fn( x) 与总体分布函数 F ( x) 只有微小的差别 , 从而在实际上可当作 F ( x) 来
使用 .
二、常见分布
统计量的分布称为抽样分布.
1. 2分布
设 X1,X2,, Xn 是来自总体 N(0，1) 的样本， 则称统计量
设 x1, x2 ,, xn 是相应于样本 X1, X 2 ,, X n 的样本值 , 则称 g( x1, x2 ,, xn ) 是 g( X1, X2 ,, Xn )
的观察值 .
实例1 设 X1, X2 , X3是来自总体 N (, 2 )的一个 样本, 其中 为已知, 2 为未知, 判断下列各式哪
g( A1, A2 ,, Ak ) P g(1, 2 ,, k ),
其中g 是连续函数.
以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的理 论根据.
3. 经验分布函数
总体分布函数 F ( x) 相应的统计量称为经验
分布函数 . 经验分布函数的做法如下:
设
X1,
X2 ,,
X
是总体
n
F
的一个样本
,
用S( x) ( x )表示 X1, X2 ,, Xn 中不大于
2
X12
X
2 2
Xn2
服从自由度为n的 2分布，记为 2 ~ 2(n).
自由度是指上式右端包含的独立变量的个数.
2(n)分布的概率密度为
f
(
y)
n
22
1 (n)
n1
y2 e
y 2
，
2
y0
0,
其他 .
证明 因为 2(1) 分布即为 1 , 2 分布,
2
又因为 Xi ~ N (0, 1),
先将 x1, x2 ,, xn 按自小到大的次序排列 , 并重新编号, x(1) x(2) x(n) ,
则经验分布函数 Fn( x) 的观察值为
0,
Fn( x)
k, n
1,
x x(1) , x(k ) x x(k1) ， x x(n) .
格里汶科定理
格里汶科定理
对于任一实数 x, 当n 时, Fn( x)以概率 1 一致收敛于分布函数 F ( x) , 即
些是统计量, 哪些不是 ?
T1 X1,
T2 X1 X 2e X3 ,
T3
1 3
(
X
1
X2
X 3 ),
是
T4 max( X1, X 2 , X 3 ), T5 X1 X 2 2,
T6
1 2
(
X
2 1
X
2 2
X 32 ).
不是
2. 几个常用统计量的定义
设 X1, X2 ,, Xn 是来自总体的一个样本 ,
0,
1
F3
(
x
)
, 3 2,
3
1,
x 1, 1 x 2, 2 x3 x 3.
实例 设总体 F 具有一个样本值 1, 1, 2, 则经验分布函数 F3( x) 的观察值为
0,
F3( x)
2, 3
1,
x 1, 1 x2 x 2.
一般地， 设 x1, x2 ,, xn 是总体 F 的一个容量为 n 样本值,
第三节 抽样分布
一、基本概念 二、常见分布 三、小结
一、基本概念
1. 统计量的定义
设 X1, X2 ,, Xn 是来自总体 X 的一个样本 , g( X1, X2 ,, Xn )是 X1, X2 ,, Xn 的函数 , 若 g中 不含未知参数 , 则称 g( X1, X2 ,, Xn ) 是一个统 计量.
.
(3) 样本标准差
S
S2
1 n
1
n i 1
Xi
X
2
;
其观察值
s
1n n 1 i1 ( xi
x)2
.
(4) 样本k 阶(原点)矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
,
k
1,
2, ;
其观察值
k
1n n i1
x
k i
,k
1, 2, .
(5) 样本k 阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(
Xi
X )k
,k
2, 3, ;
其观察值
bk
1n n i1 ( xi
x)k
, k 2, 3, .
由以上定义得下述结论:
若总体 X 的k阶矩 E( X k ) 记成 k 存在, 则当n 时, Ak P k , k 1, 2,.
证明 因为 X1, X2 ,, Xn 独立且与 X 同分布,
所以
X 1k
由定义
X
2 i
~
2(1),
即
X
2 i
~
1 2
,
2 ,
i 1, 2, , n.
因为 X1, X2 , , Xn 相互独立,
所以
X
2 1
,
X
2 2
,
,
X n2也相互独立,
根据 分布的可加性知
2
n i 1
Xi2 ~
n 2
,
2 .
2(n)分布的概率密度曲线如 图.
2 分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性 )