2020新高考数学第一轮专题复习 平面解析几何

k 3 k
当 b 0 时，由 ( 3k 1) k 3 ,
1
k
得 3k 2 2k 3 0 ，
解得 k 3 或 k 3 ，故这样的直线存在，其方程为 y 3 x 或 y 3x ．
3
3
[解法二] ]取直线上一点 A( b , 0) ，其经变换后的点 B( b , 3b) 仍在该直线上，
(2)将 l 的方程化为 y=－(a＋1)x＋a－2，欲使 l 不经过第二象限，当且仅当
－（a＋1）≥0
a－2≤0
∴ a ≤ －1 故所求 a 的取值范围为 a≤－1．
【高考链接】
【例 1】如图所示，根据指令(r，θ)(r≥0，－180°< y
θ≤180°)，机器人在平面上能完成下列动作，先原 地旋转角度θ(θ为正时，按逆时针方向旋转θ， θ
∴所求直线可设为 y kx b(k 0) ， ∵该直线上的任一点 A(x, y) ，其经变换
后得到的点
B(x 3y, 3x y) 仍在该直线上，∴ 3x y k(x 3y) b ，
即 ( 3k 1) y (k 3)x b ，
当
b
0
时，方程组
(
3k 1) 1 无解，故这样的直线不存在．
则直线 l 的斜率 k 的取值范围为
．
【双基回归答案】
1. 答案 B[提示]
2. 答案 B [提示]
3. 答案 A [提示]
4. 答案 (9,–4). [提示]
5. 答案 k≤ 3 或 k≥2 . [提示] 4
☆知识要点与规律总结☆
直线方程是解析几何的基础，其题目类型主要是求直线方程，以及与之有关的斜 率、截距、点等特征量，方法一般采用待定系数法．在解答有关直线的问题时，应特 别注意的几个方面 ：
【知识网络】
斜截式方程
截距式方程
直线方程的一般式
点到直线的距离
两条直线的 位置关系
方程的曲线 曲线的方程
确定圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的参数方程
平行 相交 圆心
垂直 夹角 交点
半径
交点
直线与圆的位置关系
标准方程
椭圆
几何性质
简单应用
圆
锥
曲
线
双曲线
方
程
标准方程 几何性质 简单应用
抛物线
标准方程 几何性质 简单应用
（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾 角的范围.
（2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况.
如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴 上的截距是另一坐标轴上的截距的 m 倍（m＞0）”等时，采用截距式就会出现“零截 距”，从而丢解.此时最好采用点斜式或斜截式求解.
4
为负时，按顺时针方向旋转－θ)，再朝面对的方向沿
直线行走距离 r．
o 4
17 x
(1)现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对 x 轴正方向．试给机器人下一个指令， 使其移动到点(4，4)； (2)机器人在完成该指令后，发现在点(17，0)处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚 动．已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的 2 倍，若忽略机器人原地旋转所需 的时间，问机器人最快可在何处截住小球?并给出机器人截住小球所需的指令．(非特 殊角用反三角函数表示) 【思路点拨】给机器人下指令，即求机器人行走的距离和方向．
2020 新高考数学第一轮专题复习 平面解析几何
【目标导航与知识网络】 【目标导航】
理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.熟练掌握直线方程的点斜式， 掌握直线方程的 斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式.能够根据条件求出直线的方程.掌握两 条直线平行与垂直的条件，能够根据直线的方程判定两条直线的位置关系.会求两条相 交直线的夹角和交点.掌握点到直线的距离公式.熟练掌握圆的标准方程和一般方程.能 够根据条件求出圆的标准方程和一般方程.掌握直线和圆的位置关系的判定方法. 掌握直角坐标系中的曲线方程的关系和轨迹的概念.能够根据所给条件，选择适当 的直角坐标系求曲 线的方程，并画出方程所表示的曲线.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质.会根据所 给的条件画圆锥曲线.了解圆锥曲线的一些实际应用.了解用坐标法研究几何问题的思 想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法. 处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价 的代数结构；(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质． 要重视坐标法，学会如 何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 直线方程是解析几何的基础，其题目类型主要是求直线方程，以及与之有关的斜 率、截距、点等特征量，方法一般采用待定系数法．在确定直线的倾斜角、斜率时， 要注意倾斜角的范围，要注意斜率存在的条件， 要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决直线和圆的问题；还要注意综 合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 圆的参数方程为利用函数关系和三角知识研究几何问题创造了有利的条件，因此， 它是解决与圆有关的几何问题的十分重要的工具． 求动点的轨迹方程问题，从来都是高考的热点，试题有一定的难度，学习时应注 意一些求轨迹方程的基本方法．求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，试题一 般涉及量较多，计算量大．要求较强的运算能力．在计算中，首先要明确运算方向， 还要注意运算合理，运算的技巧，使运算简练． 注意用圆锥曲线的定义解题．有关圆锥曲线上的点到焦点的距离，到准线的距离， 离心率的问题都可能用圆锥曲线的定义去解．对称问题是高考的热点，注意关于原点， x 轴、y 轴，关于直线 y＝±x 对称的两曲线方程的特点．在有关直线与圆锥曲线的问 题中，注意韦达定理、弦长公式在解题中的应用．一些试题将解析几何问题与数列问 题，极限问题，不等式问题，函数问题综合在一起，对解决数学综合问题的能力要求 更高，此时要充分利用解几的特点，运用数形结合，用代数的方法解决几何的问题．
（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造 成丢解如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或 讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论.
☆典例解析与变式训练☆
【典例解析】
【例 1】在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为 x－2y＋1=0，∠A 的平分线所 在直线方程为 y=0，若点 B 的坐标为(1，2)，求点 A 和点 C 的坐标． 【思路点拨】两条相交直线确定一个交点，根据题意寻找由点 A、点 C 确定的两条直 线．
相交时，求实数 a 的取值范围.
