北师大版初二数学上册《勾股定理》回顾与思考

《勾股定理回顾与思考》教学设计

贾串

一、学生起点分析

通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础.同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作

学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.

八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力.他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会. 但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难.

二、教学任务分析

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值. 勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用.

本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力.让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣.

为此，本节课的教学目标是：

①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.

②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力.

③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣.通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量.

三、教学过程设计

第一环节情境引入

勾股定理，我们把它称为世界第一定理•它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明.

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用.

目的：

通过对勾股定理历史及地位的解读，让学生了解知识脉络及前后联系，激发学习探究热情. 效果：

从历史的深度提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础.

第二环节：知识结构梳理

本章知识要点及结构：

1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a,b和c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________ =°

2.

2. 勾股定理各种表达式：

在Rt A ABC 中，/ C=90°，Z A，/ B，/ C 的对边也分别为a,b,c，贝U c= ___________ ，b = _________ ，c = ________ .

合作探究勾股定理中的分类讨论

探究一：利用勾股定理求边长

已知直角三角形的两边长分别为3、4,求第三边长的平方

练习1 1,已知直角三角形的两边长是5和12,则最长边的长是____________ 。

2在三角形ABC中，AB=20，AC=20, BC边上的高是12,则三角形ABC的面积是_________ 。注意事项：

因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5.但

这一理解的前提是3、4为直角边.而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜

边，但也可能为直角边•体现分类讨论的思想

3. 勾股定理的逆定理：

在厶ABC中，若a,b,c三边满足 ____________ 则厶ABC为_____________ .

4. 勾股数：

满足 ___________ ■勺三个 _________ ,称为勾股数.

练习2.

1•已知△ ABC的三边为a, b, c,有下列各组条件，判定△ ABC的形状.

(1) a =41, b =40, c =9 ;

(2)a=m2_n2, b=m2 n2, c = 2mn (m .n .0)

解：(1) (2)均为直角三角形.

2..已知，如图，在△ ABC中，AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12，试说明厶ABC是等腰三角形。

注意事项：

第一题要判断出最长的边，把它作为斜边。

第二题要判断三角形ABD为直角三角形，再计算AC的长。

4综合应用

命题点2勾股定理与折叠

例 2 如图，在Rt A ABC 中，/ C=90°AC =8, BC =6,按照图中所示方法

将△ BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C'处, 则折痕BD的长为

思路点拨BD所在地直角三角形只有一条边长可以求出，无法直接利用勾股定理计算出长度。分析可知，如果设DC=X，贝U DC'X, AD=8-X。在Rt A ABC'中，可以根据勾股定理列一个

关于X的方程，解方程求出CD，进而由勾股定理求出BD

类型1利用勾股定理解决平面图形的折叠问题

1 •如图所示■有一块亩角二角形纸H-,/C=90%AC = 4 cm,BC=3 cm, 将斜

边AB翻折•使点E落在肓角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD,

则CE的长为( )

A. 1 cm 1. 5 cm C. 2 cm 3 cm

E