【答案】－ 1 ≤a≤2 3
【例 3】设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)．
（1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；
（2）若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
【错解】(1)因为 l 在两坐标轴上的截距相等，设 l 的方程 x＋y＋k=0，得 a=0，方程为
因为要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，所以 x=7，
故机器人最快可在点(7，0)处截住小球．
设 A(4，4) 则︱AP︱=5， kPA= － 4 ， θ= －arctan 4 ，
3
3
∴所给的指令为(5，－arctan 4 )． 3
【点评】抓住应用题中等量关系的信息，构建方程的模型．
【2020 启中模拟】
∵tanα= 1 ，∴tanθ=tan2α= 8 ， 从而方程为 8x－15y＋6=0．
4
15
(2)由题意，设直线交 x 轴于 A，交 y 轴于 B
当 AP = 1 时，A( 9 ，0)，B(0，6)．方程为 2x ＋ y =1
PB 2
2
96
当 BP = 1 时，A(9，0)，B(0，3)，方程为 x ＋ y =1．
x＋y＋2=0.
【错解分析】注意讨论：分直线过原点和不过原点两类.
【正确答案】（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零，
∴2－a=0， ∴a=2， 方程为 3x＋y=0；
当直线不过原点时，a≠2，由 a 2 =a－2，得 a=0，方程为 x＋y＋2=0， a 1
故所求的方程为 3x＋y=0 或 x＋y＋2=0．
(1)倾斜角是直线 x－4y＋3=0 的倾斜角的 2 倍；
(2)夹在两坐标轴间的线段被 P 分成 1∶2．
(3)与 x 轴，y 轴正半轴交于 A、B 两点，且△AOB 的面积最小．
【思路点拨】求直线方程时，应从条件出发，合理选择直线方程的形式．
【解】（1）设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为 α，则θ=2α
【解】 A 点既在 BC 边的高线上，又在∠A 的平分线上，
由
x
y
2y 0
1
0
得 A(－1，0)，
∴kAB=1，而 x 轴是角 A 的平分线， ∴kAC= －1， ∴AC 边所在直线方程为 y= －(x＋1) ①
又 kBC= －2， ∴BC 边所在直线方程为 y－2= －2(x－1) ② 联立① ②得 C 的坐标为(5，－6)．
k
kk
∴ 3b k( b ) b ，得 b 0 ，
k
k
故 所 求 直 线 为 y kx ， 取 直 线 上 一 点 P(0, k) ， 其 经 变 换 后 得 到 的 点
Q(1 3k, 3 k) 仍在该直线上．
∴ 3 k k(1 3k) ， 即 3k 2 2k 3 0 ，得 k 3 或 k 3 ， 3
【点评】 善于应用数形结合，确定交点，利用方程思想解决交点坐标，Βιβλιοθήκη Baidu处理这类问
题的一般方法．
【变式训练 1】过点 A(5, 4) 作一直线 l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三
角形面积为 5 ． 【解】 2x 5y 10 0 ，或8x 5y 20 0 .
【例 2】一条直线经过 P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程．
故这样的直线存在，其方程为 y 3 x 或 y 3x ． 3
☆基础训练与能力提升☆
第 2 课时：直线的斜率与方程
☆目标定位与双基回归☆
目标定位
理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的 几种形式，能根据条件，求出直线的方程．
双基回归
1. 直 线 xcosα+ 3 y+2=0 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 是
(B)
A.
ππ [6,2
)
∪(π2,56π
【解】(1)r=4 2 ，θ=45°，得指令为(4 2 ，45°)．
(2)设机器人最快在点 P(x，0)处截住小球，则因为小球速度是机器人速度的 2 倍，所以
在相同时间内有 ︱17－x︱=2 (x 4)2 (0 4)2 ，
即 3x2＋2x－161=0，得 x= － 23 (舍)或 x=7． 3
【例 1】定义映射 f：A(x， y) B(x+ 3 y， 3 x－y) 是否存在这样的直线 l：若点
A 在直线 l 上移动，点 B 仍在这条直线上．若存在请你求出所有这些直线 l；若不存在， 请你说明理由． 【思路点拨】本题主要考查映射、直线等基本知识．有关存在性问题一般先假识存在， 再根据题意列出方程. [解法一]假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，
为 x － y ＋ 1=0 ， 则 直 线 Ｐ Ｂ 的 方 程 是
（A ）
Ａ．x＋y－5=0 B．2x－y－1=0 C．x－2y＋4=0 D．2x＋y－7=0
4. m 为任意实数时，直线（m－1）x＋(2m－1)y=m－5 必过定点(
)．
5. 已知点 A（2，3），B（－3，－2），若直线 l 过点 P（1，1），且与线段 AB 相交，
]
B.[0,π6]∪[56π,π )
5π C. [0, 6 ]
π 5π D.[6, 6 ]
2. 过点(1,3)作直线 l，若经过点(a,0)和(0,b)，且 a∈N*，b∈N*，则可作出的 l 的条数
为( B )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3.设Ａ、Ｂ是 x 轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２，且|ＰＡ|＝|ＰＢ|，若直线ＰＡ的方程
PA 2
93
(3)设直线方程为 x ＋ y =1，代入 P(3，2)，得 3 ＋ 2 =1≥2 6 ，
ab
ab
ab
得 ab≥24，从而 S△AOB= 1 ab≥12，此时 3 = 2 ，k=－ b =－ 2 ，
2
ab
a3
∴方程为 2x＋3y－12=0．
【变式训练 2】 已知直线 l：y=ax＋2 和 A(1，4)，B(3，1)两点，当直线 l 与线段 AB